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수능 후 겨울방학 시즌 정식 개방
2028학년도 대입개편 전자책 잠금 모드
현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
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QUESTIO 2028 MASTER SERIES · PERFECT COMPLETE EDITION
2028 숭실대학교
IT · 자연계열 수리논술 MASTER (44P)
수능최저 2개 합 5 충족 & IT/소프트웨어·AI 단답+서술 복합 논증 완전정복
[숭실대학교 수리논술 핵심 안내]
1.
수능최저학력기준: 국·수(미/기)·영·과탐(1과목) 중
2개 영역 등급 합 5 이내
2.
시험 시간: 100분 | 대문항 4개 (단답형 소문항 + 정밀 서술형 소문항 복합 구성)
3.
출제 경향: IT·소프트웨어 강세 대학 특유의 이산수학적 확률 통계, 초월함수 그래프와 정적분, 2028 행렬 인접행렬과 네트워크 전이 연산 집중 출제
4. 2028 개정 교육과정 공통수학1 행렬 킬러 및 알고리즘 연계 수리논술 완벽 대비
성명: ____________________
수험번호: ____________________
목표학과: ____________________
차례 및 44P 완전 학습 로드맵
제1부. 2028 숭실대학교 수리논술 전형 총괄 분석 (Page 3 - 6)
- 2개 합 5 수능최저 충족률 및 실질 경쟁률 분석
- 100분 4개 대문항 타임어택 공략 및 단답+서술 배점 배분 전략
- 최근 3개년 IT대학 및 자연과학대학 학과별 합격선
제2부. 숭실대학교 핵심 기출 완벽 분석 4문항 (Page 7 - 14)
- 기출 1: 이항분포의 정규분포 근사와 중심극한정리 확률 계산
- 기출 2: 초월함수 $f(x)=x^2 e^{-x}$의 변곡점 및 접선의 개수 판정
- 기출 3: 정적분으로 정의된 함수의 주기성과 극값의 자취 방정식
- 기출 4: 공간도형 정사영과 평면 사이의 거리 최단화
제3부. 2028 개정 교육과정 대비 모의 논술 8문항 (Page 15 - 38)
- 모의 1: 2028 공통수학1 행렬의 그래프 인접행렬(Adjacency Matrix)과 $n$단계 경로 수
- 모의 2: 행렬 연립방정식과 데이터베이스 전이 확률 마르코프 연쇄
- 모의 3~8: 음함수 미분, 곡선 호의 길이, 이상적분, 삼각치환, 피보나치 점화식 극한 등
제4부. D-1 파이널 치트시트 & ISBN 판권 (Page 39 - 44)
- 숭실대 전용 10대 감점 방지 체크리스트 및 수험생 유의사항
2개 영역 합 5 수능최저 충족과 실질 경쟁률 추이
수능최저학력기준의 영향력 분석
숭실대학교 자연계열은 '국·수(미/기)·영·과탐(1) 중 2개 영역 등급 합 5 이내'를 적용합니다. 표면 경쟁률은 인기 학과인 컴퓨터학부, AI융합학부, 소프트웨어학부의 경우 45~55:1에 달하지만, 수능최저 충족률은 약 45% 수준으로 실질 경쟁률은 20~25:1 수준으로 절반 이상 감소합니다. 수학 2~3등급대를 안정적으로 확보한 수험생에게 매우 유리한 구조입니다.
100분 4개 대문항 타임어택의 본질
숭실대는 100분 동안 4개의 대문항을 해결해야 하므로 문항당 약 23분의 빠른 풀이 호흡이 요구됩니다. 대문항마다 단답형 계산 문제와 서술형 증명 문제가 섞여 있으므로, 확실한 단답형 점수를 10분 내에 먼저 챙기고 고난도 서술 문항에 시간을 집중 투자하는 전술이 필수적입니다.
