한 번의 시행에서 무승부가 될 확률을 $p$, 갑이 이길 사건을 $A$, 을이 이길 사건을 $B$라 하자.
승부가 날 때까지 반복하므로 갑이 최종 승자가 될 확률은 $P(갑) = \frac{P(A)}{1-p}$, 을이 최종 승자가 될 확률은 $P(을) = \frac{P(B)}{1-p}$이다.
따라서 $P(갑) = P(을)$이 되기 위한 필요충분조건은 $P(A) = P(B)$이다.
(1) 비길 확률 $p$: 갑과 을이 같은 수를 뽑을 확률은 $k \le 11$인 $k$를 제외한 10장의 수가 일치할 때이므로 $p = \frac{10}{10n} = \frac{1}{n}$이다.
(2) 갑이 이길 사건 $A$: 을이 뽑은 수 $x$에 대해 갑이 더 큰 수를 뽑는 경우의 수는 $n - x$이다.
$$\sum_{x \in \{1,\dots,11\}\setminus\{k\}} (n - x) = 10n - \left(\sum_{x=1}^{11} x - k\right) = 10n - (66 - k) \implies P(A) = \frac{10n - 66 + k}{10n}$$ (3) 을이 이길 사건 $B$: 을이 뽑은 수 $x$에 대해 갑이 더 작은 수를 뽑는 경우의 수는 $x - 1$이다.
$$\sum_{x \in \{1,\dots,11\}\setminus\{k\}} (x - 1) = (66 - k) - 10 = 56 - k \implies P(B) = \frac{56 - k}{10n}$$ $P(A) = P(B)$에서 $10n - 66 + k = 56 - k \iff 10n + 2k = 122 \iff \mathbf{5n + k = 61}$
$n \ge 11$이고 $1 \le k \le 11$이므로,
• $n = 11 \implies k = 61 - 55 = 6$ ($1 \le 6 \le 11$ 만족)
• $n = 12 \implies k = 61 - 60 = 1$ ($1 \le 1 \le 11$ 만족)
• $n \ge 13 \implies k \le -4$ (모순)
따라서 구하는 순서쌍은 $(11, 6), (12, 1)$이다.

$\overline{PA}^2 \cdot \overline{PB}^2 = \{(x+1)^2 + y^2\}\{(x-1)^2 + y^2\} = 1$
전개하면 $(x^2+y^2+1)^2 - 4x^2 = 1 \iff (x^2+y^2)^2 + 2(x^2+y^2) - 4x^2 = 0 \iff (x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$이다.
(2-1) 양변을 $x$에 대해 음함수 미분하면
$$2(x^2+y^2)\left(2x + 2y\frac{dy}{dx}\right) = 2\left(2x - 2y\frac{dy}{dx}\right) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - x^2 - y^2)}{y(1 + x^2 + y^2)}$$ $\frac{dy}{dx} = 0$이 되기 위해서는 $x > 0$이므로 $x^2 + y^2 = 1$이어야 한다.
원래 관계식에 대입하면 $1^2 = 2(x^2 - y^2) \implies x^2 - y^2 = \frac{1}{2}$
두 식을 연립하면 $2x^2 = \frac{3}{2} \implies x^2 = \frac{3}{4}, y^2 = \frac{1}{4}$이다. $x>0, y>0$이므로 $a = \frac{\sqrt{3}}{2}, b = \frac{1}{2}$이다.
(2-2) $(x^2+y^2)^2 + 2y^2 = 2x^2$에서 $u = x^2$라 치환하면 $du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2}du$이다.
$y^2 = \sqrt{2u+\frac{1}{4}} - u - \frac{1}{2}$이고 $u$의 적분 구간은 $\frac{3}{4}$부터 $1$까지이므로
$$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 x y^2 dx = \frac{1}{2}\int_{\frac{3}{4}}^1 \left(\sqrt{2u+\frac{1}{4}} - u - \frac{1}{2}\right)du = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}-4}{24}}$$

(3-1) $t = \log_k x$라 치환하면 $k = 2^a > 1$이므로 $x$ 증가 시 $t$도 증가한다.
$\frac{1}{4} \le x \le 16 \implies -\frac{2}{a} \le t \le \frac{4}{a}$이다.
$g(t) = |(t+4)(t-8)| = |t^2 - 4t - 32| = |(t-2)^2 - 36|$
이차함수의 성질에 의해 $t = 2$에서 최솟값 $0$을 갖고 $t$가 $2$에서 멀어질수록 값이 증가한다.
구간 $[-\frac{2}{a}, \frac{4}{a}]$에서 최댓값은 끝점 $t = \frac{4}{a}$ 또는 $t = -\frac{2}{a}$에서 발생한다.
$g(4/a) \ge 29$에서 $\left(\frac{4}{a}-2\right)^2 - 36 \ge 29 \implies \left(\frac{4}{a}-2\right)^2 \ge 65 \implies \frac{4}{a} \ge 2+\sqrt{65}$ 또는 $a$의 최솟값 조건에 의해 $a = \frac{4}{9}$이다.
(3-2) $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$)라 하면 $g(t) = |4t^2 - 4t - a| = |4(t - \frac{1}{2})^2 - (a+1)|$이다.
$t \in [-1, 1]$에서 $4t^2 - 4t - a$의 범위는 $[-(a+1), 8-a]$이므로 최댓값은 $M = \max(a+1, |8-a|)$이다.
방정식 $f(x) = M$이 구간 $[0, 2\pi]$에서 서로 다른 세 실근을 가지려면:
$\sin x = 1$은 $x=\frac{\pi}{2}$ (1개), $\sin x = -1$은 $x=\frac{3\pi}{2}$ (1개), $-1 \lt t \lt 1$은 2개의 실근을 가진다.
따라서 3개의 실근을 가지려면 $t = \frac{1}{2}$ (2개 실근)에서 최댓값 $a+1$을 갖고, $t = -1$ (1개 실근)에서 최댓값 $8-a$를 동시에 가져야 한다.
즉, $a+1 = 8-a \implies 2a = 7 \implies \mathbf{a = \frac{7}{2}}$이다.
이때 세 실근은 $\sin x = \frac{1}{2}$에서 $x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{5\pi}{6}$, $\sin x = -1$에서 $x_3 = \frac{3\pi}{2}$이다.

(4-1) $y = e^{x^2}$의 도함수는 $y' = 2x e^{x^2}$이다.
접점 $(x, e^{x^2})$에서의 접선이 점 $(t, 0)$을 지나므로 $\frac{e^{x^2} - 0}{x - t} = 2x e^{x^2} \implies 2x^2 - 2tx - 1 = 0$
이차방정식의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 하면 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta = t, \alpha\beta = -\frac{1}{2}$이다.
두 접선의 기울기의 곱은 $m_1(t)m_2(t) = (2\alpha e^{\alpha^2})(2\beta e^{\beta^2}) = 4\alpha\beta e^{\alpha^2+\beta^2} = -2 e^{t^2+1}$이다.
따라서 정적분은 $\int_0^2 t^3 m_1(t)m_2(t)dt = -2e\int_0^2 t^3 e^{t^2}dt$
$s = t^2$ ($ds = 2t dt$)로 치환하면 $-e\int_0^4 s e^s ds = -e[s e^s - e^s]_0^4 = -e(3e^4 + 1) = \mathbf{-(3e^5 + e)}$이다.
(4-2) $f(x) = |x-1|^{\frac{n}{13}} + |x+1|^{\frac{n}{13}}$은 우함수이므로 $x \ge 0$에서 분석한다.
$0 \le x \le 1$에서 $f(x) = (1-x)^{\frac{n}{13}} + (x+1)^{\frac{n}{13}}$이다.
• $1 \le n \le 12$일 때: 도함수 $f'(x) \le 0$이므로 $x = 1$에서 최솟값 $a_n = 2^{\frac{n}{13}}$을 갖는다.
• $n \ge 13$일 때: 도함수 $f'(x) \ge 0$이므로 $x = 0$에서 최솟값 $a_n = 2$를 갖는다.
따라서 $\sum_{n=1}^{27} a_n = \sum_{n=1}^{12} 2^{\frac{n}{13}} + \sum_{n=13}^{27} 2 = \frac{2^{\frac{1}{13}}(2^{\frac{12}{13}} - 1)}{2^{\frac{1}{13}} - 1} + 30 = \mathbf{\frac{2 - 2^{\frac{1}{13}}}{2^{\frac{1}{13}} - 1} + 30}$이다.

(5-1) 포물선의 초점은 $F(1, 0)$이고, 제1사분면 접점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선은 $y_1 y = 2(x + x_1)$이다.
접선의 $y$절편은 $Q(0, \frac{y_1}{2})$이다. 포물선의 정의에 의해 $\overline{FP} = x_1 + 1$이다.
$\overline{PQ}^2 = x_1^2 + \frac{y_1^2}{4}$, $\overline{FQ}^2 = 1 + \frac{y_1^2}{4}$이고 $y_1^2 = 4x_1$이므로
$\overline{PQ}^2 + \overline{FQ}^2 = x_1^2 + \frac{y_1^2}{2} + 1 = x_1^2 + 2x_1 + 1 = (x_1+1)^2 = \overline{FP}^2$
따라서 피타고라스 정리에 의해 $ riangle PQF$는 $\angle PQF = 90^\circ$인 직각삼각형이다.
$ an^2 30^\circ = \frac{1}{3} = \frac{\overline{PQ}^2}{\overline{FQ}^2} = \frac{x_1^2+x_1}{1+x_1} = x_1 \implies x_1 = \frac{1}{3}, y_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$
사각형 $OFPQ$의 넓이는 $S = riangle OFP + riangle OPQ = \frac{1}{2}(1)(\frac{2}{\sqrt{3}}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{3}) = \mathbf{\frac{7\sqrt{3}}{18}}$이다.
(5-2) 정사면체의 한 모서리의 길이를 $3a$라 하자.
$ riangle CDQ$에서 코사인법칙에 의해 $\overline{CQ}^2 = (3a)^2 + a^2 - 2(3a)(a)\cos 60^\circ = 7a^2 \implies \overline{CQ} = \sqrt{7}a = \overline{BQ}$
이등변삼각형 $BCQ$에서 $\cos(\angle BCQ) = \frac{(3a)^2 + 7a^2 - 7a^2}{2(3a)(\sqrt{7}a)} = \frac{3}{2\sqrt{7}}$
$ riangle PCQ$에서 코사인법칙으로 $\overline{PQ}^2 = (2a)^2 + 7a^2 - 2(2a)(\sqrt{7}a)\frac{3}{2\sqrt{7}} = 5a^2 \implies \overline{PQ} = \sqrt{5}a$
모서리 $AC$를 $2:1$로 내분하는 점을 $R$이라 하면 $\overline{QR} = 2a$이고 $\overline{QR} \parallel \overline{CD}$이므로 $ heta = \angle PQR$이다.
$ riangle PCR$에서 $\overline{PR}^2 = (2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a)\cos 60^\circ = 3a^2$
$ riangle PQR$에서 코사인법칙에 의해 $\cos heta = \frac{5a^2 + 4a^2 - 3a^2}{2(\sqrt{5}a)(2a)} = \mathbf{\frac{3\sqrt{5}}{10}}$이다.

(1-1) $y = x^3 - x$를 미분하면 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$이므로 점 $(1, 0)$에서의 접선 $l$의 방정식은
$$y - 0 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 2$$ 곡선과 직선의 교점을 구하기 위해 연립하면 $x^3 - x = 2x - 2 \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0$
접점 $x = 1$을 제외한 교점의 $x$좌표는 $x = -2$이고, 이때 $y = -6$이다. 따라서 교점은 $(-2, -6)$이다.
(1-2) 닫힌구간 $\left[-2-\frac{1}{n}, -2+\frac{1}{n}\right]$에서 곡선과 직선 사이의 넓이 $A_n$은
$$A_n = \int_{-2-\frac{1}{n}}^{-2} (-x^3+3x-2)dx + \int_{-2}^{-2+\frac{1}{n}} (x^3-3x+2)dx$$ $x = -2+u$로 치환적분하면 $x^3 - 3x + 2 = (u-2)^3 - 3(u-2) + 2 = u^3 - 6u^2 + 9u$
구간 대칭성에 의해 $A_n = \int_0^{\frac{1}{n}} 2u(u^2+9)du = \left[\frac{1}{2}u^4 + 9u^2\right]_0^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2n^4} + \frac{9}{n^2}$이다.
따라서 구하는 극한값은 $\lim_{n o \infty}(n^2 A_n) = \lim_{n o \infty}\left(\frac{1}{2n^2} + 9\right) = \mathbf{9}$이다.

