$g_n(1) = \int_1^e x^n (\ln x)^2 dx$에서 $u = (\ln x)^2, v' = x^n$으로 두면 $u' = \frac{2\ln x}{x}, v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$이다.

$$\begin{aligned} g_n(1) &= \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1}(\ln x)^2 \right]_1^e - \frac{2}{n+1}\int_1^e x^n \ln x \, dx \\ &= \frac{e^{n+1}}{n+1} - \frac{2}{n+1} \left( \frac{e^{n+1}}{n+1} - \frac{e^{n+1}-1}{(n+1)^2} \right) \end{aligned}$$

따라서 정리하면 $g_n(1) = \frac{e^{n+1}}{n+1} - \frac{2e^{n+1}}{(n+1)^2} + \frac{2(e^{n+1}-1)}{(n+1)^3}$이다. (단, $n$은 자연수이다.)

$I_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$에서 $u = (\ln x)^n, v'=1$로 두면 $I_n = [x(\ln x)^n]_1^e - n\int_1^e (\ln x)^{n-1}dx = e - n I_{n-1}$이 성립한다.

구간 $[1, e]$에서 $0 \le \ln x \le 1$이므로 $0 \le (\ln x)^n \le 1$이다. 따라서 $0 \le I_n \le \int_1^e 1 dx = e-1$이며, $x \in [1, e^{1-\epsilon}]$과 $[e^{1-\epsilon}, e]$ 구간 분할 또는 $I_{n+1} \le I_n$ 단조감소성에 의해 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$이 성립한다.

점화식 $I_n = e - n I_{n-1}$에서 $n I_{n-1} = e - I_n$이다. 양변에 $n \to \infty$ 극한을 취하면 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$이므로 $\lim_{n \to \infty} n I_{n-1} = e$이다.

따라서 $\lim_{n \to \infty} n I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} (n+1)I_n = 1 \cdot e = e$이다.

구 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 4$에 $z=1$을 대입하면 $x^2 + y^2 = 3$이다. 따라서 $C_1$의 중심은 $(0, 0, 1)$이고 반지름은 $\sqrt{3}$이다.

평면 $\alpha: z=1$의 법선벡터 $\vec{n_\alpha} = (0, 0, 1)$, 평면 $\beta$의 법선벡터 $\vec{n_\beta} = (1, 1, 1)$이므로 이면각 $\theta$는 $\cos\theta = \frac{|\vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_\beta}|}{|\vec{n_\alpha}||\vec{n_\beta}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.

평면 $\beta$의 방정식은 $1(x-0) + 1(y-\sqrt{3}) + 1(z-1) = 0 \implies x + y + z = \sqrt{3}+1$이다. 원점 $O$에서 평면 $\beta$까지의 거리는 $d = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.

원 $C_2$의 반지름 $r_2 = \sqrt{2^2 - d^2}$이며 넓이는 $S_2 = \pi r_2^2$이다. 정사영 넓이는 $S' = S_2 \cos\theta = \pi r_2^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.

$\vec{OX} = \vec{OC_1} + \vec{C_1X}, \vec{OY} = \vec{OC_2} + \vec{C_2Y}$로 분해하면 $\vec{OX} \cdot \vec{OY} = \vec{OC_1}\cdot\vec{OC_2} + \vec{OC_1}\cdot\vec{C_2Y} + \vec{C_1X}\cdot\vec{OC_2} + \vec{C_1X}\cdot\vec{C_2Y}$이다.

각 성분의 코사인 최댓값 $1$과 최솟값 $-1$이 동시에 성립할 수 있는 기하학적 배치를 코시-슈바르츠 부등식 및 평면 사영을 통해 구한다.

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$이므로 $AB \ne BA$이다.

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$임을 추론하고: (i) $n=1$일 때 성립, (ii) $n=k$ 가정 시 $A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 성립하므로 모든 자연수 $n$에 대해 성립함을 증명한다.

$XY + YX = E$의 양변 왼쪽에 $X$를 곱하면 $X^2 Y + XYX = X$이다. 조건 $X^2 Y + Y X^2 = X$와 연립하여 빼면 $XYX - YX^2 = O \implies (XY - YX)X = O$이다.