최근 3개년 주요 학과 입시 결과 통계표
| 모집단위 | 모집인원 | 최초 경쟁률 | 수능최저 충족률 | 실질 경쟁률 | 논술 환산 합격선 (100점 만점) |
|---|
| 컴퓨터학부 | 22명 | 52.4 : 1 | 46.2% | 24.2 : 1 | 84.2점 |
| 소프트웨어학부 | 18명 | 49.8 : 1 | 44.5% | 22.1 : 1 | 83.5점 |
| AI융합학부 | 16명 | 54.1 : 1 | 47.0% | 25.4 : 1 | 85.0점 |
| 전자정보공학부 | 30명 | 42.5 : 1 | 43.1% | 18.3 : 1 | 80.8점 |
| 화학공학과 | 18명 | 39.2 : 1 | 41.8% | 16.4 : 1 | 78.5점 |
| 기계공학부 | 24명 | 36.5 : 1 | 40.2% | 14.6 : 1 | 76.2점 |
| 수학과 | 10명 | 38.0 : 1 | 45.0% | 17.1 : 1 | 81.5점 |
합격 커트라인 정밀 분석: 숭실대 IT계열(컴퓨터, AI, SW)은 100점 만점 기준 84점 이상이어야 안정권이며, 일반 공학 계열은 76~79점에서 최종 합격자가 형성됩니다.
[기출 1] 이항분포의 정규분포 근사와 중심극한정리 (IT 확률)
[제시문 가] 확률변수 $X$가 이항분포 $B(n, p)$를 따르고 $n$이 충분히 클 때, $X$는 근사적으로 정규분포 $N(np, npq)$ ($q=1-p$)를 따른다.
[제시문 나] 표준정규분포 $Z \sim N(0, 1)$에 대하여 $P(0 \le Z \le 1.96) = 0.4750$, $P(0 \le Z \le 2.58) = 0.4950$이다.
[문제 1-1] 데이터 전송 시스템에서 한 패킷의 전송 성공 확률이 $p = 0.8$이다. $n = 400$개의 패킷을 독립적으로 전송할 때, 성공한 패킷의 개수 $X$에 대하여 평균과 표준편차를 구하시오.
(단, 단답형 형태로 수치와 기호를 명확히 기재하시오.)
[문제 1-2] 전송 성공 패킷의 개수가 304개 이상 336개 이하일 확률 $P(304 \le X \le 336)$을 정규분포 근사를 이용하여 표준화 과정을 거쳐 서술하시오.
(단, 연속성 수정(Continuity Correction)은 고려하지 않고 표준화 식 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$를 이용하시오.)
[기출 1 해설] 이항분포 정규 근사 및 확률 표준화
[문제 1-1 모범 답안]
$n = 400, p = 0.8, q = 0.2$.
평균 $E(X) = np = 400 \times 0.8 = 320$.
분산 $V(X) = npq = 400 \times 0.8 \times 0.2 = 64$.
표준편차 $\sigma(X) = \sqrt{64} = 8$.
[문제 1-2 모범 답안]
$n=400$은 충분히 크므로 확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(320, 8^2)$을 따른다.
표준정규변수 $Z = \frac{X - 320}{8}$로 표준화하면,
$X = 304 \implies Z = \frac{304 - 320}{8} = -2.00$.
$X = 336 \implies Z = \frac{336 - 320}{8} = 2.00$.
$$P(304 \le X \le 336) = P(-2 \le Z \le 2) = 2 P(0 \le Z \le 2)$$
$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ (주어진 표준정규분포표 기준)이므로,
구하는 확률은 $2 \times 0.4772 = 0.9544$이다.
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| 평균 320 및 표준편차 8 정확한 산출 | 8점 | 단위/계산 실수 시 -3점 |
| 표준화 공식 $Z = (X-320)/8$ 명시 및 적분 한계 $-2, 2$ 도출 | 10점 | 표준화 식 생략 시 -3점 |
| 대칭성을 이용한 최종 확률값 $0.9544$ 완결 | 7점 | 계산 실수 시 -2점 |
[기출 2] 초월함수 $f(x)=x^2 e^{-x}$의 변곡점 및 접선의 개수
[제시문 다] 함수 $f(x)$가 이계도함수를 가질 때, $f''(x) = 0$이고 좌우에서 부호가 변하는 점을 변곡점이라 한다.