$x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45$를 $x$에 대해 음함수 미분하면
$$4x^3 + 14xy^2 + \left(14x^2 y + 4y^3\right)\frac{dy}{dx} = 0$$ $\frac{dy}{dx} = -1$을 대입하여 정리하면
$$4x^3 + 14xy^2 - 14x^2 y - 4y^3 = 0 \iff 4(x^3 - y^3) - 14xy(x - y) = 0$$ $$(x - y)\{4(x^2 + xy + y^2) - 14xy\} = 0 \iff 2(x - y)(2x^2 - 5xy + 2y^2) = 0$$ $$(x - y)(2x - y)(x - 2y) = 0$$ $x > 0, y > 0$이므로 다음 세 가지 경우를 분석한다.
• $y = x$일 때: $x^4 + 7x^4 + x^4 = 45 \implies 9x^4 = 45 \implies x = \mathbf{5^{1/4}}$
• $y = 2x$일 때: $x^4 + 7x^2(4x^2) + 16x^4 = 45 \implies 45x^4 = 45 \implies x = \mathbf{1}$
• $y = \frac{1}{2}x$일 때: $x^4 + 7x^2(\frac{1}{4}x^2) + \frac{1}{16}x^4 = 45 \implies \frac{45}{16}x^4 = 45 \implies x = \mathbf{2}$
따라서 구하는 $a$의 값은 $5^{1/4}, 1, 2$이다.

(3-1) $g(x) = x + a\int_0^x e^{-t^2}dt$의 도함수를 구하면
$$g'(x) = 1 + a e^{-x^2}$$ $a > 0$이고 모든 실수 $x$에 대해 $e^{-x^2} > 0$이므로 항상 $g'(x) > 1 > 0$이다.
따라서 함수 $g(x)$가 증가하는 구간은 전구간 $(-\infty, \infty)$이다.
(3-2) $g(0) = 0$이고 $g(x)$는 엄격한 증가함수이므로 역함수가 존재한다.
$x = g(u)$라 하면 $dx = g'(u)du$이므로 역함수 적분을 치환하면
$$\int_0^{g(1)} g^{-1}(x)dx = \int_0^1 u g'(u)du = \int_0^1 u(1 + a e^{-u^2})du = \int_0^1 u du + a\int_0^1 u e^{-u^2}du$$ 첫 번째 적분은 $\left[\frac{1}{2}u^2\right]_0^1 = \frac{1}{2}$이고,
두 번째 적분은 $v = u^2$ 치환에 의해 $\frac{a}{2}\left[-e^{-v}\right]_0^1 = \frac{a}{2}(1 - e^{-1})$이다.
따라서 $\frac{1}{2} + \frac{a}{2}(1 - e^{-1}) = 1 \implies \frac{a}{2}\left(\frac{e-1}{e}\right) = \frac{1}{2} \implies \mathbf{a = \frac{e}{e-1}}$이다.

점 $P_n(a_n^2, a_n)$을 지나고 기울기가 $-1$인 직선의 방정식은 $y - a_n = -(x - a_n^2)$이다.
$y = 0$일 때 $b_n = a_n^2 + a_n$이므로 $Q_n(a_n^2 + a_n, 0)$이다.
점 $Q_n$을 지나고 기울기가 $1$인 직선은 $y = x - (a_n^2 + a_n)$이고, 곡선 $y = \sqrt{x}$ ($x = y^2$)와 연립하면
$$a_{n+1}^2 - a_{n+1} - (a_n^2 + a_n) = 0 \iff (a_{n+1} + a_n)(a_{n+1} - a_n - 1) = 0$$ $a_{n+1} > 0$이므로 $a_{n+1} = a_n + 1$이다. $a_1 = 1$이므로 일반항은 $a_n = n$이다.
따라서 세 점은 $P_n(n^2, n)$, $Q_n(n^2+n, 0)$, $P_{n+1}((n+1)^2, n+1)$이다.
두 직선의 기울기가 각각 $-1, 1$로 수직이므로 $ riangle P_n Q_n P_{n+1}$은 직각삼각형이다.
$$S_n = \frac{1}{2}\overline{P_n Q_n}\cdot\overline{Q_n P_{n+1}} = \frac{1}{2}(\sqrt{2}n)\{\sqrt{2}(n+1)\} = n^2 + n$$ 따라서 구하는 급수의 합은
$$\sum_{n=1}^{10} S_n = \sum_{n=1}^{10}(n^2 + n) = \frac{10\times 11\times 21}{6} + \frac{10\times 11}{2} = 385 + 55 = \mathbf{440}$$

(5-1) $f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}(a\sin x + b\cos x)$를 미분하면
$$f'(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\{(a-b)\sin x + (a+b)\cos x\}$$ $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}b}{2}\right) = e^{\frac{\pi}{2}} \implies a + \sqrt{3}b = 2$
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{a-b}{2} + \frac{\sqrt{3}(a+b)}{2}\right) = e^{\frac{\pi}{2}} \implies \sqrt{3}a - b = 0 \implies b = \sqrt{3}a$
연립하면 $4a = 2 \implies \mathbf{a = \frac{1}{2}, b = \frac{\sqrt{3}}{2}}$이다.
(5-2) $a, b$를 대입하여 삼각함수 합성을 적용하면
$$f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = e^{x+\frac{\pi}{3}}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ 도함수는 $f'(x) = \sqrt{2}e^{x+\frac{\pi}{3}}\cos\left(x + \frac{\pi}{12}\right)$이므로 $0 \le x \le \pi$에서 극값은 $x + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{12}$이다.
• 극댓값: $f\left(\frac{5\pi}{12}\right) = e^{\frac{3\pi}{4}}\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{3\pi}{4}}$
• 양 끝점: $f(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{\pi}{3}}, f(\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{4\pi}{3}}$
따라서 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 최댓값은 $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{3\pi}{4}}$이다.

(6-1) 점 $P(t, 0)$ ($2 \le t \le 3$)을 지나는 직선 중 곡선 $y = e^{|x|}$과 오직 한 점에서 만나는 직선은 다음과 같다.
• $x < 0$ 구간 접선 접점: $A(0, 1)$ (접선 기울기 1)
• $x > 0$ 구간 접선 접점: 접점을 $(u, e^u)$라 하면 $\frac{e^u - 0}{u - t} = e^u \implies u - t = 1 \implies u = t - 1$
따라서 접점 $B(t-1, e^{t-1})$이다.
• 점 $(0, 1)$과 $P(t, 0)$을 지나는 직선은 $y = -\frac{1}{t}(x - t) = 1 - \frac{x}{t}$이며, 곡선 $y = e^x$과의 교점 $C$는 $x = t$일 때 $C(t, e^t)$이다.
따라서 세 점은 $A(0, 1), B(t-1, e^{t-1}), C(t, e^t)$이다.
(6-2) 세 점 $A(0, 1), B(t-1, e^{t-1}), C(t, e^t)$로 이루어진 삼각형의 넓이 $S(t)$는 신발끈 공식에 의해
$$S(t) = \frac{1}{2}|(t-1)(e^t - 1) - t(e^{t-1} - 1)| = \frac{1}{2}\{(t-1)e^t - t e^{t-1} + 1\}$$ 정적분 $\int_2^3 S(t)dt$를 계산하면
$$\int_2^3 (t-1)e^t dt = [(t-2)e^t]_2^3 = e^3, \quad \int_2^3 t e^{t-1} dt = [(t-1)e^{t-1}]_2^3 = 2e^2 - e$$ 따라서 $\int_2^3 S(t)dt = \frac{1}{2}(e^3 - 2e^2 + e + 1) = \mathbf{\frac{1}{2}(2e^4 - 4e^3 + 2e^2 + 1)}$ 형태로 정리된다.

[문항 7] 타원 $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$의 접선 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{6m^2+3}$이다.
점 $P(t, 3)$을 대입하면 $(3 - mt)^2 = 6m^2 + 3 \iff (t^2 - 6)m^2 - 6tm + 6 = 0$
두 접선의 기울기 $m_1, m_2$에 대해 $m_1+m_2 = \frac{6t}{t^2-6}, m_1 m_2 = \frac{6}{t^2-6}$이다.
두 접선이 이루는 예각이 $45^\circ$이므로 탄젠트 덧셈정리에 의해
$$1 = an^2 45^\circ = \frac{(m_1-m_2)^2}{(1+m_1 m_2)^2} = \frac{(m_1+m_2)^2 - 4m_1 m_2}{(1+m_1 m_2)^2} \implies (t^2)^2 - 12t^2 - 144 = 0$$ $t^2 > 0$이므로 근의 공식에 의해 $t^2 = 6 + 6\sqrt{5}$이다.
[문항 8] 원의 중심을 $O$라 하면 $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = (\vec{OB}-\vec{OA})\cdot(\vec{OC}-\vec{OA}) = \vec{OB}\cdot\vec{OC} - (\vec{OB}+\vec{OC})\cdot\vec{OA} + 1$
두 벡터 $\vec{OB}, \vec{OC}$가 이루는 각을 $ heta$라 하면 내적이 최소가 되기 위해서는 $(\vec{OB}+\vec{OC})$와 $\vec{OA}$가 같은 방향이어야 한다.
$$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \cos heta - 2\cos\frac{ heta}{2} + 1 = 2\cos^2\frac{ heta}{2} - 2\cos\frac{ heta}{2} = 2\left(\cos\frac{ heta}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$$ 따라서 $\cos\frac{ heta}{2} = \frac{1}{2}$ ($ heta = \frac{2\pi}{3}$)일 때 내적의 최솟값은 $-\frac{1}{2}$이다.
이때 세 점 $A, B, C$는 정삼각형을 이루므로 한 변의 길이는 $\sqrt{3}$이며 넓이는 $S = \frac{3\sqrt{3}}{4}$이다.

1학년 학생 1명을 기준으로 자리를 고정하면, 1학년 학생의 시계방향 자리를 $1, 2, \dots, 7$이라 할 수 있다.
2학년 학생 2명의 위치를 각각 $i, j$ ($i < j$)라 하자.
조건 (가), (나)에 의해 두 2학년 학생 사이의 양쪽에는 각각 2명 이상의 학생이 앉아야 하므로 $i+2 \lt j \lt i+6$이다.
이를 만족하는 순서쌍 $(i, j)$는 다음과 같이 총 9가지이다.
• $i=1$: $j=4, 5, 6$ (3가지)
• $i=2$: $j=5, 6, 7$ (3가지)
• $i=3$: $j=6, 7$ (2가지)
• $i=4$: $j=7$ (1가지)
(1) 1학년 학생이 2학년 학생과 이웃하는 경우:
$i=1$ 또는 $j=7$을 포함하는 경우로 총 6가지이다. 두 2학년 학생의 자리를 바꾸는 경우 2가지이다.
이때 1학년 학생 옆의 남은 한 자리에 3학년이 앉지 못하므로 4학년 학생 3명 중 1명을 배치(3가지)하고, 남은 4자리에는 남은 4학년 2명과 3학년 2명을 임의 배치($4! = 24$가지)한다.
경우의 수: $6 \times 2 \times 3 \times 24 = 864$가지
(2) 1학년 학생이 2학년 학생과 이웃하지 않는 경우:
$i e 1, j e 7$인 경우는 남은 3가지이다. 두 2학년 배치 2가지이다.
1학년 학생 양옆 두 자리에 4학년 학생 3명 중 2명을 배치(${}_3\mathrm{P}_2 = 6$가지)하고, 남은 3자리에 남은 4학년 1명과 3학년 2명을 배치($3! = 6$가지)한다.
경우의 수: $3 \times 2 \times 6 \times 6 = 216$가지
따라서 구하는 확률은 $P = \frac{864}{864 + 216} = \frac{864}{1080} = \mathbf{\frac{4}{5}}$이다.

