【1-1】 모범답안 및 논리적 전개 과정
미적분학의 기본정리에 의해 \(\int_0^x \frac{f'(t)}{f(t)}\,dt = [\ln f(t)]_0^x = \ln f(x) - \ln f(0)\) 이다.
이를 주어진 식에 대입하면 \(\ln f(x) + (\ln f(x) - \ln f(0)) = 2x - f(0)\) 이므로
\(2\ln f(x) = 2x - f(0) + \ln f(0)\) 이 성립한다. 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(2\frac{f'(x)}{f(x)} = 2\), 즉 \(f'(x) = f(x)\) 이다.
따라서 \(f(x) = C e^x\) 이며, \(f'(1) = C e = 2e^2\) 에서 \(C = 2e\) 이다. 그러므로 \(\mathbf{f(x) = 2e^{x+1}}\) 이다.
【1-2 및 1-3】 정답 및 결론 도출
(1-2) 넓이 \(S = \int_0^1 2e^{x+1}\,dx = [2e^{x+1}]_0^1 = \mathbf{2e^2 - 2e}\) 이다.
(1-3) \(y = 2e^{x+1}\) 의 역함수는 \(x = \ln(y/2) - 1 = g(y)\) 이므로, 역함수의 미분법에 의해 \(g'(e^2) = \frac{1}{f'(g(e^2))} = \frac{1}{e^2}\) 또는 \(g'(y) = \frac{1}{y}\) 에서 \(\mathbf{g'(e^2) = \frac{1}{e^2}}\) 이다.
2열 세부 채점기준표 (루브릭)
| 평가 요소 및 단계별 해결 과정 | 배점 |
|---|
| 미적분학의 기본정리를 적용하여 \(f'(x) = f(x)\) 관계식을 정확히 유도함 | 10점 |
| 정적분 계산을 통해 둘러싸인 넓이 \(S = 2e^2 - 2e\)를 완전하게 산출함 | 10점 |
| 역함수 미분법을 명시하고 \(g'(e^2) = 1/e^2\) 정답을 논리적 비약 없이 제시함 | 10점 |
👨🏫 선생님의 합격 족집게 CLINIC
명지대학교 자연계 논술은 정적분으로 정의된 함수의 미분과 역함수 미분법의 엄밀성을 평가합니다. 단순 계산 결과뿐만 아니라 미분가능성 전제 조건을 빠짐없이 명시해야 감점을 차단할 수 있습니다.