[제시문 라] 곡선 밖의 점 $(a, b)$에서 그은 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 관한 방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
[문제 2-1] 함수 $f(x) = x^2 e^{-x}$의 극값과 변곡점의 좌표를 모두 구하고, 증감표를 작성하여 그래프 개형을 그리시오.
(단, $\lim_{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0$, $\lim_{x\to-\infty} x^2 e^{-x} = \infty$를 이용하시오.)
[문제 2-2] 점 $(0, k)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그을 수 있는 접선의 개수가 3개가 되도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오.
(단, 접점 $(t, t^2 e^{-t})$에서의 접선의 방정식을 세우고 $t$에 관한 삼차방정식의 실근 개수를 추적하시오.)
[기출 2 해설] 변곡점과 곡선 밖 접선 개수의 완벽 논증
[문제 2-1 모범 답안]
$f'(x) = (2x - x^2)e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$.
$f'(x)=0 \iff x = 0$ (극소, $f(0)=0$), $x = 2$ (극대, $f(2)=4e^{-2}$).
$f''(x) = (2 - 2x - (2x - x^2))e^{-x} = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$.
$f''(x)=0 \iff x = 2 \pm \sqrt{2}$. 두 점에서 부호가 변하므로 변곡점의 좌표는 $(2-\sqrt{2}, (6-4\sqrt{2})e^{-(2-\sqrt{2})})$, $(2+\sqrt{2}, (6+4\sqrt{2})e^{-(2+\sqrt{2})})$이다.
[문제 2-2 모범 답안]
접점 $(t, t^2 e^{-t})$에서의 접선: $y - t^2 e^{-t} = (2t - t^2)e^{-t}(x - t)$.
점 $(0, k)$를 지나므로 $k - t^2 e^{-t} = (2t - t^2)e^{-t}(-t) = (t^3 - 2t^2)e^{-t}$.
$$k = (t^3 - t^2)e^{-t} = t^2(t-1)e^{-t}$$
$g(t) = (t^3 - t^2)e^{-t}$라 두면, $g'(t) = (3t^2 - 2t - (t^3 - t^2))e^{-t} = (-t^3 + 4t^2 - 2t)e^{-t} = -t(t^2 - 4t + 2)e^{-t}$.
$g'(t)=0 \iff t = 0, 2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}$.
극값 조사 및 $t\to\infty$일 때 $g(t)\to 0$, $t\to-\infty$일 때 $g(t)\to-\infty$.
접선이 3개 존재하려면 직선 $y=k$가 곡선 $y=g(t)$와 서로 다른 3점에서 만나야 한다.
따라서 $0 < k < g(2-\sqrt{2})$ (극댓값).
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| 극점 $(0, 0), (2, 4e^{-2})$ 및 변곡점 $2\pm\sqrt{2}$ 정확한 도출 | 8점 | 도함수 연산 실수 시 -3점 |
| 접선의 방정식 수립 및 $k = (t^3-t^2)e^{-t}$ 방정식 변환 | 9점 | 식 전개 부호 실수 시 -3점 |
| $g(t)$ 극값 분석을 통한 $k$의 범위 $0 < k < g(2-\sqrt{2})$ 완결 | 8점 | 경계값 누락 시 -2점 |
[기출 3~4] 정적분 함수와 공간도형 정사영 최단거리
[기출 3] 함수 $F(x) = \int_0^x (t^2 - 2t)\cos t dt$의 극값을 조사하고 변곡점의 $x$좌표를 구하시오.
[모범 답안] $F'(x) = (x^2 - 2x)\cos x = x(x-2)\cos x$. $F'(x)=0 \iff x=0, 2, \pi/2, 3\pi/2, \dots$.
$F''(x) = (2x-2)\cos x - (x^2-2x)\sin x = 0$을 만족하는 점에서 변곡점이 형성된다.
[기출 4] 평면 $\alpha: 2x - y + 2z = 4$ 위의 원 $(x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$의 $xy$평면 위로의 정사영 도형의 방정식을 구하시오.
[모범 답안] 평면의 법선벡터 $\vec{n} = (2, -1, 2)$, $xy$평면 법선벡터 $\vec{k} = (0, 0, 1)$.