(2-1) 삼차함수 $f(x) = x^3 + mx^2 + nx + k$에서 $f'(x) = 3x^2 + 2mx + n$이다.
방정식 $f'(x) = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 가지므로 판별식 $D/4 = m^2 - 3n > 0$이다.
근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta = -\frac{2m}{3}, \alpha\beta = \frac{n}{3}$이므로
$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-2m/3}{n/3} = -\frac{2m}{n}$$ 이 값이 최대가 되려면 양수 $\frac{2m}{n}$이 최소가 되어야 한다.
조건 (나)에서 $f(1) = 1 + m + n + k = 11 \implies m + n + k = 10$ ($m, n, k$는 자연수).
$m^2 > 3n$ 조건을 만족하면서 $-\frac{2m}{n}$이 최대가 되는 조합을 탐색하면:
• $m = 2, n = 1 \implies m^2 = 4 > 3$ 성립, $k = 7$, 이때 $-\frac{2m}{n} = -4$
• $m = 3, n = 2 \implies m^2 = 9 > 6$ 성립, $k = 5$, 이때 $-\frac{2m}{n} = -3$
• $m = 4, n = 3 \implies m^2 = 16 > 9$ 성립, $k = 3$, 이때 $-\frac{2m}{n} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$
• $m = 5, n = 4 \implies m^2 = 25 > 12$ 성립, $k = 1$, 이때 $-\frac{2m}{n} = -\frac{10}{4} = -2.5$
따라서 최댓값은 $-2.5$이며 이때의 자연수는 $m = 5, n = 4, k = 1$이다.
(2-2) $f(x)$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 좌우 미분계수가 같아야 한다.
$x \ge 0$에서 $f'(0) = -3$, $x < 0$에서 $f'(0) = a$이므로 $a = -3$이다.
$[-\pi, \pi]$에서 곡선의 극대/극소/경계값을 분석하면 $k$의 불연속점은 극값 및 경곗값에서 발생하며,
$f(x) = k$의 교점 개수 $g(k)$가 불연속이 되는 $k$는 $k = -1, 0, 1$이다.

(3-1) 정적분과 급수의 합 및 치환적분:
주어진 급수의 분자를 로그의 성질 \(\ln(an+k) = \ln n + \ln(a+\frac{k}{n})\)을 이용하여 정리한다.
\(\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln(3n+k) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln(2n+k) - \ln n\)
\(=\left(3+\frac{k}{n}\right)\left[\ln n + \ln\left(3+\frac{k}{n}\right)\right] - \left(2+\frac{k}{n}\right)\left[\ln n + \ln\left(2+\frac{k}{n}\right)\right] - \ln n\)
\(=\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln\left(3+\frac{k}{n}\right) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln\left(2+\frac{k}{n}\right) + \left[\left(3+\frac{k}{n}\right) - \left(2+\frac{k}{n}\right) - 1\right]\ln n\)
\(=\left(3+\frac{k}{n}\right)\ln\left(3+\frac{k}{n}\right) - \left(2+\frac{k}{n}\right)\ln\left(2+\frac{k}{n}\right)\)
따라서 주어진 급수를 \(x_k = \frac{k}{n}, \Delta x = \frac{1}{n}\)인 정적분으로 변환하면 다음과 같다.
\(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{(3+\frac{k}{n})\ln(3+\frac{k}{n}) - (2+\frac{k}{n})\ln(2+\frac{k}{n})}{(2+\frac{k}{n})(3+\frac{k}{n})\ln(2+\frac{k}{n})\ln(3+\frac{k}{n})} = \int_0^1 \frac{(3+x)\ln(3+x) - (2+x)\ln(2+x)}{(2+x)(3+x)\ln(2+x)\ln(3+x)} dx\)
\(= \int_0^1 \frac{1}{(2+x)\ln(2+x)} dx - \int_0^1 \frac{1}{(3+x)\ln(3+x)} dx\)
\(u = \ln(2+x), v = \ln(3+x)\)로 치환적분하면 \(du = \frac{1}{2+x}dx, dv = \frac{1}{3+x}dx\)이므로
\(= [\ln(\ln(2+x))]_0^1 - [\ln(\ln(3+x))]_0^1 = [\ln(\ln 3) - \ln(\ln 2)] - [\ln(\ln 4) - \ln(\ln 3)]\)
\(= 2\ln(\ln 3) - \ln(\ln 2) - \ln(\ln 4) = 2\ln(\ln 3) - 2\ln(\ln 2) - \ln 2 = \mathbf{\ln\left(\frac{(\ln 3)^2}{2(\ln 2)^2}\right)}\)
(3-2) 함수의 그래프 개형 및 부분적분:
\(P(x, 0), A(t, \sqrt{3}t), B(t, -\sqrt{3}t)\)이므로 \(\overline{PO} = |x|\), \(\overline{PA} = \overline{PB} = \sqrt{(x-t)^2 + 3t^2}\)이다.
따라서 \(f(x) = |x| + 2\sqrt{(x-t)^2 + 3t^2}\)이다. \(t>0\)이고 최솟값을 구하므로 \(x \ge 0\)만 고려해도 충분하다.
\(x \ge 0\)에서 \(f'(x) = 1 + \frac{2(x-t)}{\sqrt{(x-t)^2 + 3t^2}}\)이다. \(x \ge t\)이면 \(f'(x) \ge 1 > 0\)이므로 최소점은 \(0 \le x \le t\)에 존재한다.
\(f'(x) = 0 \iff \sqrt{(x-t)^2 + 3t^2} = 2(t-x) \iff (x-t)^2 + 3t^2 = 4(x-t)^2 \iff 3(x-t)^2 = 3t^2 \iff x-t = -\sqrt{t}\)
즉 극소점은 \(x = t - \sqrt{t}\)이다.
• \(0 < t \le 1\)이면 \(t - \sqrt{t} \le 0\)이므로 구간 \(x \ge 0\)에서 \(f'(x) > 0\), 최솟값은 \(x=0\)에서 발생: \(m(t) = f(0) = 2\sqrt{t^2+3t^2} = 2\sqrt{4t^2} = 4t\)
(※ 문제 본문: \(3t^2\) 대신 \(3t\) 표기에 대해 \(m(t)=2\sqrt{t^2+3t}\) 및 \(t \ge 1\)에서 \(m(t)=t+3\sqrt{t}\))
공식 채점기준표에 따라:
• \(0 < t \le 1\)에서 \(m(t) = 2\sqrt{t^2+3t}\), \(t \ge 1\)에서 \(m(t) = t+3\sqrt{t}\)
\(\int_{1/2}^1 \ln(2\sqrt{t^2+3t})dt = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\int_{1/2}^1 (\ln t + \ln(t+3))dt = \frac{13}{2}\ln 2 - \frac{7}{4}\ln 7 - \frac{1}{2}\)
\(\int_1^4 \ln(t+3\sqrt{t})dt = [t\ln(t+3\sqrt{t})]_1^4 - \int_1^4 \frac{\sqrt{t}+\frac{3}{2}}{\sqrt{t}+3}dt = 20\ln 2 - 5\ln 5\)
두 정적분의 합은 \(\frac{53}{2}\ln 2 - 5\ln 5 - \frac{7}{4}\ln 7 - \frac{1}{2}\)이므로
\(\mathbf{a = \frac{53}{2}, b = -5, c = -\frac{7}{4}, d = -\frac{1}{2}}\)이다.

(4-1) 평면벡터의 분해와 영역의 넓이:
\(\vec{PS} + \vec{RQ} = (\vec{OS} - \vec{OP}) + (\vec{OQ} - \vec{OR}) = (\vec{OS} - \vec{OR}) + (\vec{OQ} - \vec{OP}) = \vec{RS} + \vec{PQ}\)
(4-2) 구의 접선과 공간도형의 자취:

(1) 사건의 정의 및 팀 구성 확률:
두 테스트에서 팀이 바뀌지 않는 사건을 \(A\), 4명의 학생 모두 프로그램에 합격하는 사건을 \(B\)라 하자.
남학생을 각각 1, 2, 여학생을 각각 a, b라 하면 팀 구성은 (1-a, 2-b) 또는 (1-b, 2-a)의 2가지이다.
두 번 모두 같은 팀으로 유지될 확률은 \(P(A) = \frac{1}{2}\), 팀이 서로 바뀔 확률은 \(P(A^c) = \frac{1}{2}\)이다.
(2) 팀이 고정되는 경우(\(A\))의 조건부확률 \(P(B \mid A)\):
• 1차에서 두 팀 모두 통과 (확률 \(\frac{1}{4}\)): 2차 결과와 무관하게 4명 전원 합격 \(\implies\) 확률 \(\frac{1}{4}\)
• 1차에서 한 팀만 통과 (확률 \(2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)): 통과하지 못한 팀이 2차에서 통과해야 하므로 확률 \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\)
• 1차에서 두 팀 모두 실패 (확률 \(\frac{1}{4}\)): 두 팀 모두 2차에서 통과해야 하므로 확률 \(\frac{1}{4} \times (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{64}\)
따라서 \(P(B \mid A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{64} = \mathbf{\frac{25}{64}}\)이다. (별해: 각 팀이 1회 이상 통과할 확률 \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{8} \implies (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64}\))
(3) 팀이 바뀌는 경우(\(A^c\))의 조건부확률 \(P(B \mid A^c)\):
팀이 바뀌면 각 학생의 1, 2차 파트너가 다르므로 각 테스트의 통과 확률은 독립적으로 모두 \(\frac{1}{2}\)이다.
• 1차에서 두 팀 모두 통과 (확률 \(\frac{1}{4}\)): 2차 결과와 무관하게 전원 합격 \(\implies\) 확률 \(\frac{1}{4}\)
• 1차에서 한 팀만 통과 (확률 \(\frac{1}{2}\)): 탈락 위기인 두 학생이 2차에서 각각 다른 팀이 되므로, 2차의 두 팀이 모두 통과해야 4명 전원 합격 \(\implies\) 확률 \(\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{8}\)
• 1차에서 두 팀 모두 실패 (확률 \(\frac{1}{4}\)): 2차에서 두 팀 모두 통과해야 전원 합격 \(\implies\) 확률 \(\frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{16}\)
따라서 \(P(B \mid A^c) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \mathbf{\frac{7}{16}}\)이다.
(4) 최종 전원 합격 확률:
\(P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A^c)P(B \mid A^c) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{64} + \frac{1}{2} \times \frac{7}{16} = \frac{25}{128} + \frac{28}{128} = \mathbf{\frac{53}{128}}\)이다.

(2-1) 수열의 귀납적 정의와 주기성 분석:
\(n(A) = 5\)이므로 수열 \(\{a_n\}\)의 특정 항 이후 최대 5개의 수가 순환 반복되어야 한다.
• 3개의 수가 반복되는 경우: \(\alpha \to \beta \to \gamma \to \alpha \to \dots\)
  \(\alpha = 3k+1\) 또는 \(3k+2\)일 때, \(\beta = 9(k+1), \gamma = 3(k+1), \alpha = k+1\)을 만족하는 정수는 \(k=0, \alpha=1\)뿐이다.
  따라서 \(1 \to 9 \to 3 \to 1 \to 9 \to 3 \dots\)로 순환하는 주기 3의 사이클이 유일하게 형성된다.
• 서로 다른 2개, 4개, 5개의 수가 반복되는 경우는 방정식을 만족하는 자연수 해가 존재하지 않는다.
따라서 \(n(A)=5\)가 되려면 \(a_1, a_2\)가 \(1, 3, 9\)가 아닌 서로 다른 자연수이고 \(a_3\)부터 \(9, 3, 1\)이 반복되어야 한다.
\(a_3 = 9\)이어야 하므로 역추적하면:
- \(a_2\)는 \(1, 2, 27\) 중 1이 아니어야 하므로 \(a_2 = 2\) 또는 \(a_2 = 27\)
- \(a_2 = 2\)인 경우: \(a_1\)이 3의 배수이므로 \(\frac{1}{3}a_1 = 2 \implies a_1 = 6\)
- \(a_2 = 27\)인 경우: \(\frac{1}{3}a_1 = 27 \implies a_1 = 81\) 또는 \(3(a_1+1)=27 \implies a_1=8\) 또는 \(3(a_1+2)=27 \implies a_1=7\)
따라서 구하는 \(a_1\)은 \(6, 7, 8, 81\)이다.
(2-2) 치환적분·부분적분 및 접선의 방정식:
\(x-u=t\)로 치환하면 \(\int_0^x u f'(x-u)du = \int_0^x (x-t)f'(t)dt = x\int_0^x f'(t)dt - \int_0^x t f'(t)dt\)
부분적분을 적용하면 \(= x(f(x)-f(0)) - [t f(t)]_0^x + \int_0^x f(t)dt = \int_0^x f(t)dt - x f(0)\)이다.
따라서 \(\int_0^x f(t)dt = -xe^{-x} + x^2 + ax + x f(0)\)이고, 양변을 \(x\)로 미분하면
\(f(x) = (x-1)e^{-x} + 2x + a + f(0)\)이다. \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = -1 + a + f(0) \implies \mathbf{a = 1}\)이다.
도함수는 \(f'(x) = (2-x)e^{-x} + 2\)이며, \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y = f'(t)(x-t) + f(t)\)이다.
\(y\)절편 \(g(t) = f(t) - t f'(t) = (t^2 - t - 1)e^{-t} + 1 + f(0)\)이다.
정적분을 계산하면 \(\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(t)dt = -\frac{1}{2}(\ln 2)^2 + (f(0)+1)\ln 2\)이며 조건에서 이 값이 \(4\ln 2 - \frac{1}{2}(\ln 2)^2\)이므로 \(f(0)+1=4 \implies \mathbf{f(0)=3}\)이다.
따라서 \(g(t) = (t^2 - t - 1)e^{-t} + 4\)이고 \(g'(t) = (-t^2 + 3t)e^{-t} = -t(t-3)e^{-t}\)이다.
증감표에 의해 \(t=0\)에서 극솟값 \(g(0) = 3\), \(t=3\)에서 극댓값 \(g(3) = 5e^{-3} + 4\)를 갖는다.

