[2028 대비] 가천대·상명대·을지대 등 13개교 행렬 예상 약술형 논술고사 10문항

📚 [2028 대비] 가천대·상명대·을지대 등 13개교 행렬 예상 약술형 논술고사 10문항

Questio 출판국 표준 A4 1문항 1페이지 규격 · KaTeX 0.16.9 수식 무결성 보증

약술 01 [성분 정의 행렬] 이차 정사각행렬 $A$의 $(i, j)$ 성분 $a_{ij}$가 $a_{ij} = \begin{cases} 2i - j & (i \le j) \\ i + j^2 & (i > j) \end{cases}$로 정의될 때, 행렬 $A$를 구하고 $A^2$의 모든 성분의 합을 구하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① 정의에 의해 $a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=3, a_{22}=2$이므로 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$이다. (3점)
② $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 9 & 4 \end{pmatrix}$이다. (4점)
③ 따라서 $A^2$의 모든 성분의 합은 $1 + 0 + 9 + 4 = 14$이다. (3점)

약술 02 [비가환 전개 함정] 두 이차 정사각행렬 $A, B$에 대하여 $A + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $A^2 + B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$일 때, 행렬 $AB + BA$의 모든 성분의 합을 구하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로 $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$이다. (3점, 2AB로 쓰면 -3점 감점)
② $(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$이다. (3점)
③ $AB + BA = (A+B)^2 - (A^2+B^2) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$이므로 모든 성분의 합은 $12$이다. (4점)

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약술 03 [AB=BA 미정계수] 두 행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} x & 4 \\ y & 1 \end{pmatrix}$에 대하여 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$이 성립할 때, 실수 $x, y$에 대하여 $x + y$의 값을 구하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① $(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2 \iff AB = BA$이다. (3점)
② $AB = \begin{pmatrix} x+2y & 6 \\ 3x-y & 11 \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} x+12 & 2x-4 \\ y+3 & 2y-1 \end{pmatrix}$이다. (4점)
③ $(1,2)$ 성분과 $(2,2)$ 성분을 비교하면 $2x-4=6 \implies x=5$, $2y-1=11 \implies y=6$이므로 $x+y=11$이다. (3점)

약술 04 [A-I 인수분해 역추론] 두 이차 정사각행렬 $A, B$가 $AB - A - 2B + I = O$을 만족시키고 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$일 때, $BA$의 모든 성분의 합을 구하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① 주어진 식의 양변에 $I$를 더하여 인수분해하면 $(A - 2I)(B - I) = I$이다. (4점)
② 따라서 $(B - I)(A - 2I) = I \iff BA - 2B - A + 2I = I \implies BA = A + 2B - I$이므로 $BA = AB$가 성립한다. (3점)
③ $(A-2I) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$에서 $(A-2I)^2 = 2I \implies B - I = \frac{1}{2}(A-2I) \implies B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$이므로 $BA = \frac{1}{2}A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, 합은 $10$이다. (3점)

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약술 05 [주기 6 거듭제곱] 행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^{2028} + A^{2029} + A^{2030}$을 계산하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① 직접 계산하면 $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = A - I \iff A^2 - A + I = O$이다. (3점)
② 양변에 $(A+I)$를 곱하면 $A^3 + I = O \implies A^3 = -I, \; A^6 = I$ (주기 6)이다. (3점)
③ $2028 = 6 \times 338$이므로 $A^{2028}(I + A + A^2) = I(I + A + A - I) = 2A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$이다. (4점)

약술 06 [상삼각행렬 귀납 추론] 행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{10} A^k = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$일 때, $p + q + r + s$의 값을 구하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① $A = I + 3N$ (단, $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, N^2=O$)이므로 $A^k = \begin{pmatrix} 1 & 3k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이다. (4점)
② 따라서 $\sum_{k=1}^{10} A^k = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{10} 1 & \sum_{k=1}^{10} 3k \\ 0 & \sum_{k=1}^{10} 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 165 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$이다. (4점)
③ 그러므로 $p + q + r + s = 10 + 165 + 0 + 10 = 185$이다. (2점)

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약술 07 [연립방정식 무수히 많은 해] 엑스, 와이에 대한 연립일차방정식 $\begin{pmatrix} k-1 & 2 \\ 3 & k-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 $x=0, y=0$ 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 곱을 구하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① 주어진 행렬 방정식은 두 직선 $(k-1)x + 2y = 0$, $3x + (k-2)y = 0$의 교점을 의미한다. (3점)
② 원점 $(0,0)$ 이외의 해가 존재하려면 두 직선이 일치해야 하므로 $(k-1)(k-2) - 2\times 3 = 0$이어야 한다. (4점)
③ $k^2 - 3k - 4 = (k-4)(k+1) = 0 \implies k = 4$ 또는 $k = -1$이므로 곱은 $-4$이다. (3점)

약술 08 [케일리 스칼라 행렬 반례] 이차 정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$가 $A^2 - 4A + 4I = O$과 $A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$를 만족시킬 때, $a + d$의 최솟값과 가능한 값을 모두 구하시오. (단, $A = 2I$인 경우와 $A \neq 2I$인 경우를 구분하시오.) (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① [경우 1: $A = 2I$ 스칼라 행렬일 때] $(A-2I)^2 = O$과 $2I\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$를 모두 만족하며, 이때 $a=2, d=2 \implies a+d = 4$이다. (5점)
② [경우 2: $A \neq 2I$일 때] $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)I = O$과 계수가 일치해야 하므로 $a+d = 4, ad-bc = 4$이다. (3점)
③ 따라서 두 경우 모두 $a + d = 4$로 유일하게 결정된다. (2점)

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약술 09 [실생활 공장 생산량 행렬 모델링] 두 공장 $P_1, P_2$에서 제품 $A, B$를 하루 생산하는 수량을 나타낸 행렬이 $M = \begin{pmatrix} 30 & 20 \\ 10 & 40 \end{pmatrix}$이고, 제품 $A, B$ 한 개당 원가와 판매이익을 나타낸 행렬이 $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ (단위: 만 원)일 때, 곱 행렬 $MC$의 $(1,2)$ 성분의 값과 그 경제적 의미를 서술하시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① $(MC)_{12}$는 $M$의 제$1$행 $(30, 20)$과 $C$의 제$2$열 $(1, 2)^T$의 곱의 합이다. (3점)
② $(MC)_{12} = 30 \times 1 + 20 \times 2 = 70$ (단위: 만 원)이다. (4점)
③ 경제적 의미는 '제1공장($P_1$)에서 하루 동안 생산한 제품 $A, B$ 전체로부터 얻는 하루 총 판매이익(70만 원)'이다. (3점)

약술 10 [거듭제곱 등비합 인수분해] 이차 정사각행렬 $A$가 $A^3 = 2I$를 만족시킬 때, 행렬 $S = I + A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5$를 $(I + A + A^2)$와 실수배를 이용하여 간단히 하고, $(I - A)S$를 단위행렬 $I$로 나타내시오. (10점)

[4줄 만점 약술 답안]
① $S = (I + A + A^2) + A^3(I + A + A^2) = (I + A^3)(I + A + A^2) = 3(I + A + A^2)$이다. (5점)
② $(I - A)(I + A + A^2) = I - A^3 = I - 2I = -I$이다. (3점)
③ 따라서 $(I - A)S = 3(I - A)(I + A + A^2) = -3I$이다. (2점)

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