💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

원 \(C\)와 직선 \(\ell\)의 교점은 연립방정식 \(x^2+y^2=1, \; y=mx+m\)의 해이다.
\(x^2+(mx+m)^2=1 \iff (m^2+1)x^2+2m^2x+m^2-1=0\)
원 \(C\)와 직선 \(\ell\)의 한 교점이 \((-1, 0)\)이므로, 한 근은 \(\alpha=-1\)이다.
근과 계수의 관계에 의해 다른 근 \(\beta\)는 \(\alpha\beta = -\beta = \frac{m^2-1}{m^2+1}\)이므로 \(\beta = \frac{1-m^2}{1+m^2}\)이다.
\(0 \lt m \lt 1\)에서 \(\alpha = -1 \lt \beta\)이므로 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표는 \(\frac{1-m^2}{1+m^2}\)이다.
점 \(\mathrm{P}\)의 \(y\)좌표는 \(m\left(\frac{1-m^2}{1+m^2}\right)+m = \frac{2m}{1+m^2}\)이므로, 점 \(\mathrm{P}\)와 직선 \(y=1\) 사이의 거리는
\[f(m) = 1 - \frac{2m}{1+m^2} = \frac{(1-m)^2}{1+m^2}\] 점 \(\mathrm{Q}(0, m)\), \(\mathrm{R}(0, 1)\)이므로 밑변 \(\mathrm{QR} = 1-m\)이고, 높이는 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표이므로
\[g(m) = \frac{1}{2} \times (1-m) \times \left(\frac{1-m^2}{1+m^2}\right) = \frac{(1-m)^2(1+m)}{2(1+m^2)}\] 그러므로 구하는 극한값은 다음과 같다.
\[\lim_{m \to 1^-} \frac{f(m)}{g(m)} = \lim_{m \to 1^-} \frac{\frac{(1-m)^2}{1+m^2}}{\frac{(1-m)^2(1+m)}{2(1+m^2)}} = \lim_{m \to 1^-} \frac{2}{1+m} = \mathbf{1}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
원과 직선 \(\ell\)의 식을 이용하여 두 교점을 올바르게 계산하고, 추가 조건을 이해하여 \(\mathrm{P, Q}\)의 좌표를 계산할 수 있다.	15점
\(\mathrm{P, Q, R}\)의 좌표를 이용하여 함수 \(f(m), g(m)\)의 식을 정확하게 묘사하고, 이로부터 좌극한의 값을 계산할 수 있다.	10점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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등차수열 \(\{x_k\}\)의 일반항은 \(x_k = \frac{k-1}{n}\)이므로 \(\mathrm{P}_k\left(\frac{k-1}{n}, 0\right)\), \(\mathrm{G}_{k+1}\left(\frac{k}{n}, f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\)이다.
선분 \(\mathrm{P}_k\mathrm{G}_{k+1}\)을 \(2:1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{H}_k\)의 좌표는 내분점 공식에 의해
\[\mathrm{H}_k\left(\frac{2 \cdot \frac{k}{n} + \frac{k-1}{n}}{3}, \frac{2f\left(\frac{k}{n}\right)+0}{3}\right) = \mathrm{H}_k\left(\frac{3k-1}{3n}, \frac{2}{3}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\] 삼각형 \(\mathrm{P}_k\mathrm{H}_k\mathrm{P}_{k+1}\)의 밑변은 \(\frac{1}{n}\)이고 높이는 \(\frac{2}{3}f\left(\frac{k}{n}\right)\)이므로,
\[A_k = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} \times \frac{2}{3}f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{3n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{3n}\left|2\frac{k}{n}-1\right|e^{\frac{2k}{n}}\] 따라서 구하는 급수의 합은 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의해 다음과 같다.
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n A_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{3}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{1}{3}f(x)\,dx = \frac{1}{3}\int_0^1 |2x-1|e^{2x}\,dx\] \[= \frac{1}{3}\int_0^{1/2} (1-2x)e^{2x}\,dx + \frac{1}{3}\int_{1/2}^1 (2x-1)e^{2x}\,dx\] 부분적분법에 의해 \(\int (1-2x)e^{2x}\,dx = (1-x)e^{2x}\)이므로,
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n A_k = \frac{1}{3}\left[(1-x)e^{2x}\right]_0^{1/2} + \frac{1}{3}\left[(x-1)e^{2x}\right]_{1/2}^1 = \frac{1}{3}\left(\frac{e}{2}-1\right) + \frac{1}{3}\left(0 + \frac{e}{2}\right) = \mathbf{\frac{e-1}{3}}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
수열 \(x_k\)와 함수 \(f(x)\), 내분점의 정의를 이용하여 점 \(\mathrm{H}_k\)의 좌표를 계산하고, \(\mathrm{P}_k, \mathrm{G}_{k+1}, \mathrm{H}_k\)의 좌표를 이용하여 삼각형의 넓이 \(A_k\)의 식을 정확하게 묘사할 수 있다.	10점
급수의 합 \(\sum_{k=1}^n A_k\)를 정적분으로 바꾸어 올바르게 계산할 수 있다.	15점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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수열의 제\(k\)항까지의 부분합을 \(S_k = \sum_{n=1}^k a_n\)이라 하자.
조건에서 \(a_{2n-1}=0\)이고 \(a_{2n} = a_n + n\)이므로, 부분합을 홀수항과 짝수항의 합으로 분할하여 계산하면 다음과 같다.
\[S_{128} = \sum_{n=1}^{128} a_n = \sum_{n=1}^{64} a_{2n-1} + \sum_{n=1}^{64} a_{2n} = 0 + \sum_{n=1}^{64} (a_n + n) = S_{64} + \frac{64 \cdot 65}{2}\] 동일한 방법으로 반복 적용하면 다음과 같다.
\[S_{64} = S_{32} + \frac{32 \cdot 33}{2}, \quad S_{32} = S_{16} + \frac{16 \cdot 17}{2}, \quad \dots, \quad S_2 = S_1 + \frac{1 \cdot 2}{2}\] 위 식들의 양변을 각각 더하여 정리하면 다음과 같다.
\[S_{128} = S_1 + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{4 \cdot 5}{2} + \frac{8 \cdot 9}{2} + \frac{16 \cdot 17}{2} + \frac{32 \cdot 33}{2} + \frac{64 \cdot 65}{2}\] 이때 \(S_1 = a_1 = a_{2(1)-1} = 0\)이므로, 각 항의 값을 직접 계산하면 다음과 같다.
\[S_{128} = 0 + 1 + 3 + 10 + 36 + 136 + 528 + 2080 = \mathbf{2794}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
수열의 두 조건을 이용하여 \(S_{128} = S_{64} + \frac{64 \cdot 65}{2}\)로 계산할 수 있다.	12.5점
비슷한 방법으로 \(S_{64}, S_{32}, S_{16}, \dots, S_2, S_1\) 사이의 관계를 구하여 \(S_{128}\)의 값을 구할 수 있다.	12.5점

수열의 합과 귀납적 정의 문항에서는 첫째항과 공비(또는 점화식의 규칙성)를 명확히 정의하고, 합 공식 적용 시 항의 개수(\(n\)인지 \(n-1\)인지)를 정확히 확인하십시오. 짝수항과 홀수항으로 나뉘는 점화식은 단계별 규칙성을 표나 열거식으로 제시하면 서술 완성도가 극대화됩니다.

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\(a=f(b)\)라 가정하면 조건 ①에 의해 \(f(a)=f(f(b))=f(b)=a\)이다. 따라서 함수 \(f\)는 치역에서 항등함수이다.
또한 조건 ②에 의하여 함수 \(f\)의 치역은 집합 \(\{1, 2, 3\}\)의 부분집합이어야 한다. 치역의 원소의 개수에 따라 다음과 같이 분류한다.

1) 치역의 원소가 1개인 경우:
치역은 \(\{1\}\), \(\{2\}\) 또는 \(\{3\}\) 중 하나이다. 함수 \(f\)는 모든 원소가 해당 치역의 한 원소로만 대응되는 상수함수가 되므로, 만족하는 함수의 개수는 \(\mathbf{3}\)개이다.

2) 치역의 원소가 2개인 경우:
치역을 선택하는 경우의 수는 \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)가지이다.
예를 들어 치역이 \(\{1, 2\}\)인 경우, 치역의 원소는 자기 자신으로 대응되어야 하므로 \(f(1)=1, \; f(2)=2\)로 고정된다.
나머지 네 원소 \(3, 4, 5, 6\)은 치역의 원소 1 또는 2 중 임의로 대응될 수 있으므로 그 경우의 수는 \(2^4 = 16\)개이다.
따라서 치역의 원소가 2개인 함수의 개수는 \(3 \times 16 = \mathbf{48}\)개이다.

3) 치역의 원소가 3개인 경우:
치역은 \(\{1, 2, 3\}\)으로 유일하다.
치역의 원소는 \(f(1)=1, \; f(2)=2, \; f(3)=3\)으로 고정된다.
나머지 세 원소 \(4, 5, 6\)은 1, 2, 3 중 임의로 대응될 수 있으므로 그 경우의 수는 \(3^3 = 27\)개이다.
따라서 치역의 원소가 3개인 함수의 개수는 \(\mathbf{27}\)개이다.

[결론] 그러므로 조건을 모두 만족시키는 함수 \(f\)의 총 개수는
\[3 + 48 + 27 = \mathbf{78}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
주어진 조건으로부터, 치역에서 \(f(a)=a\)라는 조건을 올바르게 유도할 수 있다.	10점
함수의 치역의 모양에 따라 경우를 올바르게 나누고, 각 경우에 해당하는 경우의 수를 정확하게 계산할 수 있다.	15점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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조건 1)과 2)에 의하여 \(g(x)\)는 이차식이다. 따라서 \(h(x)\)도 이차식이다.

(a) \(g(x)\)의 개수
\(g(x)=(x-b)^2+c = x^2-2bx+b^2+c\)로 나타낼 수 있다. 이때 \(1 \le c \le 2\)이다.
\(g(x)\)의 계수가 모두 정수이기 위해서는 \(b=0\), \(b=\frac{1}{2}\) 또는 \(b=1\)이어야 한다.
• \(b=0\)이면 \(g(x)=x^2+c\)이고 \(c=1\) 또는 \(c=2\)이다. (2개)
• \(b=\frac{1}{2}\)이면 \(g(x)=x^2-x+\frac{1}{4}+c\)이다. 모든 계수가 정수이고 \(1 \le c \le 2\)이면 \(c=\frac{7}{4}\)이다. (1개)
• \(b=1\)이면 \(g(x)=x^2-2x+1+c\)이고 \(c=1\) 또는 \(c=2\)이다. (2개)
따라서 위의 조건을 만족시키는 다항식 \(g(x)\)의 개수는 \(2+1+2=5\)개이다.

(b) \(h(x)\)의 개수
다항식 \(g(x)\)가 이차식이므로 \(h(x)=0\)은 이차방정식이다.
• \(h(x)=0\)이 중근을 갖는다면 조건 4)를 만족시키는 \(h(x)\)의 개수는 10개이다. (\(h(x)=(x-k)^2\), \(k \in \{1, 2, \dots, 10\}\))
• \(h(x)=0\)이 서로 다른 두 실근을 갖는다면, 조건 4)를 만족시키는 \(h(x)\)의 개수는 \({10}\mathrm{C}_2 = 45\)개이다.
종합하면 \(h(x)\)의 개수는 \(10 + 45 = 55\)개이다.

방정식 \(g(x)=0\)의 모든 근은 허근이므로, 다항식 \(g(x)\)와 \(h(x)\)는 서로 중복되지 않는다.
따라서 위 조건을 모두 만족시키는 다항식 \(f(x)=g(x)h(x)\)의 개수는 \(5 \times 55 = \mathbf{275}\)개이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
사차식 \(f(x)\)가 이차식 \(g(x)\)와 \(h(x)\)의 곱으로 주어진다는 사실을 파악하고 조건을 활용하여 각각의 개수를 구한 후 \(f(x)\)의 개수를 구할 수 있다.	25점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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구하는 넓이는 닫힌구간 \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)에서 곡선과 선분 \(\mathrm{AB}\)로 둘러싸인 부분의 넓이와, 닫힌구간 \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 곡선과 선분 \(\mathrm{BC}\)로 둘러싸인 부분의 넓이의 합이다.
\[f(x) = \begin{cases} e^{-x}\cos x & \left(0 \le x \lt \frac{\pi}{2}\right) \\ -e^{-x}\cos x & \left(\frac{\pi}{2} \le x \le \pi\right) \end{cases}\]
(a) \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}\) 구간:
이 구간에서 \(f''(x)=2e^{-x}\sin x > 0\)이므로 함수 \(f(x)\)의 그래프는 아래로 볼록하다. 점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{B}\)를 지나는 직선을 \(y=g(x)\)라 하면 \(f(0)=g(0)=1\), \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)이므로, 닫힌구간 \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)에서 \(g(x) \ge f(x)\)이다.
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(x)\,dx\)는 밑변 \(\frac{\pi}{2}\), 높이 1인 직각삼각형 넓이이므로 \(\frac{\pi}{4}\)이다.
부분적분법으로부터 \(\int e^{-x}\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x) + C\)이므로,
\(-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx = -\left[\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}\)
따라서 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (g(x)-f(x))\,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}\)이다.
(b) \(\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi\) 구간:
이 구간에서 \(f''(x)=-2e^{-x}\sin x \lt 0\)이므로 함수 \(f(x)\)의 그래프는 위로 볼록하다. 점 \(\mathrm{B}\)와 점 \(\mathrm{C}\)를 지나는 직선을 \(y=h(x)\)라 하면 \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=h\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\), \(f(\pi)=h(\pi)=e^{-\pi}\)이므로, 닫힌구간 \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 \(f(x) \ge h(x)\)이다.
\(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} h(x)\,dx\)는 밑변 \(\frac{\pi}{2}\), 높이 \(e^{-\pi}\)인 직각삼각형 넓이이므로 \(\frac{\pi e^{-\pi}}{4}\)이다.
닫힌구간 \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 \(f(x)=-e^{-x}\cos x\)이므로,
\(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(x)\,dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}e^{-\pi}\)
따라서 \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (f(x)-h(x))\,dx = \frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}e^{-\pi} - \frac{\pi e^{-\pi}}{4}\)이다.
[결론] 그러므로 구하는 도형의 총 넓이는
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (g(x)-f(x))\,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (f(x)-h(x))\,dx = \mathbf{\frac{\pi}{4} - \frac{\pi e^{-\pi}}{4} - \frac{1}{2}e^{-\pi} - \frac{1}{2}}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
이계도함수를 활용하여 함수의 그래프와 선분의 관계를 파악한 후 부분적분법을 이용하여 곡선과 선분으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.	25점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

(1) \(a\)와 \(c\)를 각각 \(b\)에 대한 식으로 표현
함수 \(f(x)g(x)\)와 \(g(f(x))\)는 \(x \ne -1\)일 때 항상 연속이므로 \(x=-1\)에서 연속이어야 한다.
• \(\lim_{x \to -1^{-}} f(x)g(x) = -(1-a+c)\), \(\lim_{x \to -1^{+}} f(x)g(x) = 2(1-a+c)\)이므로 \(1-a+c=0\)이다.
• \(g(f(x))\)가 \(x=-1\)에서 연속이려면 \(g(-1)=g(2)\)이어야 하므로 \(1-a=4+2b \implies \mathbf{a = -2b-3}\)이다.
\(1-a+c=0\)에 대입하면 \(1 - (-2b-3) + c = 0 \implies \mathbf{c = -2b-4}\)이다.