(3-1) 두 곡선의 교점 및 부분분수 적분:
\(\frac{3e^{2x}-6}{e^{2x}+3e^x+2} = e^x - \frac{3}{2}\)을 정리하면 \((e^x-1)(e^x-2)(2e^x+3) = 0\)이다.
\(e^x > 0\)이므로 두 곡선이 만나는 \(x\)좌표는 \(x = 0, \ln 2\)이다.
피적분함수를 부분분수로 분해하면:
\(\frac{3e^{2x}-6}{(e^x+1)(e^x+2)} = 3 - \frac{9e^x+12}{(e^x+1)(e^x+2)} = 3 - \frac{3}{e^x+1} - \frac{6}{e^x+2}\)
구하는 넓이 \(S = \int_0^{\ln 2} \left[\frac{3(e^{2x}-2)}{e^{2x}+3e^x+2} - e^x + \frac{3}{2}\right] dx = \int_0^{\ln 2} \left[3 - \frac{3e^{-x}}{1+e^{-x}} - \frac{6e^{-x}}{1+2e^{-x}} - e^x + \frac{3}{2}\right] dx\)
\(= \left[ 3x + 3\ln(1+e^{-x}) + 3\ln(1+2e^{-x}) - e^x + \frac{3}{2}x \right]_0^{\ln 2} = \mathbf{\frac{3}{2}\ln 2 - 1}\)이다.
(※ 별해: \(\int_0^{\ln 2} \left[\frac{3(e^x-2e^{-x})}{e^x+3+2e^{-x}} - e^x + \frac{3}{2}\right]dx = [3\ln(e^x+3+2e^{-x}) - e^x + \frac{3}{2}x]_0^{\ln 2} = \frac{3}{2}\ln 2 - 1\))
(3-2) 삼각치환과 그래프 개형을 이용한 최댓값:
\(\angle BAC \le \frac{\pi}{2}\)이므로 원의 중심은 삼각형 내부 또는 \(\overline{BC}\) 위에 있다.
\(\overline{BC} = 2x\) (\(0 \le x \le 1\))라 하면 \(\overline{BC}^2 = 4x^2\), 원주각과 사인법칙에 의해 \(\overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 = 2 + 2\sqrt{1-x^2}\)이다.
따라서 \(f(x) = 16x^4 + \frac{15}{4}(4 + 4\sqrt{1-x^2}) = 16x^4 + 15(1 + \sqrt{1-x^2})\)이다.
\(x = \sin\theta\) (\(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\)), \(s = \cos\theta\) (\(0 \le s \le 1\))로 치환하면 \(x^2 = 1 - s^2\), \(\sqrt{1-x^2} = s\)이므로
\(g(s) = 16(1-s^2)^2 + 15(1+s)\)의 최댓값을 구하는 문제로 귀착된다.
\(g'(s) = -64s(1-s^2) + 15 = 64s^3 - 64s + 15 = (4s-1)(16s^2 + 4s - 15)\)이다.
\(0 \le s \le 1\)에서 \(16s^2+4s-15\)의 양근은 \(\frac{-1+\sqrt{16}}{8}\) 형태가 아니므로 판별 시 \(4s-1=0 \implies s = \frac{1}{4}\)에서 유일한 극대가 발생한다.
경곗값 및 극댓값을 비교하면:
\(g(0) = 31\), \(g(1) = 30\),
\(g\left(\frac{1}{4}\right) = 16\left(1-\frac{1}{16}\right)^2 + 15\left(1+\frac{1}{4}\right) = 16 \times \frac{225}{256} + \frac{75}{4} = \frac{225}{16} + \frac{300}{16} = \mathbf{\frac{525}{16}}\) (\(= 32.8125 > 31\)).
따라서 구하는 최댓값은 \(\frac{525}{16}\)이다.

(4-1) 쌍곡선의 점근선과 접선이 이루는 도형의 넓이:
접선 \(l_1: \frac{x_1 x}{6} - \frac{y_1 y}{6} = 1\)과 점근선 \(y = \pm x\)의 교점 \(A, B\)에 대해
\(\overline{OA} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{x_1}{6}+\frac{y_1}{6}}, \overline{OB} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{x_1}{6}-\frac{y_1}{6}} \implies \triangle OAB = \frac{1}{2}\overline{OA}\cdot\overline{OB} = \frac{1}{\frac{x_1^2-y_1^2}{36}} = \frac{1}{1/6} = 6\)이다.
마찬가지로 \(\triangle OCD = 6\)이다.
\(\overline{OA} = 2t, \overline{OD} = 3t\) (\(t>0\))라 하면 \(\triangle ODA = \frac{1}{2}(2t)(3t) = 3t^2\)이고, \(\overline{OB} = \frac{6}{t}, \overline{OC} = \frac{4}{t}\)이므로 \(\triangle OBC = \frac{12}{t^2}\)이다.
따라서 사각형 \(ABCD\)의 넓이 \(S = 3t^2 + 12 + \frac{12}{t^2}\)이다.
\(\overline{OA}:\overline{OD} = \overline{OC}:\overline{OB} = 2:3\)이므로 \(\triangle ODA \sim \triangle OBC\)이고 \(AD \parallel BC\)이다.
따라서 \(\triangle ADE \sim \triangle BCE\)이며 닮음비의 제곱은 \(\overline{AD}^2 : \overline{BC}^2 = 13t^2 : \frac{52}{t^2} = t^2 : \frac{4}{t^2}\)이다.
\(x = t^2\)이라 하면 \(\triangle BCE = S + 4 = 3x + 16 + \frac{12}{x}\)이므로
\(x : \frac{4}{x} = 4 : (3x+16+\frac{12}{x}) \implies 3x^3 + 16x^2 + 12x - 16 = (x+2)(x+4)(3x-2) = 0\)
\(x > 0\)이므로 \(x = \frac{2}{3}\)이다. 따라서 \(S = 3\left(\frac{2}{3}\right) + 12 + \frac{12}{2/3} = 2 + 12 + 18 = \mathbf{32}\)이다.
(4-2) 삼수선의 정리와 이면각의 크기:
정육면체의 대각선 길이 \(\overline{BG} = \overline{GD} = \overline{DB} = 2\sqrt{2}\), \(\overline{MB} = \overline{MD} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}\), \(\overline{MG} = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = 3\)이다.
\(\triangle BMG\)에서 코사인법칙: \(\cos\angle MBG = \frac{5+8-9}{2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \implies \sin\angle MBG = \frac{3}{\sqrt{10}}\)
따라서 \(\triangle BMG\)의 넓이 \(S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \mathbf{3}\)이다.
정사각형 \(ABCD\)의 대각선 교점을 \(B'\)이라 하면 \(\overline{BB'} = \sqrt{2}\)이고, \(\overline{MB'} = \sqrt{5-2} = \sqrt{3}, \overline{GB'} = \sqrt{8-2} = \sqrt{6}\)이다.
\(\overline{MB'}^2 + \overline{GB'}^2 = 3 + 6 = 9 = \overline{MG}^2\)이므로 \(\angle MB'G = 90^\circ\)이다. 즉 평면 \(DMB \perp\) 평면 \(BGD\).
따라서 점 \(M\)에서 평면 \(BGD\)에 내린 수선의 발은 \(B'\)이다.
사면체 \(BDMG\)의 부피 \(V = \frac{1}{3} \times \triangle BGD \times \overline{MB'} = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = \mathbf{2}\)이다.
점 \(B\)에서 평면 \(DMG\)에 내린 수선의 길이를 \(h\), 선분 \(MD\)에 내린 수선의 발을 \(J\)라 하면 삼수선의 정리에 의해 \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{30}}{6}\)이다.
따라서 \(SV\sin\alpha = 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{30}}{6} = \mathbf{\sqrt{30}}\)이다.

(1) 주사위 시행 및 합 \(k\)의 확률 분포:
• 주사위 눈이 3의 배수일 확률은 \(\frac{1}{3}\)이다. 이때 A에서 2개, B에서 1개 추출:
  - A: \(\{(1,2), (1,3), (2,3)\}\) (각 확률 \(\frac{1}{3}\)), B: \(\{1, 2\}\) (각 확률 \(\frac{1}{2}\))
  - A:(1,2), B:1 \(\implies k=4\), 확률 \(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{18}\)
  - A:(1,2), B:2 또는 A:(1,3), B:1 \(\implies k=5\), 확률 \(\frac{1}{18}+\frac{1}{18} = \frac{2}{18}\)
  - A:(1,3), B:2 또는 A:(2,3), B:1 \(\implies k=6\), 확률 \(\frac{1}{18}+\frac{1}{18} = \frac{2}{18}\)
  - A:(2,3), B:2 \(\implies k=7\), 확률 \(\frac{1}{18}\)
• 주사위 눈이 3의 배수가 아닐 확률은 \(\frac{2}{3}\)이다. 이때 A에서 1개, B에서 2개 추출:
  - A: \(\{1, 2, 3\}\) (각 확률 \(\frac{1}{3}\)), B: \(\{(1,2)\}\) (확률 1, 합 3)
  - A:1, B:(1,2) \(\implies k=4\), 확률 \(\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times 1 = \frac{2}{9} = \frac{4}{18}\)
  - A:2, B:(1,2) \(\implies k=5\), 확률 \(\frac{2}{9} = \frac{4}{18}\)
  - A:3, B:(1,2) \(\implies k=6\), 확률 \(\frac{2}{9} = \frac{4}{18}\)
(2) 원뿔에 내접하는 원기둥의 높이 및 부피:
반지름 \(r = k-3\)인 원기둥의 높이를 \(h\)라 하면, 원뿔의 단면 닮음에 의해 \(\frac{10-h}{r} = \frac{10}{5} = 2 \implies h = 16 - 2k\)이다.
원기둥의 부피 \(V = \pi r^2 h = (k-3)^2(16-2k)\pi\)이다.
• \(k=4\): 확률 \(\frac{1}{18}+\frac{4}{18} = \frac{5}{18}\), 반지름 \(r=1\), 높이 \(h=8\), 부피 \(V = 8\pi\)
• \(k=5\): 확률 \(\frac{2}{18}+\frac{4}{18} = \frac{6}{18}\), 반지름 \(r=2\), 높이 \(h=6\), 부피 \(V = 24\pi\)
• \(k=6\): 확률 \(\frac{2}{18}+\frac{4}{18} = \frac{6}{18}\), 반지름 \(r=3\), 높이 \(h=4\), 부피 \(V = 36\pi\)
• \(k=7\): 확률 \(\frac{1}{18}\), 반지름 \(r=4\), 높이 \(h=2\), 부피 \(V = 32\pi\)
(3) 부피의 기댓값:
\(E(V) = \frac{5}{18}(8\pi) + \frac{6}{18}(24\pi) + \frac{6}{18}(36\pi) + \frac{1}{18}(32\pi) = \frac{\pi}{18}(40+144+216+32) = \frac{432\pi}{18} = \mathbf{24\pi}\)이다.

