(가) [출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 p.48 생각 열기 변형 | 성취기준: 12대수01-05] 닫힌구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $f(x)$가 임의의 두 실수 $x_1, x_2 \in [a, b]$와 $0 < t < 1$에 대하여 부등식 $f(tx_1 + (1-t)x_2) \le t f(x_1) + (1-t)f(x_2)$를 만족시킬 때, 함수 $f(x)$는 아래로 볼록하다고 한다. 반면 $g(x) = \log_2 x$ ($x > 0$)와 같이 부등호 방향이 반대인 함수는 위로 볼록하며, 임의의 양수 $x_1, x_2, \dots, x_n$에 대하여 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log_2 x_k \le \log_2\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k\right)$가 성립한다.
(나) [출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 p.142 수학으로 세상 보기 변형 | 성취기준: 12대수03-04] 일정한 시간 간격마다 약물 $D\,\text{mg}$을 투여할 때, 직전 혈중 농도의 $r$배($0 < r < 1$)만큼만 체내에 남는다고 하면 $n$번째 투여 직후의 혈중 약물 농도 $C_n$은 점화식 $C_n = r C_{n-1} + D$ ($n \ge 2$, $C_1 = D$)를 만족시킨다. 또한 자연수 $n$에 대하여 좌표평면에서 곡선 $y = 2^x$ 위의 점 $(k, 2^k)$ ($k=1, 2, \dots, n$)과 $x$축 사이의 격자점 개수 합을 통해 수열의 극한을 추론할 수 있다.
※ 문항 1-1 증명 시 $m=1$ 기본 단계와 $m=k \implies m=k+1$ 귀납 단계를 명확히 구분하여 서술하시오.
[문항 1-1 해설] (i) $m=1$ ($n=2$)일 때, 제시문 (가)에서 $g(x) = \log_2 x$에 $t = \frac{1}{2}$을 대입하면
$$\frac{\log_2 x_1 + \log_2 x_2}{2} \le \log_2\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \iff \log_2\sqrt{x_1 x_2} \le \log_2\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$$밑이 $2 > 1$인 로그함수는 증가함수이므로 $\sqrt{x_1 x_2} \le \frac{x_1+x_2}{2}$가 성립한다. (ii) $m=k$ ($n=2^k$)일 때 성립한다고 가정하면, $m=k+1$ ($n=2^{k+1}=2N$, $N=2^k$)일 때
$$\begin{aligned} \frac{x_1 + \cdots + x_{2N}}{2N} &= \frac{1}{2}\left(\frac{x_1+\cdots+x_N}{N} + \frac{x_{N+1}+\cdots+x_{2N}}{N}\right) \\ &\ge \frac{1}{2}\left(\sqrt[N]{x_1\cdots x_N} + \sqrt[N]{x_{N+1}\cdots x_{2N}}\right) \ge \sqrt{\sqrt[N]{x_1\cdots x_N}\sqrt[N]{x_{N+1}\cdots x_{2N}}} = \sqrt[2N]{x_1\cdots x_{2N}} \end{aligned}$$따라서 모든 자연수 $m$에 대하여 성립하며, 등호는 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$일 때 성립한다.
[문항 1-2 해설] $C_n = \frac{3}{4}C_{n-1} + 12$ ($C_1 = 12$)를 변형하면 $C_n - 48 = \frac{3}{4}(C_{n-1} - 48)$이다. 따라서
$$C_n = 48 - 36\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = 48\left\{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n\right\} \implies 48 - C_n = 48\left(\frac{3}{4}\right)^n$$주어진 부등식에 대입하면 $\log_2\left\{48\left(\frac{3}{4}\right)^n\right\} \le -10$이고, 정리하면 $48\left(\frac{3}{4}\right)^n \le 2^{-10}$으로부터 자연수 $n$의 최솟값은 $n = 38$이다. (단, $\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ 기준)
[문항 1-3 해설] 몇급수 합 공식에 의해 $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$이다. 이를 다시 $m=1$부터 $n$까지 합하면
$$S_n = \sum_{m=1}^n \left(2 - \frac{m+2}{2^m}\right) = 2n - \left(4 - \frac{n+4}{2^n}\right) = 2n - 4 + \frac{n+4}{2^n} \implies \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{2n-3} = 1$$| 문항 | 핵심 채점 요소 (Grading Criteria) | 배점 |
|---|---|---|
| 1-1 | $m=1$ 로그 볼록성 유도(3점) + $m=k \implies m=k+1$ 귀납 전개(5점) + 등호 성립 조건 명시(2점) | 10점 |
| 1-2 | 특성방정식 $C_n - 48 = \frac{3}{4}(C_{n-1}-48)$ 도출(5점) + 일반항 및 로그부등식 최소 자연수 계산(5점) | 10점 |
| 1-3 | 몇급수 $a_n = 2 - \frac{n+2}{2^n}$ 유도(5점) + $S_n = 2n - 4 + \frac{n+4}{2^n}$ 및 극한값 $1$ 도출(5점) | 10점 |
(가) [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 p.94 예제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06 (평균값 정리)] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$를 만족시키는 실수 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다. 이를 평균값 정리라 하며, 구간을 경계점 $x=k$에서 나누어 정의한 조각함수 $g(x)$가 $x=k$에서 미분가능하려면 $x=k$에서의 연속 조건과 좌미분계수·우미분계수 일치 조건이 동시에 성립해야 한다.
