갑과 을 두 사람이 아래와 같은 규칙으로 카드 뽑기 게임을 시행한다.
(가) 갑은 \(1\)부터 \(n\)까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 \(n\)장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다. (단, \(n \ge 11\)인 자연수이다.)
(나) 을은 \(1\)부터 \(11\)까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 \(11\)장의 카드에서 특정 수 \(k\) (\(1 \le k \le 11\))가 적힌 카드 \(1\)장을 제거하고, 나머지 \(10\)장의 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다.
(다) 두 사람이 꺼낸 카드에 적힌 수를 비교하여 더 큰 수를 꺼낸 사람이 최종 승자가 된다.
(라) 만약 두 카드에 적힌 수가 동일하면 무승부가 되고, 두 사람이 꺼낸 카드를 원래 주머니에 다시 넣고 승부가 날 때까지 동일한 규칙으로 게임을 반복한다.

(가) 좌표평면에서 음함수 표현 \(f(x, y) = 0\)이 주어졌을 때, \(y\)를 \(x\)에 대한 미분가능한 함수로 보고 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 도함수 \(\frac{dy}{dx}\)를 구한다.
(나) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 미분가능한 함수 \(x = g(t)\)의 도함수 \(g'(t)\)가 연속이고 \(a = g(\alpha), b = g(\beta)\)이면 \(\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt\)가 성립한다.
(다) 좌표평면 위의 두 점 \(A(-1, 0)\), \(B(1, 0)\)에 대하여 점 \(P(x, y)\)가 조건 \(\overline{PA} \times \overline{PB} = 1\)을 만족시킨다. (단, \(x > 0, y > 0\)이다.)

(가) 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)에 대하여 최댓값과 최솟값은 극값 또는 구간의 양 끝점에서의 함숫값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값이다.
(나) 로그함수 \(y = \log_a x\)는 밑 \(a > 1\)일 때 증가함수이고, 삼각함수 \(y = \sin x\)는 주기 \(2\pi\)를 갖는 유계함수이다.
(다) 절댓값을 포함하는 함수의 방정식 \(f(x) = M\)의 실근의 개수는 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = M\)의 교점의 개수와 같다.

(가) 곡선 \(y = f(x)\) 밖의 점 \((t, 0)\)에서 곡선에 그은 접선의 접점을 \((x, f(x))\)라 하면 평균변화율과 미분계수의 관계식 \(\frac{f(x) - 0}{x - t} = f'(x)\)가 성립한다.
(나) 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 미분가능할 때, 부분적분법 공식 \(\int_a^b f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)dx\)가 성립한다.
(다) 절댓값 함수 \(f(x) = |x-1|^p + |x+1|^p\) (\(p > 0\))의 최솟값은 함수의 대칭성과 도함수의 부호 판정에 의해 결정된다.

(가) 초점이 \(F(p, 0)\), 준선이 \(x = -p\)인 포물선 \(y^2 = 4px\) 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(y_1 y = 2p(x + x_1)\)이다.
(나) 포물선의 정의에 의해 초점 \(F\)와 포물선 위의 점 \(P\) 사이의 거리는 점 \(P\)에서 준선까지의 거리와 같다. 즉, \(\overline{FP} = x_1 + p\)이다.
(다) 공간에서 두 직선이 꼬인 위치에 있을 때, 한 직선을 평행이동하여 다른 직선과 만나도록 하여 이루는 예각의 크기를 두 직선이 이루는 각의 크기라 한다.

(가) 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)이다.
(나) 삼차곡선과 그 접선이 만나는 다른 한 점의 \(x\)좌표는 삼차방정식의 인수분해 및 근과 계수의 관계를 통하여 결정된다.
(다) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 정적분 \(\int_a^b |f(x) - g(x)|dx\)로 계산된다.

(가) 방정식 \(F(x, y) = 0\)에서 \(y\)를 \(x\)의 함수로 볼 때, 합성함수 미분법을 적용하여 \(\frac{dy}{dx}\)를 구하는 방법을 음함수의 미분법이라 한다.
(나) 도함수 \(\frac{dy}{dx}\)가 특정한 상수 기울기 \(m\)을 만족하는 점은 주어진 음함수 방정식과 미분 관계식을 연립하여 찾을 수 있다.
(다) 음함수 \(x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45\)가 정의된 제1사분면(\(x > 0, y > 0\))에서의 동점을 고려한다.

