[기출 01] 서울대학교 수리논술 기출 (생성행렬과 행렬식 불변량)
서울대 기출 복원 • 정수행렬 생성군과 det(A)=ad-bc=1 · 총점 100점
이차 정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 실수 $D(A)$를 $D(A) = ad - bc$로 정의하자. 또한 두 기본행렬 $P, Q$를 다음과 같이 정의한다.
$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$P$와 $Q$를 유한 번 곱하여 얻을 수 있는 모든 행렬들의 집합을 $S$라 하자. 예를 들어 $P, QP, P^2QP$ 등은 모두 집합 $S$의 원소이다. (단, $P$와 $Q$의 곱하는 순서와 횟수에는 제한이 없다.)
1-1 임의의 두 이차 정사각행렬 $A, B$에 대하여 $D(AB) = D(A)D(B)$가 성립함을 증명하고, 이를 이용하여 집합 $S$에 속하는 모든 행렬 $M = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$의 성분은 양의 정수 또는 $0$이며 항상 $xw - yz = 1$을 만족시킴을 논술하시오. (30점)
1-2 자연수 $n$에 대하여 $P^n$과 $Q^n$을 구하고, 집합 $S$에 속하는 행렬 $M = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$에서 두 성분 $x$와 $z$는 항상 서로소($\gcd(x, z) = 1$)임을 증명하시오. (35점)
1-3 행렬 $M_0 = \begin{pmatrix} 13 & 8 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$이 집합 $S$의 원소인지 판별하고, 원소라면 $M_0$을 $P$와 $Q$의 거듭제곱의 곱으로 나타내시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 02] 연세대학교 수리논술 기출 (행렬식과 도형 넓이 변환·극한)
연세대 자연계 기출 복원 • 일차변환 넓이비 |ad-bc|와 무한급수 · 총점 100점
좌표평면 위의 임의의 점 $(x, y)$를 점 $(x', y')$으로 옮기는 행렬 변환 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$를 생각하자. (단, $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$이고 $ad - bc \neq 0$이다.) 이 변환에 의하여 넓이가 $S$인 다각형 또는 타원 영역이 이동하여 생기는 새로운 영역의 넓이는 $|ad - bc|S$가 된다.
실수 $r$ ($0 < r < 1$)와 각 $\theta$에 대하여 행렬 $A$가 다음과 같이 주어져 있다.
$$A = \begin{pmatrix} r\cos\theta & -r\sin\theta \\ r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
2-1 원점 $O(0,0)$과 두 점 $E_1(1,0), E_2(0,1)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\triangle OE_1E_2$가 행렬 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 의해 이동한 삼각형 $\triangle OPQ$의 넓이가 $\frac{1}{2}|ad-bc|$임을 벡터의 내적 또는 좌표를 이용하여 증명하시오. (30점)
2-2 주어진 행렬 $A$에 대하여 $D(A) = ad - bc$의 값을 $r$에 대한 식으로 구하고, 단위원 내부 영역 $D_0 = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}$이 행렬 $A^n$ ($n=1,2,3,\dots$)에 의해 이동한 영역을 $D_n$, 그 넓이를 $S_n$이라 할 때 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$을 구하시오. (35점)
2-3 $r = \frac{1}{2}$, $\theta = 0$일 때, 행렬 $A^n$의 모든 성분을 $n$에 대한 식으로 나타내고 $\lim_{n\to\infty} \text{tr}(A^n)$과 모든 성분의 합의 극한을 구하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 03] 고려대학교 수리논술 기출 (마르코프 전이행렬과 극한 확률)
고려대 자연계 기출 복원 • 상태전이 확률행렬 P^n과 수렴성 · 총점 100점
어떤 통신 채널에서 신호 $0$ 또는 $1$을 연속하여 전송할 때, 각 단계에서 신호가 그대로 유지되거나 반전될 확률이 일정하다고 하자. 구체적으로 $n$번째 단계의 신호가 $0$일 때 $(n+1)$번째 단계에서도 $0$일 확률은 $\frac{3}{4}$이고 $1$로 바뀔 확률은 $\frac{1}{4}$이다. 반대로 $n$번째 단계의 신호가 $1$일 때 $(n+1)$번째 단계에서 $0$으로 바뀔 확률은 $\frac{1}{2}$이고 $1$로 유지될 확률은 $\frac{1}{2}$이다.