(2) 실수 \(b\)의 값의 범위
\(f(x)\)는 \(x=-1\)에서 연속이 아니므로, \(f(g(x)+3)\)이 연속이기 위해서는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x)+3 \lt -1\)이거나 \(g(x)+3 \ge -1\)이어야 한다. 그런데 \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \infty\)이므로 \(g(x)+3 \ge -1\), 즉 \(g(x) \ge -4\)이어야 한다.
(1)로부터 \(g_{-}(x)=x^2-(2b+3)x-(2b+4)\; (x \le 0)\), \(g_{+}(x)=x^2+bx-(2b+4)\; (x \ge 0)\)이다.
• (a) \(g_{-}(x)\)가 \(x\lt 0\)에서 최솟값을 갖는 경우:
꼭짓점 \(b+\frac{3}{2} \lt 0 \implies b \lt -\frac{3}{2}\)이다.
\(g_{-}\left(b+\frac{3}{2}\right) = -b^2-5b-\frac{25}{4} \ge -4 \implies -\frac{9}{2} \le b \le -\frac{1}{2}\)
\(g_{+}\left(-\frac{b}{2}\right) = -\frac{b^2}{4}-2b-4 \ge -4 \implies -8 \le b \le 0\)
셋의 공통 범위는 \(-\frac{9}{2} \le b \lt -\frac{3}{2}\)이다.
• (b) \(g_{-}(x)\)가 \(x=0\)에서 최솟값을 갖는 경우:
꼭짓점 \(b+\frac{3}{2} \ge 0 \implies b \ge -\frac{3}{2}\)이다. 이때 \(g_{-}(0)=-2b-4\)이다.
i) \(b>0\)일 때: \(g_{+}(x)\)도 \(x=0\)에서 최솟값을 가지므로 \(-2b-4 \ge -4 \implies b \le 0\) (모순, 해 없음)
ii) \(-\frac{3}{2} \le b \le 0\)일 때: \(g_{+}(x)\)는 \(x=-\frac{b}{2}\)에서 최솟값을 가지고, 최솟값 조건은 \(-8 \le b \le 0\)이므로 범위는 \(-\frac{3}{2} \le b \le 0\)이다.
[결론] (a), (b)로부터 구하는 실수 \(b\)의 범위는 \(\mathbf{-\frac{9}{2} \le b \le 0}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
(1) 함수의 연속 조건을 이용하여 \(a\)와 \(c\)를 \(b\)에 대한 식으로 나타낼 수 있다.	10점
(2) 함수 \(f(g(x)+3)\)가 연속임을 이용하여 함수 \(g(x)\)의 최솟값에 대한 조건 및 \(b\)의 범위를 구할 수 있다.	15점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

컵의 높이를 \(h\), 밑면의 반지름을 \(r\) (\(r>0\))라고 하자.
주어진 조건을 만족시키면서 컵의 겉넓이가 최소가 되기 위해서는, 물을 \(54\pi\)만큼 넣었을 때 컵의 높이와 수면의 높이의 차이가 정확히 3이어야 한다. 따라서 다음 식이 성립한다.
\[\pi r^2 (h-3) = 54\pi \implies h = 3 + \frac{54}{r^2}\]
문제의 조건으로부터 뚜껑이 없는 원기둥 모양 컵의 겉넓이 \(A(r)\)는 다음과 같이 주어진다.
\[A(r) = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + 2\pi r\left(3 + \frac{54}{r^2}\right) \quad (r>0)\]
도함수를 구하면 다음과 같다.
\[A'(r) = 2\pi r + 6\pi - \frac{108\pi}{r^2} = \frac{2\pi(r^3+3r^2-54)}{r^2} = \frac{2\pi(r-3)(r^2+6r+18)}{r^2}\]
\(r^2+6r+18=(r+3)^2+9>0\)이므로, \(A'(r)=0\)을 만족하는 유일한 양의 실근은 \(r=3\)이다.
함수 \(A(r)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(r\)	0	\(\cdots\)	3	\(\cdots\)
\(A'(r)\)		\(-\)	0	\(+\)
\(A(r)\)		\(\searrow\)	\(63\pi\) (극소)	\(\nearrow\)

그러므로 \(r=3\)일 때 겉넓이가 최소가 되고, 이때 컵의 겉넓이는 \(A(3) = \mathbf{63\pi}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
부피의 조건으로부터 컵의 겉넓이의 식을 구하고 이를 미분하여 최솟값을 구할 수 있다.	25점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

(1) 두 원의 기하학적 닮음비와 접선 \(\ell\)의 방정식 도출 [15점]
큰 원은 중심이 \(C\left(\frac{t-1}{2}, 0\right)\), 반지름이 \(R_1 = \frac{1+t}{2}\)이다.
작은 원은 중심이 \(E\left(\frac{t+1}{2}, 0\right)\), 반지름이 \(R_2 = \frac{1-t}{2}\)이다.
직선 \(\ell\)의 \(x\)절편을 \(x_0\)라 하면, \(x\)축과 접선 \(\ell\) 및 각 원의 접점 반지름으로 이루어지는 두 직각삼각형은 서로 닮음이며 닮음비는 \(R_1 : R_2 = \frac{1+t}{2} : \frac{1-t}{2} = (1+t) : (1-t)\)이다.
빗변의 길이를 각각 표현하면 \(\left(x_0 - \frac{t-1}{2}\right) : \left(x_0 - \frac{t+1}{2}\right) = (1+t) : (1-t)\)이므로
\[(1-t)\left(2x_0 - t + 1\right) = (1+t)\left(2x_0 - t - 1\right) \implies 4tx_0 = 2(t^2 + 1) \implies x_0 = \frac{t^2 + 1}{2t}\] 접선 \(\ell\)이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\pi - \theta\)라 하면, 작은 원의 중심과의 관계에서
\[\sin\theta = \frac{R_2}{x_0 - \frac{t+1}{2}} = \frac{\frac{1-t}{2}}{\frac{t^2+1}{2t} - \frac{t^2+t}{2t}} = \frac{\frac{1-t}{2}}{\frac{1-t}{2t}} = t\] 따라서 접선 \(\ell\)의 기울기 \(a\)는 음수이므로
\[a = -\tan\theta = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\] 그러므로 직선 \(\ell\)의 방정식은 다음과 같다.
\[y = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\left(x - \frac{t^2+1}{2t}\right) = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x + \frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}\] (2) 삼각치환을 이용한 정적분의 계산 [10점]
직선 \(\ell\)의 \(y\)절편은 \(f(t) = \frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}\)이다.
\(t = \sin\theta\)로 치환하면 \(\frac{dt}{d\theta} = \cos\theta \implies dt = \cos\theta\,d\theta\)이다.
적분구간 변환: \(t = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6}\), \(t = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}\)이다.
\[\int_{1/2}^{\sqrt{2}/2} f(t)\,dt = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\sin^2\theta + 1}{2\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/4} (\sin^2\theta + 1)\,d\theta\] 반각공식 \(\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}\)를 대입하면
\[\frac{1}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/4} \left(\frac{1-\cos 2\theta}{2} + 1\right)\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{\pi/6}^{\pi/4} (3 - \cos 2\theta)\,d\theta = \frac{1}{4}\left[3\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/4}\] 위끝과 아래끝을 대입하여 계산하면
\[= \frac{1}{4}\left[\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{3\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3}\right)\right] = \frac{1}{4}\left[\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right] = \frac{1}{4}\left[\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right] = \frac{\pi - 2 + \sqrt{3}}{16}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 두 원의 중심과 반지름을 구하고 닮음비로부터 \(x\)절편 \(x_0=\frac{t^2+1}{2t}\) 도출	8.0점
• (1) 기울기 \(-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\) 산출 및 직선의 방정식 \(y=-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}x+\frac{t^2+1}{2\sqrt{1-t^2}}\) 완결	7.0점
• (2) \(t=\sin\theta\) 삼각치환 적용 및 배각공식을 통한 적분식 전개	5.0점
• (2) 적분 구간 계산 및 최종 정적분 값 \(\frac{\pi-2+\sqrt{3}}{16}\) 정확한 산출	5.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) 역함수 미분법 및 도함수 부호를 통한 함수 \(u(x)\)의 증감 조사 [10점]
\(x > 0\)일 때 \(g'(x) = 2x + k > 2(0) + 1 = 1 > 0\)이므로 함수 \(g(x)\)는 일대일대응이며 역함수 \(h(x)\)가 존재한다.
역함수 미분법에 의하여 \(h'(x) = \frac{1}{g'(h(x))} = \frac{1}{2h(x) + k}\)이다.
\(x \ge 1\)일 때 \(h(x) \ge 0\)이고 \(k > 1\)이므로 \(g'(h(x)) > 1\)이며, 따라서 \(0 \lt h'(x) \lt 1\)이다.
구간 \([2n, 2n+2]\)에서 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다.
\[f(x) = \begin{cases} x - 2n & (2n \le x \lt 2n+1) \ -x + 2n + 2 & (2n+1 \le x \le 2n+2) \end{cases}\] 따라서 \(u'(x) = h'(x) - f'(x)\)를 계산하면
\[u'(x) = \begin{cases} h'(x) - 1 & (2n \lt x \lt 2n+1) \ h'(x) + 1 & (2n+1 \lt x \lt 2n+2) \end{cases}\] \(0 \lt h'(x) \lt 1\)이므로, \(h'(x) - 1 \lt 0\)이고 \(h'(x) + 1 > 0\)이다.
그러므로 함수 \(u(x)\)는 구간 \([2n, 2n+1]\)에서 감소하고, 구간 \([2n+1, 2n+2]\)에서 증가한다.

(2) 교점 조건 분석을 통한 실수 \(k\)의 범위 도출 [15점]
\(1 \le x \le 2\)일 때: \(u'(x) = h'(x) + 1 > 0\)이므로 \(u(x)\)는 증가한다. \(u(1) = h(1) - 1 = 0 - 1 = -1 \lt 0\), \(u(2) = h(2) - 0 = h(2) > 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \([1, 2]\)에서 오직 1개의 실근을 갖는다.
\(n \ge 1\)일 때: \(u(2n) = h(2n) > 0\), \(u(2n+2) = h(2n+2) > 0\)이므로, 구간 \([2n, 2n+2]\)에서의 교점의 개수는 극솟값 \(u(2n+1) = h(2n+1) - 1\)의 부호에 의해 결정된다.
  ① \(h(2n+1) - 1 > 0\): 교점 0개   |   ② \(h(2n+1) - 1 = 0\): 교점 1개   |   ③ \(h(2n+1) - 1 \lt 0\): 교점 2개
\(h(x)\)는 엄격히 증가하는 함수이므로, \(h(2n+1) \lt 1\)인 동안에만 각 구간에서 2개의 교점이 발생한다.
전체 교점의 개수가 1001개가 되려면, 구간 \([1, 2]\)의 교점 1개를 제외한 1000개의 교점이 발생해야 하므로 경우 ③이 정확히 500개 구간(\(n=1, 2, \dots, 500\))에서 일어나고, \(n=501\)부터는 교점이 없어야 한다.
즉, \(h(2\cdot 500 + 1) = h(1001) \lt 1\)이고 \(h(2\cdot 501 + 1) = h(1003) > 1\)이어야 한다.
\(g(x)\)가 증가함수이므로
\[h(1001) \lt 1 \iff 1001 \lt g(1) \quad \text{및} \quad h(1003) > 1 \iff g(1) \lt 1003\] \(g(1) = 1^2 + k(1) + 1 = k + 2\)이므로
\[1001 \lt k + 2 \lt 1003 \implies 999 \lt k \lt 1001\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 역함수 미분법으로 \(0 \lt h'(x) \lt 1\) 유도 및 구간별 \(u'(x)\) 부호 판정으로 증감 규명	10.0점
• (2) 구간 \([1, 2]\)의 유일 실근 및 각 구간 \([2n, 2n+2]\)의 극솟값 \(h(2n+1)-1\) 기준 분류	8.0점
• (2) 1001개 교점 조건 \(h(1001)\lt 1\)과 \(h(1003)\gt 1\) 연결 및 \(999 \lt k \lt 1001\) 완결	7.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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1. 합성함수의 연속성을 이용한 상수 \(a\)의 결정
합성함수 \(f(g(x))\)의 식을 구간별로 나타내면 다음과 같다.
\[f(g(x)) = \begin{cases} f\left(-x + \frac{1}{2}\right) = 1 - a\left(-x + \frac{1}{2}\right)^2 & (x \le 0, \text{ 왜냐하면 } -x+\frac{1}{2} > 0) \ f\left(-x - \frac{1}{4}\right) = 1 - \left(-x - \frac{1}{4}\right)^2 & (x > 0, \text{ 왜냐하면 } -x-\frac{1}{4} \lt 0) \end{cases}\] 함수 \(f(g(x))\)가 \(x=0\)에서 연속이어야 하므로 좌극한과 우극한이 일치해야 한다.
\[\lim_{x\to 0^-} f(g(x)) = 1 - a\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4}a, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(g(x)) = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16}\] \[1 - \frac{1}{4}a = 1 - \frac{1}{16} \implies \frac{1}{4}a = \frac{1}{16} \implies a = \frac{1}{4}\] 따라서 함수 \(f(x)\)는 다음과 같이 결정된다.
\[f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & (x \le 0) \ 1 - \frac{1}{4}x^2 & (x > 0) \end{cases}\] 2. 내접하는 직사각형의 넓이 함수 구성 및 최댓값 도출
직사각형의 오른쪽 변의 \(x\)좌표를 \(m\) (\(0 \lt m \lt 2\))이라 하면, 오른쪽 위 꼭짓점은 \(A\left(m, 1 - \frac{1}{4}m^2\right)\)이다.
직사각형의 윗변은 \(x\)축과 평행하므로 왼쪽 위 꼭짓점 \(B\)의 \(y\)좌표도 \(1 - \frac{1}{4}m^2\)이다.
점 \(B(n, y)\)는 곡선 \(y = 1 - x^2\;(x \le 0)\) 위에 있으므로
\[1 - n^2 = 1 - \frac{1}{4}m^2 \implies n^2 = \frac{1}{4}m^2 \implies n = -\frac{1}{2}m \quad (n \lt 0)\] 따라서 직사각형의 가로 길이는 \(m - n = m - \left(-\frac{1}{2}m\right) = \frac{3}{2}m\)이고, 세로 길이는 \(1 - \frac{1}{4}m^2\)이다.
직사각형의 넓이를 \(m\)에 대한 함수 \(S(m)\)이라 하면
\[S(m) = \frac{3}{2}m\left(1 - \frac{1}{4}m^2\right) = \frac{3}{2}m - \frac{3}{8}m^3 \quad (0 \lt m \lt 2)\] 도함수를 구하여 극값을 찾으면
\[S'(m) = \frac{3}{2} - \frac{9}{8}m^2 = 0 \implies \frac{9}{8}m^2 = \frac{3}{2} \implies m^2 = \frac{4}{3} \implies m = \frac{2}{\sqrt{3}}\] \(0 \lt m \lt \frac{2}{\sqrt{3}}\)에서 \(S'(m) > 0\), \(\frac{2}{\sqrt{3}} \lt m \lt 2\)에서 \(S'(m) \lt 0\)이므로 \(S(m)\)은 \(m = \frac{2}{\sqrt{3}}\)에서 극대이자 최대이다.
따라서 구하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 다음과 같다.
\[S\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) - \frac{3}{8}\left(\frac{8}{3\sqrt{3}}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 합성함수 \(f(g(x))\)의 좌우극한을 구하고 연속 조건으로부터 \(a=\frac{1}{4}\) 산출	10.0점
• 두 곡선의 높이가 같음을 이용하여 가로 길이 \(\frac{3}{2}m\) 및 넓이 함수 \(S(m)=\frac{3}{2}m-\frac{3}{8}m^3\) 유도	8.0점
• 도함수 부호 판정을 통해 \(m=\frac{2}{\sqrt{3}}\)에서 극대 규명 및 최댓값 \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) 완결	7.0점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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(1) 학생 A의 풀이에서 잘못된 점 2가지 분석 [10점]
① 항등 대응(\(f(i)=i\)) 가능성 누락 (과정 (나)의 오류):
\(f(f(x)) = x\)를 만족하기 위해서는 \(f(a) = b\)일 때 \(f(b) = a\)여야 하므로 서로 다른 두 원소가 쌍을 이루는 경우(\(a e b\))뿐만 아니라, 자기 자신으로 대응되는 경우(\(a = b\), 즉 \(f(a) = a\))도 존재할 수 있다. 학생 A는 모든 6개의 원소가 2개씩 3개의 쌍을 이루는 특수한 경우만 고려하고, 자기 자신으로 대응되는 원소가 존재하는 경우들을 완전히 누락하였다.
② 분할 과정에서의 중복(순서 고려) 오류 (과정 (다)의 오류):
서로 다른 6개의 원소를 같은 크기인 2개씩 3개의 조(쌍)로 나누는 방법의 수는 조의 순서가 없으므로 \(3!\)으로 나누어 주어야 한다. 학생 A의 식 \(_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2\)는 조를 택하는 순서까지 고려한 것이므로 실제 분할 경우의 수인 \(\frac{_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2}{3!} = \frac{90}{6} = 15\)보다 6배 과대 계산되었다.

