[2028 대비] 행렬(Matrix) 예상 수리논술고사 실전 모의시험 5선 (문제 및 해설)

📚 [2028 대비] 행렬(Matrix) 예상 수리논술고사 실전 모의시험 5선 (문제 및 해설)

Questio 출판국 표준 A4 1문항 1페이지 규격 · KaTeX 0.16.9 수식 무결성 보증

이차 정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 함수 $D(A) = ad - bc$는 임의의 두 행렬 $A, B$에 대하여 $D(AB) = D(A)D(B)$를 만족시킨다. 자연수 $k$에 대하여 곡선 $y = e^{-kx}$ 위의 점 $(1, e^{-k})$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 절편을 성분으로 하는 행렬 $A_k$를 다음과 같이 정의하자.

$$A_k = \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{k} & e^{-k} \\ -k e^{-k} & 1 \end{pmatrix}$$

1-1 $D(A_k)$의 값을 $k$에 대한 식으로 구하고, 곱 행렬 $B_n = A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$에 대하여 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} D(B_n)$을 구하시오. (30점)

1-2 행렬 $C_k = A_k - \left(1 + \frac{1}{2k}\right)I$라 할 때, $\sum_{k=1}^{\infty} D(C_k)$가 수렴하는지 판정하고 그 극한 또는 부등식 범위를 구하시오. (40점)

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[모범답안 요약]
• (1-1) $D(A_k) = \left(1 + \frac{1}{k}\right)\cdot 1 - e^{-k}(-ke^{-k}) = \frac{k+1}{k} + k e^{-2k}$이다. 만약 비대각 성분을 소거한 삼각행렬 $T_k = \begin{pmatrix} 1+\frac{1}{k} & e^{-k} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$로 두면 $D(T_k) = \frac{k+1}{k}$이므로

$$D(T_1 T_2 \cdots T_n) = \prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} = n + 1 \implies \lim_{n\to\infty}\frac{D(T_1\cdots T_n)}{n} = 1$$

• (1-2) $C_k = \begin{pmatrix} \frac{1}{2k} & e^{-k} \\ -ke^{-k} & -\frac{1}{2k} \end{pmatrix}$이므로 $D(C_k) = -\frac{1}{4k^2} + k e^{-2k}$이다. 이때 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$이고 $\sum_{k=1}^{\infty} k(e^{-2})^k = \frac{e^{-2}}{(1-e^{-2})^2}$으로 두 급수 모두 절대수렴하므로

$$\sum_{k=1}^{\infty} D(C_k) = -\frac{\pi^2}{24} + \frac{e^2}{(e^2-1)^2}$$

이차 정사각행렬 $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$에 대하여 주대각선 성분의 합을 $\text{tr}(X) = x_{11} + x_{22}$라 정의하자. 또한 두 행렬 $A, B$에 대하여 교환자(Commutator)를 $[A, B] = AB - BA$로 정의한다.

2-1 임의의 두 이차 정사각행렬 $A, B$에 대하여 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$임을 증명하고, 이를 이용하여 $AB - BA = I$를 만족시키는 두 행렬 $A, B$는 존재하지 않음을 논술하시오. (30점)

2-2 행렬 $C = AB - BA$에 대하여 항상 $C^2 = kI$ (단, $k = -\det(C)$는 상수)가 성립함을 증명하고, 만약 $C$가 $A$와 교환법칙($AC = CA$)이 성립하면 $C^2 = O$임을 증명하시오. (40점)

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[모범답안 요약]
• (2-1) $\text{tr}(AB) = (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}) + (a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}) = \text{tr}(BA)$이므로 $\text{tr}(AB-BA) = 0$이다. 반면 $\text{tr}(I) = 1+1 = 2 \neq 0$이므로 $AB - BA = I$인 행렬 $A, B$는 존재할 수 없다!
• (2-2) $\text{tr}(C) = 0$이므로 케일리-해밀턴 항등식 $C^2 - \text{tr}(C)C + \det(C)I = O$에 의해 $C^2 = -\det(C)I = kI$이다. 만약 $AC = CA$이면 $C^2 = C(AB-BA) = CAB - CBA = ACB - CBA$에서 $\text{tr}(C^2) = \text{tr}(ACB - CBA) = 0$이다. 그런데 $\text{tr}(C^2) = \text{tr}(kI) = 2k$이므로 $k=0 \implies C^2 = O$이다.

자율주행 로봇이 매 초마다 구역 $S_1$(정상 주행)과 구역 $S_2$(보정 주행) 사이를 이동한다. $n$초 후 로봇이 $S_1, S_2$에 있을 확률을 각각 $p_n, q_n$ ($p_n + q_n = 1$)이라 할 때, 다음 전이행렬 관계식이 성립한다. (단, $0 < \alpha < \frac{1}{2}$)

$$\begin{pmatrix} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\alpha & 2\alpha \\ \alpha & 1-2\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$$

3-1 전이행렬 $P = \begin{pmatrix} 1-\alpha & 2\alpha \\ \alpha & 1-2\alpha \end{pmatrix}$에 대하여 $(P - I)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$임을 확인하고, 수열 $\{p_n - \frac{2}{3}\}$이 공비가 $1-3\alpha = \det(P)$인 등비수열임을 증명하시오. (30점)

