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2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제1회] 수학 I·수학 II · 수열의 점화식 및 등비급수
【문제 1】 점화식 변환 및 무한등비급수의 수렴 [30점]

[제시문 가] 첫째항이 \(a_1 = 2\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2\)를 만족한다.
[제시문 나] 공비 \(r\)의 절댓값이 \(|r| < 1\)일 때, 무한등비급수는 \(\sum_{n=1}^\infty a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\)로 수렴한다.

[1-1] 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오. (12점)
[1-2] 급수 \(\sum_{n=1}^\infty (a_n - 3)\)의 수렴성을 판정하고 그 합을 구하시오. (18점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
※ 풀이 과정과 논증 단계를 논리적으로 명확하고 정갈하게 서술하시오.
홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제1회] 1 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제1회] 미적분 · 매개변수 곡선의 접선 및 곡선의 길이
【문제 2】 매개변수 곡선 미분 및 호의 길이 [35점]

[제시문 가] 매개변수 \(t\)로 정의된 곡선 \(x = 3\cos t, y = 3\sin t\) \((0 \le t \le \pi)\)가 있다.
[제시문 나] 곡선 \(x = e^t \cos t, y = e^t \sin t\) \((0 \le t \le 1)\)의 길이를 구하는 공식을 생각한다.

[2-1] \(t = \frac{\pi}{4}\)에 대응하는 점에서의 접선의 방정식을 구하시오. (15점)
[2-2] 매개변수 곡선 \(x = e^t \cos t, y = e^t \sin t\)의 \(0 \le t \le 1\)에서의 곡선의 길이를 구하시오. (20점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
※ 풀이 과정과 논증 단계를 논리적으로 명확하고 정갈하게 서술하시오.
홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제1회] 2 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제1회] 기하 · 타원의 접선 및 벡터의 내적
【문제 3】 타원 위의 접선과 초점 벡터 내적 [35점]

[제시문 가] 타원 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)의 두 초점을 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\)이라 하자. (\(c > 0\))
[제시문 나] 타원 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\frac{x_1 x}{16} + \frac{y_1 y}{9} = 1\)이다.

[3-1] 두 초점 \(F, F'\)의 좌표를 구하고, 타원 위의 임의의 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{PF} + \overline{PF'}\)의 값을 구하시오. (15점)
[3-2] 타원 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에 대하여 벡터 내적 \(\vec{PF} \cdot \vec{PF'}\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (20점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
※ 풀이 과정과 논증 단계를 논리적으로 명확하고 정갈하게 서술하시오.
홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제1회] 3 / 3
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2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제2회] 수학 II·미적분 · 3차 함수의 대칭성과 접선의 개수
【문제 1】 3차 함수의 극값 및 접선의 개수 판별 [30점]

[제시문 가] 3차 함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 밖의 점 \(P(a, b)\)에서 그은 접선의 개수는 접점 \(t\)의 실근 개수와 일치한다.
[제시문 나] 곡선 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.

[1-1] 점 \(P(a, b)\)를 지나는 접선의 접점 \(t\)가 만족하는 3차 방정식을 세우시오. (12점)
[1-2] 점 \(P(0, k)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x\)에 그을 수 있는 접선의 개수가 3개가 되도록 하는 실수 \(k\)의 범위를 구하시오. (18점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
※ 풀이 과정과 논증 단계를 논리적으로 명확하고 정갈하게 서술하시오.
홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제2회] 1 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제2회] 미적분 · 치환적분과 부분적분 점화식
【문제 2】 삼각함수 거듭제곱 정적분 점화식 [35점]

[제시문 가] 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx\)로 정의한다.
[제시문 나] 부분적분법: \(\int u v' dx = u v - \int u' v dx\).

[2-1] \(I_0\)과 \(I_1\)의 값을 각각 구하시오. (10점)
[2-2] \(n \ge 2\)에 대하여 점화식 \(I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\)를 증명하고, \(I_4\)의 값을 구하시오. (25점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
※ 풀이 과정과 논증 단계를 논리적으로 명확하고 정갈하게 서술하시오.
홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제2회] 2 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제2회] 기하 · 포물선 초점을 지나는 직선의 조화평균
【문제 3】 포물선 초점 현의 조화평균 성질 [35점]

[제시문 가] 포물선 \(y^2 = 4px\)의 초점은 \(F(p, 0)\)이다.
[제시문 나] 초점 \(F\)를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)라 하자.

