1. 행렬의 $(i,j)$ 성분 정의와 행렬 곱셈의 내적 구조
두 행렬 $A = (a_{ik})_{m \times l}$, $B = (b_{kj})_{l \times n}$에 대하여 곱 $AB = C = (c_{ij})_{m \times n}$의 $(i,j)$ 성분은 $A$의 제$i$행과 $B$의 제$j$열의 대응 성분을 곱하여 더한 값이다.
$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{l} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{il}b_{lj}$$
2. 행렬 곱셈의 비가환성($AB \neq BA$)과 곱셈공식의 수정
실수에서는 항상 $ab=ba$이지만, 정사각행렬에서는 일반적으로 $AB \neq BA$이다. 따라서 다항식 곱셈공식을 그대로 쓰면 즉시 감점된다.
$$\begin{aligned} (A+B)^2 &= (A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2 \\ (A+B)(A-B) &= A^2 - AB + BA - B^2 \end{aligned}$$
특히 $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$이 성립할 필요충분조건은 $AB + BA = 2AB \iff AB = BA$ (교환법칙 성립)이다.
[구조 1] 한 행렬이 다른 행렬의 다항식일 때 : $B = pA + qI$ (단, $p, q$는 실수, $I$는 단위행렬) 꼴이면
$$\begin{aligned}
AB &= A(pA+qI) = pA^2 + qA, \\
BA &= (pA+qI)A = pA^2 + qA \implies AB = BA
\end{aligned}$$
[구조 2] 역행렬(역원) 관계 인수분해 구조 : $AB = A + B$가 주어지면 양변에 단위행렬 $I$를 더하고 빼서 인수분해한다.
$$\begin{aligned}
AB - A - B + I = I &\iff (A - I)(B - I) = I \\
&\implies (B - I)(A - I) = I \iff BA - B - A + I = I \implies BA = A + B = AB
\end{aligned}$$
[구조 3] 회전행렬끼리의 곱 또는 대각행렬끼리의 곱 : 회전변환 $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta) = R(\beta)R(\alpha)$는 항상 교환법칙이 성립한다.
1. 영인자(Zero Divisor)의 존재와 소거법의 금지
영행렬이 아닌 두 행렬 $A \neq O$, $B \neq O$에 대하여 $AB = O$이 되는 현상을 영인자라 한다. 대표 표준 반례는 반드시 외워 두어야 한다.
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies A \neq O, \; B \neq O \text{ 이지만 } AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$$
2. 멱영행렬(Nilpotent Matrix, $N^k = O$)과 이항정리 차수 절단
$N \neq O$이지만 $N^2 = O$을 만족시키는 대표적 $2 \times 2$ 행렬은 주대각합이 $0$이고 행렬식이 $0$인 행렬이다.
$$N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{또는} \quad N = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \; (\text{단, } a^2+bc=0)$$
이때 단위행렬 $I$와 $N$은 교환법칙($IN=NI$)이 성립하므로, $(I+N)^n$을 이항정리로 전개하면 $k \ge 2$인 항이 모두 $O$이 되어 소멸한다!
$$(I + N)^n = I + \binom{n}{1}N + \binom{n}{2}N^2 + \cdots = I + nN \quad (\text{단, } N^2 = O)$$
3. 멱등행렬(Idempotent Matrix, $P^2 = P$)과 사영(Projection)
$P^2 = P$이면 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $P^n = P$이다. 이때 $Q = I - P$라 놓으면 $Q^2 = (I-P)^2 = I - 2P + P^2 = I - P = Q$이고, $PQ = P(I-P) = P - P^2 = O$이 성립한다.
행렬 $A$가 $A = \alpha P + \beta Q$ (단, $P^2=P$, $Q^2=Q$, $PQ=QP=O$) 꼴로 분해되면, 교차항이 모두 영행렬 $O$이 되므로
$$\begin{aligned} A^2 &= (\alpha P + \beta Q)^2 = \alpha^2 P^2 + \alpha\beta(PQ+QP) + \beta^2 Q^2 = \alpha^2 P + \beta^2 Q \\ &\implies A^n = \alpha^n P + \beta^n Q \quad (\text{단, } n\text{은 자연수}) \end{aligned}$$
이 원리는 대학 선형대수학의 대각화(스펙트럼 분해)를 고교 수준으로 번역한 것으로, 서울대·연세대·고려대 수리논술 제시문의 단골 주제이다.
