$f(t)=e^t, g(t)=t$는 $[0, x]$에서 연속이고 $(0, x)$에서 미분가능하며 $g'(t)=1 \ne 0$이다. 코시 평균값 정리에 의해 $\frac{e^x - e^0}{x - 0} = \frac{e^c}{1}$인 $c \in (0, x)$가 존재한다. $c > 0$이므로 $e^c > e^0 = 1$이다. 따라서 $\frac{e^x - 1}{x} > 1 \implies e^x > 1 + x$ ($x > 0$)이다.

$f(t) = e^t - 1 - t$, $g(t) = t^2$을 두면 $f(0)=0, g(0)=0$. $g'(t) = 2t \ne 0$ ($t>0$). 코시 평균값 정리에 의해 $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{e^{c_1} - 1}{2c_1}$인 $c_1 \in (0, x)$가 존재한다. (1-1)의 결과에 의해 $e^{c_1} > 1 + c_1 \implies e^{c_1}-1 > c_1$. 따라서 $\frac{e^{c_1}-1}{2c_1} > \frac{c_1}{2c_1} = \frac{1}{2}$. 양변에 $x^2>0$을 곱하면 $e^x - 1 - x > \frac{x^2}{2} \iff e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$.

$n=m$일 때 성립한다고 가정하고 $f(t) = e^t - \sum_{k=0}^m \frac{t^k}{k!}$, $g(t) = t^{m+1}$에 코시 평균값 정리를 적용하면 $\frac{f(x)}{x^{m+1}} = \frac{f'(c)}{(m+1)c^m} = \frac{e^c - \sum_{k=0}^{m-1} \frac{c^k}{k!}}{(m+1)c^m} > \frac{c^m / m!}{(m+1)c^m} = \frac{1}{(m+1)!}$. 따라서 $e^x > \sum_{k=0}^{m+1} \frac{x^k}{k!}$이 성립하여 모든 자연수 $n$에 대해 증명된다.

접선의 방정식 $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$로부터 법선벡터는 $\vec{n} = \left( \frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2} \right)$이다.

초점거리합 $r_1 + r_2 = 2a$. 미분 $d(r_1 + r_2) = 0 \iff (\nabla r_1 + \nabla r_2) \cdot d\vec{r} = 0$. $\nabla r_1 = \frac{\vec{PF}}{r_1}$, $\nabla r_2 = \frac{\vec{PF'}}{r_2}$이므로 $(\frac{\vec{PF}}{r_1} + \frac{\vec{PF'}}{r_2}) \cdot d\vec{r} = 0$. 접선벡터 $d\vec{r}$과 내적이 0이므로 합벡터 $\vec{u}$는 접선에 수직인 법선 방향이다.

두 단위벡터의 합은 마름모의 대각선이 되어 두 초점 방향 벡터가 이루는 각을 이등분한다. 따라서 법선에 대한 입사각과 반사각이 같으므로 한 초점에서 출발한 광선은 타원에 반사되어 반드시 다른 초점을 통과한다.

$X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ 성분을 대입하여 $AX=XA$를 풀면 $z = \frac{3}{2}y$, $w - x = \frac{3}{2}y$. 따라서 $X = \begin{pmatrix} x & y \\ \frac{3}{2}y & x+\frac{3}{2}y \end{pmatrix} = \frac{y}{2}A + (x - \frac{y}{2})E$. 실수 $p = \frac{y}{2}, q = x - \frac{y}{2}$로 두면 $X = p A + q E$ 꼴로 유일하게 표현된다.

$\text{tr}(A)=5, \det(A)=-2 \implies A^2 - 5A - 2E = O$. 양변에 $A^{-1}$을 곱하면 $A - 5E - 2A^{-1} = O \iff A^{-1} = \frac{1}{2}A - \frac{5}{2}E$.

$A^{-1}(AM)A^{-1} = A^{-1}(MA)A^{-1} \iff (A^{-1}A)MA^{-1} = A^{-1}M(AA^{-1}) \iff M A^{-1} = A^{-1} M$. 결합법칙에 의해 가환성이 보존된다.

$b_n = 1/n > 0$, 단조감소, $\lim 1/n = 0$이므로 라이프니츠 판정법에 의해 수렴한다. 짝수 부분합 $S_{2m+2}-S_{2m} > 0$ (단조증가), 홀수 부분합 $S_{2m+1}-S_{2m-1} < 0$ (단조감소), $S_{2m} < S_{2m+1}$이므로 유계 단조 수열 정리에 의해 수렴한다.

$\ln(1+x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k + R_n(x)$에서 $x=1$을 대입하고 나머지 항 $|R_n(1)| \le \frac{1}{n+1} \to 0$임을 밝혀 급수의 합이 $\ln 2$임을 입증한다.

$|S - S_N| \le b_{N+1} = \frac{1}{N+1} < \frac{1}{1000} \iff N+1 > 1000 \iff N \ge 1000$. 최소 자연수는 1000이다.

$3x^2 + 3y^2 y' - 3y - 3x y' = 0 \iff y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$. 점 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ 대입 시 $y' = -1$. 접선의 방정식: $y - \frac{3}{2} = -(x - \frac{3}{2}) \iff y = -x + 3$.

$F'(x) = (x-1)e^{-x} = 0 \implies x=1$에서 좌우 부호가 음에서 양으로 변하므로 극솟값 $F(1) = e^{-1}-2$를 갖는다. $F''(x) = (2-x)e^{-x} = 0 \implies x=2$에서 부호 변화하므로 변곡점의 $x$좌표는 2이다.

중심 $C(1,2,3)$에서 평면까지 거리 $d = \frac{|2-2+6-1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{5}{3}$. 구의 방정식: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \frac{25}{9}$.
접점 $H = (1,2,3) - \frac{5}{9}(2,-1,2) = (-\frac{1}{9}, \frac{23}{9}, \frac{17}{9})$.

접선 $y = mx + p/m \iff p m^2 + y_0 m - p = 0$. $p \ne 0$이므로 판별식 $D > 0$. 두 기울기의 곱 $m_1 m_2 = -p/p = -1$. 따라서 두 접선은 서로 수직이다.

$A^2 - 4A + 3E = O$. 다항식 $P(A) = (A^2 - 4A + 3E)(A^2 + E) + 2E = O + 2E = 2E = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

역행렬이 존재하지 않아야 하므로 행렬식 $\det(M) = (k-1)(k-4) - 4 = k^2 - 5k = 0 \iff k = 0$ 또는 $k = 5$.

$f'(x) = 3(x^2 - 1) < 0$ ($-1 < x < 1$)이므로 극값이 없어 2개 이상의 실근을 가질 수 없다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $f(-1)f(1) < 0 \iff (k+2)(k-2) < 0 \iff -2 < k < 2$.

$\int_0^\pi k\sin x dx = 2k = 1 \implies k = 1/2$. 중앙값 $m = \pi/2$. 부분적분법에 의해 $E(X) = \int_0^\pi \frac{1}{2}x\sin x dx = \pi/2$.