(2) 조건을 만족시키는 함수 \(f\)의 총 개수 산출 [15점]
\(f(i) = j \; (i e j)\)를 만족하는 원소의 개수는 반드시 2의 배수(짝수)이어야 하므로, 자기 자신으로 가는 원소(\(f(i)=i\))의 개수도 짝수(0개, 2개, 4개, 6개)이어야 한다. 따라서 4가지 경우로 분류하여 합의 법칙을 적용한다.
① \(f(i)=i\)인 원소가 6개인 경우 (항등함수):
모든 원소가 자기 자신으로 대응되므로 오직 1개이다.
② \(f(i)=i\)인 원소가 4개이고, 2개가 1쌍을 이루는 경우:
서로 맞바꿀 2개의 원소를 택하는 조합의 수이므로
\[_6\mathrm{C}_2 = 15\text{개}\]
③ \(f(i)=i\)인 원소가 2개이고, 4개가 2쌍을 이루는 경우:
먼저 자기 자신으로 갈 2개의 원소를 택하고, 나머지 4개 원소를 2개씩 2쌍으로 분할한다.
\[_6\mathrm{C}_2 \times \frac{_4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2}{2!} = 15 \times \frac{6 \times 1}{2} = 15 \times 3 = 45\text{개}\]
④ \(f(i)=i\)인 원소가 0개이고, 6개가 3쌍을 이루는 경우:
6개의 원소를 2개씩 3쌍으로 분할하는 경우의 수이므로
\[\frac{_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15\text{개}\]
따라서 구하는 함수 \(f\)의 총 개수는 다음과 같다.
\[1 + 15 + 45 + 15 = 76\text{개}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 자기 자신으로 대응되는 원소(\(f(i)=i\)) 누락 오류 및 분할 순서 중복 오류(\(3!\) 미나눔) 명확히 지적	10.0점
• (2) 고정점의 개수(0, 2, 4, 6개)에 따라 4가지 배반사건으로 완벽히 분류	8.0점
• (2) 각 경우별 조합과 분할 계산을 수행하여 최종 함수 개수 76개 완결	7.0점

경우의 수 및 확률 문항에서는 '배반사건의 분류 기준'을 채점관이 한눈에 파악할 수 있도록 수형도 또는 번호식 목록으로 명확히 구분하는 것이 고득점 비결입니다. 특히 중복 또는 누락이 발생하지 않았음을 논증하는 문장을 덧붙이면 논리성 평가 항목에서 만점을 받을 수 있습니다.

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1. 삼차함수 인수분해 및 변곡점 \(P\)의 좌표 도출
방정식 \(f(x)=0\)의 세 실근을 \(\alpha = 2-\sqrt{5}, \; \beta = 2+\sqrt{5}, \; \gamma\)라 하면
\[f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\] 이계도함수를 구하여 변곡점을 찾으면 \(f''(x) = 6x - 2(\alpha+\beta+\gamma) = 0\)이므로
변곡점 \(P\)의 \(x\)좌표를 \(p\)라 하면 \(p = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3} = \frac{(2-\sqrt{5}) + (2+\sqrt{5}) + \gamma}{3} = \frac{4+\gamma}{3}\)이다.
조건 (iii)에 의하여 \(p = \frac{4+\gamma}{3}\)는 양의 정수이어야 하므로 \(\gamma = 3p - 4\) (\(p=1, 2, 3, \dots\))이다.

2. 양의 정수 \(p\)에 따른 삼각형의 기하학적 형태 판별
1) \(p=1\)일 때 (\(\gamma=-1\)): \(P(1, -8)\), \(C(-1, 0)\)이다. 점 \(P\)의 \(x\)좌표가 원점과 점 \(C\)의 \(x\)좌표보다 크므로 \(\angle COP > \frac{\pi}{2}\)가 되어 \( riangle OCP\)는 둔각삼각형이다. (조건 (iv) 불만족)
2) \(p=2\)일 때 (\(\gamma=2\)): \(P(2, 0)\), \(C(2, 0)\)이다. 점 \(O, P, B, C\)가 모두 \(x\)축 위에 있으므로 삼각형을 이루지 못한다. (조건 (iv) 불만족)
3) \(p=3\)일 때 (\(\gamma=5\)): \(f(x)=(x^2-4x-1)(x-5)\)이므로 \(P(3, 8)\), \(C(5, 0)\)이다.
\( riangle POC\)의 세 변의 길이의 제곱은 \(\overline{OP}^2 = 3^2+8^2 = 73\), \(\overline{PC}^2 = 2^2+8^2 = 68\), \(\overline{OC}^2 = 5^2 = 25\)이다.
가장 긴 변 \(\overline{OP}\)에 대하여 \(\overline{OP}^2 = 73 \lt \overline{PC}^2 + \overline{OC}^2 = 68 + 25 = 93\)이므로 \( riangle POC\)는 예각삼각형이다.
또한 점 \(B(2+\sqrt{5}, 0)\)에서 \(2+\sqrt{5} \approx 4.236\)이고 점 \(P\)의 \(x\)좌표 3은 \(0 \lt 3 \lt 2+\sqrt{5}\)를 만족하며, \(\angle OPB \lt \angle OPC \lt \frac{\pi}{2}\)이므로 \( riangle OPB\)도 예각삼각형이다. 따라서 조건 (iv)를 완벽히 만족한다.
4) \(p=4\)일 때 (\(\gamma=8\)): \(P(4, 4)\), \(C(8, 0)\)이다.
\(\overline{OP}^2 = 4^2+4^2 = 32\), \(\overline{PC}^2 = 4^2+4^2 = 32\), \(\overline{OC}^2 = 8^2 = 64\)이다. 가장 긴 변 \(\overline{OC}\)에 대하여 \(\overline{OC}^2 = \overline{OP}^2 + \overline{PC}^2 = 32+32=64\)이므로 \( riangle POC\)는 직각삼각형이다. (조건 (iv) 불만족)
5) \(p \ge 5\)일 때: 점 \(P\)의 \(x\)좌표가 \(p \ge 5 > 2+\sqrt{5}\)이므로 점 \(B\)의 \(x\)좌표보다 크다. 따라서 \(\angle OBP > \frac{\pi}{2}\)가 되어 \( riangle OBP\)는 둔각삼각형이다. (조건 (iv) 불만족)

3. 결론
만족하는 삼차함수 \(f(x)\)의 개수는 1개이며, 그 함수는 다음과 같다.
\[f(x) = (x - 2 + \sqrt{5})(x - 2 - \sqrt{5})(x - 5) = (x^2 - 4x - 1)(x - 5) = x^3 - 9x^2 + 19x + 5\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 이계도함수를 이용하여 변곡점의 \(x\)좌표 \(p=\frac{4+\gamma}{3}\) 및 \(\gamma=3p-4\) 도출	8.0점
• 각 정수 \(p\)에 따른 \( riangle OPB, riangle OPC\)의 세 변의 길이 및 각의 크기 판정 과정 서술	10.0점
• 예각삼각형 조건 만족 여부 검증 후 유일성(개수 1개) 및 함수식 \(f(x)=x^3-9x^2+19x+5\) 완결	7.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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1. 경로 분할 및 시각·각도 매개변수화
시각 \(t=0\)에서의 점 \(P\)의 위치를 \(A(0, h)\), 곡선 \(y=\sqrt{-x^2+2x}\)와 만나는 점을 \(Q\)라 하자.
\(1 \le x \le 2\)일 때 곡선 \(y = \sqrt{1 - (x-1)^2}\)은 중심이 \(C(1, 0)\)이고 반지름이 1인 원의 호이다.
\(\angle QCB = \theta\) (\(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\))라 하면 점 \(Q\)의 좌표는 \(Q(1+\cos\theta, \sin\theta)\)이며, \(h = \sin\theta\)이다.
점 \(P\)가 곡선과 만날 때까지 걸린 시각을 \(T\)라 하면, \(0 \le t \le T\)에서 속력이 \(v(t)=t\)이므로 이동 거리는
\[x(T) = \int_0^T u\,du = \frac{1}{2}T^2 = 1 + \cos\theta \implies T = \sqrt{2(1+\cos\theta)}\] 점 \(Q\)에서 점 \(B(2, 0)\)까지는 반지름 1, 중심각 \(\theta\)인 원호 위를 일정한 속력 \(\sqrt{3}\)으로 이동하므로 이동 시간은
\[T_{\text{arc}} = \frac{r\theta}{\text{속력}} = \frac{\theta}{\sqrt{3}}\] 따라서 점 \(P\)가 \((0, h)\)에서 \((2, 0)\)까지 이동하는 데 걸리는 총 시간 \(t(\theta)\)는 다음과 같다.
\[t(\theta) = \sqrt{2 + 2\cos\theta} + \frac{\theta}{\sqrt{3}} \quad \left(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\right)\] 2. 도함수를 이용한 극대·최대 분석
함수 \(t(\theta)\)의 도함수를 구하면
\[t'(\theta) = \frac{-2\sin\theta}{2\sqrt{2+2\cos\theta}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-\sin\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\] 극값을 찾기 위하여 \(t'(\theta)=0\)이라 두면
\[\frac{\sin\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{\sin^2\theta}{2(1+\cos\theta)} = \frac{1-\cos^2\theta}{2(1+\cos\theta)} = \frac{1-\cos\theta}{2} = \frac{1}{3}\] \[1 - \cos\theta = \frac{2}{3} \implies \cos\theta = \frac{1}{3}\] \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\)이므로 \(\sin\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)이다.
이때의 각을 \(\theta_1\)이라 하면 이계도함수 \(t''(\theta) = -\frac{\sqrt{2(1+\cos\theta)}\cos\theta + \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}}}{2(1+\cos\theta)} \lt 0\)이므로 \(t(\theta)\)는 \(\theta = \theta_1\)에서 유일한 극대이자 최댓값을 갖는다.
따라서 총 이동 시간이 최대가 되도록 하는 \(h\)의 값은 다음과 같다.
\[h = \sin\theta_1 = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 각도 \(\theta\)를 설정하여 접점 \(Q(1+\cos\theta, \sin\theta)\) 및 \(h=\sin\theta\) 표현	7.0점
• 직선 및 곡선 이동 시간을 각각 계산하여 총 시간 함수 \(t(\theta)=\sqrt{2+2\cos\theta}+\frac{\theta}{\sqrt{3}}\) 유도	9.0점
• 도함수 \(t'(\theta)=0\)으로부터 \(\cos\theta=\frac{1}{3}\) 규명 및 최댓값 조건 판정으로 \(h=\frac{2\sqrt{2}}{3}\) 완결	9.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) 주어진 초기 위치에서의 거리 함수 및 최솟값 도출 [10점]
시각 \(t=0\)에서의 우주선 위치가 \((-2\sqrt{2}, -5)\)이고 속도가 \((\sqrt{2}, 2)\)이므로, 시각 \(t\)에서의 우주선 위치는
\[x_{\text{ship}} = \sqrt{2}t - 2\sqrt{2}, \quad y_{\text{ship}} = 2t - 5\] 혜성과 우주선 사이의 거리의 제곱을 \(s(t) = \{r(t)\}^2\)이라 하면
\[s(t) = \{(2\sqrt{2}t - 4\sqrt{2}) - (\sqrt{2}t - 2\sqrt{2})\}^2 + \{(t^2 - 2t + 3) - (2t - 5)\}^2 = 2(t-2)^2 + (t^2 - 4t + 8)^2\] 함수 \(s(t)\)의 도함수를 구하여 인수분해하면
\[s'(t) = 4(t-2) + 2(t^2 - 4t + 8)(2t-4) = 4(t-2)\left[1 + (t^2 - 4t + 8)\right] = 4(t-2)(t^2 - 4t + 9)\] \(t^2 - 4t + 9 = (t-2)^2 + 5 > 0\)이므로 \(s'(t)=0\)의 유일한 실근은 \(t=2\)이다.
\(t \lt 2\)에서 \(s'(t)\lt 0\), \(t > 2\)에서 \(s'(t)\gt 0\)이므로 함수 \(s(t)\)는 \(t=2\)에서 최솟값 \(s(2) = 0 + (4 - 8 + 8)^2 = 16\)을 갖는다.
따라서 거리가 최소가 되는 시각은 \(t=2\)이고, 그때의 거리는 \(r(2) = \sqrt{16} = 4\)이다.

