$f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$. $f'(x) = 0 \iff x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$에서 극댓값 $\frac{1}{\sqrt{2e}}$, $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$에서 극솟값 $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$.
$f''(x) = 2x(2x^2 - 3)e^{-x^2}$. $f''(x) = 0 \iff x = 0, \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$. 세 점에서 모두 부호가 반전되므로 변곡점의 $x$좌표는 $0, \pm \sqrt{3/2}$.

$h'(x) = \frac{2f(x)f'(x)}{1 + (f(x))^2}$. $h'(x) = 0 \iff f(x) = 0$ 또는 $f'(x) = 0$.
$f(x) = 0 \iff x = 0$. $f'(x) = 0 \iff x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x = 0$ 좌우에서 $f(x)$ 부호 변경($- \to +$)으로 극소 (극솟값 0).
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$에서 $f'(x)$ 부호 변경($+ \to -$)으로 극대 (극댓값 $\ln(1 + \frac{1}{2e})$). 총 3개의 극값 가짐.

$\int_0^1 x \cdot (x e^{-x^2}) dx = \left[ -\frac{x}{2}e^{-x^2} \right]_0^1 + \frac{1}{2}\int_0^1 e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2e} + \frac{1}{2}\int_0^1 e^{-x^2} dx$.

구 $S: (x-2)^2 + (y-3)^2 + z^2 = 9$. 중심 $C_0(2, 3, 0)$, 반지름 $R = 3$.
중심에서 평면 $\alpha: 2x - y + 2z - 5 = 0$까지의 거리 $d = \frac{|4 - 3 + 0 - 5|}{3} = \frac{4}{3}$.
원 $C$의 반지름 $r = \sqrt{3^2 - (4/3)^2} = \frac{\sqrt{65}}{3}$. 원의 중심 $H\left(\frac{26}{9}, \frac{23}{9}, \frac{8}{9}\right)$.

원점 $O$에서 평면에 내린 수선의 발 $O'$의 거리 $d_O = 5/3$.
$O'$와 원의 중심 $H$ 사이의 평면 내 거리 $D$를 구한 후 최대 거리 $\sqrt{d_O^2 + (D + r)^2}$, 최소 거리 $\sqrt{d_O^2 + (D - r)^2}$로 도출.

원 $C$의 넓이 $S = \pi r^2 = \frac{65}{9}\pi$.
평면 $\alpha$의 법선벡터 $\vec{n} = (2, -1, 2)$와 $xy$평면 법선벡터 $\vec{k} = (0, 0, 1)$ 사이의 각 $\cos\theta = \frac{2}{3}$.
정사영 타원의 넓이 $S' = S \cos\theta = \frac{65}{9}\pi \times \frac{2}{3} = \frac{130}{27}\pi$.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. $\mathrm{tr}(A) = 6$, $\det(A) = 5$.
$A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 18 & 19 \end{pmatrix}$. $A^2 - 6A + 5E = \begin{pmatrix} 7-12+5 & 6-6+0 \\ 18-18+0 & 19-24+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$.

$x^n = (x-1)(x-5)Q(x) + ax + b$. $x=1 \implies a+b=1$. $x=5 \implies 5a+b=5^n$.
$a = \frac{5^n - 1}{4}, b = \frac{5 - 5^n}{4}$. 따라서 $A^n = \frac{5^n - 1}{4}A + \frac{5 - 5^n}{4}E$.

$A$의 고윳값은 $t_1 = 1, t_2 = 5$ (양수). 대각화 $A = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} P^{-1}$ 가능하므로
$X = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{5} \end{pmatrix} P^{-1}$를 취하면 $X^2 = A$ 성립. 따라서 실수 행렬 $X$는 존재함.

$\frac{dC}{dt} = -kC \implies C(t) = C_0 e^{-kt}$.
$C(4) = C_0 e^{-4k} = \frac{1}{2}C_0 \iff e^{-4k} = \frac{1}{2} \implies k = \frac{\ln 2}{4}$.

$C_n = C_0 \sum_{m=0}^{n-1} e^{-mkT} = C_0 \frac{1 - e^{-nkT}}{1 - e^{-kT}}$.
$0 < e^{-kT} < 1$이므로 $\lim_{n \to \infty} C_n = \frac{C_0}{1 - e^{-kT}}$.

$\mathrm{AUC} = \int_0^\infty C_0 e^{-kt} dt = \lim_{B \to \infty} \left[ -\frac{C_0}{k}e^{-kt} \right]_0^B = \frac{C_0}{k}$.
$k = \frac{\ln 2}{4}$ 대입 시 $\mathrm{AUC} = \frac{4C_0}{\ln 2}$.

$3x^2 + 3y^2 y' - 3(y + xy') = 0 \iff y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$.
$\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 대입 시 기울기 $m = -1$. 접선 방정식: $y - \frac{3}{2} = -(x - \frac{3}{2}) \iff x + y = 3$.

$\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = 3\sin t \cos t$ ($0 \le t \le \pi/2$).
$L = 4 \int_0^{\pi/2} 3\sin t \cos t dt = 4 \left[ \frac{3}{2}\sin^2 t \right]_0^{\pi/2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.

접선 $\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1$과 점근선 $y = \pm \frac{b}{a}x$의 교점 $Q, R$ 좌표 도출.
$S = \frac{1}{2}|x_Q y_R - x_R y_Q| = \frac{ab}{\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}} = \frac{ab}{1} = ab$.

$\vec{PH} = \vec{PO} + \vec{OH}$. 직선 $l$의 방향벡터 $\vec{u}$에 대하여
$\vec{PH} \cdot \vec{u} = \vec{PO} \cdot \vec{u} + \vec{OH} \cdot \vec{u} = 0 + 0 = 0$. 따라서 $PH \perp l$.

$\det(AB)=1 \implies \det(A)\neq 0$. $A^{-1}(AB)=A^{-1}E \implies B=A^{-1} \implies BA=E$.
유일성: $AB=AC=E \implies B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C$.

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = D \implies A^n = P D^n P^{-1}$.
$A^n = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \cdot 5^n + 2^n & 2 \cdot 5^n - 2 \cdot 2^n \\ 5^n - 2^n & 5^n + 2 \cdot 2^n \end{pmatrix}$.

귀납법: $1 \le a_n < 2$. 차분: $a_{n+1}-a_n = \frac{(2-a_n)(1+a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n} > 0$ (단조증가).
단조수렴정리에 의해 극한 $\alpha$ 존재: $\alpha = \sqrt{2+\alpha} \implies \alpha = 2$.

전확률 $P(+) = (0.01)(0.99) + (0.99)(0.05) = 0.0594$.
양성 예측도 $P(D|+) = \frac{P(D \cap +)}{P(+)} = \frac{0.0099}{0.0594} = \frac{1}{6} \approx 16.7\%$.