$f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$, $f''(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$. $f''(x)=0$에서 $x=0, \pm\sqrt{3}$. 좌우에서 부호가 변하므로 변곡점은 $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$, $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$. 원점에서의 접선 기울기는 $f'(0)=1$이므로 접선의 방정식은 $y = x$이다.

$x>0$일 때 $1+x^2 > 1$이므로 $\frac{x}{1+x^2} < \frac{x}{1} = x$가 성립한다. 정적분은 $t = 1+x^2$로 치환적분하면 $\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2$이다.

원점 대칭이므로 $x \ge 0$인 영역 넓이의 2배: $S = 2 \int_0^{\sqrt{3}} \left( x - \frac{x}{1+x^2} \right) dx = 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^{\sqrt{3}} = 3 - 2\ln 2$.

밑면 중심을 원점으로 하고 자른 면에 수직인 축을 $x$라 하면, $x$에서의 단면은 밑변이 $\sqrt{r^2-x^2}$이고 높이가 $\sqrt{r^2-x^2}$인 직각이등변삼각형이다. 따라서 단면적 $S(x) = \frac{1}{2}(r^2-x^2)$. 부피 $V = 2\int_0^r \frac{1}{2}(r^2-x^2)dx = \frac{2}{3}r^3$.

평면 $z=t$ ($-1 \le t \le 1$)로 자른 단면은 $- \sqrt{1-t^2} \le x \le \sqrt{1-t^2}$, $- \sqrt{1-t^2} \le y \le \sqrt{1-t^2}$인 한 변의 길이 $2\sqrt{1-t^2}$인 정사각형이다. 단면적 $S(t) = 4(1-t^2)$. 부피 $V = \int_{-1}^1 4(1-t^2)dt = 8\left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{16}{3}$.

한 변의 길이가 $2\sqrt{1-t^2}$인 정사각형이므로 둘레의 길이는 $L(t) = 4 \times 2\sqrt{1-t^2} = 8\sqrt{1-t^2}$이다.

$\det(P) = 2(-1) - 1(1) = -3 \ne 0$이므로 역행렬이 존재한다. $P^{-1} = -\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.

$A^n = P \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 5^n \\ 2^n & -2 \cdot 2^n \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \cdot 5^n + 2^n & 2 \cdot 5^n - 2 \cdot 2^n \\ 5^n - 2^n & 5^n + 2 \cdot 2^n \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^{n-1} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 5^{n-1} + 2^{n-1} \\ 5^{n-1} - 2^{n-1} \end{pmatrix}$. 따라서 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + (2/5)^{n-1}}{1 - (2/5)^{n-1}} = 2$.

$\int_1^\infty x^{-p}dx = \lim_{M \to \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^M$. $p>1$이면 $1-p<0$이므로 $\frac{1}{p-1}$로 수렴. $p=1$이면 $\ln M \to \infty$로 발산. $p<1$이면 $M^{1-p} \to \infty$로 발산한다.

$s_n - s_{n+1} = \ln(n+1) - \ln n - \frac{1}{n+1} = \int_n^{n+1} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{n+1} \right) dx > 0$이므로 단조감소. 또한 $s_n > 0$으로 아래로 유계이므로 단조수렴정리에 의해 극한이 존재한다(오일러 상수 $\gamma$).

$\sum_{k=1}^\infty \frac{C}{k(k+1)} = C \sum (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) = C(1) = 1 \implies C = 1$. 기댓값 $E(X) = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}$은 조화급수이므로 양의 무한대로 발산한다.

$f(1) = 5$이므로 $g(5)=1$. $f'(x) = 3x^2+3 \implies f'(1)=6 > 0$. 역함수 정리에 의해 $g'(5) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{6}$. 양변을 다시 미분하면 $g''(x) = -\frac{f''(g(x))g'(x)}{(f'(g(x)))^2}$. $f''(x)=6x \implies f''(1)=6$. 따라서 $g''(5) = -\frac{6 \cdot (1/6)}{6^2} = -\frac{1}{36}$.