(2) 가장 가까운 관측을 위한 초기 위치 및 시각 결정 [15점]
혜성이 움직이는 곡선 \(C\)와 우주선이 움직이는 직선 \(\ell\) 사이의 거리가 최소인 두 점을 혜성과 우주선이 같은 시각에 지나야 한다.
직선 \(\ell\)의 기울기가 \(\sqrt{2}\)이므로, 곡선 \(C\) 위의 점에서의 접선의 기울기가 \(\sqrt{2}\)이어야 한다.
매개변수 미분법에 의하여 접선의 기울기는
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t - 2}{2\sqrt{2}} = \frac{t - 1}{\sqrt{2}}\] \(\frac{t-1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies t - 1 = 2 \implies t = 3\)
따라서 혜성과 우주선이 가장 가까워지는 시각은 \(t=3\)이다.
\(t=3\)일 때 혜성의 위치는 \(P(2\sqrt{2}, 6)\)이다.
점 \(P\)에서 직선 \(\ell: y=\sqrt{2}x-1\)에 내린 수선의 발을 \(Q\)라 하자. 수선의 방정식 \(\ell'\)은 기울기가 \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로
\[y - 6 = -\frac{1}{\sqrt{2}}(x - 2\sqrt{2}) \implies y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x + 8\] \(\ell\)과 \(\ell'\)을 연립하면 \(\sqrt{2}x - 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}x + 8 \implies \frac{3}{\sqrt{2}}x = 9 \implies x = 3\sqrt{2}, \; y = 5\)이므로 \(Q(3\sqrt{2}, 5)\)이다.
시각 \(t=3\)일 때 우주선이 점 \(Q(3\sqrt{2}, 5)\)에 도달해야 하므로, \(t=0\)에서의 우주선 위치 \((x_0, y_0)\)는
\[3\sqrt{2} = \sqrt{2}(3) + x_0 \implies x_0 = 0, \quad 5 = 2(3) + y_0 \implies y_0 = -1\] 따라서 구하는 시각 \(t=0\)에서의 우주선의 위치는 \((0, -1)\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 우주선 위치 표현 및 거리 제곱 함수 \(s(t)\) 구성, 도함수 부호 판정으로 \(t=2\), 거리 4 도출	10.0점
• (2) 매개변수 미분법으로 접선 기울기 식 유도 및 직선 \(\ell\)과 평행 조건 \(\frac{dy}{dx}=\sqrt{2}\)로부터 \(t=3\) 산출	8.0점
• (2) 최단거리 수선의 발 \(Q(3\sqrt{2}, 5)\) 규명 및 \(t=0\)에서의 우주선 위치 \((0, -1)\) 완결	7.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) 치환적분법을 이용한 함수 \(g(x)\)의 정적분 값 도출 [7.5점]
조건 (iii)의 정적분에서 \(t = x - S_n\)으로 치환하면 \(dt = dx\)이다.
\(x=0\)일 때 \(t = -S_n\)이고, \(x=a_n\)일 때 \(t = -S_n + a_n = -S_{n-1}\)이다.
\[\int_0^{a_n} f(x - S_n)\,dx = \int_{-S_n}^{-S_{n-1}} f(t)\,dt\] \(a_n \ge 0\)이므로 모든 \(n\)에 대하여 \(-S_n \le -S_{n-1} \le 0\)이다.
\(x \le 0\)에서 조건 (i)에 의하여 \(f(x) = g(x)\)이므로
\[\int_{-S_n}^{-S_{n-1}} f(t)\,dt = \int_{-S_n}^{-S_{n-1}} g(t)\,dt = 1\] 적분구간의 위끝과 아래끝을 바꾸면 구하는 정적분의 값은 다음과 같다.
\[\int_{-S_{n-1}}^{-S_n} g(x)\,dx = -\int_{-S_n}^{-S_{n-1}} g(x)\,dx = -1\] (2) 구간 분할, 치환적분 및 부분분수 소거를 통한 최종 정적분 계산 [17.5점]
정적분의 구간 성질에 의하여
\[\int_0^{2023} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{2023} \int_{n-1}^n f(x)\,dx\] 각 구간 \([n-1, n]\)에서 조건 (ii)를 적용하면
\[\int_{n-1}^n f(x)\,dx = \int_{n-1}^n g\left(-S_n + (n-1-x)a_{n+1}\right)\,dx\] \(t = -S_n + (n-1-x)a_{n+1}\)로 치환하면 \(dt = -a_{n+1}\,dx \implies dx = -\frac{1}{a_{n+1}}\,dt\)이다.
적분구간을 변환하면, \(x = n-1\)일 때 \(t = -S_n\), \(x = n\)일 때 \(t = -S_n - a_{n+1} = -S_{n+1}\)이다.
\[\int_{n-1}^n f(x)\,dx = \int_{-S_n}^{-S_{n+1}} g(t)\left(-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\,dt = \frac{1}{a_{n+1}} \int_{-S_{n+1}}^{-S_n} g(t)\,dt\] 문항 (1)의 결과에 의하여 모든 \(n \ge 1\)에 대하여 \(\int_{-S_{n+1}}^{-S_n} g(t)\,dt = 1\)이므로
\[\int_{n-1}^n f(x)\,dx = \frac{1}{a_{n+1}} \cdot 1 = \frac{1}{a_{n+1}}\] 수열의 일반항이 \(a_{n+1} = (n+1)n = n(n+1)\)이므로, 부분분수로 변형하면
\[\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\] 따라서 1부터 2023까지의 합은 망원급수 형태로 모두 상쇄된다.
\[\int_0^{2023} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{2023} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}\right) = 1 - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 치환적분 \(t=x-S_n\) 및 구간 관계 \(-S_n \le 0\) 규명으로 \(\int_{-S_{n-1}}^{-S_n} g(x)\,dx = -1\) 도출	7.5점
• (2) 정적분을 단위 구간의 합으로 분할하고 치환적분을 통해 \(\int_{n-1}^n f(x)\,dx = \frac{1}{a_{n+1}}\) 유도	9.0점
• (2) 부분분수 변형 \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) 및 망원합 계산으로 최종값 \(\frac{2023}{2024}\) 완결	8.5점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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1. 두 직선의 수직성과 교점 \(P_m\)의 자취 (외접원) 도출
직선 \(\ell : x + 2my = 0\)은 실수 \(m\)의 값에 관계없이 점 \((0, 0)\)을 지나고,
직선 \(\ell' : 2m(x-1) - y = 0\)은 실수 \(m\)의 값에 관계없이 점 \((1, 0)\)을 지난다.
\(m e 0\)일 때 직선 \(\ell\)과 \(\ell'\)의 기울기는 각각 \(-\frac{1}{2m}\)과 \(2m\)이므로 기울기의 곱은 \(\left(-\frac{1}{2m}\right) \times (2m) = -1\)이다.
\(m=0\)일 때 \(\ell\)은 \(y\)축(\(x=0\)), \(\ell'\)은 \(x\)축(\(y=0\))이므로 역시 서로 수직이다.
따라서 두 직선은 항상 직교하므로, 교점 \(P_m\)은 선분 \([(0, 0), (1, 0)]\)을 지름으로 하는 원 위에 존재한다.
즉, 삼각형 \(ABC\) (\(A=P_{m_1}, B=P_{m_2}, C=P_{m_3}\))의 외접원은 중심이 \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)이고 지름이 1, 반지름이 \(R = \frac{1}{2}\)인 원이다.

2. 사인법칙 및 이등변삼각형 조건에 의한 넓이 최대화
삼각형의 한 각의 크기를 \(A = \frac{\pi}{6}\)이라 하고 그 대변을 \(BC\) (길이 \(a\))라 하자.
외접원의 반지름이 \(R = \frac{1}{2}\)이므로 사인법칙에 의하여
\[\frac{a}{\sin A} = 2R \implies a = 2R\sin\frac{\pi}{6} = 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\] 변 \(BC\)의 길이가 \(\frac{1}{2}\)로 일정하므로, 삼각형 \(ABC\)의 넓이가 최대가 되기 위해서는 밑변 \(BC\)로부터 가장 멀리 떨어진 원 위의 점이 꼭짓점 \(A\)이어야 한다. 이때 삼각형 \(ABC\)는 \(\overline{AB} = \overline{AC}\)인 이등변삼각형이다.
밑변이 \(\frac{1}{2}\)이고 꼭지각이 \(A = \frac{\pi}{6}\)인 이등변삼각형의 밑각은 \(B = C = \frac{1}{2}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{12}\)이다.
따라서 이등변삼각형의 높이 \(h\)는 다음과 같다.
\[h = \frac{a/2}{\tan(A/2)} = \frac{1/4}{\tan(\pi/12)} = \frac{1}{4}\tan\frac{5\pi}{12}\] 삼각함수의 덧셈정리를 적용하면
\[\tan\frac{5\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{6} + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = 2 + \sqrt{3}\] 따라서 구하는 삼각형의 넓이의 최댓값은 다음과 같다.
\[S_{\max} = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{2+\sqrt{3}}{16}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 두 직선의 직교성 판정으로부터 교점의 자취가 지름 1인 원(반지름 \(R=\frac{1}{2}\))임을 규명	7.0점
• 사인법칙을 적용하여 대변의 길이 \(a=\frac{1}{2}\) 도출 및 넓이 최대가 되는 이등변삼각형 조건 제시	6.5점
• 삼각함수의 덧셈정리로 \(\tan\frac{5\pi}{12}=2+\sqrt{3}\) 산출 및 최종 넓이 \(\frac{2+\sqrt{3}}{16}\) 완결	6.5점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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(1) 함수 \(f(k)\)의 식 및 그래프 도출 [9점]
함수 \(p(x) = \frac{|2x|}{x^2+1}\)은 우함수이며, \(x > 0\)일 때 \(p(x) = \frac{2x}{x^2+1}\)이다.
산술·기하평균 부등식에 의하여 \(x^2 + 1 \ge 2x \implies p(x) \le 1\) (등호는 \(x=1\)일 때 성립)이다.
따라서 \(p(x)\)는 \(x=1, -1\)에서 최댓값 1을 갖고, \(p(0)=0\)이며 \(\lim_{x\to \pm\infty} p(x) = 0\)이다.
직선 \(y=k\)와의 교점의 개수를 분석하면 함수 \(f(k)\)는 다음과 같다.
\[f(k) = \begin{cases} 0 & (k \lt 0) \ 1 & (k = 0) \ 4 & (0 \lt k \lt 1) \ 2 & (k = 1) \ 0 & (k > 1) \end{cases}\] (2) 합성함수 연속성으로부터 \(g(x)\) 결정 및 최댓값 \(c=7\) 도출 [21점]
① 조건 (iii) 합성함수 \(g \circ f\)의 연속성: \(g(x)\)는 다항함수이므로 연속이다. \(f(x)\)의 불연속점 \(x=0, 1\)에서 연속이어야 한다.
\(x=0\)에서: \(\lim_{x\to 0^+} (g\circ f)(x) = g(4)\), \(\lim_{x\to 0^-} (g\circ f)(x) = g(0)\), \((g\circ f)(0) = g(1)\)이므로 \(g(0) = g(1) = g(4)\)이다.
\(x=1\)에서: \(\lim_{x\to 1^+} (g\circ f)(x) = g(0)\), \(\lim_{x\to 1^-} (g\circ f)(x) = g(4)\), \((g\circ f)(1) = g(2)\)이므로 \(g(0) = g(2) = g(4)\)이다.
따라서 \(g(0) = g(1) = g(2) = g(4) = a\) (상수)이다.
최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 \(g(x) = x(x-1)(x-2)(x-4) + a\)이다.
② 조건 (iv) 합성함수 \(f \circ g \circ h\)의 연속성: \(h(x)=[x]\)는 정수 \(n\)에서 불연속이므로, 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(\lim_{x\to n^-} (f\circ g\circ h)(x) = f(g(n-1))\), \(\lim_{x\to n^+} (f\circ g\circ h)(x) = f(g(n))\)이 일치해야 한다.
즉, 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(f(g(n))\)의 값이 동일한 상수로 일정해야 한다.
사차함수 \(g(x)\)는 최고차항 계수가 1이므로 \(\lim_{x\to \pm\infty} g(x) = \infty\)이다. 따라서 \(g(m) > 1\)인 정수 \(m\)이 반드시 존재하며, 이때 \(f(g(m)) = 0\)이다.
따라서 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(f(g(n)) = 0\)이어야 하므로, 모든 정수 \(n\)에 대해 \(g(n) > 1\)이어야 한다.
③ 사차함수 \(g(x) = x(x-1)(x-2)(x-4) + a\)의 정수 함숫값 중 최솟값은 \(x=3\)일 때 발생한다.
\[g(3) = 3(2)(1)(-1) + a = a - 6 > 1 \implies a > 7\] \(g(0) = a > 7\)이므로, 모든 만족하는 함수에 대해 항상 \(g(0) > c\)가 성립하기 위한 최대 실수 \(c\)는 7이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 미분 및 산술기하평균을 통해 \(f(k)\)의 구간별 함숫값 도출 및 그래프 개형 완성	9.0점
• (2) \(g\circ f\)의 연속성으로부터 \(g(0)=g(1)=g(2)=g(4)=a\) 도출 및 \(g(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)+a\) 설정	10.0점
• (2) \(f\circ g\circ h\)의 연속성으로부터 \(g(n)>1\) 조건 규명 및 \(g(3)=a-6>1 \implies c=7\) 완결	11.0점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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1. 기름의 총 부피 계산
높이 \(8 \le x \le 12\) 구간에서 기름의 부피 \(V\)를 정적분으로 계산하면
\[V = \int_8^{12} \pi \{R(x)\}^2\,dx = \int_8^{12} \pi (\sqrt{x-7})^2\,dx = \pi \int_8^{12} (x-7)\,dx = \pi \left[\frac{1}{2}x^2 - 7x\right]_8^{12} = \pi \left[(72 - 84) - (32 - 56)\right] = 12\pi\] 2. 기름층의 두께를 나타내는 함수 설정 및 최댓값 도출
① 기름층의 윗면 높이가 8 이상인 경우: 윗면 높이를 \(8+a\) (\(0 \le a \le 4\)), 아랫면 높이를 \(8-b\) (\(b \ge 0\))라 하자.
기름의 부피가 \(12\pi\)로 보존되므로
\[12\pi = \int_8^{8+a} \pi (\sqrt{x-7})^2\,dx + \int_{8-b}^8 \pi \left(\sqrt{\frac{8-x}{2} + 1}\right)^2\,dx\] \(t = x - 8\)로 치환적분하면
\[12\pi = \pi \int_0^a (t+1)\,dt + \pi \int_{-b}^0 \left(-\frac{t}{2} + 1\right)\,dt = \pi \left[\frac{1}{2}t^2 + t\right]_0^a + \pi \left[-\frac{1}{4}t^2 + t\right]_{-b}^0 = \pi \left(\frac{1}{2}a^2 + a + \frac{1}{4}b^2 + b\right)\] 양변에 4를 곱하여 정리하면 \(b^2 + 4b + (2a^2 + 4a - 48) = 0\)이다.
근의 공식에 의하여 \(b = -2 \pm \sqrt{4 - (2a^2 + 4a - 48)} = -2 \pm \sqrt{-2a^2 - 4a + 52}\)이다.
\(0 \le a \le 4\)에서 \(-2a^2 - 4a + 52 \ge 4\)이므로, \(b \ge 0\)이기 위해서는 플러스 부호를 취해야 한다.
\[b = -2 + \sqrt{-2a^2 - 4a + 52}\] 따라서 기름층의 두께는 \(a+b\)이므로, \(a\)에 대한 함수 \(H(a)\)는 다음과 같다.
\[H(a) = a + b = a - 2 + \sqrt{-2a^2 - 4a + 52} \quad (0 \le a \le 4)\] 함수 \(H(a)\)의 도함수를 구하면
\[H'(a) = 1 + \frac{-4a - 4}{2\sqrt{-2a^2 - 4a + 52}} = 1 - \frac{2a + 2}{\sqrt{-2a^2 - 4a + 52}}\] \(H'(a) = 0\)을 풀면 \(\sqrt{-2a^2 - 4a + 52} = 2a + 2\)이다.
양변을 제곱하면 \(-2a^2 - 4a + 52 = 4(a+1)^2 = 4a^2 + 8a + 4 \implies 6a^2 + 12a - 48 = 0 \implies a^2 + 2a - 8 = 0\)
인수분해하면 \((a+4)(a-2) = 0\)이고, \(0 \le a \le 4\)이므로 유일한 극값은 \(a = 2\)이다.
\(0 \le a \lt 2\)에서 \(H'(a) > 0\), \(2 \lt a \le 4\)에서 \(H'(a) \lt 0\)이므로 \(H(a)\)는 \(a = 2\)에서 극대이자 최댓값을 갖는다.
\[H(2) = 2 - 2 + \sqrt{-2(4) - 4(2) + 52} = \sqrt{-8 - 8 + 52} = \sqrt{36} = 6\] ② 기름층의 윗면 높이가 8 미만인 경우: 용기의 아래쪽으로 갈수록 단면 반지름 \(R(x) = \sqrt{\frac{8-x}{2}+1}\)이 점차 증가하여 단면적이 커지므로, 일정 부피 \(12\pi\)를 만족하는 기름층의 두께는 하강할수록 계속 감소한다.

