갑과 을 두 사람이 아래와 같은 규칙으로 게임을 한다.
• 갑은 $1$부터 $n$까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 $n$장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다. (단, $n \ge 11$이다.)
• 을은 $1$부터 $11$까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 $11$장의 카드에서 특정 수 $k$ ($1 \le k \le 11$)가 적힌 카드는 제거하고, 나머지 $10$장의 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다.
• 두 사람이 꺼낸 카드에 적힌 수를 비교하여 더 큰 수를 꺼낸 사람이 승자가 된다.
• 만약 두 수가 동일하면 무승부가 되고 꺼낸 카드는 다시 넣는다.
• 게임은 승부가 날 때까지 같은 규칙으로 진행한다.

• 음함수 표현 $f(x, y) = 0$에서 $y$를 $x$에 대한 함수로 보고 각 항을 $x$에 대하여 미분하여 $\frac{dy}{dx}$를 구한다.
• 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가, $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt$$ 좌표평면 위의 두 점 $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$에 대하여 점 $P(x, y)$가 음함수 표현 $\overline{PA} \times \overline{PB} = 1$을 만족시킨다. (단, $x > 0$이고 $y > 0$이다.)

• $x$의 값의 범위가 $\alpha \le x \le \beta$일 때 이차함수 $f(x) = a(x-p)^2 + q$의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.
  (i) $\alpha \le p \le \beta$이면 $f(\alpha), f(p), f(\beta)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값이다.
  (ii) $p < \alpha$ 또는 $p > \beta$이면 $f(\alpha), f(\beta)$ 중에서 큰 값이 최댓값이고 작은 값이 최솟값이다.
• 로그함수 $y = \log_a x$는 $a > 1$일 때, $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다.
• 삼각함수 $y = \sin x$는 주기함수이고 주기는 $2\pi$이다.

• 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가, $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다: $\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt$
• 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x-a)$이다.
• $\int_a^b f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)dx$,   • $y = x^n$이면 $y' = n x^{n-1}$이다.

• 초점이 $F(p, 0)$, 준선이 $x = -p$인 포물선의 방정식은 $y^2 = 4px$이다. (단, $p \ne 0$이다.)
• 두 직선 $l, m$이 꼬인 위치에 있을 때, 직선 $m$ 위의 임의의 점 $O$를 지나고 직선 $l$에 평행한 직선 $l'$을 그으면 두 직선 $l', m$은 점 $O$에서 만나므로 한 평면을 결정한다. 이때 두 직선 $l'$과 $m$이 이루는 각을 두 직선 $l, m$이 이루는 각이라 한다.

• 남학생 2명과 여학생 2명이 두 번의 테스트로 구성된 프로그램에 참여한다.
• 각 테스트가 시작할 때, 남학생 1명과 여학생 1명을 임의로 짝지어 두 개의 팀을 구성하여 테스트에 각각 참여한다.
• 팀은 테스트마다 다시 구성한다.
• 어떤 두 학생이 처음으로 팀이 되었을 때, 그 팀이 테스트를 통과할 확률은 $\frac{1}{2}$이다.
• 어떤 두 학생이 두 번 연속으로 같은 팀이 되었을 때, 첫 번째 테스트를 통과했다면 두 번째 테스트를 통과할 확률은 $\frac{3}{4}$이다. 그러나 첫 번째 테스트를 통과하지 못했다면 두 번째 테스트를 통과할 확률은 $\frac{1}{4}$이다.
• 두 번의 테스트 동안 어떤 학생이 속한 팀이 한 번 이상 테스트를 통과하면 그 학생은 프로그램에 합격한 것으로 한다.

• 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt$$ • 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ • 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능하고, $f'(x), g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$$

• 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt$$ • 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이고 극댓값은 $f(a)$이다.

• (가) 주머니 A에는 빨간색 공 1개가 들어 있고, 주머니 B에는 파란색 공 5개가 들어 있다. 두 주머니의 공을 주머니 C에 합친 후 임의로 1개를 꺼내서 그 공이 빨간색 공일 때 100만 원의 상금을 받는다. 만일 파란색 공을 꺼낸 경우 상금은 0원이다.
• (나) 주머니 C에 합치기 전에, 회당 2만 원의 비용을 지불하면 주머니 A 또는 B를 선택한 후 선택한 주머니에서 임의로 1개의 공을 택하여 제거한다.
• (다) (나)는 최대 2회 가능하며, $k\,(k=1\text{ 또는 }2)$번째에서 주머니를 선택하는 규칙은 다음과 같다.
    - 주머니 A를 선택할 확률은 $\frac{a}{k}$이고, 주머니 B를 선택할 확률은 $1-\frac{a}{k}$이다.
    - 주머니 A에 공이 없는 경우 주머니 B에서 공을 택한다.
• (라) 공을 제거할 때 지불하는 비용은 상금에서 차감된다. 따라서 상금의 값은 음수가 될 수 있다.

• 함수 $y = f(x)$의 $x = a$에서의 미분계수는 다음과 같다.
$$f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ • 함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 $f''(x) > 0$이면 곡선 $y = f(x)$는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
• 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ • 두 수 $\alpha, \beta$를 근으로 하고 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식은 다음과 같다.
$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$ • 미분가능한 함수 $g(t)$에 대하여 $x = g(t)$로 놓으면 $\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\,dt$이다.