[3-1] 포물선의 정의를 이용하여 \(\overline{AF} = x_1 + p\), \(\overline{BF} = x_2 + p\)임을 증명하시오. (15점)
[3-2] \(\frac{1}{\overline{AF}} + \frac{1}{\overline{BF}} = \frac{1}{p}\) (일정한 상수)임을 증명하시오. (20점)

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홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제2회] 3 / 3
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2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제3회] 확률과 통계 · 이항분포와 정규분포의 표준화
【문제 1】 이항분포의 정규분포 근사 및 표준화 [30점]

[제시문 가] 한 개의 주사위를 720회 던질 때, 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\)라 하자.
[제시문 나] 이항분포 \(B(n, p)\)에서 \(n\)이 충분히 클 때, 확률변수 \(X\)는 정규분포 \(N(np, npq)\)에 근사한다.

[1-1] 확률변수 \(X\)의 평균 \(E(X)\)와 표준편차 \(\sigma(X)\)를 구하시오. (12점)
[1-2] 표준정규분포표 \(P(0 \le Z \le 1) = 0.3413, P(0 \le Z \le 2) = 0.4772\)를 이용하여 \(P(110 \le X \le 140)\)의 값을 구하시오. (18점)

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홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제3회] 1 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제3회] 미적분 · 음함수 미분과 변곡점 접선
【문제 2】 음함수의 미분법 및 변곡점과 면적 [35점]

[제시문 가] 곡선 \(x^2 y + y^3 = 2\) 위의 점 \((1, 1)\)을 생각하자.
[제시문 나] 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는 음함수 미분법으로 \(\frac{dy}{dx}\)를 구한다.

[2-1] 점 \((1, 1)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오. (15점)
[2-2] 점 \((1, 1)\)에서의 이계도함수 \(\frac{d^2 y}{dx^2}\)의 값을 구하시오. (20점)

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홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제3회] 2 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제3회] 기하 · 구와 평면의 교선 및 공간 정사영
【문제 3】 공간도형 구와 평면의 단면 및 정사영 [35점]

[제시문 가] 좌표공간에서 구 \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 16\)과 평면 \(\alpha: 2x + y + 2z = 6\)이 만나는 원을 \(C\)라 하자.
[제시문 나] 원 \(C\)를 \(xy\)평면 위로 정사영시킨 도형을 \(E\)라 한다.

[3-1] 원 \(C\)의 중심 좌표와 반지름의 길이를 구하시오. (15점)
[3-2] 정사영 도형 \(E\)의 넓이를 구하시오. (20점)

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홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제3회] 3 / 3
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2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제4회] 수학 I · 삼각함수 덧셈정리와 망원급수
【문제 1】 삼각함수 덧셈정리 및 망원급수의 합 [30점]

[제시문 가] 탄젠트 덧셈정리: \(\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}\).
[제시문 나] 자연수 \(n\)에 대하여 \(\tan\theta_n = \frac{2}{n^2 + n + 2}\) (\(0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}\))이다.

[1-1] \(\tan\alpha_n = n+1, \tan\beta_n = n-1\)이라 할 때, \(\tan(\alpha_n - \beta_n) = \frac{2}{n^2+n}\)임을 보이시오. (12점)
[1-2] \(\tan\theta_n = \frac{1}{n^2+n+1}\)일 때, 무한급수 \(\sum_{n=1}^\infty \theta_n\)의 값을 구하시오. (18점)

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홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제4회] 1 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제4회] 미적분 · 역함수 미분법 및 정적분 넓이
【문제 2】 역함수 미분법 및 곡선 사이 넓이 [35점]

[제시문 가] 함수 \(f(x) = x^3 + 3x + 2\)는 실수 전체에서 증가하므로 역함수 \(g(x) = f^{-1}(x)\)가 존재한다.
[제시문 나] 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.

[2-1] \(g(6)\)과 \(g'(6)\)의 값을 구하시오. (15점)
[2-2] 정적분 \(\int_2^6 g(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (20점)

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2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제4회] 기하 · 쌍곡선의 점근선 및 접선의 성질
【문제 3】 쌍곡선 접선과 두 초점의 거리 곱 [35점]

[제시문 가] 쌍곡선 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)의 두 초점은 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\)이다. (\(c^2 = a^2 + b^2\))
[제시문 나] 쌍곡선 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.

[3-1] 두 초점 \(F, F'\)에서 접선에 내린 수선의 발을 각각 \(H, H'\)이라 할 때, 선분의 길이의 곱 \(\overline{FH} \cdot \overline{F'H'}\)이 항상 \(b^2\)으로 일정함을 증명하시오. (20점)
[3-2] 쌍곡선 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)에 대하여 두 초점에서의 수선의 발의 거리 곱을 구하시오. (15점)

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홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제4회] 3 / 3
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2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제5회] 수학 I·확률과 통계 · 수열의 극한 및 중복조합 분할
【문제 1】 수열의 극한 및 자연수 분할 중복조합 [30점]

[제시문 가] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}\)을 만족한다.
[제시문 나] 방정식 \(x + y + z = 9\)를 만족하는 양의 정수 \((x, y, z)\)의 순서쌍의 개수를 생각한다.