마찬가지로 오른쪽에 $X$를 곱하여 정리하면 $X(XY - YX) = O$가 되고, $XY+YX=E$ 성질과 결합하여 $XY = YX$임을 엄밀히 도출한다.

$M^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$이다. 따라서 $M^{2028} = (M^2)^{1014} = E^{1014} = E$이다.

$(M+E)^2 = M^2 + 2M + E = 2(M+E)$이므로 $(M+E)^{10} = 2^9 (M+E) = 512 \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$이다. 성분의 총합은 $512 \times (3 - 1 + 3 - 1) = 512 \times 4 = 2048$이다.

$\int_0^2 k x e^{-x^2} dx = 1$에서 $-x^2 = u$로 치환하면 $-2x dx = du$이다.

$$\begin{aligned} -\frac{k}{2} [e^{-x^2}]_0^2 &= \frac{k}{2}(1 - e^{-4}) = 1 \\ &\implies k = \frac{2}{1 - e^{-4}} = \frac{2e^4}{e^4 - 1} \end{aligned}$$

$P(t) = \int_0^t f(x)dx = \frac{k}{2}(1 - e^{-t^2})$이므로 $1-P(t) = 1 - \frac{1-e^{-t^2}}{1-e^{-4}} = \frac{e^{-t^2}-e^{-4}}{1-e^{-4}}$이다.

$H(t) = \frac{t(e^{-t^2}-e^{-4})}{1-e^{-4}}$의 도함수를 구하면 $H'(t) = \frac{e^{-t^2}(1-2t^2) - e^{-4}}{1-e^{-4}}$이다. $H'(t)=0$의 근 $t_0 \in (0, 1/\sqrt{2})$에서 극대이자 유일한 최댓값을 가짐을 증감표로 증명한다.

확률변수 $Y \sim B(n, p(t))$이므로 $V(Y) = n p(t) (1 - p(t))$이다. 이는 $p(t) = \frac{1}{2}$일 때 최대가 된다.

$P(t) = \frac{1}{2} \iff \frac{1-e^{-t^2}}{1-e^{-4}} = \frac{1}{2} \implies e^{-t^2} = \frac{1+e^{-4}}{2}$에서 $t = \sqrt{-\ln\frac{1+e^{-4}}{2}}$일 때 분산의 최댓값은 $n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$이다.

$f(0)=1, f(1)=1+e$이므로 역함수 $g(x)$에 대해 $g(1)=0, g(1+e)=1$이다.

역함수의 그래프는 $y=f(x)$와 $y=x$ 대칭이므로, $\int_1^{1+e} g(x)dx = 1 \cdot (1+e) - 0 \cdot 1 - \int_0^1 f(x)dx$이다.

$$\int_0^1 (x + e^x) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 + e^x \right]_0^1 = \left(\frac{1}{2}+e\right) - (0+1) = e - \frac{1}{2}$$

따라서 구하는 정적분의 값은 $(1+e) - (e - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$이다.

$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t, \frac{dy}{dt} = \sin t$이다.

$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (1-\cos t)^2 + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$$

$0 \le t \le \pi$에서 $0 \le \frac{t}{2} \le \frac{\pi}{2}$이므로 $\sin(t/2) \ge 0$이다. 따라서 속력은 $2\sin(t/2)$이다.

$$L = \int_0^\pi 2\sin\left(\frac{t}{2}\right) dt = \left[ -4\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right]_0^\pi = -4(0 - 1) = 4$$

접점을 $(x_0, y_0)$ ($x_0 > 0, y_0 > 0$)라 하면 접선의 방정식은 $\frac{x_0 x}{9} + \frac{y_0 y}{4} = 1$이다.

$x$절편 $A = (\frac{9}{x_0}, 0)$, $y$절편 $B = (0, \frac{4}{y_0})$이므로 $\triangle OAB = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{x_0} \cdot \frac{4}{y_0} = \frac{18}{x_0 y_0}$이다.

타원 위의 점이므로 $\frac{x_0^2}{9} + \frac{y_0^2}{4} = 1 \ge 2\sqrt{\frac{x_0^2 y_0^2}{36}} = \frac{x_0 y_0}{3} \implies x_0 y_0 \le 3$이다.