(가) 정적분으로 정의된 함수 \(g(x) = x + a\int_0^x e^{-t^2}dt\)에 대하여 미적분학의 기본정리에 의해 \(g'(x) = 1 + a e^{-x^2}\)이다.
(나) 열린구간에서 \(g'(x) > 0\)이면 함수 \(g(x)\)는 그 구간에서 엄격히 증가하며, 일대일대응이므로 역함수 \(g^{-1}(x)\)가 존재한다.
(다) 역함수의 정적분은 치환적분법에 의해 \(\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} g^{-1}(x)dx = \int_\alpha^\beta u g'(u)du\)로 변환하여 계산할 수 있다.

좌표평면에서 곡선 \(y = \sqrt{x}\) 위의 점 \(P_n(a_n^2, a_n)\)과 \(x\)축 위의 점 \(Q_n(b_n, 0)\)을 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.
(가) 점 \(P_1\)의 좌표는 \((1, 1)\)이다. 즉, \(a_1 = 1\)이다.
(나) 점 \(P_n(a_n^2, a_n)\)을 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(Q_n(b_n, 0)\)이라 한다.
(다) 점 \(Q_n(b_n, 0)\)을 지나고 기울기가 \(1\)인 직선이 곡선 \(y = \sqrt{x}\)와 제1사분면에서 만나는 점을 \(P_{n+1}(a_{n+1}^2, a_{n+1})\)이라 한다.

(가) 두 함수 \(u(x), v(x)\)의 곱으로 이루어진 함수 \(f(x) = u(x)v(x)\)의 도함수는 곱의 미분법 \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)를 적용한다.
(나) 삼각함수의 합성 공식에 의해 임의의 실수 \(A, B\)에 대하여 \(A\sin x + B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}\sin(x + \alpha)\) (단, \(\cos\alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\))로 나타낼 수 있다.
(다) 실수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}(a\sin x + b\cos x)\)가 \(f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}\)를 만족시킨다.

좌표평면에서 점 \(P(t, 0)\) (\(2 \le t \le 3\))을 지나는 직선 중 곡선 \(y = e^{|x|}\)과 오직 한 점에서만 만나는 서로 다른 세 직선이 있다.
(가) \(x < 0\)인 구간에서의 접선 접점을 \(A(a_1, a_2)\)라 한다.
(나) \(x > 0\)인 구간에서의 접선 접점을 \(B(b_1, b_2)\)라 한다.
(다) 점 \((0, 1)\)을 지나며 점 \(P\)를 통과하는 직선과 곡선의 교점을 \(C(c_1, c_2)\)라 한다.
(단, \(a_1 \lt b_1 \lt c_1\)이다.) 세 점 \(A, B, C\)가 이루는 삼각형의 넓이를 \(S(t)\)라 하자.

(가) 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}\)이다.
(나) 두 직선이 이루는 예각의 크기 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\)가 성립한다.
(다) 반지름의 길이가 \(1\)인 단위원 위의 세 점 \(A, B, C\)에 대하여 위치벡터를 분해하면 \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = (\vec{OB}-\vec{OA})\cdot(\vec{OC}-\vec{OA})\)이다.

8개의 자리가 일정 간격으로 놓여 있는 원탁에 1학년 학생 1명, 2학년 학생 2명, 3학년 학생 2명, 4학년 학생 3명이 둘러앉는다.
(가) 2학년 학생끼리는 서로 이웃하지 않는다.
(나) 두 2학년 학생은 같은 학생과 동시에 서로 이웃하지 않는다. (즉, 두 2학년 학생 사이에 최소 2명 이상의 학생이 앉는다.)
(다) 1학년 학생은 3학년 학생과 서로 이웃하지 않는다.
(라) 원탁을 회전하여 일치하는 배치는 모두 같은 것으로 본다.

(가) 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 근과 계수의 관계 \(\alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}\)가 성립한다.
(나) 모든 실수 \(x\)에서 미분가능한 함수는 모든 실수에서 연속이며, 좌우 미분계수가 서로 같다.
(다) 닫힌구간 \([-\pi, \pi]\)에서 방정식 \(f(x) = k\)의 실근의 개수를 나타내는 함수 \(g(k)\)의 불연속점은 극값 및 경곗값에서 발생한다.

(가) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음이 성립한다.
    \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)dx\) (단, \(\Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a + k\Delta x\))
(나) 미분가능한 함수 \(f(x)\)에서 \(f'(a)=0\)이고 \(x=a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극소이고 극솟값은 \(f(a)\)이다.
(다) 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고, \(g(a)=\alpha, g(b)=\beta\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
    \(\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_\alpha^\beta f(t)dt\)
(라) 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다.
    \(\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx\)

(가) 두 벡터 \(\vec{u}, \vec{v}\)의 크기와 방향이 같을 때, 두 벡터 \(\vec{u}, \vec{v}\)는 서로 같다고 하고 기호로 \(\vec{u}=\vec{v}\)와 같이 나타낸다.
(나) 두 벡터 \(\vec{p}, \vec{q}\)에 대하여 \(\vec{p}=\vec{OP}, \vec{q}=\vec{OQ}\)라고 하면 \(\vec{p}-\vec{q} = \vec{OP}-\vec{OQ} = \vec{QP}\)이다.
(다) 중심이 \(C(a, b, c)\)이고 반지름의 길이가 \(r\)인 구의 방정식은 \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2\)이다.