1. $2 \times 2$ 행렬식(Determinant)의 정의와 곱셈 보존성(Multiplicativity)
이차 정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 실수 대응 함수 $D(A) = \det(A) = ad - bc$를 행렬식이라 한다. 임의의 두 이차 정사각행렬 $A, B$에 대하여 다음 항등식이 항상 성립한다.
$$\det(AB) = \det(A)\det(B) \implies \det(A^n) = \{\det(A)\}^n$$
2. 역행렬($A^{-1}$)의 존재 조건과 공식 (제시문 부여 시 즉시 활용)
$AB = BA = I$를 만족시키는 역행렬 $A^{-1}$가 존재할 필요충분조건은 $\det(A) = ad - bc \neq 0$이며, 그 성분은 다음과 같다.
$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \quad (\text{단, } ad-bc \neq 0)$$
3. 동차 연립일차방정식 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$의 해의 존재성
• $ad - bc \neq 0$ 이면: 유일한 해 $x = 0, y = 0$ (자명한 해)만 존재한다.
• $ad - bc = 0$ 이면: $x = 0, y = 0$ 이외의 무수히 많은 해(자명하지 않은 해, 직선 위의 점들)가 존재한다.
좌표평면의 단위정사각형의 두 변 벡터 $\vec{e}_1 = (1,0)^T$, $\vec{e}_2 = (0,1)^T$는 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 의해 두 열벡터 $\vec{u} = (a,c)^T$, $\vec{v} = (b,d)^T$로 이동한다. 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$가 이루는 평행사변형의 넓이 $S$는
$$\begin{aligned} S = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta &= \sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2} \\ &= \sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ab+cd)^2} = |ad - bc| = |\det(A)| \end{aligned}$$
따라서 넓이가 $S_0$인 평면 도형 $F$를 행렬 $A$로 $n$번 연속 변환한 도형 $F_n$의 넓이 $S_n$은 등비수열 $S_n = |\det(A)|^n S_0$을 이룬다!
1. 2022 개정 교육과정 서술형 주의점 : 직접 대입을 통한 2줄 정석 유도
행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 주대각합 $t = a+d$, 행렬식 $\Delta = ad-bc$라 하자. 내신 및 논술 답안지에서는 반드시 아래 성분 계산을 명시하여 유도해야 감점이 없다.
$$\begin{aligned} A^2 - (a+d)A &= \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a(a+d) & b(a+d) \\ c(a+d) & d(a+d) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} bc-ad & 0 \\ 0 & bc-ad \end{pmatrix} = -(ad-bc)I \implies A^2 - (a+d)A + (ad-bc)I = O \end{aligned}$$
2. 다항식 나눗셈(나머지정리)을 이용한 $A^n$의 차수 낮추기
행렬 $A$가 $A^2 - pA + qI = O$을 만족시킬 때, 실수 다항식 $x^n$을 이차식 $x^2 - px + q = (x-\alpha)(x-\beta)$로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $r_n x + s_n$이라 하면
$$x^n = (x^2 - px + q)Q(x) + r_n x + s_n \implies A^n = r_n A + s_n I$$
• 경우 1 ($\alpha \neq \beta$ 서로 다른 두 근) : $\alpha^n = r_n \alpha + s_n$, $\beta^n = r_n \beta + s_n$을 연립하면
$$r_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}, \quad s_n = \frac{\alpha\beta^n - \beta\alpha^n}{\alpha - \beta}$$
• 경우 2 ($\alpha = \beta$ 중근) : $x^n = (x-\alpha)^2 Q(x) + r_n x + s_n$에서 양변에 $x=\alpha$ 대입 및 미분 후 $x=\alpha$ 대입하면
$$r_n = n\alpha^{n-1}, \quad s_n = -(n-1)\alpha^n$$
1. 회전변환 행렬 $R(\theta)$와 삼각함수 덧셈정리·주기성
원점을 중심으로 각 $\theta$만큼 회전시키는 행렬 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$에 대하여 삼각함수의 덧셈정리에 의해 다음이 성립한다.