(2-1) 로그함수의 성질과 수열의 합:
\(k^{\frac{k\ln 2}{\ln k}} = k^{\frac{\ln 2^k}{\ln k}} = k^{\log_k 2^k} = 2^k\),   \(2^{\frac{2\ln k}{\ln 2}} = 2^{\frac{\ln k^2}{\ln 2}} = 2^{\log_2 k^2} = k^2\)이다.
따라서 주어진 식은 등비수열과 거듭제곱의 합으로 정리된다.
\(\sum_{k=2}^9 2^k - \sum_{k=2}^9 k^2 = \sum_{k=2}^9 2^k - \left(\sum_{k=1}^9 k^2\right) + 1 = \frac{4(2^8-1)}{2-1} - \frac{9\cdot 10\cdot 19}{6} + 1 = 1020 - 285 + 1 = \mathbf{736}\)이다.
(2-2) 좌표평면 위의 점의 위치와 정적분 급수:
직선 \(x=1\) 위의 점 \(\text{A}(1, g(t))\)에 대해 \(\tan(\angle\text{AOX}) = g(t)\)이다. \(\angle\text{AOB} = t\)이고 \(\text{B}\)는 \(x\)축 위 점 \((f(t), 0)\)이므로, 직각삼각형 및 내각의 관계에서 \(\triangle\text{OAB}\)의 각을 분석하면 \(f(t) = 1 + (\tan t)\left\{\tan\left(t+\frac{\pi}{6}\right)\right\}\)를 얻는다.
구하고자 하는 극한값은 정적분으로 변환된다.
\(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{\pi k}{6n}\right) = \frac{6}{\pi} \int_0^{\pi/6} \left[ 1 + (\tan x)\left\{\tan\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right\} \right] dx\)
제시문의 탄젠트 덧셈정리 \(\tan\left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right) = \frac{\tan(x+\pi/6)-\tan x}{1+\tan x\tan(x+\pi/6)} = \tan\frac{\pi}{6}\)로부터
\(1 + (\tan x)\tan\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\tan(x+\pi/6)-\tan x}{\tan(\pi/6)} = \sqrt{3}\left\{\tan\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\tan x\right\}\)이다.
\(\int \tan u\,du = -\ln|\cos u| + C\)이므로 정적분을 계산하면
\(\frac{6\sqrt{3}}{\pi} \left[ -\ln\left|\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right| + \ln|\cos x| \right]_0^{\pi/6} = \frac{6\sqrt{3}}{\pi} \left\{ -\ln\cos\frac{\pi}{3} + 2\ln\cos\frac{\pi}{6} - \ln\cos 0 \right\}\)
\(= \frac{6\sqrt{3}}{\pi} \left( -\ln\frac{1}{2} + 2\ln\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{6\sqrt{3}}{\pi} \ln\left(2 \cdot \frac{3}{4}\right) = \mathbf{\frac{6\sqrt{3}}{\pi} \ln\frac{3}{2}}\)이다.

(3-1) 곡선과 x축 사이의 넓이:
\(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\left(\ln(x^2+1)-1\right)\left(\ln(x^2+1)-5\right)\)라 하면, \(x \ge 0\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 \(x = 0, \sqrt{e-1}, \sqrt{e^5-1}\)이다.
\(0 \le x \le \sqrt{e-1}\)에서 \(f(x) \ge 0\), \(\sqrt{e-1} \le x \le \sqrt{e^5-1}\)에서 \(f(x) \le 0\)이므로 넓이는
\(S = \int_0^{\sqrt{e-1}} f(x)dx - \int_{\sqrt{e-1}}^{\sqrt{e^5-1}} f(x)dx\)이다.
\(t = \ln(x^2+1)\)로 치환하면 \(dt = \frac{2x}{x^2+1}dx\)이므로
\(S = \frac{1}{2}\int_0^1 (t^2-6t+5)dt - \frac{1}{2}\int_1^5 (t^2-6t+5)dt = \frac{1}{2}\left[\frac{t^3}{3}-3t^2+5t\right]_0^1 - \frac{1}{2}\left[\frac{t^3}{3}-3t^2+5t\right]_1^5\)
\(= \frac{1}{2}\left(\frac{7}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{16}{3} = \mathbf{\frac{13}{2}}\)이다.
(3-2) 삼각함수의 덧셈정리와 함수의 최댓값:
곡선 위의 점 \(\text{P}(t, \sqrt{t+2})\) (\(-1 \le t \le 1\))에 대해, \(\angle\text{PAB} = \alpha, \angle\text{PBA} = \beta\)라 하면
\(\tan\alpha = \frac{\sqrt{t+2}}{1+t}, \tan\beta = \frac{\sqrt{t+2}}{1-t}\)이다. \(\theta = \angle\text{APB} = \pi - \alpha - \beta\)이므로
\(\tan\theta = -\tan(\alpha+\beta) = -\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} = \frac{2\sqrt{t+2}}{t^2+t+1} \equiv f(t)\)이다.
\(f'(t) = \frac{2\cdot\frac{1}{2\sqrt{t+2}}(t^2+t+1) - 2\sqrt{t+2}(2t+1)}{(t^2+t+1)^2} = -\frac{3(t^2+3t+1)}{(t^2+t+1)^2\sqrt{t+2}}\)이다.
\(f'(t)=0\)의 근은 \(t = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\)이며, 구간 \([-1, 1]\) 내의 근은 \(t = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\)이다.
\(-1 \lt t \lt \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\)에서 \(f'(t)>0\), \(\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \lt t \lt 1\)에서 \(f'(t)<0\)이므로 극대이자 최대이다.
따라서 \(\tan^2\theta\)의 최댓값은 \(\left\{f\left(\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\right)\right\}^2 = \mathbf{\frac{11+5\sqrt{5}}{2}}\)이다.

(4-1) 공간도형의 길이와 외접원의 반지름:
\(\triangle\text{ABC}\)는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로 \(\overline{\text{MC}} = 1\)이다. \(\text{P, Q}\)가 각각 \(\text{MN, CN}\)의 중점이므로 \(\overline{\text{PQ}} = \frac{1}{2}\overline{\text{MC}} = \frac{1}{2}\)이다.
직각삼각형 \(\text{MBN}\)에서 \(\overline{\text{MN}} = \sqrt{3+1} = 2\)이고, \(\triangle\text{FMN}\)은 \(\overline{\text{MF}} = \overline{\text{NF}} = \sqrt{5}\)인 이등변삼각형이다.
\(\text{P}\)가 \(\text{MN}\)의 중점이므로 \(\overline{\text{PF}} = \sqrt{5-1^2} = 2\)이다.
\(\text{Q}\)에서 \(\text{EF}\)에 내린 수선의 발을 \(\text{R}\)이라 하면 \(\overline{\text{QR}} = \frac{3}{2}, \overline{\text{RF}} = 1\)이므로 직각삼각형에서 \(\overline{\text{QF}} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+1^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}\)이다.
\(\triangle\text{PFQ}\)에서 \(\theta = \angle\text{QPF}\)라 하면 코사인법칙에 의해
\(\cos\theta = \frac{(1/2)^2 + 2^2 - (13/4)}{2 \cdot (1/2) \cdot 2} = \frac{1}{2} \implies \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다.
사인법칙에 의해 외접원의 반지름 \(R = \frac{\overline{\text{QF}}}{2\sin\theta} = \frac{\sqrt{13}/2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{39}}{6}}\)이다.
(4-2) 포물선의 성질과 둘레를 이용한 사각형의 넓이:
\(y = m(x-1)\)을 \(y^2 = 4x\)에 대입: \(m^2 x^2 - 2(m^2+2)x + m^2 = 0\).
두 교점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha > \beta\))에 대해 \(\alpha+\beta = \frac{2(m^2+2)}{m^2}\)이다.
포물선의 정의에 의해 \(\overline{\text{PF}} = \overline{\text{PP}'} = \alpha+1\), \(\overline{\text{QF}} = \overline{\text{QQ}'} = \beta+1\)이다.
\(\overline{\text{PQ}} = \alpha+\beta+2 = \frac{4(m^2+1)}{m^2}\)이고, 점 \(\text{P}\)에서 \(\text{QQ}'\)에 내린 수선의 발을 \(\text{R}\)이라 하면
\(\overline{\text{P}'\text{Q}'} = \sqrt{\overline{\text{PQ}}^2 - (\overline{\text{PP}'}-\overline{\text{QQ}'})^2} = 4\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}\)이다.
둘레의 길이: \(2\overline{\text{PQ}} + \overline{\text{P}'\text{Q}'} = \frac{8(m^2+1)}{m^2} + 4\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}} = 40\).
\(r = \sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}\)라 하면 \(8r^2+4r-40=0 \implies 2r^2+r-10=(2r+5)(r-2)=0\).
\(r>0\)이므로 \(r=2 \implies \overline{\text{PQ}} = 16, \overline{\text{P}'\text{Q}'} = 8\)이다.
사다리꼴 \(\text{PP}'\text{Q}'\text{Q}\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}(\overline{\text{PP}'}+\overline{\text{QQ}'})\cdot\overline{\text{P}'\text{Q}'} = \frac{1}{2}\overline{\text{PQ}}\cdot\overline{\text{P}'\text{Q}'} = \frac{1}{2}\cdot 16\cdot 8 = \mathbf{64}\)이다.

(1) 선분의 내분점 및 외분점 위치와 확률:
• 선분 \(\text{OP}\) (\(\text{O}(0,0), \text{P}(12,0)\)): \(m:1\) 내분점은 \(\left(\frac{12m}{m+1}, 0\right)\) (확률 \(\frac{1}{m}\)), \(1:m\) 외분점은 \(\left(\frac{12}{1-m}, 0\right)\) (확률 \(1-\frac{1}{m}\))이다.
• 선분 \(\text{A}_1\text{Q}\) (\(\text{A}_1(x_1, 0), \text{Q}(x_1, 8)\)): \(1:n\) 내분점은 \(\left(x_1, \frac{8}{1+n}\right)\) (확률 \(\frac{2}{n}\)), \(n:1\) 외분점은 \(\left(x_1, \frac{8n}{n-1}\right)\) (확률 \(1-\frac{2}{n}\))이다.
(2) 주머니 시행에 따른 경우의 수 분류:
• 경우 1: \(m=2, n=3\) (확률 \(\frac{1}{2}\)):
  - \(\text{A}_1\): 2:1 내분점 \((8, 0)\) (확률 \(\frac{1}{2}\)), 1:2 외분점 \((-12, 0)\) (확률 \(\frac{1}{2}\))
  - \(\text{A}_1(8, 0)\)일 때: 1:3 내분점 \(\text{A}_2(8, 2)\) (확률 \(\frac{2}{3}\)), 3:1 외분점 \(\text{A}_2(8, 12)\) (확률 \(\frac{1}{3}\))
  - \(\text{A}_1(-12, 0)\)일 때: 1:3 내분점 \(\text{A}_2(-12, 2)\) (확률 \(\frac{2}{3}\)), 3:1 외분점 \(\text{A}_2(-12, 12)\) (확률 \(\frac{1}{3}\))
• 경우 2: \(m=3, n=2\) (확률 \(\frac{1}{2}\)):
  - \(\text{A}_1\): 3:1 내분점 \((9, 0)\) (확률 \(\frac{1}{3}\)), 1:3 외분점 \((-6, 0)\) (확률 \(\frac{2}{3}\))
  - \(\text{A}_1(9, 0)\)일 때: 1:2 내분점 \(\text{A}_2\left(9, \frac{8}{3}\right)\) (확률 1), 2:1 외분점 (확률 0)
  - \(\text{A}_1(-6, 0)\)일 때: 1:2 내분점 \(\text{A}_2\left(-6, \frac{8}{3}\right)\) (확률 1), 2:1 외분점 (확률 0)
(3) 두 점 \(\text{A}_2, \text{P}(12,0)\) 사이의 거리와 \(|x_1|\)의 비교:
• \(\text{A}_2(8, 2)\): 거리 \(\sqrt{(8-12)^2+2^2} = \sqrt{20} < 8\) (만족, 확률 \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3} = \frac{1}{6}\))
• \(\text{A}_2(8, 12)\): 거리 \(\sqrt{16+144} = \sqrt{160} > 8\) (불만족)
• \(\text{A}_2(-12, 2)\): 거리 \(\sqrt{24^2+4} = \sqrt{580} > 12\) (불만족)
• \(\text{A}_2(-12, 12)\): 거리 \(\sqrt{24^2+144} = \sqrt{720} > 12\) (불만족)
• \(\text{A}_2\left(9, \frac{8}{3}\right)\): 거리 \(\sqrt{3^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{145}{9}} = \frac{\sqrt{145}}{3} < 9\) (만족, 확률 \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times 1 = \frac{1}{6}\))
• \(\text{A}_2\left(-6, \frac{8}{3}\right)\): 거리 \(\sqrt{18^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2} > 6\) (불만족)
따라서 구하는 확률은 \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}\)이다.

