2028 서울시립대학교 수리논술 실전 문제집 (자연계열 C1)

QUESTIO 2028 SUPREME WORKBOOK

2028 서울시립대학교 수리논술
실전 문제집 [14P]

자연계열 공학·이공계 [수능최저 없는 순수 수학 100% 논증 시험지]

• 시험 시간: 120분 (4문항 완결 논증)
• 출제 과목: 2022 개정 공통수학1(행렬), 수1, 수2, 미적분, 기하, 확통
• 실전 규격: 1문항 1페이지 A4 모눈 격자 답안지 일체형
• 수능최저학력기준: 없음 (NONE) • 순수 수학 점수 100% 당락 결정

주식회사 퀘스티오 (Questio Inc.) 2028 수리논술전략연구소

❓ [문제 1] 미적분 • 초월함수의 이계도함수와 변곡점 접선배점 25점

서울시립대 최신기출

함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

1-1. 함수 $f(x)$의 극댓값과 변곡점의 좌표를 각각 구하시오. (7점)

1-2. 변곡점에서의 접선의 방정식을 구하고, $x$절편을 구하시오. (9점)

1-3. 곡선 $y = f(x)$와 변곡점에서의 접선 및 직선 $x = e$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (9점)

⚠️ 채점관 주의사항: $f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3} = 0$에서 $x = e^{3/2}$ 좌우의 부호 변화를 증감표로 반드시 밝히십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 - [문제 1] 미적분 ]

❓ [문제 2] 기하 • 공간좌표계에서 평면의 방정식과 정사영배점 25점

서울시립대 최신기출

공간좌표계에서 세 점 $A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6)$이 있다.

2-1. 세 점 $A, B, C$를 지나는 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표를 구하시오. (8점)

2-2. 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오. (8점)

2-3. 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 이면각을 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값을 구하고 삼각형 $ABC$의 $xy$평면 위로의 정사영 넓이를 구하시오. (9점)

⚠️ 채점관 주의사항: 절편 방정식 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \iff 3x + 2y + z = 6$과 법선벡터 $\vec{n} = (3, 2, 1)$을 명시하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 - [문제 2] 기하 ]

❓ [문제 3] 공통수학1 • 행렬의 가환성과 역행렬의 존재배점 25점

2028 개정선도

$2 \times 2$ 정사각행렬 $A, B$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

3-1. $AB = A + B$가 성립할 때, 행렬 $A - E$의 역행렬이 존재함을 증명하고 $AB = BA$임을 증명하시오. (8점)

3-2. $A^2 - A + E = O$일 때, $A$의 역행렬을 $A$에 대한 일차식으로 나타내고 $A^{2028}$을 구하시오. (8점)

3-3. 행렬 $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $M^4 = E$임을 보이고, $XM = MX$를 만족하는 모든 $2 \times 2$ 실수 행렬 $X$의 형태를 구하시오. (9점)

⚠️ 채점관 주의사항: $AB - A - B + E = E \iff (A-E)(B-E) = E$ 인수분해 논리를 단계별로 엄밀히 전개하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 - [문제 3] 행렬과 대수 ]

❓ [문제 4] 미적분·수열 • 적분으로 정의된 수열과 샌드위치 정리배점 25점

서울시립대 최신기출

자연수 $n$에 대하여 $I_n = \int_0^1 x^n e^x dx$라 하자.

4-1. $I_1$의 값을 구하고, 부분적분법을 이용하여 $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$ ($n \ge 1$)임을 증명하시오. (7점)

4-2. $0 \le x \le 1$에서 $1 \le e^x \le e$임을 이용하여 $\frac{1}{n+1} \le I_n \le \frac{e}{n+1}$임을 증명하고, $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$임을 보이시오. (9점)

4-3. 극한값 $\lim_{n \to \infty} n I_n$의 값을 구하시오. (9점)

⚠️ 채점관 주의사항: $n I_n = e - I_{n+1} - I_n$ 점화식을 변형할 때 $\lim_{n \to \infty} I_{n+1} = 0$임을 연계하여 $e$를 서술하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 - [문제 4] 미적분·수열 ]

📝 [모의 1-1] 미적분 • 역함수의 미분법과 고계도함수15점

UOS 실전모의

$f(x) = x^3 + 2x - 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(2)$와 $g''(2)$의 값을 구하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: $f(1)=2$임을 찾고 $g'(2) = \frac{1}{f'(1)}$, $g''(2) = -\frac{f''(1)}{(f'(1))^3}$ 공식을 연쇄법칙으로 유도하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📝 [모의 1-2] 미적분 • 사이클로이드 곡선의 호의 길이15점

