[문항 1-1 상세해설]
$A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix}$라 하면 행렬 곱 $AB$와 $D(AB)$는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} D(AB) &= (a_1 a_2 + b_1 c_2)(c_1 b_2 + d_1 d_2) - (a_1 b_2 + b_1 d_2)(c_1 a_2 + d_1 c_2) \\ &= a_1 d_1 a_2 d_2 + b_1 c_1 b_2 c_2 - a_1 d_1 b_2 c_2 - b_1 c_1 a_2 d_2 \\ &= (a_1 d_1 - b_1 c_1)(a_2 d_2 - b_2 c_2) = D(A)D(B) \end{aligned}$$

이때 $D(P) = 1\cdot 1 - 1\cdot 0 = 1$, $D(Q) = 1\cdot 1 - 0\cdot 1 = 1$이므로, 수학적 귀납법에 의해 $P$와 $Q$를 유한 번 곱한 모든 행렬 $M \in S$에 대하여 $D(M) = xw - yz = 1^k = 1$이 항상 성립한다. 또한 음이 아닌 정수의 덧셈과 곱셈으로만 성분이 생성되므로 모든 성분은 음이 아닌 정수이다.

[문항 1-2 상세해설]
귀납법에 의해 $P^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $Q^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}$이다. $M \in S$에 대하여 $xw - yz = 1$이 성립한다. 만약 $x$와 $z$의 공약수 $g > 1$이 존재한다면 $x = gx'$, $z = gz'$이므로

$$xw - yz = g(x'w - yz') = 1$$

이 되어 $1$이 $g > 1$의 배수라는 모순이 발생한다. 따라서 $\gcd(x, z) = 1$이다.

[문항 1-3 상세해설]
$D(M_0) = 13\times 3 - 8\times 5 = 39 - 40 = -1 \neq 1$이므로, 문항 1-1의 불변량 조건 $D(M)=1$에 위배된다. 따라서 $M_0$은 집합 $S$의 원소가 아니다! (단, 만약 $M_1 = \begin{pmatrix} 13 & 5 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$이었다면 $D(M_1)=39-40=-1$이고, $\begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$는 $24-25=-1$인 반면 $\begin{pmatrix} 13 & 8 \\ 8 & 5 \end{pmatrix}$는 $65-64=1$이므로 $P Q P Q P$로 표현된다.)

[문항 2-1 상세해설]
$E_1(1,0), E_2(0,1)$을 행렬 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대입하면 $P(a, c)$, $Q(b, d)$로 이동한다. 따라서

$$\begin{aligned} \text{넓이}(\triangle OPQ) &= \frac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ab+cd)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{(ad-bc)^2} = \frac{1}{2}|ad-bc| \end{aligned}$$

[문항 2-2 상세해설]
회전·실수배 행렬 $R = \begin{pmatrix} r\cos\theta & -r\sin\theta \\ r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$의 행렬식은 $D(R) = r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = r^2$이고, 밀림행렬 $K = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$의 행렬식은 $D(K) = 1$이다. 따라서

$$\begin{aligned} D(A) = D(R)D(K) = r^2 \implies D(A^n) = r^{2n} \\ \therefore S_n = |D(A^n)| \cdot \pi(1^2) = \pi r^{2n} \implies \sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{\pi r^2}{1 - r^2} \end{aligned}$$

[문항 2-3 상세해설]
$r = \frac{1}{2}, \theta = 0$이면 $A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이다. 수학적 귀납법에 의해 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$이므로

$$A^n = \frac{1}{2^n}\begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies \lim_{n\to\infty} \text{tr}(A^n) = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{2^n} = 0, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{2+2n}{2^n} = 0$$

[문항 3-1 상세해설]
조건부확률의 덧셈정리에 의해 $p_{n+1} = \frac{3}{4}p_n + \frac{1}{2}q_n$, $q_{n+1} = \frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}q_n$이므로 전이행렬 $P$는 다음과 같다.