(가) 남학생 2명과 여학생 2명이 두 번의 테스트로 구성된 프로그램에 참여한다.
(나) 각 테스트가 시작할 때, 남학생 1명과 여학생 1명을 임의로 짝지어 두 개의 팀을 구성하여 테스트에 각각 참여한다.
(다) 팀은 테스트마다 다시 구성한다.
(라) 어떤 두 학생이 처음 팀이 되었을 때, 그 팀이 테스트를 통과할 확률은 \(\frac{1}{2}\)이다.
(마) 어떤 두 학생이 두 번 연속으로 같은 팀이 되었을 때, 첫 번째 테스트를 통과했다면 두 번째 테스트를 통과할 확률은 \(\frac{3}{4}\)이다. 그러나 첫 번째 테스트를 통과하지 못했다면 두 번째 테스트를 통과할 확률은 \(\frac{1}{4}\)이다.
(바) 두 번의 테스트 동안 어떤 학생이 속한 팀이 한 번 이상 테스트를 통과하면 그 학생은 프로그램에 합격한 것으로 한다.

(가) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 미분가능한 함수 \(x=g(t)\)의 도함수 \(g'(t)\)가 \(a=g(\alpha), b=g(\beta)\)일 때 \(\alpha, \beta\)를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
    \(\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt\)
(나) 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
    \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)
(다) 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 미분가능하고, \(f'(x), g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
    \(\int_a^b f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)dx\)

(가) 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고, \(g(a)=\alpha, g(b)=\beta\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
    \(\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_\alpha^\beta f(t)dt\)
(나) 미분가능한 함수 \(f(x)\)에서 \(f'(a)=0\)이고 \(x=a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대이고 극댓값은 \(f(a)\)이다.

(가) 쌍곡선 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.
(나) 직선 \(l\)을 공유하는 두 반평면 \(\alpha, \beta\)로 이루어진 도형을 이면각이라고 한다. 직선 \(l\) 위의 한 점 \(O\)를 지나고 \(l\)에 수직인 두 반직선 \(OA, OB\)를 각각 반평면 \(\alpha, \beta\) 위에 그을 때, \(\angle AOB\)의 크기는 점 \(O\)의 위치에 관계없이 일정하며, 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

• 밑면의 반지름의 길이가 5이고 높이가 10인 원뿔이 있다.
• 주머니 A에는 1, 2, 3의 숫자가 하나씩 적혀 있는 3개의 공이 들어 있고, 주머니 B에는 1, 2의 숫자가 하나씩 적혀 있는 2개의 공이 들어 있다.
• 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 3의 배수이면 주머니 A에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내고, 주머니 B에서 임의로 1개의 공을 꺼낸다. 3의 배수가 아니면 주머니 A에서 임의로 1개의 공을 꺼내고, 주머니 B에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낸다.
• 주머니 A와 B에서 꺼낸 공에 적힌 숫자들의 합을 \(k\)라 하자. 이때 반지름의 길이가 \(k-3\)이고 원뿔에 내접하는 원기둥의 부피를 점수로 한다.
• 오른쪽 그림은 원뿔에 내접하고, 밑면의 반지름의 길이가 \(r\)이고 높이가 \(h\)인 원기둥을 나타낸 것이다.

• \(a > 0, a \neq 1, N > 0\)일 때, \(a^x = N \iff x = \log_a N\)이다. 그리고 \(\log_a N^k = k\log_a N\)이다. (단, \(k\)는 실수)
• \(a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0, c \neq 1\)일 때, \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)이다.
• 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다.
• \(\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)    (단, \(\tan\alpha\tan\beta \neq -1\))

• 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_a^b |f(x)|dx\)이다.
• 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고, \(g(a)=\alpha, g(b)=\beta\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
• 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)이다.
• \(\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)    (단, \(\tan\alpha\tan\beta \neq 1\))

• 삼각형 \(\text{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)라 하면 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)이다.
• 삼각형 \(\text{ABC}\)에서 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)이다.
• 평면 위의 한 점 \(\text{F}\)와 이 점을 지나지 않는 직선 \(l\)이 주어질 때, 점 \(\text{F}\)와 직선 \(l\)에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.
• 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 하면 \(\alpha+\beta = -\frac{b}{a}\)이고 \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)이다.