(나) [출처: 비상교육(김원경) 미적분Ⅰ Ⅱ-3. 도함수의 활용 p.108 수학으로 세상 보기 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07] 기업의 생산량 $x$ ($x > 0$)에 대한 총비용 함수 $C(x)$가 구간 $[0, k]$에서는 $C_1(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 4$, 구간 $(k, \infty)$에서는 이차함수 $C_2(x) = ax^2 + bx + c$로 정의된다고 하자. 생산 설비 전환점 $x=k$ ($k > 0$)에서 총비용 함수 $C(x)$와 한계비용 함수 $C'(x)$가 모두 연속이고 미분가능하도록 설계할 때, 평균비용 $\frac{C(x)}{x}$를 최소화하는 최적 생산량을 도출할 수 있다.
※ 문항 2-2는 로피탈의 정리를 사용하지 말고 반드시 평균값 정리의 존재성 명제를 인용하여 서술하시오.
[문항 2-1 해설] $C_1(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 4$에서 $C_1'(x) = 3x^2 - 12x + 15$, $C_1''(x) = 6x - 12$이다. $x=3$에서 $C_2(x) = ax^2+bx+c$와 함숫값, 1계 미분계수, 2계 변화율이 일치해야 하므로
$$\begin{aligned} C_2''(3) &= 2a = C_1''(3) = 6 \implies a = 3, \\ C_2'(3) &= 6a + b = 18 + b = C_1'(3) = 6 \implies b = -12, \\ C_2(3) &= 9a + 3b + c = 27 - 36 + c = C_1(3) = 22 \implies c = 31 \end{aligned}$$따라서 $a = 3, b = -12, c = 31$이다.
[문항 2-2 해설] 다항함수 $C_1(x)$는 닫힌구간 $[x_1, x_2] \subset [0, 3]$에서 연속이고 열린구간 $(x_1, x_2)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
$$\frac{C_1(x_2) - C_1(x_1)}{x_2 - x_1} = C_1'(c) = 3c^2 - 12c + 15 = 3(c-2)^2 + 3$$을 만족시키는 실수 $c \in (x_1, x_2) \subset (0, 3)$이 존재한다. 모든 실수 $c$에 대하여 $3(c-2)^2 + 3 \ge 3 > 0$이므로 양변에 절댓값을 취하면 $\left|\frac{C_1(x_2)-C_1(x_1)}{x_2-x_1}\right| \ge 3$이 성립한다.
[문항 2-3 해설] $x \in (0, 3]$에서 평균비용 함수는 $A(x) = \frac{C_1(x)}{x} = x^2 - 6x + 15 + \frac{4}{x}$이다. 이를 미분하면
$$A'(x) = 2x - 6 - \frac{4}{x^2} = \frac{2x^3 - 6x^2 - 4}{x^2} = \frac{2(x+1)(x-2)^2}{x^2} \quad (\text{또는 } c_0=16 \text{ 기준 확인})$$구체적으로 $A'(x) = \frac{2(x^3 - 3x^2 - 2)}{x^2}$에서, 만약 고정비용이 $16$인 표준형 $C_1(x)=x^3-6x^2+15x+16$이면 $A'(x)=\frac{2(x-4)(x+1)^2}{x^2}$이고, 일반 정리로서 $A(x) = \frac{C(x)}{x}$를 미분하면 $A'(x) = \frac{x C'(x) - C(x)}{x^2} = 0 \iff C'(x^*) = \frac{C(x^*)}{x^*} = A(x^*)$이므로 평균비용이 극소(최소)인 점에서는 항상 평균비용과 한계비용이 일치한다.
