함수 \(f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 그래프 위의 점 \((a, b)\)와 직선 \(y = 1\) 사이의 거리가 \(2\)일 때, \(a+b\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(b\)의 값을 구하시오.
(2) \(a+b\)의 값을 구하시오.

다음 조건을 모두 만족시키는 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(가) \(\cos B = \cos C\)
(나) \(\sin A : \sin B = 4 : 3\)
(다) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 외접원 지름의 길이는 \(9\)이다.

(1) \(\cos B\)의 값을 구하시오.
(2) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 구하시오.

모든 항이 서로 다른 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 수열 \(\{b_n\}\)을 \(b_n = a_{2n+1}\)이라 하자. 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하고, 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(T_n\)이라 할 때, \(S_{10} = 6T_5\)를 만족시킨다. \(\frac{b_3}{a_3}\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\)이라 할 때, \(T_5\)의 값을 \(a\)와 \(r\)에 대한 식으로 나타내시오.
(2) \(\frac{b_3}{a_3}\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+ax+b}{x-1} & (x \ne 1) \\ 4 & (x = 1) \end{cases}\) 가 \(x=1\)에서 연속일 때, \(a-3b\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

(1) \(a\)의 값을 구하시오.
(2) \(a-3b\)의 값을 구하시오.

좌표평면 위의 두 점 \(A(a, 2a+1)\), \(B(a+1, 2a+2)\)에 대하여 선분 \(OA\)의 길이를 \(f(a)\), 선분 \(AB\)의 길이를 \(g(a)\)라 하자. \(\lim_{a \to -1} \frac{f(a)-g(a)}{a+1}\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

(1) \(f(a) \times g(a)\)를 구하시오.
(2) \(\lim_{a \to -1} \frac{f(a)-g(a)}{a+1}\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 함수 \(f(x)\)의 평균변화율은 \(5\)이다.
(나) \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x^2-1} = f(1)\)

\(f(3)-f'(3)\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(f(x)\)를 구하시오.
(2) \(f(3)-f'(3)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2\)에 대하여 점 \((0, -8)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그은 접선을 \(y = g(x)\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)의 두 교점을 모두 구하시오.
(2) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

함수 \(f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (2x^2 - 10x + a)\)의 최댓값이 \(-1\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a > \frac{25}{2}\)이다.)

(1) 함수 \(f(x)\)가 최댓값을 갖는 \(x\)의 값을 구하시오.
(2) \(a\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \sin^2 x + \cos x - 1\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \(M-m\) 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 최댓값 \(M\)을 구하시오.
(2) \(M-m\)을 구하시오.

공비 \(r\)이 양수이고, 모든 항이 실수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_2 a_4 = 100\), \(a_6 = 80\)일 때, \(a_{10}\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(r\)의 값을 구하시오.
(2) \(a_{10}\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c\)가 \(x = 1\)에서 극솟값을 가지고, \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -8\)을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)

(1) \(b\)의 값을 구하시오.
(2) 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-9}{x-3} & (x \ne 3) \\ k & (x = 3) \end{cases}\)가 \(x = 3\)에서 연속일 때, \(f(k)\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

(1) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 3\)에서 연속이 되기 위한 \(k\)의 값을 구하시오.
(2) \(f(k)\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} (t-1)f(t)dt = ax^4 + 2bx^2 + 1\)을 만족시킬 때, 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이고, \(a \ne 0\)이다.)

(1) \(a\), \(b\)의 값을 각각 구하시오.
(2) 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 구하시오.

곡선 \(y = x^2\)과 점 \((0, -2)\)에서이 곡선에 그은 두 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 접점의 좌표를 모두 구하시오.
(2) 곡선 \(y = x^2\)과 두 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. 함수 \(g(x)=\{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\}\)가 \(x=0\)에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(\lim_{x\to 0^-} g(x)\)의 값을 구하시오.
(2) \(\lim_{x\to 0^+} g(x)\)의 값을 구하시오.
(3) \(\lim_{x\to 0^-} g(x) = \lim_{x\to 0^+} g(x) = g(0)\)을 이용하여 실수 \(a\)의 값을 구하시오.

