2028 단국대학교(죽전)
자연계열 수리논술 MASTER (44P)

[문제 1-1 모범 답안]
$f(x) = x^3 - 3x + 1$은 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다.
$f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$, $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0 \implies f(-2)f(-1) < 0$. 사잇값 정리에 의해 구간 $(-2, -1)$에 적어도 하나의 실근 존재.
$f(0) = 1 > 0$, $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \implies f(0)f(1) < 0$. 사잇값 정리에 의해 구간 $(0, 1)$에 적어도 하나의 실근 존재.
$f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \implies f(1)f(2) < 0$. 사잇값 정리에 의해 구간 $(1, 2)$에 적어도 하나의 실근 존재.
따라서 세 구간에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. (증명 완료)

[문제 1-2 모범 답안]
$g(x) = 0$의 서로 다른 세 실근을 $x_1 < x_2 < x_3$이라 하자. 즉 $g(x_1) = g(x_2) = g(x_3) = 0$.
(i) 구간 $[x_1, x_2]$에서 $g(x)$는 연속이고 $(x_1, x_2)$에서 미분가능하며 $g(x_1) = g(x_2) = 0$이므로, 롤의 정리에 의해 $g'(c_1) = 0$인 $c_1 \in (x_1, x_2)$가 적어도 하나 존재한다.
(ii) 구간 $[x_2, x_3]$에서 동일하게 롤의 정리에 의해 $g'(c_2) = 0$인 $c_2 \in (x_2, x_3)$가 적어도 하나 존재한다.
$x_1 < c_1 < x_2 < c_2 < x_3$이므로 $c_1 \ne c_2$이다. 따라서 $g'(x) = 0$은 서로 다른 적어도 두 실근을 갖는다.

[모범 답안]
(1) 행렬 $A$의 역행렬이 두 개 존재하여 각각 $B, C$라 하자.
역행렬의 정의에 의해 $AB = BA = E$이고 $AC = CA = E$이다.
행렬 곱셈의 결합법칙에 의해:
$$B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C$$ 따라서 $B = C$이므로 역행렬은 존재한다면 유일하다. (증명 완료)

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. $\det(A) = 4 - 3 = 1 \ne 0$.
$A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 - 15 \\ -8 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
따라서 $x = 1, y = 2$이다.