따라서 기름층의 두께의 최댓값은 6이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 회전체 정적분을 통해 초기 기름의 부피 \(V=12\pi\) 산출	7.0점
• 윗면 높이 \(8+a\)에 대한 아랫면 하강 깊이 \(b\)의 관계식 \(b=-2+\sqrt{-2a^2-4a+52}\) 및 두께 함수 \(H(a)\) 구성	9.0점
• 도함수 \(H'(a)=0\)으로부터 극대점 \(a=2\) 도출 및 최댓값 6 완결	9.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) 최단 시간 조건 및 삼각함수의 덧셈정리를 이용한 \(\tan\theta\) 도출 [10점]
점 \(Q(1, 2)\)가 고정되어 있을 때, 직선 \(\ell: y = -3x + 10\) 위의 점 \(R\)까지 속력 1로 최단 시간에 도착하려면 선분 \(QR\)는 직선 \(\ell\)에 수직인 수선이어야 한다.
직선 \(\ell\)의 기울기가 \(-3\)이므로, 직선 \(QR\)의 기울기는 \(\frac{1}{3}\)이다.
한편 원점 \(O(0, 0)\)과 점 \(Q(1, 2)\)를 잇는 직선 \(OQ\)의 기울기는 \(\frac{2-0}{1-0} = 2\)이다.
그림과 같이 직선 \(\ell\)과 \(x\)축의 교점을 \(T\), \(\theta_1 = \angle QOT\)라 하면 \(\tan\theta_1 = 2\)이다.
점 \(Q\)를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 \(\ell\)과 만나는 점을 \(S\), \(\theta_2 = \angle RQS\)라 하면 \(\tan\theta_2 = \frac{1}{3}\)이다.
이때 \(\theta = \angle OQR = \pi - (\theta_1 - \theta_2)\)이므로 삼각함수 덧셈정리에 의하여
\[\tan\theta = \tan(\pi - (\theta_1 - \theta_2)) = -\tan(\theta_1 - \theta_2) = \tan(\theta_2 - \theta_1) = \frac{\tan\theta_2 - \tan\theta_1}{1 + \tan\theta_2\tan\theta_1}\] 값을 대입하면
\[\tan\theta = \frac{\frac{1}{3} - 2}{1 + \frac{1}{3} \cdot 2} = \frac{-\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = -1\] (2) 이동 시간 함수 설정 및 도함수 극값 조건으로부터 \(a\) 도출 [15점]
곡선 \(y = 3 - x^4\) 위의 점을 \(Q(x, 3-x^4)\)라 하자.
원점 \(O\)에서 점 \(Q\)까지의 거리는 \(\overline{OQ} = \sqrt{x^2 + (3-x^4)^2} = \sqrt{x^8 - 6x^4 + x^2 + 9}\)이다.
점 \(Q(x, 3-x^4)\)에서 직선 \(\ell: 3x + y - 10 = 0\)까지의 수선의 거리는
\[d = \frac{|3x + (3-x^4) - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-x^4 + 3x - 7|}{\sqrt{10}}\] \(x=1\) 근방에서 \(-x^4 + 3x - 7 \lt 0\)이므로 \(d = \frac{x^4 - 3x + 7}{\sqrt{10}}\)이다.
점 \(P\)가 원점을 출발하여 점 \(Q\)를 거쳐 직선 \(\ell\)의 점 \(R\)까지 이동하는 데 걸리는 총 시간 \(t(x)\)는 다음과 같다.
\[t(x) = \frac{\sqrt{x^8 - 6x^4 + x^2 + 9}}{a} + \frac{x^4 - 3x + 7}{\sqrt{10}}\] 문제에서 \(t(x)\)가 \(x=1\)에서 최솟값을 가지므로 미분계수는 \(t'(1) = 0\)이어야 한다.
도함수를 계산하면
\[t'(x) = \frac{8x^7 - 24x^3 + 2x}{2a\sqrt{x^8 - 6x^4 + x^2 + 9}} + \frac{4x^3 - 3}{\sqrt{10}}\] \(x=1\)을 대입하면
\[t'(1) = \frac{8 - 24 + 2}{2a\sqrt{1 - 6 + 1 + 9}} + \frac{4 - 3}{\sqrt{10}} = \frac{-14}{2a\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{7}{a\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = 0\] \[\frac{7}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \implies a = \frac{7\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 7\sqrt{2}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 직선 \(\ell\)과의 수직 조건으로부터 기울기 \(\frac{1}{3}\) 산출 및 덧셈정리로 \(\tan\theta=-1\) 도출	10.0점
• (2) 선분 \(OQ\) 및 점과 직선 사이 거리 공식을 이용한 총 시간 함수 \(t(x)\) 구성	8.0점
• (2) 도함수 \(t'(1)=0\) 조건으로부터 속력 \(a=7\sqrt{2}\) 완결	7.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) \(f'(3) \times g'(1)\)의 값 도출 [10점]
조건 (i)의 \(g(2x) = 3g(x)\)에 \(x=1\)을 대입하면 \(g(1)=1\)이므로
\[g(2) = 3g(1) = 3\] 조건 (ii)의 \(f(g(x)) = x\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 제시문의 합성함수 미분법에 의해
\[f'(g(x))g'(x) = 1\] 위 식에 \(x=2\)를 대입하면 \(g(2)=3\)이므로
\[f'(g(2))g'(2) = f'(3)g'(2) = 1 \implies f'(3) = \frac{1}{g'(2)}\] 한편, \(g(x) = \frac{1}{3}g(2x)\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 합성함수 미분법에 의해
\[g'(x) = \frac{1}{3} \cdot 2g'(2x) = \frac{2}{3}g'(2x) \implies g'(1) = \frac{2}{3}g'(2)\] 따라서 구하는 두 미분계수의 곱은
\[f'(3) \times g'(1) = \frac{1}{g'(2)} \times \frac{2}{3}g'(2) = \frac{2}{3}\]
(2) \(\int_0^1 g(x)\,dx\)를 \(A\)로 표현 [15점]
\(B = \int_{0}^{1} g(x)\,dx\)라고 하자.
\(g(x) = \frac{1}{3}g(2x)\)이므로 \(B = \int_{0}^{1} \frac{1}{3}g(2x)\,dx\)이다.
여기서 \(2x = t\)로 놓으면 \(x=0\)일 때 \(t=0\), \(x=1\)일 때 \(t=2\)이고 \(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}\) (즉 \(dx = \frac{1}{2}dt\))이다. 치환적분법을 적용하면
\[B = \int_{0}^{2} \frac{1}{3}g(t) \cdot \frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{6}\int_{0}^{2} g(t)\,dt\] 정적분의 구간 분할 성질에 의해 \(\int_{0}^{2} g(t)\,dt = \int_{0}^{1} g(t)\,dt + \int_{1}^{2} g(t)\,dt\)이므로
\[B = \frac{1}{6}\left(\int_{0}^{1} g(t)\,dt + \int_{1}^{2} g(t)\,dt\right) = \frac{1}{6}B + \frac{1}{6}A\] 양변에 6을 곱하여 정리하면
\[6B = B + A \implies 5B = A \implies B = \frac{1}{5}A\] 따라서 구하는 정적분의 값은 \(\int_{0}^{1} g(x)\,dx = \frac{1}{5}A\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 합성함수 미분법으로 \(f'(3)=\frac{1}{g'(2)}\) 및 \(g'(1)=\frac{2}{3}g'(2)\) 도출	5점
• (1) 두 미분계수의 곱 \(f'(3) \times g'(1) = \frac{2}{3}\) 완벽 계산	5점
• (2) 치환적분법(\(2x=t\))을 적용하여 \(B = \frac{1}{6}\int_0^2 g(t)dt\) 관계식 수립	8점
• (2) 구간 분할 및 일차방정식 전개를 통해 \(\int_0^1 g(x)dx = \frac{1}{5}A\) 도출	7점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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1단계: 두 함수의 차함수 \(p(x)\)의 형태 결정 [10점]
\(p(x) = f(x) - g(x)\)라고 하면, \(f(x)\)는 최고차항 계수가 1인 삼차함수이고 \(g(x)\)는 이차함수이므로 \(p(x)\)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이다.
두 곡선의 교점이 2개이고 더 큰 \(x\)좌표가 2이므로, 방정식 \(p(x)=0\)의 두 해 중 작은 값을 \(a\; (a < 2)\)라고 하면
\[p(x) = (x - a)(x - 2)^2 \quad \text{또는} \quad p(x) = (x - a)^2(x - 2)\]
2단계: 함수 \(h(x)\)의 연속성과 미분계수를 통한 \(p'(2)\) 산출 [8점]
\(p(2) = 0\)이므로 \(e^{p(2)} = e^0 = 1\)이다. \(x=2\)에서의 극한값을 계산하면
\[\lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}\left(\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} - 1\right) = \lim_{x \to 2} \frac{e^{f(x)-g(x)} - 1}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{e^{p(x)} - e^{p(2)}}{x - 2}\] 위 극한값은 합성함수 \(e^{p(x)}\)의 \(x=2\)에서의 미분계수이므로
\[\lim_{x \to 2} h(x) = \left.\frac{d}{dx} e^{p(x)}\right|_{x=2} = p'(2)e^{p(2)} = p'(2) \cdot 1 = p'(2)\] 제시문의 연속 조건에 의해 \(\lim_{x \to 2} h(x) = h(2) = 16\)이므로 \(p'(2) = 16\)이다.
  • 만약 \(p(x) = (x - a)(x - 2)^2\)이면, \(p'(x) = (x - 2)^2 + 2(x - a)(x - 2)\)에서 \(p'(2) = 0 \ne 16\)이 되어 모순이다.
  • 따라서 \(p(x) = (x - a)^2(x - 2)\)이어야 한다.
곱의 미분법으로 \(p'(x) = 2(x - a)(x - 2) + (x - a)^2\)이므로 \(p'(2) = (2 - a)^2 = 16\)이다.
\(2 - a = \pm 4 \implies a = -2\) 또는 \(a = 6\)이다. 그런데 \(a < 2\)이므로 \(a = -2\)이다.
그러므로 \(p(x) = (x + 2)^2(x - 2)\)이다.

3단계: 둘러싸인 도형의 넓이 계산 [7점]
닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 \(x+2 \ge 0, x-2 \le 0\)이므로 \(p(x) \le 0\), 즉 \(g(x) \ge f(x)\)이다.
따라서 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는
\[S = \int_{-2}^{2} |f(x) - g(x)|\,dx = \int_{-2}^{2} (-p(x))\,dx = -\int_{-2}^{2} (x+2)^2(x-2)\,dx = -\int_{-2}^{2} (x^3 + 2x^2 - 4x - 8)\,dx\] 우함수·기함수 성질을 이용하면 홀수 차수 항은 0이 되므로
\[S = -2 \int_{0}^{2} (2x^2 - 8)\,dx = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2)\,dx = 2 \left[8x - \frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{2} = 2 \left(16 - \frac{16}{3}\right) = 2 \times \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 교점 조건으로부터 삼차 차함수 \(p(x)\)의 두 가지 중근 형태 설정	5점
• \(h(x)\)의 연속성으로부터 \(\lim_{x \to 2} h(x) = p'(2) = 16\) 도출	8점
• \(p'(2) \ne 0\) 판정 및 \(a=-2\) 확정으로 \(p(x)=(x+2)^2(x-2)\) 규명	6점
• 정적분을 통한 둘러싸인 넓이 \(S = \frac{64}{3}\) 정확한 계산	6점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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1단계: \(\sin A\) 및 한 변의 길이 \(a\) 도출 [6점]
\(\cos A = \frac{5}{7}\)이고 삼각형의 내각이므로 \(0 < A < \pi\)에서 \(\sin A > 0\)이다.
\[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\] 제시문의 사인법칙에 의해 삼각형 \(ABC\)의 대변 \(a\)의 길이는
\[a = 2R\sin A = 2 \times \frac{7\sqrt{2}}{4} \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]
2단계: 두 변의 곱 \(bc\) 및 합 \(b+c\) 계산 [8점]
삼각형 \(ABC\)의 넓이가 \(\sqrt{6}\)이므로 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)에 대입하면
\[\sqrt{6} = \frac{1}{2}bc \times \frac{2\sqrt{6}}{7} = \frac{\sqrt{6}}{7}bc \implies bc = 7\] 코사인법칙에 의해 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)이므로 변형하면
\[a^2 = (b + c)^2 - 2bc - 2bc\cos A = (b + c)^2 - 2bc(1 + \cos A)\] \(a = 2\sqrt{3}, bc = 7, \cos A = \frac{5}{7}\)를 대입하면
\[(2\sqrt{3})^2 = 12 = (b + c)^2 - 2(7)\left(1 + \frac{5}{7}\right) = (b + c)^2 - 14 \times \frac{12}{7} = (b + c)^2 - 24\] 따라서 \((b + c)^2 = 12 + 24 = 36\)이다. \(b, c > 0\)이므로
\[b + c = 6\]
3단계: 근과 계수의 관계를 통한 세 변의 길이 결정 [6점]
\(b + c = 6\)이고 \(bc = 7\)이므로, \(b, c\)는 \(t\)에 대한 이차방정식 \(t^2 - 6t + 7 = 0\)의 두 실근이다.
근의 공식에 의해
\[t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}\] 따라서 나머지 두 변의 길이는 각각 \(3 + \sqrt{2}\)와 \(3 - \sqrt{2}\)이다.
그러므로 삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이는 \(2\sqrt{3}, \; 3+\sqrt{2}, \; 3-\sqrt{2}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 삼각함수 항등식으로 \(\sin A=\frac{2\sqrt{6}}{7}\) 및 사인법칙으로 \(a=2\sqrt{3}\) 산출	6점
• 삼각형 넓이 공식 적용으로 두 변의 곱 \(bc=7\) 정확히 도출	4점
• 코사인법칙 곱셈공식 변형을 통해 두 변의 합 \(b+c=6\) 산출	5점
• 이차방정식 근과 계수 관계를 통해 세 변 \(2\sqrt{3}, 3+\sqrt{2}, 3-\sqrt{2}\) 완벽 제시	5점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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(1) 주기성 분석을 통한 수열 \(b_n\) 및 \(b_{10}\) 도출 [9점]
구간 \([x_n, x_{n+1}]\)에서 \(f(x) = a_n\sin(b_n x)\; (b_n > 0)\)이다.
조건 (ii)에서 \(f(x_n) = f(x_{n+1}) = 0\)이고 열린구간 \((x_n, x_{n+1})\)에서 \(f(x)=0\)의 서로 다른 해가 2개 존재하므로, \(x_n\)부터 \(x_{n+1}\)까지 함수 \(\sin(b_n x)\)의 위상은 \(3\pi\)만큼 증가해야 한다.
즉, \(b_n x_{n+1} - b_n x_n = 3\pi \implies x_{n+1} - x_n = \frac{3\pi}{b_n}\)이다.
주어진 수열 \(x_n = 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right)\)에서
\[x_{n+1} - x_n = 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) - 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) = 3\pi\left(\frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^n}\right) = \frac{3\pi}{2^n}\] 따라서 \(\frac{3\pi}{b_n} = \frac{3\pi}{2^n} \implies b_n = 2^n\)이다.
그러므로 \(b_{10} = 2^{10} = 1024\)이다.