좌표평면의 원점 \(\text{O}\)에 있는 점 \(\text{A}\)는 다음과 같은 규칙에 따라 이동한다.
• 주머니에 숫자 2가 적힌 공 1개와 숫자 3이 적힌 공 1개가 들어 있다.
• 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼낸 후 그 공에 적힌 숫자를 \(m\)이라 하자. 점 \(\text{A}\)는 \(\frac{1}{m}\)의 확률로 원점 \(\text{O}\)와 점 \(\text{P}(12, 0)\)을 이은 선분 \(\text{OP}\)를 \(m:1\)로 내분하는 점으로 이동하거나, \(1-\frac{1}{m}\)의 확률로 선분 \(\text{OP}\)를 \(1:m\)으로 외분하는 점으로 이동한다. 이때 이동한 점을 \(\text{A}_1(x_1, 0)\)이라 하고, 꺼낸 공은 다시 집어넣지 않는다.
• 주머니에 남아 있는 공에 적힌 숫자를 \(n\)이라 하자. 점 \(\text{A}_1\)은 \(\frac{2}{n}\)의 확률로 점 \(\text{A}_1\)과 점 \(\text{Q}(x_1, 8)\)을 이은 선분 \(\text{A}_1\text{Q}\)를 \(1:n\)으로 내분하는 점으로 이동하거나, \(1-\frac{2}{n}\)의 확률로 선분 \(\text{A}_1\text{Q}\)를 \(n:1\)로 외분하는 점으로 이동한다. 이때 이동한 점을 \(\text{A}_2(x_1, y_1)\)이라 한다.

• 함수 \(f(t)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다.
• 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하고 \(x=a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)이다.
• 함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 구간에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(f'(x)>0\)이면 \(f(x)\)는 그 구간에서 증가하고, \(f'(x)<0\)이면 \(f(x)\)는 그 구간에서 감소한다.
• 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\text{P}(x, y)\)의 시각 \(t\)에서의 위치가 함수 \(x=f(t), y=g(t)\)로 나타내어질 때, \(t=a\)에서 \(t=b\)까지 점 \(\text{P}\)가 움직인 거리는 \(s = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}dt\)이다.
• 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고, \(g(a)=\alpha, g(b)=\beta\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.

• 좌표평면에서 두 점 \(\text{A}(x_1, y_1), \text{B}(x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)이다.
• 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이면 함수 \(f(x)\)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
• 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하고 \(x=a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)이다.

• 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}\)이다.
• 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 하면 \(\alpha+\beta = -\frac{b}{a}\)이고 \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)이다.
• 평면 \(\beta\) 위에 있는 도형의 넓이를 \(S\), 이 도형의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S'\)이라 할 때, 두 평면 \(\alpha, \beta\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta (0^\circ \le \theta \le 90^\circ)\)라 하면 \(S' = S\cos\theta\)이다.

• 세 사람 A, B, C의 이름이 각각 적힌 서로 다른 3장의 이름표가 들어 있는 상자가 있다.
• 다음과 같은 규칙의 게임을 고려하자.
    (가) 첫 번째 게임에서는 세 사람이 상자에서 각각 한 장씩 임의로 이름표를 꺼낸 후, 자신의 이름표를 뽑은 사람은 그 이름표를 상자에 다시 넣지 않고 게임에서 제외된다. 자신의 이름표를 뽑지 않은 사람은 뽑은 이름표를 다시 상자에 넣는다.
    (나) 두 번째 게임부터는 이전 게임에서 제외되지 않은 사람들만 상자에 남아 있는 이름표를 각각 한 장씩 임의로 꺼낸다. 자신의 이름표를 뽑은 사람은 그 이름표를 상자에 다시 넣지 않고 게임에서 제외되고, 자신의 이름표를 뽑지 않은 사람은 뽑은 이름표를 다시 상자에 넣는다.
    (다) 상자에 이름표가 한 장만 남아 있으면 게임을 멈춘다.

• 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 \(\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\) (단, \(g(x) \neq 0\))이다.
• 함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에서 \(f'(x)=0\)일 때 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 극대이고, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다.

• 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((\alpha, f(\alpha))\)에서 접하는 접선의 방정식은 \(y-f(\alpha) = f'(\alpha)(x-\alpha)\)이다.
• 미분가능한 두 함수 \(y=f(u), u=g(x)\)에 대하여 합성함수 \(y=f(g(x))\)의 도함수는 \(\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)\)이다.
• 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)가 닫힌구간 \([a,b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고, \(g(a)=\alpha, g(b)=\beta\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 \(\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_\alpha^\beta f(t)dt\)이다.