[1-1] 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 3\)임을 수학적 귀납법으로 증명하고 극한값을 구하시오. (12점)
[1-2] 방정식 \(x + y + z = 9\)를 만족하는 양의 정수해의 개수를 구하시오. (18점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
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홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제5회] 1 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제5회] 미적분 · 테일러 부등식 및 함수의 극대·극소
【문제 2】 지수부등식 증명 및 함수의 최대·최소 [35점]

[제시문 가] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(e^x \ge 1 + x\)가 성립한다.
[제시문 나] 함수 \(f(x) = x^2 e^{-x}\) (\(x \ge 0\))을 생각하자.

[2-1] 도함수를 이용하여 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(e^x \ge 1 + x\)임을 증명하시오. (15점)
[2-2] 구간 \([0, \infty)\)에서 함수 \(f(x) = x^2 e^{-x}\)의 최댓값과 그때의 \(x\)좌표를 구하시오. (20점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
※ 풀이 과정과 논증 단계를 논리적으로 명확하고 정갈하게 서술하시오.
홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제5회] 2 / 3
2027학년도 홍익대학교 수리논술 모의고사 [제5회] 기하 · 공간에서 두 직선의 꼬인 위치 최단거리
【문제 3】 공간도형 꼬인 두 직선의 최단거리 [35점]

[제시문 가] 좌표공간에서 두 직선 \(l_1: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{2}\), \(l_2: \frac{x-3}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{-2}\)가 있다.
[제시문 나] 두 직선에 동시에 수직인 공통법선벡터를 이용하여 최단거리를 구한다.

[3-1] 두 직선 \(l_1, l_2\)의 방향벡터에 동시에 수직인 단위법선벡터 \(\vec{n}_0\)을 구하시오. (15점)
[3-2] 두 직선 \(l_1, l_2\) 사이의 최단거리를 구하시오. (20점)