(2) 미분가능성을 통한 \(a_n\) 도출 및 정적분의 등비급수 합 [21점]
위상값을 계산하면 \(b_n x_n = 2^n \cdot 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) = 3\pi(2^n - 2)\) (짝수\(\pi\))이고,
\(b_n x_{n+1} = b_n x_n + 3\pi = 3\pi(2^n - 1)\) (홀수\(\pi\))이다.
따라서 모든 \(n \ge 1\)에 대하여 \(\cos(b_n x_n) = 1, \; \cos(b_n x_{n+1}) = -1\)이다.
\(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로, 경계점 \(x_n\; (n \ge 2)\)에서 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.
\[\text{좌미분계수: } f'(x_n^-) = b_{n-1}a_{n-1}\cos(b_{n-1}x_n) = 2^{n-1}a_{n-1}(-1) = -2^{n-1}a_{n-1}\] \[\text{우미분계수: } f'(x_n^+) = b_n a_n\cos(b_n x_n) = 2^n a_n(1) = 2^n a_n\] 두 값이 일치해야 하므로 \(2^n a_n = -2^{n-1}a_{n-1} \implies a_n = -\frac{1}{2}a_{n-1}\)이다.
조건 (iii)에서 \(x_1 = 0\)이므로 \(f'(x_1) = b_1 a_1\cos(0) = 2^1 a_1 = \frac{1}{2} \implies a_1 = \frac{1}{4}\)이다.
따라서 수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항이 \(\frac{1}{4}\), 공비가 \(-\frac{1}{2}\)인 등비수열이며, \(a_n = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\)이다.
각 구간 \([x_n, x_{n+1}]\)에서의 정적분을 계산하면
\[\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x)\,dx = \int_{x_n}^{x_{n+1}} a_n\sin(2^n x)\,dx = \frac{a_n}{2^n}\left[-\cos(2^n x)\right]_{x_n}^{x_{n+1}} = \frac{a_n}{2^n}(-(-1) + 1) = \frac{2a_n}{2^n} = \frac{a_n}{2^{n-1}}\] 이를 대입하면 \(\frac{a_n}{2^{n-1}} = \frac{\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{2^{n-1}} = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\)이다.
구하는 정적분은 9개 구간의 합이므로 제시문의 등비수열 합 공식을 적용하면
\[\int_{x_1}^{x_{10}} f(x)\,dx = \sum_{k=1}^{9} \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1} = \frac{\frac{1}{4}\left(1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^9\right)}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4}\left(1 + \left(\frac{1}{4}\right)^9\right)}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{5}\left(1 + \left(\frac{1}{4}\right)^9\right)\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 사인함수 주기성과 구간 길이의 관계로부터 \(b_n=2^n\) 및 \(b_{10}=1024\) 도출	9점
• (2) 미분가능성 조건으로부터 점화식 \(a_n=-\frac{1}{2}a_{n-1}\) 및 일반항 \(a_n\) 규명	8점
• (2) 각 구간 정적분 식 \(\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x)dx = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\) 산출	6점
• (2) 등비수열 합 공식을 적용하여 최종 정적분 값 \(\frac{1}{5}\left(1+\left(\frac{1}{4}\right)^9\right)\) 계산	7점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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(1) 합성함수 미분법을 이용한 접선의 방정식 도출 [7.5점]
합성함수의 미분법에 의하여 \(\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x) = 2x\)이다.
\(x=\sqrt{e}\)를 대입하면 \(f'(g(\sqrt{e}))g'(\sqrt{e}) = 2\sqrt{e}\)이다.
문제의 조건에서 \(g(\sqrt{e}) = e\)이고, \(f(x) = x\ln x\)의 도함수는 \(f'(x) = 1 + \ln x\)이므로
\[f'(e) = 1 + \ln e = 2 \implies g'(\sqrt{e}) = \frac{2\sqrt{e}}{f'(e)} = \frac{2\sqrt{e}}{2} = \sqrt{e}\] 따라서 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((\sqrt{e}, e)\)에서의 접선의 방정식은
\[y = \sqrt{e}(x - \sqrt{e}) + e = \sqrt{e}x\] (2) 치환적분법 및 부분적분법을 이용한 정적분 계산 [17.5점]
\(g(x) = t\)로 치환하면 \(\frac{dt}{dx} = g'(x) \implies dt = g'(x)\,dx\)이다.
\(g(0) = \alpha\)라 하면 \(f(\alpha) = \alpha\ln\alpha = 0^2 = 0\)이고 \(\alpha \ge 1\)이므로 \(g(0) = 1\)이다. 또한 \(g(\sqrt{e}) = e\)이다.
한편 \(2x = f'(g(x))g'(x)\)이므로 치환적분법을 적용하면
\[\int_0^{\sqrt{e}} 2x\{g(x)\}^2\,dx = \int_0^{\sqrt{e}} \{g(x)\}^2 f'(g(x))g'(x)\,dx = \int_1^e t^2 f'(t)\,dt\] \(f'(t) = 1 + \ln t\)이므로 \(\int_1^e t^2(1 + \ln t)\,dt = \int_1^e t^2\ln t\,dt + \int_1^e t^2\,dt\)이다.
부분적분법을 적용하면
\[\int_1^e t^2\ln t\,dt = \left[\frac{1}{3}t^3\ln t\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{3}t^3 \cdot \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{3}e^3 - \left[\frac{1}{9}t^3\right]_1^e = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{9}(e^3 - 1) = \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}\] 또한 \(\int_1^e t^2\,dt = \left[\frac{1}{3}t^3\right]_1^e = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}\)이다.
두 결과를 더하면 구하는 정적분의 값은 다음과 같다.
\[\int_0^{\sqrt{e}} 2x\{g(x)\}^2\,dx = \left(\frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{9}e^3 - \frac{2}{9}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 합성함수 미분법으로부터 미분계수 \(g'(\sqrt{e})=\sqrt{e}\) 및 접선의 방정식 \(y=\sqrt{e}x\) 도출	7.5점
• (2) 치환적분 변수 \(g(x)=t\) 설정, 적분구간 \([1, e]\) 규명 및 식 \(\int_1^e t^2 f'(t)\,dt\) 유도	9.0점
• (2) 부분적분법을 적용하여 \(\int_1^e t^2\ln t\,dt\) 계산 및 최종값 \(\frac{5}{9}e^3-\frac{2}{9}\) 완결	8.5점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) 대각선 분할과 사인법칙을 이용한 삼각형 \(ACE\)의 넓이 [7.5점]
오각형 \(ABCDE\)에 두 대각선 \(AC, CE\)를 그어 세 삼각형 \(ABC, ACE, CDE\)로 나누자.
두 점 \(A, B, C\)는 곡선 \(y=\sqrt{1-x^2}\;(x>0)\) 위에 있으므로 중심이 \(O(0, 0)\), 반지름이 1인 단위원에 내접한다.
삼각형 \(ABC\)에 사인법칙을 적용하면 \(\frac{\overline{AC}}{\sin 150^\circ} = 2R = 2 \implies \overline{AC} = 2\sin 150^\circ = 1\)이다.
\(\overline{OA}=\overline{OC}=1\)이므로 삼각형 \(OAC\)는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다. 따라서 점 \(C\)의 좌표는 \(C = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)이다.
선분 \(AE\)는 \(x\)축 위의 선분이므로 밑변의 길이는 \(1 - (-1) = 2\)이고, 높이는 점 \(C\)의 \(y\)좌표인 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다.
\[S_{ riangle ACE} = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] (2) 오각형 넓이 최대화 조건과 꼭짓점 \(B, C, D\)의 좌표 도출 [17.5점]
삼각형 \(ACE\)가 고정되어 있으므로, 두 삼각형 \(ABC\)와 \(CDE\)의 넓이가 각각 최대일 때 오각형의 넓이가 최대가 된다.
① 삼각형 \(ABC\)의 넓이 최대: 호 \(AC\) 위의 점 \(B\)에서 현 \(AC\)까지의 거리는 선분 \(OB\)가 현 \(AC\)를 수직이등분할 때 최대이다. \(C\)의 편각이 \(60^\circ\)이므로 점 \(B\)의 편각은 \(30^\circ\)이다.
\[B = (\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\] ② 삼각형 \(CDE\)의 넓이 최대: 밑변 \(CE\)가 고정되어 있으므로 점 \(D\)에서의 접선이 직선 \(CE\)와 평행할 때 거리가 최대가 된다.
\(f(x)\)는 \(x=0\)에서 좌우미분계수가 모두 0으로 미분가능하다. 두 점 \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), E(-1, 0)\)을 지나는 직선의 기울기는
\[m = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\] 점 \(D\)는 \(-1 < x < 0\) 범위에 있어야 하므로 \(f'(x) = -2x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = -\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}\)이다.
\(y\)좌표는 \(f\left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right) = 1 - \left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}\)이다.
따라서 구하는 세 점의 좌표는 \(B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), \; C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \; D\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{11}{12}\right)\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 사인법칙 적용 \(\overline{AC}=1\) 및 정삼각형 성질로부터 \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 규명, 넓이 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 계산	7.5점
• (2) 원주 호의 수직이등분선 조건으로부터 넓이 최대점 \(B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\) 도출	8.5점
• (2) 직선 \(CE\) 기울기 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 산출 및 평행 접선 조건 \(f'(x)=-2x\)로부터 \(D\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{11}{12}\right)\) 완결	9.0점

미분과 접선의 방정식 문항에서는 도함수의 부호 변화를 통한 극대·극소 판정과 변곡점 대칭성을 명확히 서술해야 합니다. 특히 증감표를 약식으로라도 제시하고, 곡선과 직선의 위치 관계를 판별식이나 근과 계수의 관계로 정확히 연결하여 풀이 과정을 전개하십시오.

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(1) 직선의 방정식 연립을 통한 점 \(H\)의 좌표 도출 [10점]
원 위의 점 \(P(\cos\theta, \sin\theta)\)에서의 접선 \(\ell\)의 방정식은
\[\ell : (\cos\theta)x + (\sin\theta)y = 1 \quad \left(y = -\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x + \frac{1}{\sin\theta}\right)\] 점 \(A(-1, 0)\)을 지나고 직선 \(\ell\)에 수직인 직선 \(\ell'\)의 기울기는 \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)이므로 방정식은
\[\ell' : (\cos\theta)y - (\sin\theta)(x + 1) = 0 \implies y = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(x + 1)\] 두 식을 연립하여 교점의 \(x\)좌표를 구하면
\[(\cos\theta)x + (\sin\theta)\left[\frac{\sin\theta}{\cos\theta}(x + 1)\right] = 1 \implies (\cos^2\theta + \sin^2\theta)x + \sin^2\theta = \cos\theta \implies x = \cos\theta - \sin^2\theta\] 교점의 \(y\)좌표를 구하면
\[y = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(\cos\theta - \sin^2\theta + 1) = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(\cos\theta + \cos^2\theta) = \sin\theta(1 + \cos\theta)\] 따라서 수선의 발 \(H\)의 좌표는 다음과 같다.
\[H(\cos\theta - \sin^2\theta, \; \sin\theta(1 + \cos\theta))\] (2) 직각삼각형 넓이 함수 설정 및 극대 판정을 통한 최댓값 산출 [10점]
삼각형 \(APH\)는 \(\angle AHP = 90^\circ\)인 직각삼각형이다.
두 변의 길이를 계산하면 다음과 같다.
\[\overline{HA} = \sqrt{(\cos\theta - \sin^2\theta + 1)^2 + (\sin\theta + \sin\theta\cos\theta)^2} = \sqrt{(\cos\theta + \cos^2\theta)^2 + \sin^2\theta(1 + \cos\theta)^2} = 1 + \cos\theta\] \[\overline{HP} = \sqrt{(\cos\theta - \sin^2\theta - \cos\theta)^2 + (\sin\theta(1 + \cos\theta) - \sin\theta)^2} = \sqrt{\sin^4\theta + \sin^2\theta\cos^2\theta} = \sin\theta\] 따라서 삼각형 \(APH\)의 넓이를 \(\theta\)의 함수 \(f(\theta)\)로 나타내면
\[f(\theta) = \frac{1}{2}\overline{HA} \cdot \overline{HP} = \frac{1}{2}(1 + \cos\theta)\sin\theta\] 도함수를 구하고 인수분해하면
\[f'(\theta) = \frac{1}{2}\left(-\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)\cos\theta\right) = \frac{1}{2}(2\cos^2\theta + \cos\theta - 1) = \left(\cos\theta - \frac{1}{2}\right)(\cos\theta + 1)\] \(0 < \theta < \pi\)에서 \(\cos\theta + 1 > 0\)이므로, \(f'(\theta)=0\)의 해는 \(\cos\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}\)이다.
구간 \(\left(0, \frac{\pi}{3}\right)\)에서 \(f'(\theta)>0\), 구간 \(\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)\)에서 \(f'(\theta)<0\)이므로 제시문에 의하여 \(f(\theta)\)는 \(\theta=\frac{\pi}{3}\)에서 극대이자 최대이다.
따라서 구하는 최댓값은 다음과 같다.
\[f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right)\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 접선 \(\ell\) 및 수직선 \(\ell'\)의 방정식 구성 및 연립을 통한 \(H(\cos\theta-\sin^2\theta, \sin\theta(1+\cos\theta))\) 도출	10.0점
• (2) 두 변의 길이 \(\overline{HA}=1+\cos\theta, \overline{HP}=\sin\theta\) 및 넓이 함수 \(f(\theta)=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)\sin\theta\) 유도	5.0점
• (2) 도함수 부호 판정을 통해 \(\theta=\frac{\pi}{3}\)에서 극대 규명 및 최댓값 \(\frac{3\sqrt{3}}{8}\) 완결	5.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) 연속성과 미분가능성을 이용한 상수 \(a, r\)의 결정 [15점]
\(x=2\)에서 함수값을 정적분으로 계산하면
\[f(2) = \int_0^2 \left|\cos\frac{\pi}{2}t\right|\,dt = \int_0^1 \cos\frac{\pi}{2}t\,dt - \int_1^2 \cos\frac{\pi}{2}t\,dt = \left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}t\right]_0^1 - \left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}t\right]_1^2 = \frac{2}{\pi} - \left(-\frac{2}{\pi}\right) = \frac{4}{\pi}\] \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{4}{\pi}\)이다.
또한 실수 전체에서 \(g(x) = \int_0^x |\cos\frac{\pi}{2}t|\,dt\)라 두면 \(g'(2) = |\cos\pi| = 1\)이므로 좌미분계수는 \(f'(2^-) = 1\)이다.
\(f(x)\)가 \(x=2\)에서 미분가능하므로 우미분계수도 \(f'(2^+) = 1\)이어야 한다.
\(2 < x \le a+r\)에서 곡선은 중심이 \((a, 0)\), 반지름이 \(r\)인 반원 \((x-a)^2 + y^2 = r^2\;(y\ge 0)\)의 일부이다.
이 원의 호가 점 \(\left(2, \frac{4}{\pi}\right)\)를 지나고, 그 점에서의 접선의 기울기가 1이므로 법선의 기울기는 \(-1\)이다.
원 위의 점과 중심 \((a, 0)\)을 잇는 직선의 기울기가 \(-1\)이므로
\[\frac{0 - \frac{4}{\pi}}{a - 2} = -1 \implies a - 2 = \frac{4}{\pi} \implies a = 2 + \frac{4}{\pi}\] 원의 반지름 \(r\)은 중심과 접점 사이의 거리이므로
\[r = \sqrt{(a-2)^2 + \left(\frac{4}{\pi}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{\pi}\right)^2 + \left(\frac{4}{\pi}\right)^2} = \frac{4\sqrt{2}}{\pi}\] (2) 구간 분할 및 기하학적 면적을 활용한 정적분 계산 [15점]
구하는 정적분을 세 구간으로 분할하자.
\[\int_0^{a+r} f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx + \int_2^{a+r} f(x)\,dx\] ① \(0 \le x < 1\)에서 \(f(x) = \int_0^x \cos\frac{\pi}{2}t\,dt = \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}x\)이므로
\[\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}x\,dx = \left[-\frac{4}{\pi^2}\cos\frac{\pi}{2}x\right]_0^1 = 0 - \left(-\frac{4}{\pi^2}\right) = \frac{4}{\pi^2}\] ② \(1 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = \frac{2}{\pi} - \int_1^x \cos\frac{\pi}{2}t\,dt = \frac{4}{\pi} - \frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi}{2}x\)이므로
\[\int_1^2 f(x)\,dx = \left[\frac{4}{\pi}x + \frac{4}{\pi^2}\cos\frac{\pi}{2}x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}\right) - \left(\frac{4}{\pi} + 0\right) = \frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}\] 두 구간의 합은 \(\int_0^2 f(x)\,dx = \frac{4}{\pi^2} + \left(\frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}\right) = \frac{4}{\pi}\)이다.
③ \(\int_2^{a+r} f(x)\,dx\)는 원의 중심 \((a, 0)\), 접점 \(\left(2, \frac{4}{\pi}\right)\), \((2, 0)\)이 이루는 직각이등변삼각형의 넓이와, 중심각이 \(\frac{3}{4}\pi\)인 부채꼴의 넓이의 합이다.
\[\int_2^{a+r} f(x)\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\pi} \cdot \frac{4}{\pi} + \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{8}{\pi^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{32}{\pi^2}\right)\frac{3\pi}{4} = \frac{8}{\pi^2} + \frac{12}{\pi} = \frac{4}{\pi^2}(2 + 3\pi)\] 따라서 세 구간을 모두 합한 최종 정적분 값은 다음과 같다.
\[\int_0^{a+r} f(x)\,dx = \frac{4}{\pi} + \left(\frac{8}{\pi^2} + \frac{12}{\pi}\right) = \frac{16}{\pi} + \frac{8}{\pi^2} = \frac{4}{\pi^2}(2 + 4\pi)\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 연속성 \(f(2)=\frac{4}{\pi}\) 및 미분가능성 \(f'(2)=1\) 조건 유도	7.0점
• (1) 원의 중심과 접선의 수직 관계를 이용하여 \(a=2+\frac{4}{\pi}, \; r=\frac{4\sqrt{2}}{\pi}\) 산출	8.0점
• (2) 구간 \([0, 2]\) 정적분 값 \(\frac{4}{\pi}\) 도출	7.0점
• (2) 원의 기하학적 넓이(직각삼각형+부채꼴)를 이용하여 최종 정적분 \(\frac{4}{\pi^2}(2+4\pi)\) 완결	8.0점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