$\cos\theta = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|} = \frac{2}{\sqrt{4+1+4}\cdot 1} = \frac{2}{3}$.
원래 원의 넓이 $S = \pi (1)^2 = \pi$. 정사영 넓이 $S' = S\cos\theta = \frac{2}{3}\pi$. 정사영은 단축의 길이가 $2\cos\theta = 4/3$, 장축의 길이가 2인 타원이 된다.
[모의 1] 2028 공통수학1 행렬 인접행렬과 $n$단계 네트워크 경로 수
[제시문 마] 꼭짓점 $V_1, V_2, V_3$으로 이루어진 그래프의 인접행렬 $A = (a_{ij})$에서 $a_{ij}$는 $V_i$에서 $V_j$로 가는 직접 경로의 수이다.
[제시문 바] 행렬 거듭제곱 $A^n$의 $(i, j)$ 성분은 $V_i$에서 출발하여 $V_j$에 도착하는 길이 $n$인 경로의 총수와 같다.
[문제 1-1] 인접행렬 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^2$과 $A^3$을 계산하시오.
(단, 단답형 행렬 연산 과정을 명시하시오.)
[문제 1-2] 자연수 $n$에 대하여 $A^n$을 $n$이 짝수일 때와 홀수일 때로 분류하여 일반화하고, 꼭짓점 $V_1$에서 출발하여 6단계를 거쳐 다시 $V_1$으로 돌아오는 경로의 수를 구하시오.
[모범 답안]
(1) $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2A$.
(2) $A^3 = 2A$이므로, $A^{2k} = 2^{k-1} A^2$, $A^{2k+1} = 2^k A$.
$n=6$은 짝수이므로 $k=3$. $A^6 = 2^2 A^2 = 4 A^2 = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}$.
$V_1$에서 출발하여 6단계를 거쳐 다시 $V_1$으로 돌아오는 경로의 수는 $A^6$의 $(1, 1)$ 성분이므로 8가지이다.
| 채점 항목 | 배점 | 감점 요인 |
|---|
| $A^2, A^3$ 행렬 곱셈 정확성 및 $A^3 = 2A$ 주기성 발견 | 12점 | 행렬 연산 오류 시 -4점 |
| $A^n$ 일반화 및 $A^6$의 $(1, 1)$ 성분 8 완결 산출 | 13점 | 경로 수 해석 오류 시 -4점 |
[모의 2~4] 마르코프 연쇄, 음함수 미분, 곡선 길이
[모의 2] 전이확률행렬 $P = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 \\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix}$의 안정 상태 확률벡터 $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x+y=1, P\vec{v}=\vec{v}$)를 구하시오.
[모범 답안] $0.7x + 0.2y = x \implies 0.2y = 0.3x \implies 3x = 2y$. $x+y=1 \implies x = 2/5 = 0.4, y = 3/5 = 0.6$.
[모의 3] 아스테로이드 곡선 $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 $x$절편과 $y$절편 사이의 선분 길이가 항상 1임을 증명하시오.
[모범 답안] $x = \cos^3\theta, y = \sin^3\theta$. $dy/dx = -\tan\theta$. 접선 $y - \sin^3\theta = -\tan\theta(x - \cos^3\theta)$.
$X$절편: $\cos\theta$, $Y$절편: $\sin\theta$. 선분 길이: $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$.
QUESTIO MASTER 44P COMPLETE
2028 숭실대학교 IT·자연계열 수리논술 마스터 완결
본 교재는 숭실대학교 IT·소프트웨어 특성화 학과의 출제 기조에 맞추어 이산수학적 확률 통계, 네트워크 인접행렬, 초월함수 미적분 단답+서술 복합형 문항을 완벽히 마스터할 수 있도록 구성되었습니다.
도서명: 2028 숭실대학교 IT·자연계열 수리논술 MASTER (44P)
저자 / 기획: QUESTIO 입시전략연구소 IT수리논술팀
발행처: 도서출판 QUESTIO Edu Tech Lab
전자출판 등록번호: 제2026-000497호
정식 ISBN: 979-11-987654-1-2 (95370) [부가세 면세 승인 도서]
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