| 문항 | 핵심 채점 요소 (Grading Criteria) | 배점 |
|---|---|---|
| 2-1 | $x=3$에서의 함숫값·도함수·이계도함수 연속 연립방정식 수립(5점) + $a=3, b=-12, c=31$ 도출(5점) | 10점 |
| 2-2 | 평균값 정리 조건(폐구간 연속·개구간 미분가능) 명시(4점) + $C_1'(c) = 3(c-2)^2+3 \ge 3$ 증명(6점) | 10점 |
| 2-3 | $A(x) = \frac{C_1(x)}{x}$ 도함수 $A'(x) = \frac{xC_1'(x)-C_1(x)}{x^2}$ 유도(5점) + $A'(x^*)=0 \iff C_1'(x^*)=A(x^*)$ 입증(5점) | 10점 |
(가) [출처: 천재교과서(전인태) 확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 p.76 탐구 융합 변형 | 성취기준: 12확통02-04] 표본공간 $S$의 두 사건 $A, B$에 대하여 $P(A) > 0$일 때 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 조건부확률은 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$이다. 특히 서로 배반인 사건 $A$와 $A^c$에 대하여 확률의 곱셈정리와 전체확률의 법칙을 적용하면, 검사 결과 양성($T$) 판정을 받았을 때 실제로 질병($D$)에 걸렸을 사후확률(양성예측도, PPV)은 $P(D|T) = \frac{P(D)P(T|D)}{P(D)P(T|D) + P(D^c)P(T|D^c)}$로 주어진다.
(나) [출처: 미래엔(황선욱) 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 p.148 모비율의 추정 변형 | 성취기준: 12확통03-06] 2022 개정 교육과정에 재도입된 모비율($p$)과 표본비율($\hat{p}$)의 추정에서, 모비율이 $p$인 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출할 때 표본비율 $\hat{p}$은 $n$이 충분히 크면 근사적으로 정규분포 $N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$를 따른다. 따라서 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다. (단, $\text{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$이다.)
※ 2022 개정 교육과정 가드레일에 따라 '원순열'은 출제에서 완전 배제되었으며, 재도입된 성취기준 [12확통03-06 모비율의 추정]을 정확히 적용하시오.
[문항 3-1 해설] 제시문 (가)의 베이즈 정리 공식에 $P(D)=0.01, P(D^c)=0.99, P(T|D)=0.99, P(T|D^c)=\alpha$를 대입하면
$$\begin{aligned} P(D|T) &= \frac{0.01 \times 0.99}{0.01 \times 0.99 + 0.99 \times \alpha} = \frac{0.01}{0.01 + \alpha} \ge 0.90 = \frac{9}{10} \\ &\iff 0.10 \ge 9(0.01 + \alpha) \iff 9\alpha \le 0.01 \implies \alpha \le \frac{1}{900} \end{aligned}$$따라서 위양성률 $\alpha$의 최댓값은 $\frac{1}{900}$이다.
[문항 3-2 해설] 조건부 독립 가정에 의하여 $P(T_1 \cap T_2 | D) = (0.99)^2$이고, $P(T_1 \cap T_2 | D^c) = \alpha^2 = (0.09)^2$이다. 따라서
$$P(D | T_1 \cap T_2) = \frac{0.01 \times (0.99)^2}{0.01 \times (0.99)^2 + 0.99 \times (0.09)^2} = \frac{0.01 \times 0.99}{0.01 \times 0.99 + (0.09)^2} = \frac{0.0099}{0.0099 + 0.0081} = \frac{99}{180} = \frac{11}{20} = 0.55$$[문항 3-3 해설] 제시문 (나)에서 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $L$은
$$\begin{aligned} L &= 2 \times 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 3.92 \sqrt{\frac{0.80 \times 0.20}{n}} = 3.92 \times \frac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.0392 \\ &\iff \frac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.01 \iff \sqrt{n} \ge 40 \implies n \ge 1600 \end{aligned}$$따라서 표본의 크기 $n$의 최솟값은 $1600$이다.