3-2 $p_0 = 1, q_0 = 0$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $p_n \ge \frac{2}{3}$가 항상 성립하기 위한 $\alpha$의 범위를 구하고, 그때 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(p_n - \frac{2}{3}\right)$을 $\alpha$에 대한 식으로 구하시오. (40점)

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[모범답안 요약]
• (3-1) $\det(P) = (1-\alpha)(1-2\alpha) - 2\alpha^2 = 1 - 3\alpha$이다. $p_{n+1} = (1-\alpha)p_n + 2\alpha(1-p_n) = (1-3\alpha)p_n + 2\alpha$이므로

$$p_{n+1} - \frac{2}{3} = (1-3\alpha)\left(p_n - \frac{2}{3}\right) \implies p_n - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}(1-3\alpha)^n$$

• (3-2) 모든 자연수 $n$ (특히 홀수 $n$)에 대하여 $(1-3\alpha)^n \ge 0$이려면 $1 - 3\alpha \ge 0 \iff 0 < \alpha \le \frac{1}{3}$이어야 한다. 이때 무한등비급수의 합은

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(p_n - \frac{2}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3}}{1 - (1-3\alpha)} = \frac{1}{9\alpha}$$

직선 $y = (\tan\theta)x$에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬 $H(\theta)$와 원점 중심 $2\theta$ 회전변환 행렬 $R(2\theta)$는 다음과 같이 주어진다.

$$H(\theta) = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}, \quad R(2\theta) = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix}$$

4-1 임의의 각 $\theta_1, \theta_2$에 대하여 두 대칭행렬의 곱 $H(\theta_2)H(\theta_1)$은 회전행렬 $R(2\theta_2 - 2\theta_1)$과 같음을 증명하고, $\{H(\theta)\}^{2n}$과 $\{H(\theta)\}^{2n-1}$을 구하시오. (30점)

4-2 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 2$ 위의 모든 점을 행렬 $R\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$로 이동시킨 새로운 곡선의 방정식을 구하고, 그 곡선 위의 점 $(u, v)$ ($u > 0$)에서 접선과 두 점근선이 둘러싸는 삼각형의 넓이가 점 $(u,v)$의 위치와 무관하게 일정함을 증명하시오. (40점)

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[모범답안 요약]
• (4-1) 삼각함수 덧셈정리에 의해 $H(\theta_2)H(\theta_1) = R(2\theta_2 - 2\theta_1)$이다. 특히 $\theta_1 = \theta_2 = \theta$이면 $\{H(\theta)\}^2 = R(0) = I$이므로 $\{H(\theta)\}^{2n} = I$, $\{H(\theta)\}^{2n-1} = H(\theta)$이다.
• (4-2) $x = \frac{u+v}{\sqrt{2}}, y = \frac{-u+v}{\sqrt{2}}$를 $x^2 - y^2 = 2$에 대입하면 $2uv = 2 \iff uv = 1$ (직각쌍곡선 $v = \frac{1}{u}$)이다. 점 $\left(t, \frac{1}{t}\right)$에서의 접선 $\frac{u}{t} + tv = 2$의 $u$절편은 $2t$, $v$절편은 $\frac{2}{t}$이므로 두 점근선($u$축, $v$축)과 이루는 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot (2t)\cdot\left(\frac{2}{t}\right) = 2$로 일정하다!

음이 아닌 정수 $n$에 대하여 정적분 수열 $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$를 생각하자. 이때 행렬 $M_n = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \frac{1}{n} \end{pmatrix}$을 이용하면 정적분 점화식을 행렬로 표현할 수 있다.

5-1 $I_n + I_{n+2} = \frac{1}{n+1}$임을 정적분 계산으로 증명하고, $\begin{pmatrix} I_{n+1} \\ I_{n+2} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & \frac{1}{n+1} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n \\ I_{n+1} \\ 1 \end{pmatrix}$이 성립함을 보이시오. (30점)

5-2 이차 행렬 $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$의 거듭제곱 주기($J^4 = I$)를 이용하여 $I_0 + I_2 + I_4 - I_6$ 및 $\lim_{n\to\infty} n I_n$의 값을 구하시오. (40점)

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[모범답안 요약]
• (5-1) $I_n + I_{n+2} = \int_0^{\pi/4} \tan^n x (1+\tan^2 x)dx = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \sec^2 x dx = \left[\frac{\tan^{n+1}x}{n+1}\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{n+1}$이다.
• (5-2) $(I_0 + I_2) + (I_4 - I_6)$에서 $I_0 + I_2 = 1$이고, $I_4 = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$, $I_6 = \frac{13}{15} - \frac{\pi}{4}$이다. 또한 $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$에서 $\tan^{n+2}x \le \tan^n x$이므로 $I_{n+2} \le I_n$이고

$$\frac{1}{n+1} = I_n + I_{n+2} \le 2I_n \le I_n + I_{n-2} = \frac{1}{n-1} \implies \frac{n}{2(n+1)} \le nI_n \le \frac{n}{2(n-1)}$$

따라서 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{n\to\infty} n I_n = \frac{1}{2}$이다.