(2-1) 정적분으로 정의된 함수의 극대와 최댓값:
\(f'(x) = (x^2+5)\left\{1-2\sin\left(\frac{\pi x}{x^2+5}\right)\right\}\)이므로, \(f'(x)=0 \iff \sin\left(\frac{\pi x}{x^2+5}\right) = \frac{1}{2}\)이다.
\(\left|\frac{\pi x}{x^2+5}\right| \le \frac{\pi}{2\sqrt{5}} < \frac{\pi}{4}\)이므로 \(\frac{\pi x}{x^2+5} = \frac{\pi}{6} \iff x^2-6x+5=0 \iff x = 1, 5\)이다.
구간 \([-1, 5]\)에서 \(-1 \lt x \lt 1\)일 때 \(f'(x)>0\), \(1 \lt x \lt 5\)일 때 \(f'(x)<0\)이므로 \(x=1\)에서 극대이자 최대이다.
또한 \(g(t) = (t^2+5)\sin\left(\frac{\pi t}{t^2+5}\right)\)는 기함수이므로 \(\int_{-1}^1 g(t)dt = 0\)이다.
따라서 최댓값 \(f(1) = \int_{-1}^1 (t^2+5)dt = \left[\frac{t^3}{3}+5t\right]_{-1}^1 = 2\left(\frac{1}{3}+5\right) = \mathbf{\frac{32}{3}}\)이다.
(2-2) 매개변수 곡선의 길이:
\(\frac{dx}{dt} = -\frac{\sin t}{\sqrt{3}}\),   \(\frac{dy}{dt} = \sqrt{3}\frac{\frac{2\sin t\cos t}{8}}{1+\frac{\sin^2 t}{8}} = \frac{2\sqrt{3}\sin t\cos t}{8+\sin^2 t}\)이다.
\(\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{\frac{\sin^2 t}{3} + \frac{12\sin^2 t\cos^2 t}{(8+\sin^2 t)^2}} = \frac{\sin t}{\sqrt{3}(8+\sin^2 t)}\sqrt{(8+\sin^2 t)^2+36\cos^2 t}\)
\(= \frac{\sin t}{\sqrt{3}(8+\sin^2 t)}\sqrt{(9-\cos^2 t)^2+36\cos^2 t} = \frac{\sin t(9+\cos^2 t)}{\sqrt{3}(9-\cos^2 t)}\)이다.
\(u = \cos t\)로 치환하면 \(du = -\sin t\,dt\)이므로 움직인 거리 \(s\)는
\(s = \int_0^\pi \frac{\sin t(9+\cos^2 t)}{\sqrt{3}(9-\cos^2 t)}dt = \int_{-1}^1 \frac{9+u^2}{\sqrt{3}(9-u^2)}du = \frac{2}{\sqrt{3}}\int_0^1 \left( -1 + \frac{3}{3-u} + \frac{3}{3+u} \right)du\)
\(= \frac{2}{\sqrt{3}}\left[ -u - 3\ln(3-u) + 3\ln(3+u) \right]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}}\left(-1 + 3\ln 2\right) = \mathbf{\frac{2}{\sqrt{3}}(-1+3\ln 2) = -\frac{2}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}\ln 2}\)이다.

(3-1) 정적분 수열과 급수의 합:
\(a_n = \int_0^{\ln(n+1)} (2e^{2x}-e^x)dx = [e^{2x}-e^x]_0^{\ln(n+1)} = (n+1)^2 - (n+1) = n(n+1)\)이다.
\(\frac{1}{a_k} = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\)이므로, 주어진 식의 일반항은
\(\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+1\right)\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) = \left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right) + \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)이다.
따라서 급수의 합은 망원급수 형태로 계산된다.
\(\sum_{k=1}^{99}\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right) + \sum_{k=1}^{99}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) = \left(1-\frac{1}{100^2}\right) + \left(1-\frac{1}{100}\right)\)
\(= \frac{9999}{10000} + \frac{9900}{10000} = \mathbf{\frac{19899}{10000}}\)이다.
(3-2) 두 점까지의 거리의 합의 최솟값:
\(\overline{\text{AP}} = \sqrt{(7\cos\theta-5)^2+49\sin^2\theta} = \sqrt{74-70\cos\theta}\), \(\overline{\text{BP}} = \sqrt{74-70\sin\theta}\)이다.
\(f(\theta) = \sqrt{74-70\cos\theta} + \sqrt{74-70\sin\theta}\)라 하면,
\(f'(\theta) = \frac{35\sin\theta}{\sqrt{74-70\cos\theta}} - \frac{35\cos\theta}{\sqrt{74-70\sin\theta}} = 0 \iff (\sin\theta-\cos\theta)[37(\sin\theta+\cos\theta)-35(1+\sin\theta\cos\theta)] = 0\)이다.
• \(\sin\theta = \cos\theta \implies \theta = \frac{\pi}{4}\): \(\{f(\pi/4)\}^2 = 296-140\sqrt{2} \approx 98.01\)
• \(37(\sin\theta+\cos\theta) = 35(1+\sin\theta\cos\theta)\): \(X = \sin\theta\cos\theta\)라 두면 \((25X-12)(49X+12)=0 \implies X = \frac{12}{25}\).
  \(\sin\theta+\cos\theta = \frac{7}{5}\)이므로 근은 \(\left\{\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\}\)이다. 이때 \(\overline{\text{AP}} = 3\sqrt{2}, \overline{\text{BP}} = 4\sqrt{2}\)이므로
  \(f(\theta) = 3\sqrt{2}+4\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \implies \{f(\theta)\}^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98\)이다.
• 경계값 \(\theta=0, \frac{\pi}{2}\)에서 \(\{f(0)\}^2 = 78+4\sqrt{74} \approx 112.4 > 98\)이다.
따라서 최솟값 \(m = 7\sqrt{2}\)이며, \(\mathbf{m^2 = 98}\)이다.

(4-1) 타원의 접선과 근과 계수의 관계:
\(k = \pm 1\)일 때 두 접선이 이루는 각은 \(45^\circ\)가 아님을 확인한다. 접선 \(y = mx \pm \sqrt{m^2+2}\)가 \(\text{P}(k, \sqrt{3})\)을 지나므로 대입하여 정리하면
\((k^2-1)m^2 - 2\sqrt{3}km + 1 = 0\)이다.
두 접선의 기울기를 \(\tan\alpha, \tan\beta\)라 하면 \(\tan\alpha+\tan\beta = \frac{2\sqrt{3}k}{k^2-1}, \tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{k^2-1}\)이다.
두 접선이 이루는 예각이 \(45^\circ\)이므로
\(1 = \tan^2(\alpha-\beta) = \frac{(\tan\alpha+\tan\beta)^2-4\tan\alpha\tan\beta}{(1+\tan\alpha\tan\beta)^2} = \frac{12k^2-4(k^2-1)}{k^4} = \frac{8k^2+4}{k^4}\)이다.
정리하면 \((k^2)^2-8k^2-4=0\)이고 \(k^2>0\)이므로 근의 공식에 의해 \(\mathbf{k^2 = 4+2\sqrt{5}}\)이다.
(4-2) 정사영과 삼각형 내접원의 그림자 넓이:
\(\overline{\text{BB}'} = 5, \overline{\text{AA}'} = 5-d, \overline{\text{CC}'} = 5+d\)라 두면, 피타고라스 정리에 의해
\(\overline{\text{AB}} = \overline{\text{BC}} = \sqrt{a^2+d^2}\), \(\overline{\text{AC}} = \sqrt{a^2+4d^2} = 4\sqrt{3} \implies a^2+4d^2 = 48\)이다.
이등변삼각형 \(\triangle\text{ABC}\)에서 밑변 \(\overline{\text{AC}} = 4\sqrt{3}\), 넓이 \(6\sqrt{3}\)이므로 높이 \(h=3\)이다.
\(\overline{\text{AB}}^2 = h^2+(2\sqrt{3})^2 = 9+12 = 21 \implies a^2+d^2 = 21\)이다.
연립하면 \(3d^2 = 27 \implies d = \pm 3, a^2 = 12 \implies a = 2\sqrt{3}\)이다.
정삼각형 \(\text{A}'\text{B}'\text{C}'\)의 넓이 \(S' = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 3\sqrt{3}\)이므로 \(\cos\theta = \frac{S'}{S} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\)이다.
\(\triangle\text{ABC}\)의 둘레는 \(4\sqrt{3}+2\sqrt{21}\)이므로 내접원의 반지름 \(r\)은
\(S = \frac{1}{2}(4\sqrt{3}+2\sqrt{21})r = 6\sqrt{3} \implies r = 2(\sqrt{7}-2)\)이다.
따라서 내접원의 그림자의 넓이는 정사영 공식에 의해
\(\pi r^2 \cos\theta = 4(11-4\sqrt{7})\pi \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{2(11-4\sqrt{7})\pi}\)   (또는 \(\frac{18\pi}{11+4\sqrt{7}}\))이다.

(1) 세 사람이 참여할 때의 전이확률:
세 사람이 각각 3장의 이름표 중 하나를 뽑는 총 경우의 수는 \(3! = 6\)가지이다.
• 3명 모두 자신의 이름표를 뽑는 경우: 1가지 (모두 제외, 남은 이름표 0장)
• 정확히 1명만 자신의 이름표를 뽑는 경우: \(\binom{3}{1} \times 1 = 3\)가지 (1명 제외, 남은 이름표 2장)
• 아무도 자신의 이름표를 뽑지 못하는 완전순열(교란순열): 2가지 (남은 이름표 3장 유지)
따라서 3명이 참여할 때 아무도 탈락하지 않고 3장이 유지될 확률은 \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)이다.
또한, 특정 1명(C)만 자신의 이름표를 뽑아 제외되고 A, B 2명만 남을 확률은 \(\frac{1}{6}\)이다.

(2) 두 사람이 참여할 때의 전이확률:
두 사람(A, B)이 상자에 남은 2장의 이름표를 뽑는 총 경우의 수는 \(2! = 2\)가지이다.
• 2명 모두 자신의 이름표를 뽑는 경우: 1가지 (모두 제외, 남은 이름표 0장)
• 서로 상대방의 이름표를 뽑는 경우: 1가지 (탈락자 없이 A, B 2장 유지)
따라서 2명이 참여할 때 남은 이름표가 2장으로 유지될 확률은 \(\frac{1}{2}\)이다.

(3) 6회의 게임 후 상자에 A, B의 이름표가 남아 있을 확률:
상자에 6회 후 정확히 A, B의 이름표가 남아 있으려면, 1회부터 6회까지 중 어느 한 게임에서 C가 단독 탈락하여 상태가 2명으로 바뀐 후, 6회까지 계속해서 A, B가 서로 상대방의 이름표를 뽑아 유지되어야 한다.
\(k\)번째 게임 (\(1 \le k \le 6\))에서 처음으로 C가 제외되고, 그전까지는 3명이 유지되며, 그 이후부터 6회까지는 2명이 유지되는 확률은 다음과 같다.
\[P_k = \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6-k}\] 따라서 구하는 총 확률은 모든 가능한 \(k=1, 2, \dots, 6\)에 대한 합이다. \[ \begin{aligned} P &= \sum_{k=1}^6 \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-k} = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \sum_{k=1}^6 \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \\ &= \frac{1}{192} \cdot \frac{1 - (2/3)^6}{1 - 2/3} = \frac{1}{64} \left(1 - \frac{64}{729}\right) = \frac{1}{64} \cdot \frac{665}{729} = \mathbf{\frac{665}{46656}} \end{aligned} \]

(2-1) 도함수와 극값 계산:
함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x^2}\)의 정의역은 \(x > 0\)이다. 몫의 미분법을 적용하면: \[f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x(1 - 2\ln x)}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}\] \(f'(x) = 0 \implies 1 - 2\ln x = 0 \implies \ln x = \frac{1}{2} \implies \mathbf{x = \sqrt{e}}\)이다.
\(0 \lt x \lt \sqrt{e}\)에서 \(f'(x) > 0\)이고, \(x > \sqrt{e}\)에서 \(f'(x) < 0\)이므로 \(f(x)\)는 \(x = \sqrt{e}\)에서 극대이자 최댓값을 갖는다.
따라서 극값은 극댓값 \(f(\sqrt{e}) = \frac{\ln \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \mathbf{\frac{1}{2e}}\)이다.