$n$번째 단계에서 신호가 $0$일 확률을 $p_n$, $1$일 확률을 $q_n$ ($p_n + q_n = 1$)이라 하자.
3-1 $\begin{pmatrix} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$을 만족시키는 $2 \times 2$ 전이행렬 $P$를 구하고, $P^2 - \frac{5}{4}P + \frac{1}{4}I = O$이 성립함을 보이시오. (30점)
3-2 문항 3-1의 결과를 이용하여 자연수 $n$에 대하여 행렬 $P^n$의 모든 성분을 $n$에 대한 식으로 구하시오. (35점)
3-3 초기 확률 분포 $\begin{pmatrix} p_0 \\ q_0 \end{pmatrix}$ ($p_0 + q_0 = 1$)의 값에 관계없이 $\lim_{n\to\infty} \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$이 항상 일정한 벡터 $\begin{pmatrix} p_\infty \\ q_\infty \end{pmatrix}$로 수렴함을 보이고 그 극한값을 구하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 04] 성균관대학교 수리논술 기출 (행렬 거듭제곱 수열과 행렬식 급수)
성균관대 자연계 기출 복원 • A^n = a_n A + b_n I 와 행렬식 급수 · 총점 100점
이차 정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 자연수 $n$에 따른 거듭제곱 $A^n$을 다음과 같이 표현하자.
$$A^n = a_n A + b_n I \quad (\text{단, } I\text{는 단위행렬이고 } a_1 = 1, \; b_1 = 0)$$
또한 임의의 이차 정사각행렬 $M = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$에 대하여 $\det(M) = ps - qr$는 $\det(M_1 M_2) = \det(M_1)\det(M_2)$를 만족한다.
4-1 $A^2$을 $A$와 $I$의 일차결합으로 나타내고, 이를 이용하여 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 만족시키는 연립 점화식 $a_{n+1} = 4a_n + b_n$, $b_{n+1} = -3a_n$을 유도하시오. (30점)
4-2 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 일반항을 각각 구하고, 행렬 $A^n$의 모든 성분의 합을 구하시오. (35점)
4-3 $\det(A^n)$의 값을 구하고, 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\det(A^{2n})}$의 합을 구하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 05] 한양대학교 수리논술 기출 (회전행렬과 복소수 동형 구조)
한양대 자연계 기출 복원 • 행렬 J^2 = -I 와 회전변환 주기성 · 총점 100점
단위행렬 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$와 행렬 $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여, 실수 $a, b$로 이루어진 행렬 집합 $C$를 다음과 같이 정의하자.
$$C = \left\{ M(a,b) = aI + bJ = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{R} \right\}$$
5-1 $J^2 = -I$임을 확인하고, 집합 $C$에 속하는 임의의 두 행렬 $M(a,b)$와 $M(c,d)$는 항상 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하며 그 곱 또한 집합 $C$에 속함을 증명하시오. (30점)
5-2 행렬 $M(a,b)$의 행렬식 $\det(M(a,b)) = a^2 + b^2$임을 보이고, 행렬 $A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$에 대하여 $A^n = I$를 만족시키는 최소의 자연수 $n$과 $\sum_{k=1}^{2028} A^k$을 구하시오. (35점)
5-3 행렬 $B = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}$에 대하여 $\det(B^n) \ge 4^{10}$을 만족시키는 최소의 자연수 $n$과 그때의 $B^n$을 구하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 06] 서강대학교 수리논술 기출 (멱영행렬과 행렬 이항정리)
서강대 자연계 기출 복원 • N^2=O 분해와 행렬 다항식 미분 구조 · 총점 100점
두 이차 정사각행렬 $A, B$가 $AB = BA$를 만족시킬 때, 자연수 $n$에 대하여 실수의 이항정리와 동일하게 다음 등식이 성립한다.
$$(A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^{n-k} B^k \quad (\text{단, } A^0 = B^0 = I)$$
반면 $AB \neq BA$일 때는 위 등식이 성립하지 않는다. 이제 실수 $\lambda \neq 0$에 대하여 행렬 $M = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$과 $K = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$을 생각하자.
