$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$. $f'(x) = 0 \iff x = e$. $x < e$에서 $f'>0$, $x > e$에서 $f'<0$이므로 극댓값은 $f(e) = \frac{1}{e}$.
$f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1-\ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$. $f''(x) = 0 \iff x = e^{3/2}$.
$x < e^{3/2}$에서 $f'' < 0$, $x > e^{3/2}$에서 $f'' > 0$으로 부호가 반전되므로 변곡점의 좌표는 $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$.

접선의 기울기 $m = f'(e^{3/2}) = \frac{1 - 3/2}{(e^{3/2})^2} = -\frac{1}{2e^3}$.
접선 방정식: $y - \frac{3}{2e^{3/2}} = -\frac{1}{2e^3}(x - e^{3/2}) \iff y = -\frac{1}{2e^3}x + \frac{2}{e^{3/2}}$.
$x$절편: $y = 0$ 대입 시 $\frac{1}{2e^3}x = \frac{2}{e^{3/2}} \implies x = 4e^{3/2}$.

구간 $[e, e^{3/2}]$에서 $f''(x) < 0$이므로 곡선 $y=f(x)$는 접선 $y = T(x)$보다 아래에 위치함 ($T(x) \ge f(x)$).
넓이 $S = \int_e^{e^{3/2}} (T(x) - f(x)) dx$. $\int f(x) dx = \frac{1}{2}(\ln x)^2$.
$\int_e^{e^{3/2}} f(x) dx = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 1^2\right] = \frac{5}{8}$.
접선의 정적분 계산 후 최종 면적 $S = \frac{e^{3/2} - e}{4e^3}(3e^{3/2} - e) - \frac{5}{8}$의 정돈치를 도출함.

세 축의 절편이 $(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 6)$이므로 절편 방정식은 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \iff 3x + 2y + z = 6$.
법선벡터 $\vec{n} = (3, 2, 1)$. 원점을 지나고 평면에 수직인 직선 $x = 3t, y = 2t, z = t$.
대입 시 $3(3t) + 2(2t) + t = 14t = 6 \implies t = \frac{3}{7}$. 따라서 $H\left(\frac{9}{7}, \frac{6}{7}, \frac{3}{7}\right)$.

$\vec{AB} = (-2, 3, 0), \vec{AC} = (-2, 0, 6)$. 외적 $\vec{AB} \times \vec{AC} = (18, 12, 6) = 6(3, 2, 1)$.
삼각형 $ABC$의 넓이 $S_{ABC} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = 3\sqrt{14}$.

평면 $\alpha$의 법선벡터 $\vec{n} = (3, 2, 1)$, $xy$평면의 법선벡터 $\vec{k} = (0, 0, 1)$.
$\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{\|\vec{n}\| \|\vec{k}\|} = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
정사영 넓이 $S' = S_{ABC} \cos\theta = 3\sqrt{14} \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} = 3$.
(검산: $xy$평면 상의 직각삼각형 $OAB$의 넓이 $\frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$과 완벽히 일치함.)

$AB = A + B \iff AB - A - B + E = E \iff (A - E)(B - E) = E$.
따라서 $A - E$의 역행렬은 $(B - E)$로 존재한다.
또한 역행렬 정의에 의해 $(B - E)(A - E) = E$가 성립하므로 전개하면 $BA - B - A + E = E \implies BA = A + B$.
그러므로 $AB = BA = A + B$가 성립하여 두 행렬 $A, B$는 교환 가능하다 ($AB=BA$).

$A^2 - A + E = O \iff A(E - A) = E$. 따라서 $A^{-1} = E - A$.
양변에 $(A + E)$를 곱하면 $(A + E)(A^2 - A + E) = A^3 + E = O \implies A^3 = -E$.
양변을 제곱하면 $A^6 = E$이다. $2028 = 6 \times 338$이므로 $A^{2028} = (A^6)^{338} = E^{338} = E$.

$M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -E$. 따라서 $M^4 = (-E)^2 = E$.
$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$라 둘 때 $XM = \begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix}$, $MX = \begin{pmatrix} c & d \\ -a & -b \end{pmatrix}$.
$XM = MX \iff -b = c, a = d, -d = -a, c = -b$. 따라서 $d = a, c = -b$.
만족하는 행렬 $X = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = aE + bM$ (단, $a, b$는 임의의 실수).

$I_1 = \int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$.
$I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^x dx = [x^{n+1} e^x]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n e^x dx = e - (n+1)I_n$.

$0 \le x \le 1$에서 $1 \le e^x \le e$. 양변에 $x^n \ge 0$을 곱하면 $x^n \le x^n e^x \le e x^n$.
$0$에서 $1$까지 적분하면 $\int_0^1 x^n dx \le \int_0^1 x^n e^x dx \le e \int_0^1 x^n dx$.
$\left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$이므로 $\frac{1}{n+1} \le I_n \le \frac{e}{n+1}$.
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0$이므로 조임정리(샌드위치)에 의해 $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

[4-1]의 점화식 $I_{n+1} = e - (n+1)I_n = e - n I_n - I_n$에서 $n I_n = e - I_{n+1} - I_n$.
양변에 $n \to \infty$ 극한을 취하면 [4-2]에 의해 $\lim_{n \to \infty} I_{n+1} = 0$, $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$이다.
따라서 $\lim_{n \to \infty} n I_n = e - 0 - 0 = e$.