$$\begin{aligned} R(\alpha)R(\beta) &= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix} = R(\alpha + \beta) \\ &\implies \{R(\theta)\}^n = R(n\theta) = \begin{pmatrix} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{pmatrix}, \quad \det(R(\theta)) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \end{aligned}$$
2. 행렬의 주대각합($\text{tr } A = a+d$)과 행렬식($\det A = ad-bc$)으로 판별하는 황금 주기 공식
단위행렬의 실수배가 아닌 행렬 $A$가 $A^2 - tA + \Delta I = O$을 만족시킬 때, $\Delta = 1$인 경우:
• $t = 1, \Delta = 1 \implies A^2 - A + I = O \implies (A+I)(A^2-A+I) = A^3 + I = O \implies A^3 = -I, \; A^6 = I$ (주기 6)
• $t = -1, \Delta = 1 \implies A^2 + A + I = O \implies (A-I)(A^2+A+I) = A^3 - I = O \implies A^3 = I$ (주기 3)
• $t = 0, \Delta = 1 \implies A^2 + I = O \implies A^2 = -I, \; A^4 = I$ (주기 4)
• $t = \sqrt{2}, \Delta = 1 \implies A^2 - \sqrt{2}A + I = O \implies A^4 = -I, \; A^8 = I$ (주기 8, $\theta = \frac{\pi}{4}$ 회전)
3. 마르코프 전이행렬(Markov Transition Matrix)과 수열의 극한
매 시행마다 상태 $A$에서 $B$로 바뀔 확률이 $\alpha$, 상태 $B$에서 $A$로 바뀔 확률이 $\beta$일 때, $n$번째 시행 후 상태 확률벡터 $X_n = \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$ ($p_n + q_n = 1$)는 다음 행렬 점화식을 만족한다.
$$\begin{pmatrix} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\alpha & \beta \\ \alpha & 1-\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} \implies p_{n+1} - \frac{\beta}{\alpha+\beta} = (1-\alpha-\beta)\left(p_n - \frac{\beta}{\alpha+\beta}\right)$$
| 번호 | 핵심 테마 | 필수 공식 및 동치 조건 | 논술·약술형 서술 시 감점 방어 포인트 |
|---|---|---|---|
| 01 | 완전제곱식 | $(A \pm B)^2 = A^2 \pm AB \pm BA + B^2$ | $AB=BA$ 증명 없이 $A^2 \pm 2AB + B^2$ 전개 시 -3점(D-01) |
| 02 | 인수분해 교환 | $AB = A+B \iff (A-I)(B-I) = I \implies BA = AB$ | 상수항 자리에 반드시 단위행렬 $I$를 표기할 것 (D-04) |
| 03 | 케일리 유도 | $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)I = O$ | 내신 서술형에서는 성분 직접 계산 유도 2줄 필수 (D-05) |
| 04 | 케일리 역의 함정 | $A^2 - \alpha A + \beta I = O$일 때 $A = kI$ 스칼라 행렬 케이스 분리 | $A \neq kI$일 때만 $a+d=\alpha, ad-bc=\beta$ 확정 가능 (D-06) |
| 05 | 행렬식 곱셈보존 | $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(A^n) = (\det A)^n$ | 피보나치 행렬 $F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$에서 $f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n$ |
| 06 | 황금 주기 공식 | $A^2 \mp A + I = O \implies A^3 = \mp I \implies A^6 = I$ | $2028$제곱 등 고차 거듭제곱은 주기로 나눈 나머지로 즉시 축소 |
| 07 | 전이행렬 극한 | $X_{n+1} = PX_n$, 각 열의 합이 $1$인 확률행렬 | $PX_\infty = X_\infty \iff (P-I)X_\infty = O$으로 극한 확률 즉시 도출 |
• [과목 간 개념 흐름도] 공통수학1(행렬 비가환 연산·고유상태) ⇄ 경제학(투입산출 행렬 $(I-A)^{-1}$) ⇄ AI·정보(구글 PageRank 마르코프 전이행렬 $P^n$)
• [융합 탐구 질문] "웹페이지 간 하이퍼링크 구조를 전이확률 행렬 $P$로 모델링할 때, 초기 접속 확률 분포 $X_0$와 무관하게 $\lim_{n\to\infty} P^n X_0$가 유일한 중요도 벡터로 수렴하기 위한 행렬의 조건은 무엇인가?"
• [학생부 세특 모범 기재 예시] 공통수학1의 행렬 곱셈과 비가환성($AB \neq BA$)을 탐구하며, 실수 체계의 대수적 성질이 행렬 공간에서 영인자($AB=O$)로 인해 어떻게 변형되는지 엄밀히 증명함. 나아가 거듭제곱 행렬 $P^n$을 확률과통계의 조건부확률 및 인공지능 검색엔진의 마르코프 연쇄 알고리즘과 연결하여 수렴 상태를 도출하는 탁월한 수리 모델링 역량을 보여줌.