• 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, 다음이 성립한다.
$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$ • 좌표평면에서 두 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1), \mathrm{B}(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$이다.
• 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a) = \alpha, g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$$

• 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$이다.
• 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$이다.
• 두 평면벡터 $\vec{a}, \vec{b}$가 이루는 각의 크기가 $\theta \; (0^\circ \le \theta \le 180^\circ)$일 때, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$이다.

• 좌표평면의 원점 $\mathrm{O}$에 있는 점 $\mathrm{A}$는 다음과 같은 규칙에 따라 이동한다.
• 주머니에 숫자 2가 적힌 공 1개와 숫자 3이 적힌 공 1개가 들어 있다.
• 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼낸 후 그 공에 적힌 숫자를 $m$이라 하자. 점 $\mathrm{A}$는 $\frac{1}{m}$의 확률로 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}(12,0)$을 이은 선분 $\mathrm{OP}$를 $m:1$로 내분하는 점으로 이동하거나, $1-\frac{1}{m}$의 확률로 선분 $\mathrm{OP}$를 $1:m$으로 외분하는 점으로 이동한다. 이때 이동한 점을 $\mathrm{A}_1(x_1, 0)$이라 하고, 꺼낸 공은 다시 집어넣지 않는다.
• 주머니에 남아 있는 공에 적힌 숫자를 $n$이라 하자. 점 $\mathrm{A}_1$은 $\frac{2}{n}$의 확률로 점 $\mathrm{A}_1$과 점 $\mathrm{Q}(x_1, 8)$을 이은 선분 $\mathrm{A}_1\mathrm{Q}$를 $1:n$으로 내분하는 점으로 이동하거나, $1-\frac{2}{n}$의 확률로 선분 $\mathrm{A}_1\mathrm{Q}$를 $n:1$로 외분하는 점으로 이동한다. 이때 이동한 점을 $\mathrm{A}_2(x_1, y_1)$이라 한다.

• 함수 $f(t)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x) \; (a < x < b)$가 성립한다.
• 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하고 $x = a$에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$이다.
• 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f'(x) > 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가하고, $f'(x) < 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소한다.
• 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}(x, y)$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = f(t), y = g(t)$로 나타내어질 때, $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $s = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt$이다.

• 좌표평면에서 두 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1), \mathrm{B}(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$이다.
• 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
• 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하고 $x = a$에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$이다.

• 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$이다.
• 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \; \alpha\beta = \frac{c}{a}$이다.
• 평면 $\beta$ 위에 있는 도형의 넓이를 $S$, 이 도형의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$이라 할 때, 두 평면 $\alpha, \beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta \; (0^\circ \le \theta \le 90^\circ)$라 하면 $S' = S\cos\theta$이다.

• 그림과 같은 도로망이 있다. $(i, j)$좌표에서 $(i+1, j)$ 또는 $(i, j+1)$좌표로의 이동비용은 1000원이고 소요 시간은 1시간이다.
• $(i, j)$좌표에서 $(i+1, j+1)$좌표로의 이동비용은 2400원이며 소요 시간은 30분이다.
• 원점 $\mathrm{O}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{A}(4, 4)$ 지점까지 도로를 따라갈 때, 9000원 이하의 비용으로 7시간 이내에 도착하기 위한 모든 경로의 수를 구하시오.
• (단, 왼쪽($\leftarrow$) 또는 아래($\downarrow$) 방향과 왼쪽 아래로의 대각선($\swarrow$) 방향으로 이동할 수 없다.)

• 함수 $f(x)$가 임의의 세 실수 $a, b, c$를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$$ • 모든 실수 $x$에 대하여 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$이 성립한다.
• 미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $f'(x), g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$$ • 미분가능한 두 함수 $y = f(u), u = g(x)$에 대하여 합성함수 $y = f(g(x))$의 도함수는 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$이다.
• 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$이다.

• 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$이다.
• 모든 실수 $x$에 대하여 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$이 성립한다.
• 미분가능한 두 함수 $y = f(u), u = g(x)$에 대하여 합성함수 $y = f(g(x))$의 도함수는 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$이다.
• $x$의 함수 $y$가 음함수의 꼴 $f(x, y) = 0$으로 주어질 때, $f(x, y) = 0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $\frac{dy}{dx}$를 구한다.

• 그림과 같이 좌표평면 위에 좌표가 $(1,1), (1,2), \dots, (m,n)$인 $m \times n$개의 점이 있다. 이 중 4개의 점을 택하여 만들 수 있는 직사각형 중 넓이가 1인 것을 제외한 개수를 $A(m,n)$이라고 정의한다. (단, $m, n$은 1보다 큰 자연수이다.)

• 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하고 $x = a$에서 극값을 가지면 $f'(a) = 0$이다.
• 다항식 $P(x)$에 대하여 $P(\alpha) = 0$일 때, $P(x)$를 $x - \alpha$로 나눈 몫을 $Q(x)$라 하면 $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$이다.
• 각 $\alpha$와 $\beta$에 대하여 $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta, \; \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$이다.
• 함수 $f(t)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x) \; (a < x < b)$가 성립한다.

• 닫힌구간 $[a, b]$에서 두 함수 $f(x), g(x)$의 도함수가 연속일 때 다음 식이 성립한다.
$$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$$ • 점 $(a, b)$와 점 $(b, a)$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
• 두 평면벡터 $\vec{a}, \vec{b}$가 이루는 각의 크기가 $\theta$일 때, $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 내적은 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$이다.