6-1 행렬 $N = M - \lambda I$에 대하여 $N^2 = O$임을 보이고, 위 이항정리를 이용하여 $M^n$과 $\det(M^n)$을 구하시오. (30점)
6-2 행렬 $K = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$에 대하여 $N_1 = K - 2I$라 할 때, $N_1^2 = O$임을 확인하고 이를 이용하여 $K^n$ ($n \ge 1$)의 모든 성분을 구하시오. (35점)
6-3 문항 6-2의 행렬 $K$에 대하여 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} K^n$의 각 성분이 수렴하는 행렬 $S$를 구하고 $\det(S)$의 값을 계산하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 07] 중앙대학교 수리논술 기출 (그래프 인접행렬과 경로의 수·확률)
중앙대 자연계 기출 복원 • 인접행렬 M^k 의 (i,j) 성분과 순환 경로 · 총점 100점
$n$개의 정점 $V_1, V_2, \dots, V_n$으로 이루어진 네트워크에서 정점 $V_i$와 $V_j$를 직접 연결하는 변이 존재하면 $m_{ij} = 1$, 존재하지 않으면 $m_{ij} = 0$으로 정의한 $n \times n$ 행렬 $M = (m_{ij})$을 인접행렬이라 한다. (단, 자기 자신으로 가는 변은 없으므로 $m_{ii} = 0$이다.) 이때 거듭제곱 행렬 $M^k$의 $(i, j)$ 성분은 정점 $V_i$에서 출발하여 정확히 $k$번 변을 따라 이동하여 정점 $V_j$에 도착하는 경로의 총개수와 같다.
7-1 행렬 곱셈의 정의 $c_{ij} = \sum_{r=1}^{n} a_{ir} b_{rj}$를 이용하여, 왜 $M^2$의 $(i,j)$ 성분이 $V_i$에서 $2$번 만에 $V_j$로 가는 경로의 수와 같은지 수학적으로 설명하고, 특히 대각성분 $(M^2)_{ii}$가 정점 $V_i$에 연결된 변의 개수(차수)와 같음을 증명하시오. (30점)
7-2 네 정점 $V_1, V_2, V_3, V_4$가 정사각형 모양($V_1-V_2-V_3-V_4-V_1$)으로 연결되어 있고 대각선 $V_1-V_3$만 추가로 연결된 그래프에서, 정점 $V_1, V_2, V_3$만 고려한 부분행렬 또는 대칭성을 이용하여 $V_1$에서 출발해 $4$번 이동 후 다시 $V_1$으로 돌아오는 경로의 수를 구하시오. (35점)
7-3 세 정점 $A, B, C$가 서로 모두 연결된 삼각형 네트워크의 인접행렬 $T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $T^2 = T + 2I$임을 보이고, 정점 $A$에서 출발하여 $k$번 이동 후 다시 $A$에 도착할 확률 $p_k$를 구하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 08] 경희대·건국대 수리논술 기출 (고유값 방정식과 불변 직선)
경희대·건국대 기출 복원 • det(A - λI) = 0 과 기하학적 불변 직선 · 총점 100점
좌표평면 위의 점 $P(x, y)$를 점 $P'(x', y')$으로 옮기는 행렬 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$에 대하여, 원점을 지나는 어떤 직선 $l : y = mx$ 위의 모든 점이 행렬 $A$에 의하여 다시 같은 직선 $l$ 위의 점으로 옮겨질 때, 직선 $l$을 행렬 $A$의 '불변 직선'이라 한다.