📝 【답안 작성란】 (A4 수리논술 서술 영역)
※ 풀이 과정과 논증 단계를 논리적으로 명확하고 정갈하게 서술하시오.
홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 [제5회] 3 / 3
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.56 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 142} + 142\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 288\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 288\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 288)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 288\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 288)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 288\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(144, 144)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 144)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 288)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 288 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{288}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 6회 : 지수·로그함수의 역함수 · 비선형 분수 점화식의 · 함수방정식과 도함수의 · 수직선 위를 움직이는 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{145}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/145)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{145}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 145\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 139\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 139}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{29725}\)의 값을 유도하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 6회 : 지수·로그함수의 역함수 · 비선형 분수 점화식의 · 함수방정식과 도함수의 · 수직선 위를 움직이는 · 포물선과 직선으로 둘러 Page 2 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 146\right)\)로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 15xy(x+y) - 142\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 142\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 15xy(x + y) - 142\)을 만족시키고 \(f'(0) = 146\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 142\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 15x^2 + 146\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 5x^3 + 146x + 142\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 293)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 206\right)\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 414)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 414)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 414]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 414)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 828t^2 + 171396t = t(t - 414)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 414\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(414) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 414]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 138)(t - 414)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(138) = 10512288\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1656 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 276\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(276) = 5256144\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 139)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (139, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{139} (-6x^2 + 834x)\,dx = 2685619\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{139}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(2685619\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 834x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 417x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 834x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 2685619\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 2685619\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{139}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{139/2} (-6x^2 + 834x)\,dx = \dfrac{2685619}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 834x\)와 직선 \(y = 417x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{2685619}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.57 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{149}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 147\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{149}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 146\sqrt{149}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{149}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 147\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 21607\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 146\sqrt{149}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 3176082\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{3176084}{146\sqrt{149}}\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 7회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 절댓값 인수를 포함한 · 상수 구간 정적분을 포 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=414,\; c=690\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=966\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 2070\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{2070}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 414,\; c = 690\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=414\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 966\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{966\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{285660\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{138\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -990\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 141} \dfrac{f(x)}{(x - 141)^2} = 279\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 141)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -990\)과 \(\lim_{x \to 141} \dfrac{f(x)}{(x - 141)^2} = 279\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 141)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -144\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 141)^2(3x + -144)\)이 무한대 극한 조건 \(-990\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(143) = 1140\)의 값과 \(x = 141\)에서의 미분계수 \(f'(141) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 281x + 19738\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 142|P(x)\)가 \(x = 142\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(142) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 142)(x - 139)\)일 때 구간 \(x \lt 142\)에서 \(h(x) = -(x - 142)^2(x - 139)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 281x + 19738\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 142|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 142\)에서의 우미분계수 \(P(142)\)와 좌미분계수 \(-P(142)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(142) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 142\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 142)(x - 140)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 142\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 140\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(140) = -4\;(\text{기준점 } 142)\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 431\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 431\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 144\)에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 431)\,dx = 864\)이다.
연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 431\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 431)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 144\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 576x + 431\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{288}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -142\)을 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 576x + 431)\,dx = 864\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.58 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{137},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{137}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 300304\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{300304}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{137},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{137}\)이며, 크기 \(n = 300304\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{137}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 137)\)를 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 300304\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{548} = \dfrac{3}{3425}\)를 유도하시오.
[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{85625}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 8회 : 베이즈 정리 사후확률과 · 평균값 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 함수 · 포물선의 초점·준선 정 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 402x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 402\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 402 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 402}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 402x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 402(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 405\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{402}\)와 \(g'(405) = \dfrac{1}{405}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((405, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{405}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(405)} = 807\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 828\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 828)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 828)\,dt = 3x^2 - 828x\)이고 \(F''(x) = 6x - 828\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 828)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 828x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 828\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(276) = 10512288\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 138\)에서의 함숫값 \(F(138) = -5256144\)과 접선의 기울기 \(F'(138) = -57132\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 544x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(136, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -136\)까지의 거리 \(x_1 + 136\)와 같다.
<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 544x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(544, 544)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 272\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(136, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 544x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(544, 544)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -136\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 680\)의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(544, 544)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-544, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 680\)임을 증명하시오.
[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(680\)와 높이 \(544\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 184960\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 8회 : 베이즈 정리 사후확률과 · 평균값 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 함수 · 포물선의 초점·준선 정 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 4 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(408, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 408, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 408)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 408\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 408)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 408\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{166464}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(408, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 408, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 408)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 408\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 408 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 136\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{166464}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{166464\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 11319552\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 8회 : 베이즈 정리 사후확률과 · 평균값 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 함수 · 포물선의 초점·준선 정 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.59 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 145} + 145\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 294\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 294\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 294)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 294\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 294)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 294\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(147, 147)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 147)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 294)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 294 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{294}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=420,\; c=700\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=980\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 2100\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{2100}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 420,\; c = 700\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=420\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 980\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{980\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{294000\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{140\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 2 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 834\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 834)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 834)\,dt = 3x^2 - 834x\)이고 \(F''(x) = 6x - 834\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 834)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 834x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 834\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(278) = 10742476\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 139\)에서의 함숫값 \(F(139) = -5371238\)과 접선의 기울기 \(F'(139) = -57963\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 3 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 423)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 423)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 423]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 423)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 846t^2 + 178929t = t(t - 423)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 423\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(423) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 423]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 141)(t - 423)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(141) = 11212884\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 1692 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 282\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(282) = 5606442\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 4 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{138},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{138}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 304704\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{304704}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{138},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{138}\)이며, 크기 \(n = 304704\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{138}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 138)\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 304704\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{552} = \dfrac{3}{3450}\)를 유도하시오.
[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{86250}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 9회 : 지수·로그함수의 역함수 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 정적분으로 정의된 함수 · 수직선 위를 움직이는 · 베이즈 정리 사후확률과 Page 5 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
2027학년도 대비 홍익대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집) 120분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 3합8

[대문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.60 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-02, 12미적Ⅰ-02-08]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{149}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(5\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/149)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{149}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 149\right)\)을 이용하여 \(b_n = 5n + 144\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 144}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{29651}\)의 값을 유도하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 1 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1011\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 144} \dfrac{f(x)}{(x - 144)^2} = 285\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 144)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1011\)과 \(\lim_{x \to 144} \dfrac{f(x)}{(x - 144)^2} = 285\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 144)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -147\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 144)^2(3x + -147)\)이 무한대 극한 조건 \(-1011\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(146) = 1164\)의 값과 \(x = 144\)에서의 미분계수 \(f'(144) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
홍익대학교 2027 자연계열 수리논술 대비 · 10회 : 비선형 분수 점화식의 · 무한대 극한과 영인자 · 평균값 정리를 이용한 · 포물선과 직선으로 둘러 · 벡터를 이용한 공간 평 Page 2 / 5  |  2022 개정 교육과정 Textbook DB 정합 검증본
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[대문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 408x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 408\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 408 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 408}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 408x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 408(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 411\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{408}\)와 \(g'(411) = \dfrac{1}{411}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((411, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{411}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(411)} = 819\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 143)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (143, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{143} (-6x^2 + 858x)\,dx = 2924207\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{143}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(2924207\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 858x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 429x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 858x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 2924207\)를 유도하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 2924207\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{143}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{143/2} (-6x^2 + 858x)\,dx = \dfrac{2924207}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 858x\)와 직선 \(y = 429x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{2924207}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(414, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 414, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 414)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 414\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 414)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 414\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{171396}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(414, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 414, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 414)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 414\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 414 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 138\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{171396}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{171396\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 11826324\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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