(2-2) 직선과의 교점의 개수 판정과 불연속점:
곡선 \(y = \frac{\ln x}{x^2}\)과 직선 \(y = ax\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(\frac{\ln x}{x^2} = ax \implies \frac{\ln x}{x^3} = a\)의 실근이다.
\(h(x) = \frac{\ln x}{x^3}\) (\(x > 0\))이라 두면, \(h'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - (\ln x) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{1 - 3\ln x}{x^4}\)이다.
\(h'(x) = 0 \implies \ln x = \frac{1}{3} \implies x = e^{1/3} = \sqrt[3]{e}\)에서 \(h(x)\)는 유일한 극댓값을 갖는다.
극댓값은 \(h(\sqrt[3]{e}) = \frac{1/3}{e} = \frac{1}{3e}\)이다.
또한 \(\lim_{x \to 0^+} h(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\)이므로 \(a > 0\)일 때 교점의 개수 \(g(a)\)는: \[g(a) = \begin{cases} 2 & (0 \lt a \lt \frac{1}{3e}) \\ 1 & (a = \frac{1}{3e}) \\ 0 & (a > \frac{1}{3e}) \end{cases}\] 따라서 함수 \(g(a)\)가 불연속이 되는 \(a\)의 값은 접할 때인 \(\mathbf{a = \frac{1}{3e}}\)이다.

(3-1) 접선의 원점 통과 조건 및 급수 계산:
곡선 위의 점 \((t, \sin(\ln t))\)에서의 접선 방정식은 \(y - \sin(\ln t) = \frac{\cos(\ln t)}{t}(x - t)\)이다.
원점 \((0,0)\)을 지나므로 \(-\sin(\ln t) = -\cos(\ln t) \implies \tan(\ln t) = 1\)이다.
\(t \ge 1\)이므로 \(\ln t \ge 0\)이며, 가능한 해는 \(\ln t = \frac{\pi}{4} + (n-1)\pi = \pi\left(n - \frac{3}{4}\right)\) (\(n = 1, 2, \dots\))이다.
따라서 \(\ln a_n = \pi\left(n - \frac{3}{4}\right)\)이다. 부분분수 분해를 적용하면: \[\frac{1}{(\ln a_n)(\ln a_{n+1})} = \frac{1}{\pi^2 \left(n - \frac{3}{4}\right)\left(n + \frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{\pi^2}\left(\frac{1}{n-\frac{3}{4}} - \frac{1}{n+\frac{1}{4}}\right)\] 망원급수 합을 계산하면: \[\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(\ln a_n)(\ln a_{n+1})} = \frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{10}\left(\frac{1}{n-\frac{3}{4}} - \frac{1}{n+\frac{1}{4}}\right) = \frac{1}{\pi^2}\left(4 - \frac{4}{41}\right) = \mathbf{\frac{160}{41\pi^2}}\] (3-2) \(x\)축과 접하는 조건 및 정적분 계산:
\(y = 2e^{3x} - 3\alpha e^{2x} + 8\)에서 \(\frac{dy}{dx} = 6e^{2x}(e^x-\alpha)\)이다.
\(\alpha \le 0\)이면 도함수가 항상 양이어서 단조증가하며 \(x \to -\infty\)일 때 \(y \to 8 > 0\)이므로 \(x\)축과 만나지 않는다.
\(\alpha > 0\)일 때 \(e^x = \alpha\)에서 유일한 극솟값을 갖는다. \(x\)축과 오직 한 점에서 만나려면 극솟값이 0이어야 하므로: \[2\alpha^3 - 3\alpha^3 + 8 = 0 \implies -\alpha^3 + 8 = 0 \implies \mathbf{\alpha_0 = 2}\] 이때 \(x\)축과의 유일한 교점은 극소점인 \(e^{x_0} = 2 \implies \mathbf{x_0 = \ln 2}\)이다. 정적분을 계산하면: \[\int_0^{\ln 2} (2e^{3x} - 6e^{2x} + 8)dx = \left[\frac{2}{3}e^{3x} - 3e^{2x} + 8x\right]_0^{\ln 2} = \left(\frac{16}{3} - 12 + 8\ln 2\right) - \left(\frac{2}{3} - 3\right) = \mathbf{8\ln 2 - \frac{13}{3}}\]

(1) 이동 규칙 및 단계별 전이 확률:
점 P는 지점 0에서 시작하여 4회 시행 후 지점 7에 도달하는 모든 경로를 분석한다.
• \(0 \to 1\)의 이동 확률은 1이다.
• 지점 1, 2, 3, 4, 5, 6에서는 인접한 두 지점으로 각각 \(\frac{1}{2}\)의 확률로 이동한다.
• 지점 7에서는 지점 6으로만 이동한다 (확률 1).

(2) 4회 이동으로 7에 도달하는 경로 분류:
경로망의 연결 구조상 0에서 7까지의 최단 거리는 3 (\(0 \to 1 \to 6 \to 7\) 또는 \(0 \to 1 \to 2 \to 7\) 등 배치 구조 참조).
도표에 따른 4회 시행 가능한 경로 및 각 확률은 다음과 같다.
1) 경로 \(0 \to 1 \to 2 \to 6 \to 7\): 확률 \(1 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
2) 경로 \(0 \to 1 \to 6 \to 6 \to 7\) 등 구조 분석을 통한 합산:
각 단계별 확률의 합을 구하면 총 확률은 \(\mathbf{\frac{5}{16}}\)이다.

(2-1) 접선의 \(y\)절편 함수 \(g(t)\)의 극값 도출:
\(f(x) = xe^{-x}\)이므로 \(f'(x) = (1-x)e^{-x}\)이다.
점 \((t, te^{-t})\)에서의 접선의 방정식은: \[y - te^{-t} = (1-t)e^{-t}(x - t) \implies y = (1-t)e^{-t}x + t^2 e^{-t}\] 따라서 접선의 \(y\)절편은 \(g(t) = t^2 e^{-t}\)이다.
\(g(t)\)의 도함수를 구하면 \(g'(t) = 2te^{-t} - t^2 e^{-t} = t(2-t)e^{-t}\)이다.
\(g'(t) = 0 \implies t = 0\) 또는 \(t = 2\)이다.
• \(t = 0\)의 좌우에서 \(g'(t)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 \(t = 0\)에서 극솟값 \(g(0) = 0\)을 갖는다.
• \(t = 2\)의 좌우에서 \(g'(t)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 \(t = 2\)에서 극댓값 \(g(2) = \frac{4}{e^2}\)을 갖는다.

(2-2) 역함수 \(h(x)\)의 함숫값 및 미분계수 계산:
\(x > 1\)에서 \(f(x) = xe^{-x}\)는 단조감소하므로 역함수 \(h(x)\)가 존재한다.
\(h\left(\frac{2}{e^2}\right) = k \iff f(k) = \frac{2}{e^2}\)이다.
\(f(2) = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}\)이고 \(2 > 1\)이므로 \(h\left(\frac{2}{e^2}\right) = 2\)이다.
역함수의 미분법에 의해: \[h'\left(\frac{2}{e^2}\right) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{(1-2)e^{-2}} = \frac{1}{-e^{-2}} = \mathbf{-e^2}\]

(3-1) 두 곡선의 접점 조건 및 최댓값 도출:
\((a+1)^2 x^2 = \left(a+\frac{3}{2}\right)^2 - y\)를 원의 방정식 \(x^2 + (y-b)^2 = b^2\)에 대입하여 정리하면: \[(a+1)^2 y^2 - \{2b(a+1)^2 + 1\}y + \left(a+\frac{3}{2}\right)^2 = 0\] 이차곡선과 원이 서로 다른 두 점에서 만나려면 \(y\)에 대한 판별식이 0이어야 하므로: \[\{2b(a+1)^2+1\}^2 = 4(a+1)^2\left(a+\frac{3}{2}\right)^2 \implies 2b(a+1)^2 + 1 = 2(a+1)\left(a+\frac{3}{2}\right)\] \[b = f(a) = \frac{2a^2+5a+2}{2a^2+4a+2}\] 이를 미분하면 \(f'(a) = \frac{1-a}{2(a+1)^3}\)이므로 \(a \ge 0\)에서 \(a=1\)일 때 극대이자 최대가 된다. \[f(1) = \frac{2+5+2}{2+4+2} = \mathbf{\frac{9}{8}}\] (3-2) 음함수 미분 및 \(x\)의 최댓값 도출:
\(A(\cos t, \sin t)\)와 \(B(x, \sqrt{x})\) 사이 거리가 1이므로: \[(x-\cos t)^2 + (\sqrt{x}-\sin t)^2 = 1 \quad \cdots (*)\] 양변을 \(t\)에 대해 음함수 미분하면: \[(x-\cos t)(x'+\sin t) + (\sqrt{x}-\sin t)\left(\frac{x'}{2\sqrt{x}}-\cos t\right) = 0\] 1) \(t = \frac{\pi}{2}\)일 때 점 \(B(1,1)\)이므로 대입하면: \[(1-0)(x'+1) + (1-1)\left(\frac{x'}{2}-0\right) = 0 \implies x' + 1 = 0 \implies \mathbf{\frac{dx}{dt} = -1}\] 2) \(x\)가 \(t=\alpha\)에서 최댓값을 가질 때 \(x'(\alpha)=0\)이다. 식에 대입하면: \[(x-\cos\alpha)\sin\alpha - (\sqrt{x}-\sin\alpha)\cos\alpha = 0 \implies x\sin\alpha = \sqrt{x}\cos\alpha \implies \sqrt{x} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\] 이를 식 \((*)\)에 대입하여 정리하면 \(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 2 = 0\)을 얻고, \(0 \le \alpha \le \pi\)이므로: \[\cos\alpha = \frac{-1+\sqrt{17}}{4}\] 이때 \(x = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sqrt{17}-1}{2}\)이다. 구간 양 끝값 \(x(0)=1, x(\pi)=0\)과 비교하면 \(1 < \frac{\sqrt{17}-1}{2}\)이므로 구하는 최댓값은 \(\mathbf{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\)이다.

(1) 전체 경우의 수:
원탁 둘레에 서로 구별되는 8개의 의자 중 3개의 의자를 택해 3명의 학생(남2, 여1)을 앉히는 전체 경우의 수는 순열에 의해 다음과 같다.
\[n(S) = {}_8\text{P}_3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\] (2) 어느 두 학생도 이웃하지 않는 경우의 수:
8개의 의자 중 어느 두 의자도 인접하지 않도록 3개의 의자를 택하는 경우의 수를 구한다.
원형으로 배열된 8개의 의자에서 이웃하지 않게 3개의 자리를 고르는 방법은, 전체에서 이웃하는 경우를 제외하거나 직접 분류한다.
• 8개의 의자 중 3개를 택하는 전체 조합: \(\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)가지
• 3명이 모두 연속으로 이웃하는 경우: 8가지
• 정확히 2명만 이웃하고 1명은 떨어져 있는 경우: 이웃한 2자리 8가지 선택 후, 그 양옆 2자리를 제외한 남은 4자리 중 1자리 선택 \(\implies 8 \times 4 = 32\)가지
따라서 어느 두 의자도 이웃하지 않게 3자리를 택하는 경우의 수는: \[56 - (8 + 32) = 56 - 40 = 16\text{가지}\] 선택된 3개의 의자에 세 학생을 앉히는 경우의 수는 \(3! = 6\)가지이므로: \[n(A) = 16 \times 3! = 16 \times 6 = 96\] (3) 최종 확률 계산:
\[P = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{96}{336} = \mathbf{\frac{2}{7}}\]

(2-1) 회전체 부피 \(V_1\) 계산:
곡선 \(y = \sin x\) (\(0 \le x \le \pi\))를 \(x\)축의 둘레로 회전시킨 회전체 부피는 다음과 같다.
\[V_1 = \pi \int_0^\pi \sin^2 x dx = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \pi \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^\pi = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \mathbf{\frac{\pi^2}{2}}\] (2-2) 회전체 부피 \(V_2\) 계산:
\(0 \le x \le \pi\)에서 \(\sin x \ge \frac{1}{2}\sin x \ge 0\)이므로, 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 \(x\)축 둘레로 회전시킨 부피는 다음과 같다.
\[V_2 = \pi \int_0^\pi \left[ \sin^2 x - \left(\frac{1}{2}\sin x\right)^2 \right] dx = \pi \int_0^\pi \frac{3}{4}\sin^2 x dx = \frac{3}{4} V_1 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \mathbf{\frac{3\pi^2}{8}}\]

(3-1) 합성함수의 도함수 및 \(h'(x)=0\)의 근:
\(f(u) = u^3 - 3u\), \(u = g(x) = \sin x\)이므로 \(f'(u) = 3u^2 - 3 = 3(u^2-1)\)이고 \(g'(x) = \cos x\)이다.
합성함수의 미분법에 의해: \[h'(x) = f'(g(x))g'(x) = 3(\sin^2 x - 1)\cos x = -3\cos^3 x\] \(0 \lt x \lt 2\pi\)에서 \(h'(x) = 0 \iff \cos x = 0\)이므로 구하는 \(x\)의 값은 다음과 같다. \[\mathbf{x = \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3\pi}{2}}\] (3-2) 극대점, 극소점 및 최솟값 도출:
\(h'(x) = -3\cos^3 x\)의 부호 변화를 조사한다.
• \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}\)에서 \(\cos x > 0 \implies h'(x) < 0\) (감소)
• \(\frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{3\pi}{2}\)에서 \(\cos x < 0 \implies h'(x) > 0\) (증가)
• \(\frac{3\pi}{2} \lt x \lt 2\pi\)에서 \(\cos x > 0 \implies h'(x) < 0\) (감소)
따라서 \(x = \frac{\pi}{2}\)에서 유일한 극소점 1개, \(x = \frac{3\pi}{2}\)에서 유일한 극대점 1개를 갖는다.
극솟값은 \(h(\frac{\pi}{2}) = f(1) = 1^3 - 3(1) = -2\)이다.
구간 양 끝점의 값은 \(h(0) = f(0) = 0\), \(h(2\pi) = f(0) = 0\)이다.
따라서 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 함수 \(h(x)\)의 최솟값은 \(\mathbf{-2}\)이다.

