현재 2027학년도 대입 수시 파이널 집중 기간입니다.
2028학년도 전용 전자책은 관리자 권한을 포함하여 전면 잠금(Lock) 모드로 운영 중입니다.
❄️ 2027 대입 수능 직후 시작되는 <겨울방학 집중특강 모드>에서 전면 일괄 정식 개방됩니다.
$x = \sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi/2$)로 치환하면 $dx = \cos\theta d\theta$. $\sqrt{1-x^2} = \cos\theta$. 따라서 $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$.
$x = \tan\theta$ ($0 \le \theta \le \pi/4$)로 치환하면 $dx = \sec^2\theta d\theta$. $\int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \int_0^{\pi/4} \cos^4\theta \sec^2\theta d\theta = \int_0^{\pi/4} \cos^2\theta d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.
$V = \pi \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \pi \left( \frac{\pi + 2}{8} \right) = \frac{\pi^2 + 2\pi}{8}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [1-1] 삼각치환 변수 변환 및 반각공식을 통한 적분치 $\pi/4$ 유도 | 7점 |
| [1-2] 탄젠트 치환을 통해 $\cos^2\theta$ 적분으로 변환하여 $\frac{\pi+2}{8}$ 도출 | 9점 |
| [1-3] 회전체 부피 공식과 (1-2) 결론을 연계하여 $\frac{\pi^2+2\pi}{8}$ 도출 | 9점 |
$H(2t+1, t-1, 2t+2)$. $\vec{PH} = (2t-1, t-2, 2t-1)$. $\vec{PH} \cdot (2, 1, 2) = 9t - 6 = 0 \implies t = 2/3$.
$H = (\frac{7}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{10}{3})$, 거리 $|\vec{PH}| = \sqrt{2}$.
$OP = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14}$, 반지름 $R = 3$.
최댓값: $OP + R = \sqrt{14} + 3$, 최솟값: $OP - R = \sqrt{14} - 3$.
평면 $x + 2y - 2z + d = 0$. $\frac{|d|}{\sqrt{1+4+4}} = 3 \implies |d| = 9$. 따라서 접평면은 $x + 2y - 2z \pm 9 = 0$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| 직선 매개변수화 및 내적 직교조건으로 수선의 발 $H$와 거리 $\sqrt{2}$ 도출 | 8점 |
| 구 중심-점 거리 계산 및 삼각부등식을 통한 최대/최소 도출 | 8점 |
| 평면의 법선벡터와 점-평면 거리 공식으로 상수 $d=\pm 9$ 계산 | 9점 |
$P \vec{v}_1 = \vec{v}_1 \implies \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. $P \vec{v}_2 = 0.5 \vec{v}_2 \implies \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.
$Q = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, Q^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$.
$P^n = Q \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.5^n \end{pmatrix} Q^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 + 3(0.5)^n & 2 - 2(0.5)^n \\ 3 - 3(0.5)^n & 3 + 2(0.5)^n \end{pmatrix}$.
$\lim_{n \to \infty} P^n = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.4 \\ 0.6 & 0.6 \end{pmatrix}$. 따라서 $\lim_{n \to \infty} \vec{x}_n = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.6 \end{pmatrix}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| 특성방정식을 풀고 두 고유벡터를 올바르게 계산함 | 8점 |
| 행렬 대각화 $P^n = Q D^n Q^{-1}$ 공식을 통해 $P^n$ 성분을 유도함 | 9점 |
| $(0.5)^n \to 0$ 극한을 취해 정상상태 확률벡터 $(0.4, 0.6)^T$ 도출 | 8점 |
$C'(t) = 0 \iff k_a e^{-k_a t} = k_e e^{-k_e t} \iff e^{(k_a - k_e)t} = \frac{k_a}{k_e} \iff t_{\max} = \frac{\ln(k_a/k_e)}{k_a - k_e}$.
$\text{AUC} = \int_0^\infty C(t) dt = \frac{F D k_a}{V(k_a - k_e)} \left( \frac{1}{k_e} - \frac{1}{k_a} \right) = \frac{F D}{V k_e}$.
$k_e$가 감소하면 체내 약물 제거가 지연되어 최고 농도 도달 시간 $t_{\max}$는 증가(지연)한다.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| 도함수 0 판정 및 지수함수 로그 변환으로 $t_{\max}$ 유도 | 8점 |
| 무한 이상적분 계산 및 인수 소거를 통해 $\text{AUC} = \frac{FD}{Vk_e}$ 유도 | 9점 |
| $k_e$ 감소에 따른 $t_{\max}$의 수학적 증가 경향 및 의학적 해석 완결 | 8점 |
$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$. $I_0 = \pi/2 \implies I_2 = \pi/4 \implies I_4 = 3\pi/16 \implies I_6 = 5\pi/32$.
속력 $\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = \sqrt{2}e^t$. 호의 길이 $L = \int_0^\pi \sqrt{2}e^t dt = \sqrt{2}(e^\pi - 1)$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 1-1] 부분적분 전개 및 $I_6 = 5\pi/32$ 도출 | 15점 |
| [모의 1-2] 속력 $\sqrt{2}e^t$ 계산 및 호의 길이 $\sqrt{2}(e^\pi - 1)$ 도출 | 15점 |
$m_1 m_2 = -\frac{b_1^2 b_2^2 x_0^2}{a_1^2 a_2^2 y_0^2}$. 초점거리 조건 $a_1^2 - a_2^2 = b_1^2 + b_2^2$을 연립하면 $m_1 m_2 = -1$.
한 변 $2$인 정삼각형 넓이 $S = \sqrt{3}$. 이면각 $\cos\theta = 1/3$. 정사영 면적 $S' = \sqrt{3} \times 1/3 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 2-1] 음함수 미분법 및 초점거리 보존 관계를 이용한 직교성 $m_1 m_2 = -1$ 증명 | 15점 |
| [모의 2-2] 정사면체 이면각 $\cos\theta = 1/3$ 유도 및 정사영 넓이 $\sqrt{3}/3$ 계산 | 15점 |
$A(A^2 - E) = E \implies A^{-1} = A^2 - E$. 또한 $(A+E)(A^2 - A) = E \implies (A+E)^{-1} = A^2 - A$.
$\det(M^n) = (\det M)^n = (-1)^n$. $M^n$ 성분 행렬식과 일치시키면 $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 3-1] 단위행렬 항등식 변형으로 $A^{-1}, (A+E)^{-1}$의 다항식 표현 도출 | 15점 |
| [모의 3-2] 행렬식 성질 $\det(M^n) = (\det M)^n$을 통한 카시니 항등식 증명 완결 | 15점 |
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4}$.
$\sigma_{\bar{T}} = 2/\sqrt{16} = 0.5$. $P(23 \le \bar{T} \le 25) = P(-2 \le Z \le 2) = 2 \times 0.4772 = 0.9544$.
| 세부 채점 기준 및 서술 요소 | 배점 |
|---|---|
| [모의 4-1] 리만합을 정적분으로 올바르게 변환하고 극한값 $\pi/4$ 도출 | 15점 |
| [모의 4-2] 표본평균의 표준편차 $0.5$ 계산 및 표준정규분포 확률 $0.9544$ 도출 | 15점 |