현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
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함수 $f(x) = x e^{-x^2}$ 및 $g(x) = \ln(1 + x^2)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.
공간에서 구 $S: x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 4 = 0$과 평면 $\alpha: 2x - y + 2z - 5 = 0$이 만나서 생기는 원을 $C$라 하자.
$2 \times 2$ 실수 행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.
어떤 약물을 인체에 정맥 주사했을 때 시간 $t$에 따른 혈중 약물 농도 $C(t)$는 미분방정식 $\frac{dC}{dt} = -k C$ ($k > 0$)을 만족한다. 초기 주사 농도는 $C(0) = C_0$이다.
곡선 $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (데카르트의 엽선) 위의 점 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.
매개변수 방정식 $x = \cos^3 t, y = \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$)로 주어진 아스트로이드 곡선의 전체 둘레의 길이를 구하시오.
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 임의의 점 $P(x_0, y_0)$에서의 접선이 두 점근선과 만나는 두 점을 $Q, R$이라 할 때, 삼각형 $OQR$의 넓이는 점 $P$의 위치에 관계없이 일정함을 증명하시오.
평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $O$라 하고, $O$에서 평면 위의 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, 선분 $PH$가 직선 $l$에 수직임을 벡터의 내적을 이용하여 증명하시오.
정사각행렬 $A, B$에 대하여 $AB = E$일 때, $BA = E$임을 행렬식의 성질을 이용하여 증명하고, 역행렬이 오직 하나만 존재함을 증명하시오.
행렬 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$에 대하여 $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$일 때, $P^{-1}AP$가 대각행렬임을 보이고 $A^n$을 구하시오.
수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ ($n \ge 1$)으로 정의될 때, 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $1 \le a_n < 2$이고 $a_n < a_{n+1}$임을 증명하고, $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오.
어떤 질병의 유병률이 $1\%$이다. 이 질병에 걸린 사람을 양성으로 판정할 확률(민감도)은 $99\%$이고, 걸리지 않은 사람을 음성으로 판정할 확률(특이도)은 $95\%$이다. 진단키트 검사 결과 양성으로 판정되었을 때, 이 사람이 실제로 질병에 걸려 있을 확률을 구하시오.