2028 대전대학교
한의예과 메디컬 수리논술
12P 정밀 해설집 & 채점기준표

[1단계: 역행렬 존재하지 않을 조건]
행렬 $P - kE = \begin{pmatrix} 0.7 - k & 0.2 \\ 0.3 & 0.8 - k \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재하지 않을 조건은 행렬식 $D = 0$이므로
$$(0.7 - k)(0.8 - k) - 0.2 \cdot 0.3 = 0 \iff k^2 - 1.5k + 0.56 - 0.06 = 0 \iff k^2 - 1.5k + 0.5 = 0$$ 양변에 $2$를 곱하면 $2k^2 - 3k + 1 = 0 \iff (2k - 1)(k - 1) = 0$이므로 $k = 1$ 또는 $k = 0.5$이다.

[2단계: $k=1$일 때 정적 상태 $X$ 도출]
$P X = X \iff (P - E)X = O$이므로 $\begin{pmatrix} -0.3 & 0.2 \\ 0.3 & -0.2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이다.
즉 $-0.3x + 0.2y = 0 \iff 3x = 2y$이다.
조건 $x + y = 100$에 대입하면 $x + \frac{3}{2}x = 100 \iff \frac{5}{2}x = 100 \implies x = 40$, $y = 60$이다.
따라서 $X = \begin{pmatrix} 40 \\ 60 \end{pmatrix}$이다.

[1단계: 부분분수 분해]
일반항의 차이 $\frac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}$로 변형된다.

[2단계: 축차대입 및 일반항 $a_n$ 유도]
$n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$
망원소거법에 의하여
$$a_n = 1 + \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-3} - \frac{1}{2n-1}\right) \right] = 1 + \left(1 - \frac{1}{2n-1}\right) = 2 - \frac{1}{2n-1}$$ 이 식은 $n=1$일 때도 $a_1 = 2 - 1 = 1$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.

[3단계: $a_{100}$ 계산]
$a_{100} = 2 - \frac{1}{2(100)-1} = 2 - \frac{1}{199} = \frac{398 - 1}{199} = \frac{397}{199}$이다.

[1단계: 초기 조건]
주어진 등식 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 3xy$에 $x = 0, y = 0$을 대입하면 $f(0) = f(0) + f(0) + 0 \implies f(0) = 0$이다.

[2단계: 도함수 $f'(x)$의 정의 적용]
미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 정의에 의하여
$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) + f(h) + 3xh - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\left(\frac{f(h)}{h} + 3x\right) \end{aligned}$$ 이때 $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 2$이므로
$$f'(x) = 3x + 2$$
[3단계: 정적분 및 도형의 넓이]
$f(0) = 0$이므로 $f(x) = \int (3x + 2) dx = \frac{3}{2}x^2 + 2x$이다.
구간 $[0, 2]$에서 $x \ge 0$이므로 $f(x) \ge 0$이다.
따라서 구하는 넓이 $S$는
$$S = \int_{0}^{2} \left(\frac{3}{2}x^2 + 2x\right) dx = \left[ \frac{x^3}{2} + x^2 \right]_0^2 = \left(\frac{8}{2} + 4\right) - 0 = 4 + 4 = 8$$