곡선 $y = x^3 - x$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선을 $l$이라 하자.

음함수 표현 $x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45$에 대하여 $x = a$에서 $\frac{dy}{dx} = -1$이다. (단, $x > 0$이고 $y > 0$이다.)

양의 실수 $a$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다.
$$g(x) = x + a\int_0^x e^{-t^2}dt$$

좌표평면에서 곡선 $y = \sqrt{x}$ 위의 점 $P_n(a_n^2, a_n)$과 $x$축 위의 점 $Q_n(b_n, 0)$을 다음과 같이 정의한다.
(i) 점 $P_1$의 좌표는 $(1, 1)$이다. (즉, $a_1 = 1$이다.)
(ii) $P_n(a_n^2, a_n)$을 지나고 기울기 $-1$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $Q_n(b_n, 0)$이라 한다.
(iii) $Q_n(b_n, 0)$을 지나고 기울기 $1$인 직선이 곡선 $y = \sqrt{x}$와 만나는 점을 $P_{n+1}(a_{n+1}^2, a_{n+1})$이라 한다.

실수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}(a\sin x + b\cos x)$가 다음을 만족시킨다.
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}$$

좌표평면에서 점 $P(t, 0)$을 지나는 직선 중 곡선 $y = e^{|x|}$과 한 점에서 만나는 직선이 세 개 있다. 세 직선이 곡선 $y = e^{|x|}$과 만나는 점을 각각 $A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2)$라 하고 삼각형 $ABC$의 넓이를 $S(t)$라 하자.

• 1학년 학생 1명, 2학년 학생 2명, 3학년 학생 2명, 4학년 학생 3명이 8개의 자리가 있는 원탁에 둘러앉는다.
• 2학년 학생끼리는 서로 이웃하지 않는다.
• 두 2학년 학생은 같은 학생과 서로 이웃하지 않는다.
• 1학년 학생은 3학년 학생과 서로 이웃하지 않는다.
• 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.

• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 하면 다음 식이 성립한다. $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$ • 함수 $f(x)$와 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 정의되어 있고 $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재하며 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이라고 한다. 한편, 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이 아닐 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 불연속이라고 한다.

• 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)dx \quad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$$ • 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이고 극솟값은 $f(a)$이다.
• 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a) = \alpha, \; g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_\alpha^\beta f(t)dt$$ • 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다. $$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$

• 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$의 크기와 방향이 같을 때, 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$는 서로 같다고 하고 기호로 $\vec{u} = \vec{v}$와 같이 나타낸다.
• 두 벡터 $\vec{p}, \vec{q}$에 대하여 $\vec{p} = \vec{\mathrm{OP}}, \; \vec{q} = \vec{\mathrm{OQ}}$라고 하면 $\vec{p} - \vec{q} = \vec{\mathrm{OP}} - \vec{\mathrm{OQ}} = \vec{\mathrm{QP}}$이다.
• 중심이 $\mathrm{C}(a, b, c)$이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$이다.

다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.
• 주머니에 빨간색 공 $4$개, 파란색 공 $3$개, 초록색 공 $3$개가 들어 있다.
• 서로 다른 $2$개의 주사위를 동시에 던져 나온 눈의 수의 합이 $4$ 이하이면, 주머니에서 임의로 공 $2$개를 동시에 꺼낸다. 만일 눈의 수의 합이 $5$ 이상이면, 주머니에서 임의로 공 $1$개를 꺼낸다.
• 꺼낸 공 중에서 빨간색 공의 개수를 점수로 얻는다.
• 꺼낸 공을 모두 주머니에 다시 넣는다.

• 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하면 일반항과 수열의 합의 관계는 다음과 같다.
$$a_1 = S_1, \quad a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2)$$ • 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다.
$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

• 점 $(x_1, y_1)$과 직선 $ax + by + c = 0$ 사이의 거리는 다음과 같다.
$$\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ • 모든 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 다음 식이 성립한다.
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \quad \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ • 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a) = \alpha, g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$$

• 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{O}$, 점 $\mathrm{O}$를 지나지 않는 $\alpha$ 위의 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{H}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha, \overline{\mathrm{OH}} \perp l$이면 $\overline{\mathrm{PH}} \perp l$이다.
• 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \frac{b}{a}x, y = -\frac{b}{a}x$이다.
• 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