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n + 5\)를 만족시킨다. \(\sum_{n=1}^{15} a_n = 600\)일 때, \(a_{20}\)의 값을 구하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)을 구하시오.
(2) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
(3) \(a_{20}\)의 값을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t (t \ge 0)\)에서의 위치를 각각 \(x_p, x_q\)라 하면 \(x_p(t) = t^3 - 2t^2\), \(x_q(t) = t - 2\)이다. 특정 순간의 점 \(P\)의 가속도를 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) 두 점 \(P, Q\)가 만나는 순간의 시각 \(t\)의 값을 구하시오.
(2) 두 점 \(P, Q\)가 만나는 순간 서로 반대 방향으로 움직이고 있는 시각 \(t\)의 값을 구하시오.
(3) (2)에서 구한 시각 \(t\)에서의 점 \(P\)의 가속도를 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = x^2 + x\int_0^3 f(t)dt + \int_{-1}^1 f(t)dt\)를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(\int_{-1}^1 f(t)dt\) 값을 구하시오.
(2) \(\int_0^3 f(t)dt\) 값을 구하시오.
(3) \(f(1)\)의 값을 구하시오.

공비가 \(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(\frac{S_{10}-S_8}{S_7-S_5} = 3\), \((S_2-S_1)^3 = 192\)일 때, \(a_2 \times a_6\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a_1 \ne 0, r \ne 0, r^2 \ne 1\)이다.)

(1) \(r^3\)의 값을 구하시오.
(2) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)을 구하시오.
(3) \(a_2 \times a_6\)의 값을 구하시오.

\(\sin(\pi-\theta)\cos(\pi+\theta) = -\frac{1}{2}\)이고, \(\cos(\frac{\pi}{2}+\theta) < 0\)일 때, \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(\sin\theta + \cos\theta\)의 값을 구하시오.
(2) \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 4^{x-3} + a\)의 역함수가 \(g(x) = \log_4(x-5) + b\)일 때, \(f(3) + g(9)\)를 계산하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

(1) \(a+b\)의 값을 구하시오.
(2) \(f(3) + g(9)\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{4x^2-1} = 1, \lim_{x\to \frac{1}{2}} \frac{f(x)}{4x^2-1} = 2\) 를 만족시킬 때, \(f(\frac{3}{2})\)의 값을 계산하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) 다항함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수를 구하시오.
(2) \(f(\frac{1}{2})\)의 값을 구하시오.
(3) \(f(\frac{3}{2})\)의 값을 구하시오.

등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_{n+2} - S_n = 56 - 8n\)이 성립할 때, \(S_6\)의 값을 계산하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)를 구하시오.
(2) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)을 구하시오.
(3) \(S_6\)을 구하시오.

곡선 \(y = x^3 - 2x^2 + x + 2\) 위의 점 \(A(1, 2)\)에서의 접선이 이 곡선과 만나는 점 중 \(A\)가 아닌 점을 \(B\)라 하자. 이 곡선 위의 점 \(B\)에서의 접선과 \(x\)축이 만나는 점을 \(C\)라 할 때, 사각형 \(OABC\)의 넓이를 계산하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

(1) 점 \(B\)의 좌표를 구하시오.
(2) 점 \(C\)의 좌표를 구하시오.
(3) 사각형 \(OABC\)의 넓이를 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{-2x}^x f(t)dt - \int_{-2x}^x tf(t)dt = x^3 + (\frac{a}{2}+2)x^2 - 2a\)를 만족시킬 때, \(f(a)\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

(1) \(a\)의 값을 구하시오.
(2) \(f(x)\)를 구하시오.
(3) \(f(a)\)의 값을 구하시오.

공비가 \(1\)보다 큰 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_3}{a_2} + \frac{a_3}{a_4} + \frac{a_5}{a_4} + \frac{a_5}{a_6} + \frac{a_7}{a_6} = 10\)이고 \(a_4 = 6\)일 때, \(S_n > 312\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술 하시오.

(1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비를 \(r (r > 1)\)이라 할 때, \(r\)의 값을 구하시오.
(2) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)을 구하시오.
(3) \(S_n > 312\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.

함수 \(f(x) = a\sin b(x+\pi) + c\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 세 자연수 \(a, b, c\)에 대하여 \(a+b+c\)의 최솟값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(가) 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값은 각각 \(15, -3\)이다.
(나) \(f(\frac{\pi}{6}) = 6\)

(1) \(a \times c\)의 값을 구하시오.
(2) \(a+b+c\)의 최솟값을 구하시오.

기울기가 \(-\frac{1}{2}\)인 직선이 두 함수 \(f(x) = \log_2 x, g(x) = \log_2(x-4)-2\)의 그래프와 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하자. 선분 \(AB\)의 중점의 좌표가 \((6, a)\)일 때, 두 점 \(A, B\)를 지나는 직선의 방정식을 구하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 점 \(A\)와 점 \(B\)의 좌표를 각각 구하시오.
(2) 점 \(A\)와 점 \(B\)를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.