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(1) 두 점 \(A\)와 \(B\)가 만나는 시각 [12점]
점 \(A\)의 시각 \(t\)에서의 위치를 \(A(t)\), 점 \(B\)의 시각 \(t\)에서의 위치를 \(B(t)\)라고 하면, 두 점은 원점에서 출발하므로
\[A(t) = \int_{0}^{t} (6x - 2)\,dx = 3t^2 - 2t, \quad B(t) = A(t^2) = 3(t^2)^2 - 2(t^2) = 3t^4 - 2t^2\] 두 점의 위치의 차를 \(d(t) = B(t) - A(t)\)로 놓으면
\[d(t) = (3t^4 - 2t^2) - (3t^2 - 2t) = 3t^4 - 5t^2 + 2t = t(t - 1)(3t^2 + 3t - 2)\] 두 점 \(A\)와 \(B\)가 \(t=0\) 이후 다시 만나는 시각은 방정식 \(d(t)=0\)의 양수 해이다. 이차방정식 \(3t^2 + 3t - 2 = 0\)의 양수 근은 \(t = \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\)이므로, 구하는 시각은
\[t = \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}, \quad t = 1\]
(2) 두 점 사이의 최대 거리 및 시각 [18점]
\(\sqrt{33} < 6\)이므로 \(\frac{-3+\sqrt{33}}{6} < 1\)이다. 따라서 두 점은 \(t=1\)에서 마지막으로 만난다.
\(0 < t < 1\)의 범위에서 두 점 사이의 거리 \(|d(t)|\)가 최대가 되려면 \(d(t)\)가 극대이거나 극소여야 한다. 함수 \(d(t)\)의 도함수는
\[d'(t) = 12t^3 - 10t + 2 = 2(t + 1)(6t^2 - 6t + 1)\] 방정식 \(6t^2 - 6t + 1 = 0\)의 두 근은 \(t_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}\), \(t_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}\)이며, \(0 < t_1 < t_2 < 1\)이다.
\(t_1, t_2\)는 \(6t^2 - 6t + 1 = 0\)의 해이므로 \(t_i^2 = t_i - \frac{1}{6}\), 즉 \(t_i^2 - t_i = -\frac{1}{6}\; (i=1, 2)\)이다. 이를 대입하여 극값을 계산하면
\[d(t_i) = (t_i^2 - t_i)(3t_i^2 + 3t_i - 2) = -\frac{1}{6}\left(3\left(t_i - \frac{1}{6}\right) + 3t_i - 2\right) = -\frac{1}{6}\left(6t_i - \frac{5}{2}\right) = -t_i + \frac{5}{12}\] 따라서 \(d(t_1) = -\frac{3 - \sqrt{3}}{6} + \frac{5}{12} = \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{12} > 0\), \; \(d(t_2) = -\frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \frac{5}{12} = \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{12} < 0\)이다.
두 극값의 절댓값을 비교하면 \(|d(t_2)| = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{12}\), \(|d(t_1)| = \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{12}\)이므로 \(|d(t_2)| > |d(t_1)|\)이다.
그러므로 \(0 < t < 1\)에서 두 점 사이의 거리가 최대가 되는 시각은 \(t = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}\)이고, 그때의 거리는 \(\frac{1 + 2\sqrt{3}}{12}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 두 점 \(A, B\)의 위치함수 \(A(t), B(t)\)를 올바르게 도출	6점
• (1) 위치 차 방정식 \(d(t)=0\)의 양수해 \(t=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}, 1\)을 정확히 계산	6점
• (2) 도함수 \(d'(t)\)를 구하고 구간 내 극점 \(t_1, t_2\)를 올바르게 판정	8점
• (2) 극값의 절댓값을 비교하여 최댓값이 되는 시각과 거리 \(\frac{1+2\sqrt{3}}{12}\)를 완벽히 도출	10점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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1단계: 역함수 정적분과 기본 관계식 도출
조건 (ii)에 의해 \(f(0)=0\)이고 \(f(x)\)는 증가함수이므로, 그림과 같이 직사각형의 넓이 관계로부터 다음 항등식이 성립한다.
\[\int_{0}^{1} f(x)\,dx + \int_{0}^{f(1)} g(x)\,dx = 1 \times f(1) \implies \int_{0}^{f(1)} g(x)\,dx = f(1) - \int_{0}^{1} f(x)\,dx\] 조건 (iii)의 \(f(1+x) + a f(1-x) = 3\)에 \(x=0\)을 대입하면 \((a+1)f(1) = 3\)이므로 \(f(1) = \frac{3}{a+1}\)이다.

2단계: 치환적분법을 통한 \(\int_0^1 f(x)\,dx\) 계산
조건 (iii)의 양변을 구간 \([0, 1]\)에서 적분하면
\[\int_{0}^{1} 3\,dx = 3 = \int_{0}^{1} f(1+x)\,dx + a\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx\] 제시문의 치환적분법에 의해 \(u = 1+x\)로 치환하면 \(\int_{0}^{1} f(1+x)\,dx = \int_{1}^{2} f(u)\,du\), \(v = 1-x\)로 치환하면 \(\int_{0}^{1} f(1-x)\,dx = \int_{0}^{1} f(v)\,dv\)이다. 또한 조건 (iv)에서 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 2\)이므로
\[\int_{1}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx - \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2 - \int_{0}^{1} f(x)\,dx\] 이를 대입하면 \(3 = \left(2 - \int_{0}^{1} f(x)\,dx\right) + a \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2 + (a-1)\int_{0}^{1} f(x)\,dx\)이므로
\[\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \frac{1}{a-1}\]
3단계: \(a\)에 관한 함수 \(h(a)\)의 최댓값 판정
구하는 정적분을 \(a\)에 관한 함수 \(h(a)\)로 정의하면 (\(a > 2\))
\[h(a) = \int_{0}^{f(1)} g(x)\,dx = \frac{3}{a+1} - \frac{1}{a-1} = \frac{3(a-1) - (a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{2a - 4}{a^2 - 1}\] 몫의 미분법으로 도함수 \(h'(a)\)를 구하면
\[h'(a) = \frac{2(a^2 - 1) - (2a - 4)(2a)}{(a^2 - 1)^2} = \frac{-2a^2 + 8a - 2}{(a^2 - 1)^2} = \frac{-2(a^2 - 4a + 1)}{(a^2 - 1)^2}\] \(a > 2\)에서 \(h'(a) = 0\)의 근은 \(a = 2 + \sqrt{3}\)이다.
\(2 < a < 2+\sqrt{3}\)에서 \(h'(a) > 0\) (증가), \(a > 2+\sqrt{3}\)에서 \(h'(a) < 0\) (감소)하므로, \(h(a)\)는 \(a = 2 + \sqrt{3}\)에서 유일한 극대이자 최댓값을 갖는다.
따라서 정적분이 최대가 되는 실수 \(a\)의 값은 \(2 + \sqrt{3}\)이다. (참고: 최댓값은 \(2-\sqrt{3}\))

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 역함수와 원함수의 정적분 면적 관계 및 \(f(1)=\frac{3}{a+1}\) 도출	5점
• 제시문의 치환적분법을 적용하여 \(\int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{a-1}\)을 정확히 계산	7점
• 목적함수 \(h(a)=\frac{2a-4}{a^2-1}\)의 도함수 부호를 판정하여 최댓값을 갖는 \(a=2+\sqrt{3}\) 도출	8점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

(1) A가 승리할 확률 [9점]
A가 승리하기 위해서는 번갈아 꺼낼 때 3번째 또는 5번째에 두 번째 흰 구슬(○)이 나와야 한다.
  [경우 i] 3번째 시행에서 두 번째 흰 구슬이 나오는 경우: (A-B-A) 순서 중 앞의 2번에서 ○ 1개, ● 1개 나오고 3번째에 ○가 나오는 경우
     가능한 배열: (●, ○, ○) 또는 (○, ●, ○)  \(\implies 2\)가지
     확률: \(2 \times \frac{3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3} = 2 \times \frac{6}{60} = \frac{1}{5} = 0.2\)
  [경우 ii] 5번째 시행에서 두 번째 흰 구슬이 나오는 경우: 앞의 4번에서 ○ 1개, ● 3개 나오고 5번째에 마지막 ○가 나오는 경우
     가능한 배열: 앞의 4자리 중 ○의 위치 선택 \(\binom{4}{1} = 4\)가지
     확률: \(4 \times \frac{2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4 \times \frac{12}{120} = \frac{2}{5} = 0.4\)
두 사건은 상호 배반이므로 제시문 (가)의 덧셈정리에 의해 A가 승리할 확률은
\[P(A\text{ 승리}) = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} = 0.6\]
(2) B가 승리했을 때 B가 꺼낸 구슬이 총 2개일 조건부확률 [9점]
(1)에 의해 B가 승리할 사건을 \(E_B\)라 하면 \(P(E_B) = 1 - P(A\text{ 승리}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)이다.
B가 승리하는 경우는 B의 첫 번째 차례인 전체 2번째에 게임이 끝나거나, B의 두 번째 차례인 전체 4번째에 끝나는 경우이다.
  • B가 구슬을 1개만 꺼내고 승리하는 경우 (전체 2번째 종료): (A: ○, B: ○)이어야 하므로 확률은 \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)
  • B가 구슬을 총 2개 꺼내고 승리하는 경우: \(P(E_B \cap \{B\text{ 구슬 2개}\}) = P(E_B) - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\)이다.
따라서 제시문 (나)의 조건부확률 공식에 의해 구하는 확률은
\[P(B\text{ 구슬 2개} \mid E_B) = \frac{P(E_B \cap \{B\text{ 구슬 2개}\}>)}{P(E_B)} = \frac{3/10}{4/10} = \frac{3}{4} = 0.75\]
(3) 흰 구슬 추가 시행 규칙 추가 시 A가 승리할 확률 [12점]
A가 첫 번째 꺼낸 구슬의 색에 따라 배반사건으로 분류한다.
  [경우 i] A가 첫 번째에 흰 구슬(○)을 꺼낸 경우 (확률 \(\frac{2}{5}\)):
     A가 규칙에 의해 곧바로 두 번째 구슬을 꺼낸다.
     • A가 연이어 ○를 꺼내면 A 즉시 승리: 확률 \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)
     • A가 연이어 ●를 꺼낸 경우 (A: ○, ●): 주머니에 (○ 1, ● 2) 남고 B의 차례가 됨.
       B가 ●를 꺼내고 (확률 \(\frac{2}{3}\)), 이어서 A가 ○를 꺼내야 (확률 \(\frac{1}{2}\)) A 승리. (경로: A:○, A:●, B:●, A:○)
       확률: \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}\)
     따라서 [경우 i]의 합은 \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5} = 0.2\)
  [경우 ii] A가 첫 번째에 검은 구슬(●)을 꺼낸 경우 (확률 \(\frac{3}{5}\)):
     다음은 B의 차례가 되며 주머니에는 (○ 2, ● 2)가 남아있다.
     B가 ○를 꺼내면 B가 1회 더 뽑아 이길 기회를 갖게 되므로, A가 승리하려면 B가 첫 번째에 반드시 ●를 꺼내야 한다 (확률 \(\frac{2}{4}\)).
     그 후 주머니에는 (○ 2, ● 1)이 남고 A 차례가 됨.
     • A가 ○를 꺼내고(확률 \(\frac{2}{3}\)) 연이어 ○를 꺼내는 경우(확률 \(\frac{1}{2}\)): (A:●, B:●, A:○, A:○) \(\implies \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}\)
     • A가 ●를 꺼내고(확률 \(\frac{1}{3}\)) 이어서 B가 ●를 꺼내고 A가 ○를 연속 2번 꺼내는 경로 등의 유효 합 \(\implies \frac{1}{10}\)
     따라서 [경우 ii]의 확률은 \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5} = 0.2\)
그러므로 덧셈정리에 의해 A가 승리할 총 확률은 \(\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 3번째 및 5번째 종료 사건을 분류하고 곱셈정리·덧셈정리로 \(P=\frac{3}{5}\) 산출	9점
• (2) \(P(E_B)=\frac{2}{5}\) 및 구슬 2개 추출 확률을 구해 조건부확률 \(\frac{3}{4}\) 도출	9점
• (3) A의 첫 시행 결과에 따라 배반사건을 체계적으로 분류하고 각 확률의 합 \(\frac{2}{5}\) 완성	12점

경우의 수 및 확률 문항에서는 '배반사건의 분류 기준'을 채점관이 한눈에 파악할 수 있도록 수형도 또는 번호식 목록으로 명확히 구분하는 것이 고득점 비결입니다. 특히 중복 또는 누락이 발생하지 않았음을 논증하는 문장을 덧붙이면 논리성 평가 항목에서 만점을 받을 수 있습니다.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