| 문항 | 핵심 채점 요소 (Grading Criteria) | 배점 |
|---|---|---|
| 3-1 | 베이즈 정리 사후확률 식 $\frac{0.01}{0.01+\alpha} \ge 0.9$ 수립(6점) + 최댓값 $\alpha = \frac{1}{900}$ 도출(4점) | 10점 |
| 3-2 | 2회 연속 양성 조건부 독립 확률 $(0.99)^2, (0.09)^2$ 적용(5점) + 최종 확률 $\frac{11}{20}$ ($0.55$) 도출(5점) | 10점 |
| 3-3 | 모비율 신뢰구간 길이 공식 $2 \times 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 선언(5점) + $n \ge 1600$ 최솟값 도출(5점) | 10점 |
(가) [출처: 비상교육(김원경) 공통수학1 Ⅳ-1. 행렬과 그 연산 p.152 탐구 과제 변형 | 성취기준: 10공수1-04-02] 두 이차정사각행렬 $A, B$에 대하여 행렬의 곱셈은 결합법칙 $(AB)C = A(BC)$와 분배법칙이 성립하지만, 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않는다($AB \neq BA$). 따라서 $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$이 성립하기 위한 필요충분조건은 $AB = BA$이다. 한편, 두 상태 $S_1, S_2$ 사이의 주간 이동 비율을 나타내는 전이행렬 $P = \begin{pmatrix} 1-\alpha & \beta \\ \alpha & 1-\beta \end{pmatrix}$에 대하여 $n$주 후의 상태분포 행렬 $X_n = \begin{pmatrix} x_n \\ 1-x_n \end{pmatrix}$은 $X_{n} = P X_{n-1}$을 만족시킨다. (단, $0 < \alpha < 1, 0 < \beta < 1$이고 $x_0 = 1$이다.)
(나) [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅱ p.112 & 기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 p.138 변형 | 성취기준: 12미적Ⅱ-02-05, 12기하03-05] 2028학년도 최상위권(연세대·고려대·의약학) 수리논술에서는 『미적분Ⅰ』의 다항함수 평균값 정리를 반복 적용하여 초월함수 $e^x, \ln(1+x), \cos x$를 $x=0$ 근방에서 2차 다항식 $P_2(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$으로 근사하는 제시문이 출제된다. 또한 좌표공간에서 법선벡터가 $\vec{n}_1 = (1, 1, \sqrt{2})$인 평면 $\alpha: x + y + \sqrt{2}z = 4$ 위의 도형 $D$를 $xy$평면($\vec{n}_2 = (0,0,1)$) 위로 정사영한 넓이 $S'$은 두 평면의 법선벡터가 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $S' = S \cos\theta$를 만족시킨다.
※ 문항 4-1은 반드시 동치 조건 $(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2$을 먼저 전개한 뒤 성분을 비교하시오.
[문항 4-1 해설] 행렬의 곱셈에 대한 분배법칙에 의하여
$$\begin{aligned} (A-B)(A+B) &= A^2 + AB - BA - B^2 = A^2 - B^2 \\ &\iff AB - BA = O \iff AB = BA \end{aligned}$$두 행렬 $A, B$의 곱을 각각 계산하면
$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & k+2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 2 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4+3k \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$따라서 $AB = BA \iff k+2 = 4+3k \iff 2k = -2 \implies k = -1$이다. 한편 $k=1$이면 $(A+B)^2 - (A^2+2AB+B^2) = BA - AB = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq O$이므로 교환법칙이 성립하지 않는다.
[문항 4-2 해설] $\alpha = \frac{1}{4}, \beta = \frac{1}{4}$을 대입하면 $P = \begin{pmatrix} 3/4 & 1/4 \\ 1/4 & 3/4 \end{pmatrix}$이다. $X_n = P X_{n-1}$의 첫째 행 성분으로부터
$$\begin{aligned} x_n &= \frac{3}{4}x_{n-1} + \frac{1}{4}(1 - x_{n-1}) = \frac{1}{2}x_{n-1} + \frac{1}{4} \\ \implies x_n - \frac{1}{2} &= \frac{1}{2}\left(x_{n-1} - \frac{1}{2}\right) \implies x_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned}$$따라서 $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{2}$이다.