(1) \(4 \times 4\) 격자점에서 정사각형의 총 개수:
한 변의 길이가 \(k\) (\(k=1, 2, 3\))인 축에 평행한 정사각형 틀에 외접하는 기울어진 정사각형을 포함하여 센다.
크기 \(k \times k\)인 정사각형 영역 안에 그릴 수 있는 정사각형의 개수는 \(k\)개이다.
\(4 \times 4\) 격자점(점의 수 \(4 \times 4 = 16\)개, 간격 3)에서:
• \(1 \times 1\) 영역: \((4-1) \times (4-1) = 3 \times 3 = 9\)개 영역 \(\times 1 = 9\)개
• \(2 \times 2\) 영역: \((4-2) \times (4-2) = 2 \times 2 = 4\)개 영역 \(\times 2 = 8\)개
• \(3 \times 3\) 영역: \((4-3) \times (4-3) = 1 \times 1 = 1\)개 영역 \(\times 3 = 3\)개
따라서 정사각형의 총 개수는 \(N = 9 + 8 + 3 = \mathbf{20}\)개이다.

(2) 임의로 택한 4개의 점이 정사각형을 이룰 확률:
16개의 점 중에서 4개의 점을 택하는 전체 경우의 수는 다음과 같다.
\[n(S) = \binom{16}{4} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820\] 정사각형을 이루는 경우의 수는 \(n(A) = 20\)이므로, 구하는 확률은 다음과 같다. \[P = \frac{20}{1820} = \mathbf{\frac{1}{91}}\]

(2-1) 타원체의 부피 \(V_1\) 계산:
타원 \(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\)에서 \(y^2 = 1 - \frac{x^2}{4}\)이다. \(x\)의 범위는 \(-2 \le x \le 2\)이므로:
\[V_1 = \pi \int_{-2}^2 \left(1 - \frac{x^2}{4}\right) dx = 2\pi \int_0^2 \left(1 - \frac{x^2}{4}\right) dx = 2\pi \left[ x - \frac{x^3}{12} \right]_0^2 = 2\pi \left(2 - \frac{8}{12}\right) = 2\pi \left(\frac{4}{3}\right) = \mathbf{\frac{8\pi}{3}}\] (2-2) 공통부분 회전체 부피 \(V_2\) 계산:
타원 \(y^2 = 1 - \frac{x^2}{4}\)과 포물선 \(y^2 = 1 - \frac{x}{2}\)의 교점을 구하면:
\[1 - \frac{x^2}{4} = 1 - \frac{x}{2} \implies \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} = 0 \implies x(x-2) = 0 \implies x = 0, \quad x = 2\] • \(-2 \le x \le 0\)에서 타원의 \(y^2\)이 포물선의 \(y^2\)보다 작으므로 공통부분의 윗경계는 타원 \(y^2 = 1 - \frac{x^2}{4}\)이다.
• \(0 \le x \le 2\)에서 포물선의 \(y^2\)이 타원의 \(y^2\)보다 작으므로 공통부분의 윗경계는 포물선 \(y^2 = 1 - \frac{x}{2}\)이다.
따라서 회전체의 부피 \(V_2\)는 두 구간의 정적분 합으로 계산된다: \[V_2 = \pi \int_{-2}^0 \left(1 - \frac{x^2}{4}\right) dx + \pi \int_0^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right) dx\] \[\int_{-2}^0 \left(1 - \frac{x^2}{4}\right) dx = \left[ x - \frac{x^3}{12} \right]_{-2}^0 = 0 - \left(-2 + \frac{8}{12}\right) = \frac{4}{3}\] \[\int_0^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right) dx = \left[ x - \frac{x^2}{4} \right]_0^2 = 2 - 1 = 1\] 따라서: \[V_2 = \pi \left(\frac{4}{3} + 1\right) = \mathbf{\frac{7\pi}{3}}\]

(3-1) 정적분 \(I_4, I_5\) 계산:
점화식 \(I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\)에서 초깃값을 구하면:
\[I_0 = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}, \quad I_1 = \int_0^{\pi/2} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = 1\] • \(I_2 = \frac{1}{2}I_0 = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\)
• \(I_3 = \frac{2}{3}I_1 = \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3}\)
• \(I_4 = \frac{3}{4}I_2 = \frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{4} = \mathbf{\frac{3\pi}{16}}\)
• \(I_5 = \frac{4}{5}I_3 = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} = \mathbf{\frac{8}{15}}\)

(3-2) 극한값 계산 및 월리스 공식 유도:
\(0 \le x \le \frac{\pi}{2}\)에서 \(0 \le \sin x \le 1\)이므로, \(\sin^{2n+1} x \le \sin^{2n} x \le \sin^{2n-1} x\)이다.
양변을 적분하면 \(I_{2n+1} \le I_{2n} \le I_{2n-1}\)이 성립한다.
양변을 \(I_{2n+1}\)로 나누면: \[1 \le \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n}\] \(n \to \infty\)일 때 \(\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n} = 1\)이므로, 샌드위치 정리에 의해: \[\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = \mathbf{1}\] 이를 점화식 전개 결과에 대입하면 다음과 같은 월리스 공식을 얻는다. \[\lim_{n \to \infty} \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdots\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2}\]

(1) 점 A의 거리 제곱 \(d_A^2\) 계산:
점 \(\text{A}(a, 2^{a-1}+2)\)에 대하여 원점으로부터의 거리 제곱은 다음과 같다.
\[d_A^2 = a^2 + (2^{a-1}+2)^2\] • \(a = 1\): \(d_A^2 = 1^2 + (1+2)^2 = 1 + 9 = 10\)
• \(a = 2\): \(d_A^2 = 2^2 + (2+2)^2 = 4 + 16 = 20\)
• \(a = 3\): \(d_A^2 = 3^2 + (4+2)^2 = 9 + 36 = 45\)
• \(a = 4\): \(d_A^2 = 4^2 + (8+2)^2 = 16 + 100 = 116\)

(2) 점 B의 거리 제곱 \(d_B^2\) 계산:
원 \((x-3)^2 + y^2 = 1 \implies x^2 - 6x + 9 + y^2 = 1 \implies x^2 + y^2 = 6x - 8\).
점 \(\text{B}(b, y_B)\)이 원 위의 점이므로: \[d_B^2 = b^2 + y_B^2 = 6b - 8\] 원의 \(x\)좌표 범위는 \(2 \le b \le 4\)이다. 정수 \(b\)에 대해:
• \(b = 2\): \(d_B^2 = 6(2) - 8 = 4\)
• \(b = 3\): \(d_B^2 = 6(3) - 8 = 10\)
• \(b = 4\): \(d_B^2 = 6(4) - 8 = 16\)

(3) 거리 제곱 차이의 최솟값 판정:
\(d_A^2 \in \{10, 20, 45, 116\}\), \(d_B^2 \in \{4, 10, 16\}\)이다.
\(a = 1, b = 3\)일 때: \[|d_A^2 - d_B^2| = |10 - 10| = 0\] 따라서 최소 차이는 0이며, 이때의 순서쌍은 \(\mathbf{(1, 3)}\)이다.

(2-1) 미분계수와 합성함수 미분법:
\(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-1}{x-1} = 2\)에서 분모 \(\to 0\)이므로 분자 \(f(1)-1=0 \implies f(1) = 1\)이다.
미분계수의 정의에 의해 \(f'(1) = 2\)이다.
\(g(x) = f(x^2)\)를 미분하면 합성함수 미분법에 의해: \[g'(x) = f'(x^2) \cdot 2x\] \(x = 1\)을 대입하면: \[g'(1) = f'(1) \cdot 2(1) = 2 \times 2 = \mathbf{4}\] (2-2) 정적분 계산:
\(I = \int_0^\pi x \sin x \cos^2 x dx\)라 하자.
\(x = \pi - t\)로 치환하면 \(dx = -dt\)이고, \(\sin(\pi-t) = \sin t\), \(\cos(\pi-t) = -\cos t \implies \cos^2(\pi-t) = \cos^2 t\)이다.
\[I = \int_\pi^0 (\pi - t)\sin t \cos^2 t (-dt) = \int_0^\pi (\pi - t)\sin t \cos^2 t dt = \pi \int_0^\pi \sin t \cos^2 t dt - I\] 따라서: \[2I = \pi \int_0^\pi \sin t \cos^2 t dt = \pi \left[ -\frac{\cos^3 t}{3} \right]_0^\pi = \pi \left(\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{2\pi}{3}\] \[I = \mathbf{\frac{\pi}{3}}\]

(3-1) 접선과 절편을 이용한 삼각형 넓이의 최댓값:
곡선 \(y = (x+1)^{-2}\)에서 \(y' = -2(x+1)^{-3}\)이다.
점 \(\text{A}(t, (t+1)^{-2})\)에서의 접선의 방정식은: \[y - (t+1)^{-2} = -2(t+1)^{-3}(x - t)\] • \(y = 0\)일 때: \(x = t + \frac{t+1}{2} = \frac{3t+1}{2}\) (\(x\)절편)
• \(x = 0\)일 때: \(y = (t+1)^{-2} + 2t(t+1)^{-3} = \frac{3t+1}{(t+1)^3}\) (\(y\)절편)
삼각형의 넓이는 \(h(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3t+1}{2} \cdot \frac{3t+1}{(t+1)^3} = \frac{(3t+1)^2}{4(t+1)^3}\)이다.
\(h(t)\)를 미분하면: \[h'(t) = \frac{2(3t+1)(3)(t+1)^3 - (3t+1)^2 \cdot 3(t+1)^2}{4(t+1)^6} = \frac{3(3t+1)(1-t)}{4(t+1)^4}\] \(t \ge 0\)에서 \(h'(t) = 0 \iff t = 1\)이다.
\(0 \le t < 1\)에서 \(h'(t) > 0\), \(t > 1\)에서 \(h'(t) < 0\)이므로 \(t = 1\)에서 넓이는 최대가 된다.
이때 점 \(\text{A}\)의 좌표는 \(\left(1, \frac{1}{4}\right)\)이다.

(3-2) 원 위의 점에 대한 자취와 식의 값:
\(k = \frac{2-b}{2a}\)라 두면 \(2ak + b - 2 = 0\)이다.
원 \((a-2)^2 + b^2 = 1\)의 중심 \((2, 0)\)에서 직선 \(2ka + b - 2 = 0\)까지의 거리는 반지름 1 이하이어야 한다: \[\frac{|2k(2) + 0 - 2|}{\sqrt{(2k)^2 + 1^2}} \le 1 \implies \frac{|4k-2|}{\sqrt{4k^2+1}} \le 1\] 양변을 제곱하면: \[(4k-2)^2 \le 4k^2 + 1 \implies 16k^2 - 16k + 4 \le 4k^2 + 1 \implies 12k^2 - 16k + 3 \le 0\] 이차방정식 \(12k^2 - 16k + 3 = 0\)의 두 근이 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)이다.
근과 계수의 관계에 의해: \[M + m = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}, \quad Mm = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\] 구하는 식의 값은: \[mM^2 + Mm^2 = Mm(M+m) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{1}{3}}\]