• 좌표평면 위의 8개의 지점 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이 선분으로 연결되어 있다.
• 점 P는 지점 0에서 출발하여 한 번의 시행마다 인접한 지점으로 이동한다.
• 지점 0에서는 지점 1로만 이동하고, 지점 7에서는 지점 6으로만 이동한다.
• 각 지점 \(k\) (\(1 \le k \le 6\))에서는 인접한 두 지점 중 하나를 각각 \(\frac{1}{2}\)의 확률로 임의로 선택하여 이동한다.
• 한 번의 이동을 한 번의 시행이라 한다.

• 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y-f(t) = f'(t)(x-t)\)이다.
• 함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하고 미분가능할 때, \(g(f(x)) = x\)이면 \(g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}\) (단, \(f'(x) \neq 0\))이다.

• 미분가능한 함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(t)dt\) (단, \(t = g(x)\))이다.
• \(x\)의 함수 \(y\)가 음함수의 꼴 \(f(x, y)=0\)으로 주어질 때, \(f(x, y)=0\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 \(\frac{dy}{dx}\)를 구한다.

• 그림과 같이 원탁 둘레에 일정한 간격으로 놓여 있는 8개의 의자가 있다.
• 남학생 2명, 여학생 1명이 임의로 의자에 한 명씩 앉으려고 한다.
• 의자 사이의 거리는 인접한 두 의자 사이의 거리를 1이라 한다.
• 임의로 앉을 때 가능한 모든 자리 배치의 확률은 같다.

• 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = a, x = b\)로 둘러싸인 도형을 \(x\)축을 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 \(V\)는 다음과 같다.
\[V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 dx\] • 두 곡선 \(y = f(x), y = g(x)\) (\(f(x) \ge g(x) \ge 0\)) 및 두 직선 \(x = a, x = b\)로 둘러싸인 부분을 \(x\)축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 다음과 같다.
\[V = \pi \int_a^b \left[ \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 \right] dx\]

• 미분가능한 두 함수 \(y = f(u), u = g(x)\)에 대하여 합성함수 \(y = f(g(x))\)의 도함수는 \(\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)\)이다.
• 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 극값을 갖고 \(f'(a)\)가 존재하면 \(f'(a) = 0\)이다.
• 함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에서 \(f'(x)=0\)인 점의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다.

• 좌표평면에서 가로 방향으로 \(m\)개, 세로 방향으로 \(n\)개의 점이 일정한 간격 1로 배열된 격자점들의 집합이 있다.
• 이 격자점들 중 4개의 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 개수를 고려하자.
• 변이 좌표축에 평행한 정사각형뿐만 아니라 기울어진 정사각형도 포함한다.
• \(m = 4, n = 4\)인 격자점에서 임의로 4개의 점을 택할 때, 이 점들이 정사각형을 이룰 확률을 구하고자 한다.

• 타원의 방정식 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a > b > 0\))으로 둘러싸인 영역을 \(x\)축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi a b^2\)이다.
• 닫힌구간 \([a, b]\)에서 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형을 \(x\)축을 둘레로 회전시킨 입체도형의 부피는 \(V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 dx\)이다.

• 두 함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 부분적분법 공식은 \(\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx\)이다.
• 자연수 \(n\)에 대하여 정적분 \(I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x dx\)이라 하면, \(I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\) (\(n \ge 2\))가 성립한다.

• 곡선 \(y = 2^{x-1}+2\) 위의 점 \(\text{A}(a, 2^{a-1}+2)\) (\(a \in \{1, 2, 3, 4\}\))가 있다.
• 원 \((x-3)^2 + y^2 = 1\) 위의 점 \(\text{B}(b, \sqrt{1-(b-3)^2})\) (\(b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\))에 대하여 선분 \(\text{OA}\)와 \(\text{OB}\)의 길이를 고려한다.
• 원점 \(\text{O}\)에서 점 \(\text{A}\)까지의 거리의 제곱을 \(d_A^2\), 점 \(\text{B}\)까지의 거리의 제곱을 \(d_B^2\)이라 하자.

• 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 연속이고 극한값 \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)가 존재할 때, 이 극한값을 함수 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 미분계수라 하고 \(f'(a)\)로 나타낸다.
• 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이면 정적분 \(\int_a^b f(x)dx\)가 존재한다.

• 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.
• 점 \((x, y)\)의 자취가 매개변수 \(t\)로 나타내어질 때, 매개변수를 소거하여 자취의 방정식을 구할 수 있다.