따라서 넓이의 최솟값은 $\frac{18}{3} = 6$이다. (등호 성립: $\frac{x_0^2}{9} = \frac{y_0^2}{4} = \frac{1}{2}$)

평면 $\alpha$의 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 2, 2)$이다. 점 $A(1, 2, 3)$을 지나고 평면 $\alpha$에 수직인 직선의 매개변수 방정식은 $(x, y, z) = (1+t, 2+2t, 3+2t)$이다.

평면 $\alpha$의 방정식 $x+2y+2z=4$에 대입하면 $(1+t) + 2(2+2t) + 2(3+2t) = 4 \implies 9t + 11 = 4 \implies t = -\frac{7}{9}$이다.

수선의 발 $H = (1 - \frac{7}{9}, 2 - \frac{14}{9}, 3 - \frac{14}{9}) = (\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{13}{9})$이다.

점 $A$와 평면 사이의 거리는 $|\vec{AH}| = |t||\vec{n}| = \frac{7}{9} \times \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \frac{7}{9} \times 3 = \frac{7}{3}$이다.

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$이므로 $A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, A^3 = \begin{pmatrix} 27 & 19 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$이다.

$A^n = \begin{pmatrix} 3^n & b_n \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$에서 $A^{n+1} = A^n A$를 비교하면 $b_{n+1} = 3b_n + 2^n$이다.

양변을 $3^{n+1}$로 나누면 $\frac{b_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{b_n}{3^n} + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^n$이다.

$$\frac{b_n}{3^n} = \frac{b_1}{3} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^k = \frac{1}{3} + \frac{2}{9}\frac{1-(2/3)^{n-1}}{1-2/3} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$$

따라서 $b_n = 3^n - 2^n$이다. 이를 수학적 귀납법으로 확인하면 완결된다.

등식 $M^2 - 3M + 2E = O$를 변형한다.

(1) $M$의 역행렬: $M(M-3E) = -2E \implies M \left\{ -\frac{1}{2}(M-3E) \right\} = E$이다. 따라서 $M$의 역행렬은 존재하며 $M^{-1} = -\frac{1}{2}(M-3E)$이다.

(2) $M-E$의 역행렬: $(M-E)(M-2E) = M^2 - 3M + 2E = O$이다. 여기서 만약 $M-E$의 역행렬이 존재한다면 양변 왼쪽에 역행렬을 곱하여 $M-2E = O \implies M=2E$이어야 한다. 그러나 $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$인 경우 $M^2 - 3M + 2E = O$를 만족하지만 $M-E = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$로 역행렬이 존재하지 않는다. 따라서 $M-E$의 역행렬은 반드시 존재한다고 단정할 수 없다.

사건 $D$: 질병에 걸림 ($P(D) = 0.01, P(D^c) = 0.99$), 사건 $+$: 양성 판정

조건부 확률: $P(+|D) = 0.95, P(+|D^c) = 0.05$

전확률 정리에 의해 $P(+) = P(D)P(+|D) + P(D^c)P(+|D^c) = 0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.05 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059$

베이즈 정리에 의해 양성일 때 실제 질병에 걸렸을 확률은:

$$P(D|+) = \frac{P(D \cap +)}{P(+)} = \frac{0.0095}{0.059} = \frac{95}{590} = \frac{19}{118} \approx 16.1\%$$

$f(x) = 2x - \cos x$라 두면 $f(x)$는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하다.

[1] 실근의 존재성: $f(0) = -1 < 0, f(\pi/2) = \pi - 0 = \pi > 0$이다. $f(0)f(\pi/2) < 0$이고 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, \pi/2]$에서 연속이므로 사잇값 정리에 의해 $f(c)=0$인 $c \in (0, \pi/2)$가 적어도 하나 존재한다.

[2] 실근의 유일성: 구간 $(0, \pi/2)$에서 $f'(x) = 2 + \sin x$이다. $0 < \sin x \le 1$이므로 $f'(x) \ge 2 > 0$이다. 만약 서로 다른 두 실근 $c_1 < c_2$가 존재한다면 평균값 정리에 의해 $\frac{f(c_2)-f(c_1)}{c_2-c_1} = f'(k) = 0$인 $k \in (c_1, c_2)$가 존재해야 한다. 이는 $f'(x) > 0$에 모순이다. 따라서 오직 하나의 실근만 갖는다.