[Step 1. 진수 조건 및 방정식의 정리]
[Step 2. 실근 $\alpha$의 판별 및 적합성 검증]
[Step 3. 등비수열의 일반항 적용 및 $a_5$ 도출]
【모범 답안】
1단계 (진수 조건): 로그의 진수 조건에 의해 $x - 1 > 0$ 이고 $x + 5 > 0$ 이므로 $x > 1$ 이다. [3점]
2단계 (방정식 풀이): 밑이 같으므로 $\log_2 (x - 1)(x + 5) = 4 \implies (x - 1)(x + 5) = 2^4 = 16$.
전개하여 정리하면 $x^2 + 4x - 21 = 0 \implies (x + 7)(x - 3) = 0$.
진수 조건 $x > 1$에 의하여 $\alpha = 3$ 이다. ($-7$은 부적합) [4점]
3단계 (등비수열 계산): 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = a_1 r^2 = 2r^2 = 3 \implies r^2 = \frac{3}{2}$.
따라서 $a_5 = a_1 r^4 = 2 \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$. [3점]
정답: $\dfrac{9}{2}$ (또는 $4.5$)
| 1단계 | 진수 조건($x>1$)을 정확히 명시한 경우 | 3점 |
| 2단계 | 이차방정식을 도출하고 조건에 부합하는 $\alpha=3$을 구한 경우 | 4점 |
| 3단계 | 등비수열의 공비 관계를 이용하여 $a_5=\frac{9}{2}$를 정확히 구한 경우 | 3점 |
진수 조건을 적지 않고 $x=-7, 3$ 중 3만 골라 답을 쓰면 1단계 배점 3점이 통째로 깎여 7점으로 강등됩니다. 첫 줄에 반드시 $x>1$을 쓰십시오!
[Step 1. 코사인법칙 적용 및 선분 $BC$ 계산]
[Step 2. 삼각함수의 상제관계로 $\sin A$ 도출]
[Step 3. 사인법칙 적용 및 외접원 반지름 $R$ 계산]
【모범 답안】
1단계 (코사인법칙): 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙에 의하여
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A = 5^2 + 6^2 - 2 \times 5 \times 6 \times \frac{1}{5} = 25 + 36 - 12 = 49$.
따라서 $BC > 0$ 이므로 $BC = 7$ 이다. [4점]
2단계 ($\sin A$ 계산): $0 < A < \pi$에서 $\sin A > 0$이므로
$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ 이다. [2점]
3단계 (사인법칙): 사인법칙에 의하여 $\frac{BC}{\sin A} = 2R$ 이므로
$2R = \frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{35}{2\sqrt{6}} \implies R = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ 이다. [4점]
정답: $BC = 7, \; R = \dfrac{35\sqrt{6}}{24}$
| 1단계 | 코사인법칙 명시 및 $BC=7$ 산출 | 4점 |
| 2단계 | $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ 유도 | 2점 |
| 3단계 | 사인법칙 식 작성 및 $R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ 도출 | 4점 |
사인법칙 식에서 $\frac{a}{\sin A} = R$ 로 잘못 적어 $2$를 누락하는 계산 실수가 35% 발생합니다. 반드시 지름 $2R$로 표기해야 전점 확보됩니다!
[Step 1. 조건 (가)로부터 최고차항 및 이차항 결정]
[Step 2. 조건 (나)로부터 $f(2)=0$ 및 미분계수(인수분해) 해석]
[Step 3. 함수 $f(x)$의 완성 및 $f(1)$ 도출]
【모범 답안】
1단계 (조건 가 해석): $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = 3$ 에서 $f(x) - 2x^3 = 3x^2 + ax + b$ 형태여야 하므로,
$f(x) = 2x^3 + 3x^2 + ax + b$ 로 둘 수 있다. [3점]
2단계 (조건 나 해석): $x \to 2$일 때 $($분모$) \to 0$ 이고 극한값이 7로 존재하므로 $($분자$) \to 0$ 이어야 한다.
즉 $f(2) = 0 \implies 2(8) + 3(4) + 2a + b = 0 \implies 28 + 2a + b = 0 \implies b = -2a - 28$.
또한 다항함수에서 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2) = 7$ 이다. [4점]
3단계 (계수 결정 및 $f(1)$): $f'(x) = 6x^2 + 6x + a$ 이므로 $f'(2) = 24 + 12 + a = 7 \implies a = -29$.
$b = -2(-29) - 28 = 58 - 28 = 30$.
따라서 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 29x + 30$ 이며, $f(1) = 2 + 3 - 29 + 30 = 6$ 이다. [3점]
정답: $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 29x + 30, \; f(1) = 6$
| 1단계 | 최고차항과 계수 $f(x)=2x^3+3x^2+ax+b$ 설정 | 3점 |
| 2단계 | $f(2)=0$ 및 $f'(2)=7$(또는 조립제법) 조건 명시 | 4점 |
| 3단계 | 미정계수 $a, b$ 결정 및 $f(1)=6$ 정확히 산출 | 3점 |
$x \to 2$일 때 분모가 0으로 가므로 분자도 0으로 간다는 원리를 적지 않고 바로 미분계수만 대입하면 1~2점 감점됩니다. 반드시 $f(2)=0$을 선언하세요!
[Step 1. 접점 $(t, t^3-3t+2)$ 및 접선의 방정식 표현]
[Step 2. 원점 $(0, 0)$ 대입하여 $t$에 관한 방정식 풀이]
[Step 3. 접선의 방정식 완성 및 다시 만나는 교점의 $x$좌표 합]
【모범 답안】
1단계 (접선의 방정식): $f(x) = x^3 - 3x + 2$ 라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 3$. 접점을 $(t, t^3 - 3t + 2)$ 라 두면 접선의 방정식은
$y - (t^3 - 3t + 2) = (3t^2 - 3)(x - t)$ 이다. [3점]
2단계 (원점 대입): 이 직선이 원점 $(0, 0)$을 지나므로
$-(t^3 - 3t + 2) = (3t^2 - 3)(-t) \implies -t^3 + 3t - 2 = -3t^3 + 3t \implies 2t^3 - 2 = 0 \implies t^3 = 1$.
$t$는 실수이므로 $t = 1$ 뿐이다. 따라서 접점은 $(1, 0)$ 이고 기울기 $f'(1) = 0$ 이므로 접선은 $y = 0$ 이다. [4점]
3단계 (다른 교점 계산): 곡선 $y = x^3 - 3x + 2$ 와 접선 $y = 0$ 의 교점은
$x^3 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)^2 (x + 2) = 0$.
접점이 아닌 다시 만나는 점의 $x$좌표는 $-2$ 이다. [3점]
정답: 접선의 방정식: $y = 0$, $x$좌표의 값: $-2$
| 1단계 | 접점 $(t, f(t))$ 설정 및 도함수를 이용한 접선식 수립 | 3점 |
| 2단계 | 원점 대입 후 $t=1$ 판별 및 접선의 방정식 $y=0$ 산출 | 4점 |
| 3단계 | 연립방정식을 인수분해하여 다른 교점의 $x=-2$ 도출 | 3점 |
$(0, 0)$을 곡선 위의 점으로 착각하여 $f'(0)$을 기울기로 잡으면 0점 처리됩니다. 밖의 점 문제이므로 반드시 $(t, f(t))$를 잡으십시오!