• $a > 0, a \ne 1, N > 0$일 때, $a^x = N \iff x = \log_a N$이다. 그리고 $\log_a N^k = k\log_a N$이다. (단, $k$는 실수)
• $a > 0, a \ne 1, b > 0, c > 0, c \ne 1$일 때, $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$이다.
• 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x \quad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$$ • $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \quad (\text{단, } \tan\alpha\tan\beta \ne -1)$

• 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x = a, x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_a^b |f(x)|\,dx$이다.
• 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a) = \alpha, g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$$ • 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$이다.
• $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \quad (\text{단, } \tan\alpha\tan\beta \ne 1)$

• 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$이다.
• 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$이다.
• 평면 위의 한 점 $\mathrm{F}$와 이 점을 지나지 않는 직선 $l$이 주어질 때, 점 $\mathrm{F}$와 직선 $l$에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.
• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$이고 $\alpha\beta = \frac{c}{a}$이다.

세 사람 $\mathrm{A, B, C}$의 이름이 각각 적힌 서로 다른 $3$장의 이름표가 들어 있는 상자가 있다. 다음과 같은 규칙의 게임을 고려하자.
• $1$라운드: $\mathrm{A, B, C}$가 상자에서 임의로 각각 한 장씩 이름표를 뽑은 다음, 자신의 이름표를 뽑은 사람을 제외하고 다른 사람의 이름표를 뽑은 사람만 이름표를 상자에 다시 넣는다.
• $n$라운드 ($n \ge 2$): 아직 자신의 이름표를 뽑지 못한 사람만 $(n-1)$라운드 직후의 상자에서 임의로 각각 한 장씩 이름표를 뽑는다. 이때 자신의 이름표를 뽑은 사람을 제외하고 다른 사람의 이름표를 뽑은 사람만 이름표를 상자에 다시 넣는다.
• 각 라운드 직후 상자에 남은 이름표가 없으면 게임은 종료된다.

• 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$이다.
• 미분가능한 두 함수 $y = f(u), u = g(x)$에 대하여 합성함수 $y = f(g(x))$의 도함수는 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$이다.
• 함수 $f(x)$가 임의의 세 실수 $a, b, c$를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$$ • 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a) = \alpha, g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$$

• 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(\alpha, f(\alpha))$에서 접하는 접선의 방정식은 $y - f(\alpha) = f'(\alpha)(x - \alpha)$이다.
• 미분가능한 두 함수 $y = f(u), u = g(x)$에 대하여 합성함수 $y = f(g(x))$의 도함수는 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$이다.
• 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a) = \alpha, g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$$

아래와 같이 번호가 부여된 $8$개의 의자가 있다. $1$번부터 $7$번까지의 서로 다른 등번호를 부여받은 $7$명의 사람들을 $7$개의 의자에 앉히려고 한다.
단, 자리를 배치할 때, 다음의 조건을 모두 만족하여야 한다.
• 한 의자에 $2$명 이상 앉을 수 없다.
• 모든 사람은 본인의 등번호보다 큰 번호의 의자에 앉을 수 없다.
• 등번호가 $5$번인 사람은 $4$번, $5$번 의자 중 하나에 앉아야 한다.
• 등번호가 $6$번인 사람은 $4$번, $5$번, $6$번 의자 중 하나에 앉아야 한다.
• 등번호가 $7$번인 사람은 $6$번, $7$번 의자 중 하나에 앉아야 한다.

• 미분가능한 두 함수 $y = f(u), u = g(x)$에 대하여 합성함수 $y = f(g(x))$의 도함수는 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$이다.
• 두 점 $\mathrm{A}(a_1, a_2), \mathrm{B}(b_1, b_2)$에 대하여 벡터 $\vec{\mathrm{AB}}$는 $(b_1 - a_1, b_2 - a_2)$로 주어진다.
• 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하고 $x = a$에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$이다. 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고, $x = a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이다.

• 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 이 닫힌구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
• 닫힌구간 $[a, b]$에서 두 함수 $f(x), g(x)$의 도함수가 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$$ • 미분가능한 함수 $g(t)$에 대하여 $x = g(t)$로 놓으면 $\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\,dt$이다.