연세대학교 2027 수리논술 Before & After 10대 감점 클리닉

\(x \to 1\)일 때 \(x \neq 1\)이므로 \(x - 1 \neq 0\)이다.
따라서 양변을 \(x - 1\)로 나눌 수 있으며,
\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\) 이다.

함수 \(f(x)\)는 다항함수이므로 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속이다.
이때 \(f(0)f(1) = (-1) \times 3 < 0\) 이므로,
사잇값 정리에 의해 \(f(c) = 0\)을 만족하는 실근 \(c\)가 열린구간 \((0, 1)\)에 적어도 하나 존재한다.

\(I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1} x \cdot \sin x \, dx\)
\(u = \sin^{n-1} x, v' = \sin x \implies u' = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x, v = -\cos x\)
\(I_n = \left[-\sin^{n-1} x \cos x\right]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx\)
이때 \(\left[-\sin^{n-1} x \cos x\right]_0^{\pi/2} = 0 - 0 = 0\) 이고,
\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 를 대입하여 정리하면 \(I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n)\),
따라서 \(n I_n = (n-1) I_{n-2} \iff I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}\) 이다.

\(f''(x) = 6x\) 에서 \(f''(0) = 0\) 이다.
이때 \(x < 0\)에서 \(f''(x) < 0\) (위로 볼록), \(x > 0\)에서 \(f''(x) > 0\) (아래로 볼록)으로
\(x = 0\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 음에서 양으로 변하므로,
점 \((0, f(0))\)은 곡선의 변곡점이다.

사건 \(B\)는 서로 배반인 두 사건 \((B \cap A)\)와 \((B \cap A^c)\)의 합사건으로 분할된다.
\(P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A^c) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10}\)
따라서 구하는 조건부확률은 \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/10}{5/10} = \frac{3}{5}\) 이다.