$x'(t) = a(1-\cos t)$, $y'(t) = a\sin t$. $(x')^2 + (y')^2 = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = 2a^2(1-\cos t) = 4a^2\sin^2(t/2)$. $0 \le t \le 2\pi$에서 $0 \le t/2 \le \pi$이므로 $\sin(t/2) \ge 0$. 따라서 속력은 $2a\sin(t/2)$.
호의 길이 $L = \int_0^{2\pi} 2a\sin(t/2)dt = 2a \left[ -2\cos(t/2) \right]_0^{2\pi} = 2a(2 - (-2)) = 8a$.

접점 $P(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1$. 점근선 $y = \pm \frac{b}{a}x$와 연립하면 $x\left( \frac{x_0}{a^2} \mp \frac{y_0}{ab} \right) = 1 \implies x = \frac{a^2 b}{b x_0 \mp a y_0}$. 두 교점 $Q, R$의 $x$좌표의 합은 $\frac{a^2 b}{b x_0 - a y_0} + \frac{a^2 b}{b x_0 + a y_0} = \frac{2 a^2 b^2 x_0}{b^2 x_0^2 - a^2 y_0^2}$. 곡선 위의 점이므로 $b^2 x_0^2 - a^2 y_0^2 = a^2 b^2$. 따라서 $x_Q + x_R = 2x_0$. 마찬가지로 $y_Q + y_R = 2y_0$. 따라서 선분 $QR$의 중점은 점 $P(x_0, y_0)$이다.

구의 중심 $(0,0,0)$에서 평면 $x+y+z=1$까지의 거리 $d = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 교선 원의 반지름 $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4 - 1/3} = \sqrt{11/3}$. 교선 원의 넓이 $S = \pi r^2 = \frac{11}{3}\pi$. 평면과 $xy$평면(법선벡터 $(0,0,1)$) 사이의 각 $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
정사영된 타원의 넓이 $S' = S \cos\theta = \frac{11\sqrt{3}}{9}\pi$. 장축의 길이는 회전되지 않은 원의 지름 $2r = 2\sqrt{11/3}$, 단축의 길이는 $2r \cos\theta = 2\sqrt{11/3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{11}}{3}$이다.

$AB = A + B \iff AB - A - B + E = E \iff (A - E)(B - E) = E$. 두 정사각행렬의 곱이 단위행렬이므로 $(A - E)$는 가역행렬이고 그 역행렬은 $(B - E)$이다. 가역행렬의 성질에 의해 곱의 순서를 바꾸어도 성립하므로 $(B - E)(A - E) = E \iff BA - B - A + E = E \iff BA = A + B$. 따라서 $AB = BA$가 성립한다.

케일리-해밀턴 정리에 의해 $A^2 - \text{tr}(A)A + \det(A)E = O$. $A^2=O$이므로 $\det(A^2) = (\det A)^2 = 0 \implies \det(A) = 0$. 따라서 $-\text{tr}(A)A = O$. 만약 $A \ne O$이면 $\text{tr}(A) = 0$이어야 한다. 따라서 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$이고 $a(-a)-bc = 0 \iff a^2 + bc = 0$. 이는 랭크가 1인 영인자 행렬임을 의미한다.

보조함수 $h(x) = [f(b)-f(a)]g(x) - [g(b)-g(a)]f(x)$를 정의하자. $h(a) = f(b)g(a) - g(b)f(a) = h(b)$이므로 롤의 정리의 전제조건을 만족한다. 따라서 $h'(c) = 0$인 $c \in (a, b)$가 존재한다. $h'(c) = [f(b)-f(a)]g'(c) - [g(b)-g(a)]f'(c) = 0$. $g'(c) \ne 0$이고 $g(b) \ne g(a)$이므로 양변을 나누면 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$가 성립한다.

$E(X) = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} dx = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx = 0 + \left[ -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = \frac{1}{\lambda}$.
$E(X^2) = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx = \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + 2\int_0^\infty x e^{-\lambda x} dx = 0 + \frac{2}{\lambda} E(X) = \frac{2}{\lambda^2}$.
$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$.