[문항 5-1 해설] 함수 $f(x) = e^x$의 $x=0$ 근방 2차 다항근사에서 $f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=1$이므로 평균값 정리의 일반화에 의해 $e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + R_2(x)$ ($\lim_{x\to 0} R_2(x)/x^2 = 0$)이다. 따라서 $a = \frac{1}{2}$이다. 이때 반지름이 $r = 2a = 1$인 원 $D$의 넓이는 $S = \pi r^2 = \pi$이고, 평면 $\alpha$의 법선벡터 $\vec{n}_1 = (1,1,\sqrt{2})$와 $xy$평면의 법선벡터 $\vec{n}_2 = (0,0,1)$이 이루는 예각 $\theta$에 대하여
$$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1+2}\cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies S' = S\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi$$| 문항 | 핵심 채점 요소 (Grading Criteria) | 배점 |
|---|---|---|
| 4-1 | $(A-B)(A+B)=A^2-B^2 \iff AB=BA$ 동치 변형 명시(5점) + $k=-1$ 도출(5점) + $k=1$일 때 $BA-AB=\begin{pmatrix}0&4\\0&0\end{pmatrix}$ 계산(5점) | 15점 |
| 4-2 | $x_n = \frac{1}{2}x_{n-1} + \frac{1}{4}$ 유도(7점) + 일반항 $x_n = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$ 및 극한 $\frac{1}{2}$ 도출(8점) | 15점 |
| 5-1 | 2차 다항근사 계수 $a = \frac{1}{2}$ 유도(8점) + 법선벡터 내적 $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 계산(6점) + 정사영 넓이 $\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$ 확정(6점) | 20점 |
[Track B — 가천대·상명대·삼육대·국민대·서경대 등 13개교 약술형 논술 표준 가이드] 약술형 논술고사는 80분 동안 수학 9~15문항을 신속·정확하게 풀이해야 하므로, 장문의 서술 대신 『1줄: 핵심 공식 및 정의역 조건 선언(30%) ➔ 2줄: 감점 없는 동치 계산 전개(40%) ➔ 3줄: 최종 정답 확정(30%)』의 3줄 풀이 완성 프로토콜을 체화해야 만점을 받을 수 있다. 다음 두 문항은 2022 개정 교과서 중단원 대표예제를 변형한 2028 약술형 최빈출 예상 문항이다.
[문항 6-1 3줄 풀이 모범답안]
• [1줄: 공식선언 및 진수조건 (30% / 4.5점)] 등차수열의 합 공식에 의해 $S_5 = \frac{5\{2(2) + 4d\}}{2} = 10 + 10d$이고, 로그의 진수 조건에서 $S_5 - 5 = 10d + 5 > 0, d > 0$을 만족한다.
• [2줄: 핵심 계산 및 전개 (40% / 6.0점)] 주어진 로그방정식을 정리하면 $\log_2(10d+5) = \log_2(12d)$이므로
$$10d + 5 = 12d \implies 2d = 5 \implies d = \frac{5}{2}$$• [3줄: 최종 결론 도출 (30% / 4.5점)] 양수 조건 $d = \frac{5}{2} > 0$을 만족하므로 일반항 공식에 의해 $a_{10} = a_1 + 9d = 2 + \frac{45}{2} = \frac{49}{2}$이다.
[문항 6-2 3줄 풀이 모범답안]
• [1줄: 공식선언 및 교점 확인 (30% / 4.5점)] 포물선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축의 교점은 $x=0, 4$이고, 직선 $y=mx$와의 교점은 $-x^2+4x=mx \implies x=0, 4-m$이다.
• [2줄: 핵심 계산 및 정적분 공식 적용 (40% / 6.0점)] 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$에 의하여
$$\begin{aligned} \int_0^4 (-x^2+4x)\,dx &= \frac{1}{6}(4 - 0)^3 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}, \\ \int_0^{4-m} (-x^2 + (4-m)x)\,dx &= \frac{1}{6}(4-m)^3 \end{aligned}$$• [3줄: 최종 결론 도출 (30% / 4.5점)] 직선 $y=mx$가 전체 넓이를 이등분하므로 $\frac{1}{6}(4-m)^3 = \frac{1}{2} \times \frac{64}{6} \implies (4-m)^3 = 32$이다.
| 문항 | 3줄 풀이 채점 요소 (1줄 30% / 2줄 40% / 3줄 30%) | 배점 |
|---|---|---|
| 6-1 | [1줄] $S_5 = 10+10d$ 및 진수조건 명시(4.5점) + [2줄] $10d+5 = 12d$ 방정식 전개(6.0점) + [3줄] $d=\frac{5}{2}, a_{10}=\frac{49}{2}$ 확정(4.5점) | 15점 |
| 6-2 | [1줄] 교점 $x=4$ 및 $x=4-m$ 도출(4.5점) + [2줄] 넓이 공식 $\frac{1}{6}(4-m)^3 = \frac{1}{2}\cdot\frac{64}{6}$ 수립(6.0점) + [3줄] $(4-m)^3 = 32$ 도출(4.5점) | 15점 |