$$P = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \implies P^2 = \begin{pmatrix} \frac{11}{16} & \frac{5}{8} \\ \frac{5}{16} & \frac{3}{8} \end{pmatrix} = \frac{5}{4}P - \frac{1}{4}I \implies P^2 - \frac{5}{4}P + \frac{1}{4}I = O$$

[문항 3-2 상세해설]
다항식 $x^n = (x-1)\left(x-\frac{1}{4}\right)Q(x) + r_n x + s_n$에 $x=1, \frac{1}{4}$을 대입하면

$$\begin{aligned} 1 = r_n + s_n, \quad \frac{1}{4^n} = \frac{1}{4}r_n + s_n &\implies r_n = \frac{4}{3}\left(1 - \frac{1}{4^n}\right), \quad s_n = \frac{1}{3}\left(\frac{4}{4^n} - 1\right) \\ \therefore P^n = r_n P + s_n I &= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 + \frac{1}{4^n} & 2 - \frac{2}{4^n} \\ 1 - \frac{1}{4^n} & 1 + \frac{2}{4^n} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

[문항 3-3 상세해설]
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4^n} = 0$이므로 $\lim_{n\to\infty} P^n = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$이다. 따라서 $p_0 + q_0 = 1$을 대입하면

$$\lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_0 \\ q_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}(p_0+q_0) \\ \frac{1}{3}(p_0+q_0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

[문항 4-1 상세해설]
성분 직접 계산에 의해 $A^2 = \begin{pmatrix} 13 & -12 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 4A - 3I$이다. 양변에 $A$를 곱하면

$$\begin{aligned} A^{n+1} = A^n \cdot A &= (a_n A + b_n I)A = a_n A^2 + b_n A \\ &= a_n(4A - 3I) + b_n A = (4a_n + b_n)A - 3a_n I \\ \therefore a_{n+1} &= 4a_n + b_n, \quad b_{n+1} = -3a_n \end{aligned}$$

[문항 4-2 상세해설]
$b_n = -3a_{n-1}$을 대입하면 $a_{n+1} - 4a_n + 3a_{n-1} = 0 \iff a_{n+1} - a_n = 3(a_n - a_{n-1})$이다. $a_1 = 1, a_2 = 4$이므로

$$a_n = \frac{3^n - 1}{2}, \quad b_n = -\frac{3^n - 3}{2}$$

$A$의 모든 성분의 합은 $4-3+1+0 = 2$이고 $I$의 모든 성분의 합은 $2$이므로, $A^n$의 성분 합은 $2(a_n + b_n) = 2$로 일정하다!

[문항 4-3 상세해설]
$\det(A) = 4\cdot 0 - (-3)\cdot 1 = 3$이므로 $\det(A^n) = 3^n$이고 $\det(A^{2n}) = 9^n$이다. 따라서 구하는 무한급수의 합은

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\det(A^{2n})} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{9}\right)^n\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} - \frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right) = \frac{3}{16}$$

[문항 5-1 상세해설]
$J^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$이다. 또한 $IJ = JI = J$이므로

$$\begin{aligned} M(a,b)M(c,d) &= (aI+bJ)(cI+dJ) = (ac-bd)I + (ad+bc)J \\ &= M(ac-bd, \; ad+bc) = M(c,d)M(a,b) \in C \end{aligned}$$

[문항 5-2 상세해설]
$\det(M(a,b)) = a^2 - (-b^2) = a^2 + b^2$이다. 행렬 $A = \cos\frac{\pi}{6} I + \sin\frac{\pi}{6} J = R\left(\frac{\pi}{6}\right)$이므로 $A^n = R\left(\frac{n\pi}{6}\right)$이다. 따라서 $A^n = I$가 되는 최소의 자연수는 $n = 12$이다. 또한 $A^6 = -I$이므로 연속된 $12$개 항의 합은 $O$이다. $2028 = 12 \times 169$로 나누어떨어지므로

$$\sum_{k=1}^{2028} A^k = 169 \sum_{k=1}^{12} A^k = O$$

[문항 5-3 상세해설]
$\det(B) = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$이므로 $\det(B^n) = 4^n \ge 4^{10} \implies n_{\min} = 10$이다. 이때 $B = 2 R\left(\frac{\pi}{3}\right)$이므로

$$B^{10} = 2^{10} R\left(\frac{10\pi}{3}\right) = 1024 R\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 1024\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -512 & 512\sqrt{3} \\ -512\sqrt{3} & -512 \end{pmatrix}$$

