[1-1 모범답안] (i) \(n=2\)일 때 좌변은 \(1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\)이고 우변은 \(2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)이므로 \(\dfrac{5}{4} < \dfrac{3}{2}\)가 성립한다.
(ii) \(n=m\) (\(m \ge 2\))일 때 성립한다고 가정하면, \(n=m+1\)일 때 다음과 같이 2줄로 전개된다.\[\begin{aligned}\sum_{k=1}^{m+1} \frac{1}{k^2} &< 2 - \frac{1}{m} + \frac{1}{(m+1)^2} = 2 - \frac{1}{m+1} - \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+1} - \frac{1}{(m+1)^2}\right) \\&= 2 - \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m(m+1)^2} < 2 - \frac{1}{m+1}\end{aligned}\]이므로 \(n=m+1\)일 때도 성립한다. 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 성립한다.
[1-2 모범답안] \(n=1\)일 때 좌변 \(\dfrac{1}{2}\), 우변 \(2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\)로 성립한다. \(n=m\) 가정 후 양변에 \(\dfrac{m+1}{2^{m+1}}\)을 더하면 \(2 - \dfrac{2m+4 - (m+1)}{2^{m+1}} = 2 - \dfrac{(m+1)+2}{2^{m+1}}\)로 성립하며, \(n \to \infty\)일 때 \(\dfrac{n+2}{2^n} \to 0\)이므로 극한값은 \(2\)이다.

[2-1 모범답안] 함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 연속이고 열린구간 \((1, 5)\)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 \(c \in (1, 5)\)가 존재한다.\[\begin{aligned}\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c) &\implies |f(5) - 3| = 4|f'(c)| \le 4 \times 2 = 8 \\&\implies -8 \le f(5) - 3 \le 8 \implies -5 \le f(5) \le 11\end{aligned}\][2-2 모범답안] \((1, 2)\)의 실근을 \(\alpha\), \((2, 3)\)의 실근을 \(\beta\)라 하면 \(g(0)=g(\alpha)=g(\beta)=0\)이다. 롤의 정리에 의해 \(g'(c_1)=0\)인 \(c_1 \in (0, \alpha)\)와 \(g'(c_2)=0\)인 \(c_2 \in (\alpha, \beta)\)가 존재한다. 또한 \(g'(0)=0\)이므로 \(g'(0)=g'(c_1)=g'(c_2)=0\) (\(0 < c_1 < c_2 < 3\))이다. 다시 도함수 \(g'(x)\)에 롤의 정리를 적용하면 \(g''(d_1)=0\)인 \(d_1 \in (0, c_1)\)과 \(g''(d_2)=0\)인 \(d_2 \in (c_1, c_2)\)가 존재하므로 \((0, 3)\)에서 적어도 두 개의 실근을 갖는다.

[3-1 모범답안] \(\hat{p} = 0.64\), \(1 - \hat{p} = 0.36\), \(n = 400\)이므로 표준오차(SE)는 \(\sqrt{\dfrac{0.64 \times 0.36}{400}} = \dfrac{0.8 \times 0.6}{20} = 0.024\)이다.\[\begin{aligned}0.64 - 1.96 \times 0.024 \le p \le 0.64 + 1.96 \times 0.024 \implies 0.59296 \le p \le 0.68704\end{aligned}\][3-2 모범답안] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96 \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)이다. 조건 \(L \le 0.04704\)를 대입하면 다음과 같다.\[\begin{aligned}2 \times 1.96 \times \frac{0.48}{\sqrt{n}} \le 0.04704 &\implies \frac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704 \implies \sqrt{n} \ge \frac{1.8816}{0.04704} = 40 \\&\implies n \ge 1600\end{aligned}\]따라서 표본의 크기 \(n\)은 최소 \(1600\) 이상이어야 한다.

[4-1 모범답안] 초점을 공유하므로 \(a^2 - b^2 = c^2 = \alpha^2 + \beta^2\), 즉 \(a^2 - \alpha^2 = b^2 + \beta^2\)이다. 두 식 \(\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1\)과 \(\dfrac{x_0^2}{\alpha^2} - \dfrac{y_0^2}{\beta^2} = 1\)을 연립하여 풀면 다음과 같다.\[\begin{aligned}x_0^2 \left(\frac{\beta^2}{a^2} + \frac{b^2}{\alpha^2}\right) = b^2 + \beta^2 = a^2 - \alpha^2 \implies x_0^2 = \frac{a^2 \alpha^2 (b^2 + \beta^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2 \beta^2}, \quad y_0^2 = \frac{b^2 \beta^2 (a^2 - \alpha^2)}{a^2 b^2 + \alpha^2 \beta^2}\end{aligned}\][4-2 모범답안] 점 \(P(x_0, y_0)\)에서의 타원 접선 \(\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\)의 기울기 \(m_1 = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)과 쌍곡선 접선 \(\dfrac{x_0 x}{\alpha^2} - \dfrac{y_0 y}{\beta^2} = 1\)의 기울기 \(m_2 = \dfrac{\beta^2 x_0}{\alpha^2 y_0}\)의 곱을 계산한다.\[\begin{aligned}m_1 m_2 = -\frac{b^2 \beta^2 x_0^2}{a^2 \alpha^2 y_0^2} = -\frac{b^2 \beta^2}{a^2 \alpha^2} \cdot \frac{a^2 \alpha^2 (b^2 + \beta^2)}{b^2 \beta^2 (a^2 - \alpha^2)} = -\frac{b^2 + \beta^2}{a^2 - \alpha^2} = -1\end{aligned}\]따라서 공초점 타원과 쌍곡선은 교점에서 항상 수직으로 만난다.