UOS 실전모의

사이클로이드 $x = 2(t - \sin t), y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)의 호의 길이를 구하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: 속력 $\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = 4\sin(t/2)$에서 $\sin(t/2) \ge 0$임을 밝히고 적분치 16을 계산하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📝 [모의 2-1] 기하 • 포물선과 직선의 교점 자취15점

UOS 실전모의

포물선 $y^2 = 4x$와 초점 $F(1, 0)$을 지나는 직선이 만나는 두 점 $A, B$에 대하여 선분 $AB$의 중점 $M$의 자취의 방정식을 구하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: 직선 $x = my + 1$로 두고 근과 계수의 관계를 통해 $y^2 = 2(x-1)$을 도출하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📝 [모의 2-2] 기하 • 구와 평면의 교선 원의 정사영15점

UOS 실전모의

구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$와 평면 $x + y + z = 3$의 교선인 원을 $xy$평면 위로 정사영시킨 타원의 넓이를 구하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: 점-평면 거리 $d = \sqrt{3}$, 원 반지름 $r = \sqrt{6}$, $\cos\theta = 1/\sqrt{3}$을 통해 정사영 넓이 $2\sqrt{3}\pi$를 계산하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📝 [모의 3-1] 공통수학1 • 케일리-해밀턴 정리 차수 축소15점

UOS 실전모의

행렬 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$에 대하여 다항식 $A^3 - 5A^2 + 6A + 3E$의 값을 구하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: $A^2 - 5A + 4E = O$임을 보이고 다항식 나눗셈으로 $2A + 3E$로 축소하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📝 [모의 3-2] 공통수학1 • 행렬 연립방정식의 비자명해15점

UOS 실전모의

연립방정식 $\begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & a-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$이 $x=0, y=0$ 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 행렬식 $\det = a^2 - a - 6 = 0$에서 근과 계수의 관계를 쓰십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📝 [모의 4-1] 미적분 • 사잇값 정리와 롤의 정리의 연속 적용15점

UOS 실전모의

방정식 $e^x + x - 2 = 0$이 열린구간 $(0, 1)$에서 오직 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리와 롤의 정리를 이용하여 증명하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: $f(0)f(1) < 0$으로 실근 존재성을 보이고 $f'(x) = e^x + 1 > 0$으로 단조증가함을 밝혀 유일성을 증명하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📝 [모의 4-2] 확통 • 연속확률밀도함수와 부분적분 기댓값15점

UOS 실전모의

확률밀도함수 $f(x) = c x e^{-2x}$ ($x \ge 0$)에 대하여 상수 $c$를 구하고 기댓값 $E(X)$를 부분적분법으로 구하시오.

⚠️ 채점관 주의사항: 전확률 $\int_0^\infty c x e^{-2x} dx = c/4 = 1 \implies c=4$를 도출하고 $E(X) = 1$을 정확히 계산하십시오.

[ 2028 서울시립대학교 실전 답안 작성 공간 ]

📋 서울시립대 수리논술 실전 응시 요령 및 감점 방지 수칙

FINAL CHECK

서울시립대학교는 수능최저학력기준이 없으므로(NONE) 지원자 전원이 실질 경쟁률(약 48.6:1)에 그대로 진입합니다. 따라서 1~2점의 부분점수 감점 방지가 합격의 절대적인 기준이 됩니다.

🎯 감점 0점 완벽 논증 4대 원칙

1. 수식 비약 금지: 수식을 다음 단계로 넘길 때 "사잇값 정리에 의해", "양변을 $x$에 대해 미분하면"과 같은 수학적 근거를 반드시 한글로 기재하십시오.
2. 정의역 및 단서 조건 명시: 분모가 0이 아님, 로그의 진수 조건($x > 0$), 제곱근 내부가 0 이상임을 빠짐없이 기재하십시오.
3. 행렬 연산 순서 보존: 행렬은 곱셈 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않으므로 $AB \neq BA$임을 유념하고 곱하는 방향(좌곱/우곱)을 명시하십시오.
4. 기하 벡터 표기: 시점과 종점, 내적 기호($\cdot$)를 누락하지 말고 정사영 시 법선벡터와의 이면각 $\cos\theta$ 계산 과정을 생략하지 마십시오.

📱 QUESTIO 모바일 AI 첨삭 시스템 안내

작성하신 답안지를 스마트폰으로 촬영하여 QUESTIO 웹 리포트 페이지에 업로드하시면 시립대 2열 루브릭 기준 예상 점수와 감점 요인을 즉시 피드백 받으실 수 있습니다.

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