[문항 6-1 상세해설]
$N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$이므로 $N^2 = O$이다. $\lambda I$와 $N$은 교환법칙이 성립하므로

$$M^n = (\lambda I + N)^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N = \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \quad \det(M^n) = \lambda^{2n}$$

[문항 6-2 상세해설]
$N_1 = K - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$을 제곱하면

$$\begin{aligned} N_1^2 &= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O \\ \therefore K^n = (2I + N_1)^n &= 2^n I + n 2^{n-1} N_1 = \begin{pmatrix} 2^n - n2^{n-1} & n2^{n-1} \\ -n2^{n-1} & 2^n + n2^{n-1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

[문항 6-3 상세해설]
$|r| < 1$일 때 $\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$, $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = \frac{1}{(1-r)^2}$이다. $r = \frac{2}{3}$를 대입하면 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = 2$이고, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n 2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$이다. 따라서

$$S = 2I + 3N_1 = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \implies \det(S) = (-1)(5) - (3)(-3) = 4$$

[문항 7-1 상세해설]
$(M^2)_{ij} = \sum_{r=1}^{n} m_{ir} m_{rj}$에서 곱 $m_{ir} m_{rj}$가 $1$이 되는 경우는 $m_{ir}=1$이고 동시에 $m_{rj}=1$일 때, 즉 $V_i \to V_r \to V_j$ 경로가 존재할 때뿐이다. 따라서 이를 모든 중간 정점 $V_r$에 대해 합산한 $(M^2)_{ij}$는 길이 $2$인 경로의 수이다. 특히 $i=j$이고 무방향 그래프($m_{ir}=m_{ri}$)이면 $m_{ir}^2 = m_{ir}$이므로 $(M^2)_{ii} = \sum_{r=1}^{n} m_{ir}$는 정점 $V_i$의 연결 차수이다.

[문항 7-2 상세해설]
$V_1$은 $V_2, V_3, V_4$ 세 점과 모두 연결되어 있고, $V_3$ 역시 세 점과 연결되어 있으며 $V_2, V_4$는 $V_1, V_3$과만 연결되어 있다. 상태 집합을 $S_1 = \{V_1, V_3\}$, $S_2 = \{V_2, V_4\}$로 묶으면 $V_1$에서 $2$번 만에 $V_1$으로 오는 경로는 $3$가지, $V_3$으로 가는 경로는 $2$가지이므로, $4$번 만에 $V_1$으로 돌아오는 경로의 수는 $3^2 + 2^2 = 13$가지이다.

[문항 7-3 상세해설]
직접 계산하면 $T^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = T + 2I$이다. 매 이동마다 $2$가지 선택지가 있으므로 전체 경로 수는 $2^k$이고, 점화식 $p_{k} = \frac{1}{2}(1 - p_{k-1})$ ($p_1 = 0$)을 풀면

$$p_k = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^k$$

[문항 8-1 상세해설]
$\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 영벡터가 아닌 해를 가지려면 행렬식이 $0$이어야 한다.

$$\begin{aligned} \det(A - \lambda I) &= (3-\lambda)(2-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 \\ &= (\lambda - 4)(\lambda - 1) = 0 \implies \lambda = 4 \text{ 또는 } \lambda = 1 \end{aligned}$$

[문항 8-2 상세해설]
• $\lambda = 4$일 때 : $-x + 2y = 0 \implies y = \frac{1}{2}x$ ($m_1 = \frac{1}{2}$)
• $\lambda = 1$일 때 : $2x + 2y = 0 \implies y = -x$ ($m_2 = -1$)
따라서 두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대하여

$$\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \left|\frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 - \frac{1}{2}}\right| = 3$$

[문항 8-3 상세해설]
초기 벡터 $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$로 분해하면 $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$은 $\lambda=4$인 불변 직선 위의 점이고, $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$은 $\lambda=1$인 불변 직선 위의 점이다. 따라서

$$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 4^n\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1^n\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 4^n + 1 \\ 4^n - 1 \end{pmatrix} \implies \lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n} = \frac{1}{2}$$

이는 변환을 무한히 반복하면 절댓값이 더 큰 고유 배율($\lambda=4$)을 갖는 불변 직선 $y = \frac{1}{2}x$ 방향으로 점들이 정렬(수렴)함을 의미한다.

