현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2$.
$\frac{\ln(1+t)}{t} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}t^{n-1}$. $g(1) = \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}t^{n-1} dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$.
$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} - 2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^2}{6}\right) = \frac{\pi^2}{12}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [1-1] 리만합 변환 및 치환적분을 통한 $\frac{1}{2}\ln 2$ 정확한 유도 | 7점 |
| [1-2] 테일러 전개와 항별 적분을 연계하여 급수 표현식 도출 | 9점 |
| [1-3] 짝수항 분할 테크닉을 이용하여 $\pi^2/12$ 수렴치 증명 완결 | 9점 |
포물선 $y^2 = 8x$의 접선 $y = mx + \frac{2}{m}$. 타원 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$의 접선 $y = mx \pm \sqrt{4m^2 + 2}$.
$\frac{4}{m^2} = 4m^2 + 2 \iff 2m^4 + m^2 - 2 = 0 \implies m^2 = \frac{\sqrt{17}-1}{4}$. 공통접선 $y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{4}} x \pm \frac{2}{\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{4}}}$.
타원의 초점 $F_1(\sqrt{2}, 0), F_2(-\sqrt{2}, 0)$. $d_1 d_2 = \frac{|n^2 - 2m^2|}{m^2+1} = \frac{4m^2 + 2 - 2m^2}{m^2+1} = \frac{2(m^2+1)}{m^2+1} = 2$.
$d_1 d_2 = \frac{(a^2 m^2 + b^2) - m^2(a^2 - b^2)}{m^2+1} = \frac{b^2(m^2+1)}{m^2+1} = b^2$. 임의의 접선에 대하여 거리의 곱은 $b^2$으로 일정하다.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| 접선 공식 일치 및 $m$에 대한 사차방정식 유도와 접선식 도출 | 8점 |
| 점-직선 거리 공식 대입 및 곱 $d_1 d_2 = 2$ 정확한 계산 | 8점 |
| 일반 파라미터 $a, b, c$에 대하여 $d_1 d_2 = b^2$ 항등식 증명 완결 | 9점 |
$A^2 - A - E = O \iff A^2 = A+E$. $A^3 = 2A+E, A^4 = 3A+2E, A^5 = 5A+3E$. 따라서 $p=5, q=3$.
$n=k$ 성립 가정 후 $A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} a_{k+1} & a_k \\ a_k & a_{k-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{k+2} & a_{k+1} \\ a_{k+1} & a_k \end{pmatrix}$로 $(k+1)$단계 증명 완결.
$\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$. $A^n$ 성분 행렬식 $a_{n+1}a_{n-1} - a_n^2$과 일치하여 $a_{n+1}a_{n-1} - a_n^2 = (-1)^n$ 증명.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| 케일리-해밀턴 정리와 차수 축소를 통한 $A^5 = 5A+3E$ 도출 | 7점 |
| 수학적 귀납법의 가정과 행렬 곱셈 전개로 $(k+1)$단계 증명 완결 | 9점 |
| 행렬식 곱셈 정리 $\det(A^n) = (\det A)^n$을 통한 카시니 항등식 증명 | 9점 |
$Q = \int_0^R 2\pi r \left( \frac{\Delta P}{4\eta L}(R^2 - r^2) \right) dr = \frac{\pi \Delta P}{2\eta L} \left( \frac{R^4}{4} \right) = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta L}$.
$\Delta P \propto R^{-4}$. $R' = 0.9R \implies \Delta P' = \Delta P (0.9)^{-4} \approx 1.5241 \Delta P$ (약 $52.41\%$ 증가).
$v_{\max} = \frac{\Delta P R^2}{4\eta L}$, $\bar{v} = \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{\Delta P R^2}{8\eta L} = \frac{1}{2}v_{\max}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| 원통 껍질 요소 $2\pi r dr$ 적분으로 푸아죄유 법칙 $Q = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta L}$ 유도 | 8점 |
| $R^{-4}$ 비례 관계를 세우고 $0.9^{-4} \approx 1.524$ (52.4% 증가) 정확한 계산 | 9점 |
| $\bar{v}$와 $v_{\max}$의 비가 정확히 $1/2$임을 대수적으로 입증함 | 8점 |
변곡점 $x = \sqrt{3/2}$. $x$절편 $x_0 = \frac{3}{2}\sqrt{3/2}$, $y$절편 $y_0 = 3\sqrt{3/2}e^{-3/2}$. 면적 $S = \frac{27}{16}e^{-3/2}$.
속력 $\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = \frac{3}{2}a\sin 2t$. 호의 길이 $L = \int_0^{\pi/2} \frac{3}{2}a\sin 2t dt = \frac{3}{2}a$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 1-1] 이계도함수로 변곡점 구하고 절편 계산하여 면적 $\frac{27}{16}e^{-3/2}$ 도출 | 15점 |
| [모의 1-2] 삼각함수 정리 및 속력 적분을 통해 호의 길이 $\frac{3}{2}a$ 도출 | 15점 |
$by + cz - 5c = 0$. $\frac{|-5c|}{\sqrt{b^2+c^2}} = 3 \iff 16c^2 = 9b^2 \iff b = \pm \frac{4}{3}c$. 접평면: $\pm 4y + 3z - 15 = 0$.
정삼각형 높이 $2\sqrt{3}$, 높이 $6$. $\tan\theta = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ \implies \cos\theta = \frac{1}{2}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 2-1] 평면 방정식 성분 설정 및 점-평면 거리 공식으로 $\pm 4y + 3z - 15 = 0$ 도출 | 15점 |
| [모의 2-2] 삼수선의 정리 작도 및 직각삼각형 성분비로 $\cos\theta = 1/2$ 유도 | 15점 |
$A^2 = 3A - 2E \implies A^3 = 7A - 6E \implies A^4 = 15A - 14E$. $A^{-1} = \frac{3}{2}E - \frac{1}{2}A$.
$(AB)^T = B^T A^T = BA$. 대칭행렬 정의상 $(AB)^T = AB \iff BA = AB \iff AB = BA$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 3-1] 역행렬 유도 및 점화 관계를 통한 $A^4 = 15A - 14E$ 도출 | 15점 |
| [모의 3-2] 전치행렬 성질 $(AB)^T = B^T A^T = BA$를 통한 가환성 동치 증명 | 15점 |
$|x_{n+1} - \alpha| \le (\sin 1)|x_n - \alpha|$. $\sin 1 < 1$이므로 수열 $\{x_n\}$은 $\alpha$로 수렴한다.
$P(+) = (0.001)(0.99) + (0.999)(0.05) = 0.05094$. $P(D|+) = \frac{0.00099}{0.05094} \approx 0.01943$ (약 $1.94\%$).
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 4-1] 평균값 정리 적용 및 $k = \sin 1 < 1$ 공비 축약사상 수렴 증명 | 15점 |
| [모의 4-2] 전확률 공식 분모 계산 및 베이즈 사후확률 약 1.94% 정확한 도출 | 15점 |