$f(x) = x^3 + 2x - 1$. $f(1) = 2$이므로 $g(2) = 1$. $f'(x) = 3x^2 + 2 \implies f'(1) = 5$.
$g'(2) = \frac{1}{f'(g(2))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$.
역함수 항등식 $f(g(x)) = x$를 미분하면 $f'(g(x))g'(x) = 1$. 한 번 더 미분하면
$f''(g(x))(g'(x))^2 + f'(g(x))g''(x) = 0 \implies g''(x) = -\frac{f''(g(x))(g'(x))^2}{f'(g(x))} = -\frac{f''(g(x))}{(f'(g(x)))^3}$.
$f''(x) = 6x \implies f''(1) = 6$. 따라서 $g''(2) = -\frac{6}{5^3} = -\frac{6}{125}$.

$\frac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t)$, $\frac{dy}{dt} = 2\sin t$.
$(x')^2 + (y')^2 = 4(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 4\sin^2 t = 4(2 - 2\cos t) = 8(1 - \cos t) = 16\sin^2(t/2)$.
$0 \le t \le 2\pi$에서 $0 \le t/2 \le \pi$이므로 $\sin(t/2) \ge 0$. 따라서 속력은 $4\sin(t/2)$.
호의 길이 $L = \int_0^{2\pi} 4\sin(t/2) dt = \left[ -8\cos(t/2) \right]_0^{2\pi} = -8(-1 - 1) = 16$.

초점 $F(1, 0)$을 지나는 직선을 $x = my + 1$로 둔다. 포물선 $y^2 = 4x = 4(my + 1) \iff y^2 - 4my - 4 = 0$.
두 교점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$에 대하여 근과 계수의 관계: $y_1 + y_2 = 4m$, $y_1 y_2 = -4$.
중점 $M(X, Y)$의 좌표: $Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = 2m \implies m = \frac{Y}{2}$.
$X = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{(my_1+1) + (my_2+1)}{2} = m\frac{y_1+y_2}{2} + 1 = m(2m) + 1 = 2m^2 + 1$.
$m = Y/2$를 대입하면 $X = 2(Y/2)^2 + 1 = \frac{Y^2}{2} + 1 \iff Y^2 = 2(X - 1)$.
(직선이 수직인 $x=1$일 때 $y=\pm 2$로 중점은 $(1, 0)$이며, 이 점 또한 자취 방정식 $Y^2=2(X-1)$을 만족함.)

원점 $O(0, 0, 0)$에서 평면 $x + y + z = 3$까지의 거리 $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
구의 반지름 $R = 3$이므로 교선인 원의 반지름 $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$.
원의 면적 $S = \pi r^2 = 6\pi$.
평면의 법선벡터 $\vec{n} = (1, 1, 1)$, $xy$평면 법선벡터 $\vec{k} = (0, 0, 1)$ 사이의 각 $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
따라서 정사영된 타원의 넓이 $S' = S \cos\theta = 6\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\pi$.

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. 트레이스 $\mathrm{tr}(A) = 3+2 = 5$, 행렬식 $\det(A) = 3(2) - 1(2) = 4$.
케일리-해밀턴 정리에 의해 $A^2 - 5A + 4E = O$.
주어진 식 $A^3 - 5A^2 + 6A + 3E = A(A^2 - 5A + 4E) + 2A + 3E = A(O) + 2A + 3E = 2A + 3E$.
$2A + 3E = 2\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$.

$M = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & a-1 \end{pmatrix}$. 연립방정식 $M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
$M$의 역행렬 $M^{-1}$이 존재하면 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$으로 오직 영해(자명해)만을 갖는다.
따라서 $x=0, y=0$ 이외의 해(비자명해)를 갖기 위한 필요충분조건은 $M$의 역행렬이 존재하지 않는 것이다.
$\det(M) = a(a-1) - 2 \cdot 3 = a^2 - a - 6 = 0 \iff (a - 3)(a + 2) = 0$.
따라서 실수 $a = 3$ 또는 $a = -2$이다. 모든 실수 $a$의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의해 $1$이다. (또는 $3 + (-2) = 1$)

$f(x) = e^x + x - 2$라 두면 $f(x)$는 닫힌구간 $[0, 1]$에서 연속이고 열린구간 $(0, 1)$에서 미분가능하다.
$f(0) = 1 + 0 - 2 = -1 < 0$, $f(1) = e + 1 - 2 = e - 1 > 0$ ($e \approx 2.718$).
$f(0)f(1) < 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $f(c) = 0$을 만족하는 $c \in (0, 1)$가 적어도 하나 존재한다. (존재성 증명)
서로 다른 두 실근 $c_1 < c_2$가 구간 $(0, 1)$에 존재한다고 가정하자 ($f(c_1) = f(c_2) = 0$).
롤의 정리에 의해 $f'(k) = 0$을 만족하는 $k \in (c_1, c_2) \subset (0, 1)$가 존재해야 한다.
그러나 $f'(x) = e^x + 1 > 0$ (모든 실수 $x$에서 $e^x > 0$)이므로 $f'(k) = 0$은 모순이다.
따라서 열린구간 $(0, 1)$에서 오직 하나의 실근만을 갖는다. (유일성 증명 완결)

전확률 $\int_0^\infty f(x) dx = 1$. $\int_0^\infty c x e^{-2x} dx = c \left( \left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^\infty + \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-2x} dx \right) = c \left(0 + \frac{1}{4}\right) = \frac{c}{4} = 1 \implies c = 4$.
기댓값 $E(X) = \int_0^\infty x f(x) dx = \int_0^\infty 4x^2 e^{-2x} dx$.
부분적분: $\int_0^\infty x^2 e^{-2x} dx = \left[-\frac{x^2}{2}e^{-2x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty x e^{-2x} dx = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
따라서 $E(X) = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.