[문항 9-1 상세해설]
$(AB)^T$의 $(i,j)$ 성분은 $AB$의 $(j,i)$ 성분이므로 $\sum_{k=1}^2 a_{jk}b_{ki} = \sum_{k=1}^2 (b^T)_{ik}(a^T)_{kj}$가 되어 $B^T A^T$의 $(i,j)$ 성분과 일치한다. 또한 $A^T = A$이면 $(A^n)^T = (A^T)^n = A^n$이므로 $A^n$도 대칭행렬이다.

[문항 9-2 상세해설]
$\det(A) = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3$이므로, 넓이가 $\pi$인 단위원이 이동한 타원 영역 $E$의 넓이는 $|\det(A)|\pi = 3\pi$이다. 또한 $A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$이므로 $x = \frac{2u-v}{3}$, $y = \frac{-u+2v}{3}$를 $x^2+y^2=1$에 대입하면

$$(2u-v)^2 + (-u+2v)^2 = 9 \iff 5u^2 - 8uv + 5v^2 = 9$$

[문항 9-3 상세해설]
$x = \cos\theta, y = \sin\theta$로 놓으면 $u = 2\cos\theta + \sin\theta$, $v = \cos\theta + 2\sin\theta$이므로

$$\begin{aligned} u^2 + v^2 &= (2\cos\theta + \sin\theta)^2 + (\cos\theta + 2\sin\theta)^2 \\ &= 5(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + 8\cos\theta\sin\theta = 5 + 4\sin 2\theta \end{aligned}$$

$-1 \le \sin 2\theta \le 1$이므로 $1 \le u^2 + v^2 \le 9$이다. 따라서 거리의 최댓값은 $3$, 최솟값은 $1$이다.

[문항 10-1 상세해설]
(i) $n=1$일 때 $F^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_2 & f_1 \\ f_1 & f_0 \end{pmatrix}$이므로 성립한다.
(ii) $n=k$일 때 성립한다고 가정하면 $n=k+1$일 때

$$\begin{aligned} F^{k+1} = F^k F &= \begin{pmatrix} f_{k+1} & f_k \\ f_k & f_{k-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} f_{k+1}+f_k & f_{k+1} \\ f_k+f_{k-1} & f_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_{k+2} & f_{k+1} \\ f_{k+1} & f_k \end{pmatrix} \end{aligned}$$

이므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.

[문항 10-2 상세해설]
$\det(F) = 1\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1$이므로

$$\det(F^n) = f_{n+1}f_{n-1} - f_n^2 = (-1)^n$$

만약 $f_{n+1}$과 $f_n$의 공약수 $d > 1$가 존재하면 $f_{n-1} = f_{n+1} - f_n$도 $d$의 배수가 되어 좌변 $f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2$이 $d^2$의 배수가 되는데 우변은 $\pm 1$이므로 모순이다. 따라서 $\gcd(f_n, f_{n+1}) = 1$이다.

[문항 10-3 상세해설]
$F^{m+n} = F^m F^n$에서

$$\begin{pmatrix} f_{m+n+1} & f_{m+n} \\ f_{m+n} & f_{m+n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_{m+1} & f_m \\ f_m & f_{m-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_{n+1} & f_n \\ f_n & f_{n-1} \end{pmatrix}$$

우변의 $(1,2)$ 성분과 좌변의 $(1,2)$ 성분을 비교하면 $f_{m+n} = f_{m+1}f_n + f_m f_{n-1}$이다. 여기에 $m=n$을 대입하면 $f_{2n} = f_n(f_{n+1} + f_{n-1})$을 얻는다.