8-1 직선 $l : y = mx$ 위의 원점이 아닌 점 $(x, mx)$가 행렬 $A$에 의해 같은 직선 위의 점 $\lambda(x, mx)$ (단, $\lambda$는 실수)로 이동할 때, 연립방정식 $(A - \lambda I)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 $(x,y)\neq(0,0)$인 해를 가질 조건을 이용하여 가능한 실수 $\lambda$의 값 2개를 구하시오. (30점)
8-2 문항 8-1에서 구한 두 $\lambda$ 값에 대응하는 두 불변 직선 $l_1, l_2$의 기울기 $m_1, m_2$를 각각 구하고, 두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\tan\theta$의 값을 구하시오. (35점)
8-3 점 $P_0(3, 0)$을 행렬 $A$로 $n$번 연속 이동시킨 점을 $P_n(x_n, y_n)$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{x_n}$의 값을 구하고 그 기하학적 의미를 불변 직선과 관련지어 설명하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 09] 이화여대·서울시립대 수리논술 기출 (전치행렬과 타원 넓이·최댓값)
이화여대·시립대 기출 복원 • 전치행렬 A^T 와 단위원의 타원 변환 · 총점 100점
행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$의 행과 열을 바꾼 행렬을 전치행렬 $A^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$라 한다. 임의의 행렬 $A, B$에 대하여 $(AB)^T = B^T A^T$이고 $\det(A^T) = \det(A)$가 성립한다.
이제 행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$에 대하여 단위원 $x^2 + y^2 = 1$ 위의 점 $(x, y)$가 $\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$에 의해 이동한 점 $(u, v)$의 자취 $E$를 생각하자.
9-1 임의의 $2 \times 2$ 행렬 $A, B$에 대하여 $(AB)^T = B^T A^T$가 성립함을 성분 계산으로 증명하고, 대칭행렬($A^T = A$)에 대하여 $A^n$도 항상 대칭행렬임을 보이시오. (30점)
9-2 단위원 $x^2 + y^2 \le 1$ 내부 영역이 행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$에 의해 이동한 타원 영역 $E$의 넓이를 행렬식을 이용하여 구하고, 점 $(u, v)$가 만족시키는 타원의 방정식을 구하시오. (35점)
9-3 타원 $E$ 위의 점 $(u, v)$와 원점 사이의 거리 $\sqrt{u^2 + v^2}$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)
[기출 10] 인하대·아주대 수리논술 기출 (피보나치 생성행렬과 카시니 항등식)
인하대·아주대 기출 복원 • 피보나치 행렬 F^n 과 det(F^n) = (-1)^n · 총점 100점
피보나치 수열 $\{f_n\}$은 $f_0 = 0, \; f_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $f_{n+1} = f_n + f_{n-1}$을 만족시키는 수열이다. 이 수열의 점화식은 행렬 $F = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$\begin{pmatrix} f_{n+1} \\ f_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_n \\ f_{n-1} \end{pmatrix}$$
10-1 모든 자연수 $n$에 대하여 $F^n = \begin{pmatrix} f_{n+1} & f_n \\ f_n & f_{n-1} \end{pmatrix}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (30점)
10-2 행렬식의 곱셈 성질 $\det(F^n) = \{\det(F)\}^n$을 이용하여 카시니 항등식 $f_{n+1}f_{n-1} - f_n^2 = (-1)^n$을 증명하고, 연속하는 두 피보나치 수 $f_n, f_{n+1}$은 항상 서로소임을 보이시오. (35점)
10-3 행렬 곱셈의 결합법칙 $F^{m+n} = F^m F^n$의 $(1,1)$ 성분과 $(1,2)$ 성분을 비교하여 덧셈정리 $f_{m+n} = f_{m+1}f_n + f_m f_{n-1}$ 및 $f_{2n} = f_n(f_{n+1} + f_{n-1})$이 성립함을 증명하시오. (35점)
✍️ 수험생 실전 답안 작성란 (동치기호 $\iff$, 단위행렬 $I$, 행렬식 불변량을 명확히 서술하시오)