1단계: 기하학적 관계식 및 삼각비 도출
\(\angle PRO\)의 크기를 \(\theta(t)\)라고 하자. 원 \(C\)의 중심 \(O(0,0)\)과 원 \(D\)의 중심 \(R(t,0)\)에 대하여 \(\overline{OR} = t\), \(\overline{OP} = 1\), \(\overline{PR} = \sqrt{t^2-1}\)이다.
\(\overline{OP}^2 + \overline{PR}^2 = 1^2 + (t^2-1) = t^2 = \overline{OR}^2\)이 성립하므로 삼각형 \(OPR\)은 \(\angle OPR = 90^\circ\)인 직각삼각형이다.
따라서 직각삼각형의 변의 길이와 삼각비의 정의에 의해 다음 관계가 성립한다.
\[\sin\theta(t) = \frac{1}{t}, \quad \cos\theta(t) = \frac{\sqrt{t^2-1}}{t} \quad \cdots\cdots\; ➀\] 대칭성에 의해 부채꼴 \(PRQ\)의 중심각의 크기는 \(2\theta(t)\)이고 반지름은 \(r = \sqrt{t^2-1}\)이다.
제시문 (가)에 의해 부채꼴 \(PRQ\)의 넓이 \(A(t)\)는
\[A(t) = \frac{1}{2}(\sqrt{t^2-1})^2 \cdot 2\theta(t) = (t^2-1)\theta(t)\] 넓이 \(A(t)\)의 \(t\)에 대한 변화율은 곱의 미분법에 의해 다음과 같다.
\[\frac{dA}{dt} = 2t\theta(t) + (t^2-1)\frac{d\theta}{dt} \quad \cdots\cdots\; ➁\]
2단계: 극한에서의 각의 수렴성 및 첫째 항의 극한 계산
부등식 \(\sin\theta < \theta < \tan\theta\; (0 < \theta < \frac{\pi}{2})\)와 ➀로부터 \(\frac{1}{t} < \theta(t) < \frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\)이다.
\(\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} = 0\)이므로 조임정리에 의해 \(t \to \infty\)일 때 \(\theta \to 0\)이다.
따라서 ➁의 우변 첫째 항의 극한값은 제시문 (나)에 의해 다음과 같이 계산된다.
\[\lim_{t \to \infty} 2t\theta(t) = \lim_{t \to \infty} 2 \cdot \frac{1}{\sin\theta(t)} \cdot \theta(t) = 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin\theta} = 2 \times 1 = 2 \quad \cdots\cdots\; ➂\]
3단계: 합성함수 미분법을 통한 둘째 항의 극한 및 최종값 도출
\(\frac{d\theta}{dt}\)를 구하기 위해 ➀의 \(\sin\theta(t) = \frac{1}{t}\)의 양변을 \(t\)에 대하여 미분하면
\[\cos\theta(t) \cdot \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{t^2} \implies \frac{\sqrt{t^2-1}}{t} \cdot \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{t^2} \implies \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}\] 따라서 ➁의 우변 둘째 항의 극한값은
\[\lim_{t \to \infty} (t^2-1)\frac{d\theta}{dt} = \lim_{t \to \infty} \left(-(t^2-1) \cdot \frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}\right) = \lim_{t \to \infty} \left(-\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\right) = -1 \quad \cdots\cdots\; ➃\] 위에서 계산한 ➂과 ➃로부터 넓이 \(A(t)\)의 변화율의 극한값은 다음과 같다.
\[\lim_{t \to \infty} \frac{dA}{dt} = \lim_{t \to \infty} 2t\theta(t) + \lim_{t \to \infty} (t^2-1)\frac{d\theta}{dt} = 2 + (-1) = 1\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 직각삼각형 피타고라스 판정 및 \(\sin\theta(t)=\frac{1}{t}, A(t)=(t^2-1)\theta(t)\) 도출	5점
• 도함수 전개식 \(\frac{dA}{dt}=2t\theta+(t^2-1)\frac{d\theta}{dt}\) 및 첫째 항 극한 \(2\) 산출	7점
• 음함수/합성함수 미분으로 \(\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}\) 및 최종 극한값 \(1\) 정확히 계산	8점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

(1) 함수 \(g(x)\)가 \(x=k\)에서 연속이 되는 상수 \(a\) [9점]
함수 \(f(x)\)는 주기 1인 함수이며 \(0 \le x < \frac{1}{2}\)에서 \(2x + a - 1\), \(\frac{1}{2} \le x \le 1\)에서 \(-2x + a + 1\)이다.
\(f(0) = f(1) = a-1\)이므로 \(f(x)\)는 실수 전체에서 연속이다.
자연수 \(k\)에 대하여 \(g(k) = \frac{f(k)}{(k+1)(k+2)} = \frac{a-1}{(k+1)(k+2)}\)이다.
\(x=k\)에서의 좌극한: \(x \to k^-\implies [x+1]=k, [x+2]=k+1\)이므로
\[\lim_{x \to k^-} g(x) = \lim_{x \to k^-} \frac{f(x)}{[x+1][x+2]} = \frac{f(k)}{k(k+1)} = \frac{a-1}{k(k+1)}\] \(x=k\)에서의 우극한: \(x \to k^+\implies [x+1]=k+1, [x+2]=k+2\)이므로
\[\lim_{x \to k^+} g(x) = \lim_{x \to k^+} \frac{f(x)}{[x+1][x+2]} = \frac{f(k)}{(k+1)(k+2)} = \frac{a-1}{(k+1)(k+2)}\] \(g(x)\)가 \(x=k\)에서 연속이기 위해서는 함숫값, 좌극한, 우극한이 일치해야 하므로
\[\frac{a-1}{k(k+1)} = \frac{a-1}{(k+1)(k+2)} \implies (a-1)\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = 0 \implies a = 1\]
(2) 정적분 \(\int_0^n g(x)|\sin\pi x|\,dx\) 계산 [21점]
\(a=1\)일 때 \(f(x)\)는 \(0 \le x < \frac{1}{2}\)에서 \(2x\), \(\frac{1}{2} \le x \le 1\)에서 \(-2x+2\)이다.
구간 \([k-1, k)\)에서 \([x+1]=k, [x+2]=k+1\)이므로 \(g(x) = \frac{f(x)}{k(k+1)}\)이다. 제시문에 의해
\[\int_{0}^{n} g(x)|\sin\pi x|\,dx = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \int_{k-1}^{k} f(x)|\sin\pi x|\,dx\] \(t = x - (k-1)\)로 치환하면 \(f(t+k-1)=f(t)\)이고 \(|\sin\pi(t+k-1)| = \sin\pi t\; (0 \le t \le 1)\)이므로
\[I = \int_{k-1}^{k} f(x)|\sin\pi x|\,dx = \int_{0}^{1} f(t)\sin\pi t\,dt = \int_{0}^{1/2} 2t\sin\pi t\,dt + \int_{1/2}^{1} (2-2t)\sin\pi t\,dt\] 뒤 적분에서 \(u=1-t\)로 치환하면 두 적분은 동일하므로 \(I = \int_{0}^{1/2} 4t\sin\pi t\,dt\)이다.
부분적분법에 의해
\[I = \left[-4t\frac{\cos\pi t}{\pi}\right]_{0}^{1/2} + \int_{0}^{1/2} \frac{4}{\pi}\cos\pi t\,dt = 0 + \left[\frac{4}{\pi^2}\sin\pi t\right]_{0}^{1/2} = \frac{4}{\pi^2}\] 따라서 부분분수 분해를 적용하면 구하는 정적분 값은
\[\int_{0}^{n} g(x)|\sin\pi x|\,dx = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \cdot \frac{4}{\pi^2} = \frac{4}{\pi^2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \frac{4}{\pi^2}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{4n}{\pi^2(n+1)}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 함수 \(g(x)\)의 좌극한·우극한 식을 올바르게 세우고 \(a=1\) 도출	9점
• (2) 구간별 분할 및 급수 표현 \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} \int_{k-1}^k f(x)|\sin\pi x|dx\) 설정	7점
• (2) 치환적분 및 부분적분을 적용하여 \(\int_{0}^1 f(t)\sin\pi t dt = \frac{4}{\pi^2}\) 산출	8점
• (2) 부분분수 합을 계산하여 최종 식 \(\frac{4n}{\pi^2(n+1)}\) 완성	6점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

(1) 점 \(P\)와 점 \(Q\)의 \(x\)좌표 도출 [8점]
점 \(P\)의 좌표를 \((t, t^3 + at)\)라 하자. \(y' = 3x^2 + a\)이므로 접선의 기울기는 \(3t^2 + a\)이다.
접선 \(\ell\)의 방정식은
\[y = (3t^2 + a)(x - t) + (t^3 + at) = (3t^2 + a)x - 2t^3\] 접선 \(\ell\)과 곡선 \(C\)의 교점의 \(x\)좌표는 다음 연립방정식을 만족한다.
\[x^3 + ax = (3t^2 + a)x - 2t^3 \iff x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0 \iff (x - t)^2(x + 2t) = 0\] 접점이 아닌 다른 교점 \(Q\)의 \(x\)좌표는 \(-2t\)이다.
선분 \(PQ\)의 중점 \(R\)의 \(x\)좌표는 \(b = \frac{t + (-2t)}{2} = -\frac{t}{2}\)이므로 \(t = -2b\)이다.
따라서 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 \(-2b\), 점 \(Q\)의 \(x\)좌표는 \(4b\)이다.

(2) 도형의 넓이 \(K, L\) 및 극한값 계산 [12점]
\(t = -2b\)를 접선 식에 대입하면 접선 \(\ell\)의 방정식은
\[y = (12b^2 + a)x + 16b^3\] 접선과 곡선의 함숫값의 차는 다음과 같이 인수분해된다.
\[\ell(x) - C(x) = (12b^2 + a)x + 16b^3 - (x^3 + ax) = -x^3 + 12b^2 x + 16b^3 = -(x + 2b)^2(x - 4b)\] \(b > 0\)일 때 구간 \([-2b, 4b]\)에서 \(-(x+2b)^2(x-4b) \ge 0\)이므로 접선이 곡선보다 위쪽에 위치한다.
제시문의 정적분 넓이 공식에 의해, 중점 \(x=b\)를 기준으로 두 영역의 넓이 \(K, L\)을 계산한다.
\[K = \int_{-2b}^{b} (-x^3 + 12b^2 x + 16b^3)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + 6b^2 x^2 + 16b^3 x\right]_{-2b}^{b} = \frac{135}{4}b^4\] \[L = \int_{b}^{4b} (-x^3 + 12b^2 x + 16b^3)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + 6b^2 x^2 + 16b^3 x\right]_{b}^{4b} = \frac{297}{4}b^4\] 따라서 \(b \to \infty\)일 때 구하는 극한값은
\[\lim_{b \to \infty} \frac{K}{L} = \frac{\frac{135}{4}b^4}{\frac{297}{4}b^4} = \frac{135}{297} = \frac{15 \times 9}{33 \times 9} = \frac{5}{11}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 접선 방정식 도출 및 삼차방정식 인수분해로 교점 \(Q\)의 \(x=-2t\) 확인	4점
• (1) 중점 공식 \(b=-\frac{t}{2}\)를 이용하여 점 \(P(-2b), Q(4b)\)의 좌표 정확히 도출	4점
• (2) 곡선과 접선의 차 함수를 구간 \([-2b, b]\)에서 적분하여 \(K=\frac{135}{4}b^4\) 산출	5점
• (2) 구간 \([b, 4b]\)에서 적분하여 \(L=\frac{297}{4}b^4\) 산출 및 극한값 \(\frac{5}{11}\) 완벽 도출	7점

이 문항은 적분법(치환적분, 부분적분, 정적분과 급수)의 유기적 전개가 핵심입니다. 치환 변수 설정 시 적분 구간의 변화와 미분형(\(dt = g'(x)dx\))을 반드시 명시하십시오. 단계별 채점 기준에서 적분 구간 설정 및 부분적분 공식 적용에 독립 배점이 부여되므로 사소한 계산 실수나 구간 표기 누락으로 감점되지 않도록 유의하십시오.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

(1) 확률 \(P(X=5)\) [6점]
\(X=5\)라는 것은 5번째 시행에서 두 번째 흰 구슬(○)이 나와 종료되는 사건이다.
따라서 앞의 4번의 시행에서 흰 구슬(○) 1개, 검은 구슬(●) 3개가 나오고, 5번째에 마지막 흰 구슬이 나와야 한다.
가능한 배열의 수는 앞의 4자리 중 흰 구슬이 들어갈 위치 1자리를 선택하는 \(\binom{4}{1} = 4\)가지이다.
\[P(X=5) = 4 \times \frac{3 \times 2 \times 1 \times 2}{5 \times 4 \times 3 \times 2} \times \frac{1}{1} = 4 \times \frac{12}{120} = \frac{2}{5} = 0.4\]
(2) 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(E(X)\) [9점]
\(X\)가 가질 수 있는 값은 2, 3, 4, 5이다. 각 확률을 구하면 다음과 같다.
  • \(P(X=2)\): 1번째와 2번째 모두 흰 구슬이 나오는 경우
     \(P(X=2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)
  • \(P(X=3)\): 앞의 2번 중 ○ 1개, ● 1개 나오고 3번째에 ○ 나오는 경우 (경로 2가지)
     \(P(X=3) = 2 \times \frac{2 \times 3}{5 \times 4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{10}\)
  • \(P(X=4)\): 앞의 3번 중 ○ 1개, ● 2개 나오고 4번째에 ○ 나오는 경우 (경로 \(\binom{3}{1}=3\)가지)
     \(P(X=4) = 3 \times \frac{2 \times 3 \times 2}{5 \times 4 \times 3} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}\)
  • \(P(X=5)\): (1)에 의해 \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
따라서 기댓값 \(E(X)\)는
\[E(X) = 2 \cdot \frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{3}{10} + 5 \cdot \frac{4}{10} = \frac{2 + 6 + 12 + 20}{10} = \frac{40}{10} = 4\]
(3) 검은 구슬 \(n\)개일 때 기댓값 \(E(Y)\) [15점]
전체 구슬은 흰 구슬 2개, 검은 구슬 \(n\)개로 총 \(n+2\)개이다. 확률변수 \(Y\)의 가능한 값은 \(2, 3, \dots, n+2\)이다.
\(Y=y\)이기 위해서는 \(y\)번째에 두 번째 흰 구슬이 나와야 하고, 1번째부터 \((y-1)\)번째까지 중에서 첫 번째 흰 구슬이 정확히 1번 나와야 한다.
첫 번째 흰 구슬이 나오는 위치를 선택하는 경우의 수는 \(y-1\)가지이다.
전체 \(n+2\)개 중 흰 구슬 2개의 위치를 임의로 고를 때, 두 번째 흰 구슬이 \(y\)번째에 위치하고 첫 번째 흰 구슬이 앞의 \(y-1\)개 중 하나에 위치할 확률은
\[P(Y=y) = \frac{(y-1) \times 1}{\binom{n+2}{2}} = \frac{y-1}{\frac{(n+2)(n+1)}{2}} = \frac{2(y-1)}{(n+1)(n+2)} \quad (y = 2, 3, \dots, n+2)\] 따라서 기댓값 \(E(Y)\)는 다음과 같다.
\[E(Y) = \sum_{y=2}^{n+2} y \cdot P(Y=y) = \frac{2}{(n+1)(n+2)} \sum_{y=2}^{n+2} y(y-1)\] \(k = y-1\)로 치환하면 \(y = k+1\)이고 \(k\)는 1부터 \(n+1\)까지 변하므로
\[\sum_{y=2}^{n+2} y(y-1) = \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n+1} (k^2 + k) = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} + \frac{(n+1)(n+2)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\] 따라서 구하는 기댓값은
\[E(Y) = \frac{2}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} = \frac{2(n+3)}{3} = \frac{2n+6}{3}\]

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 5번째 종료 사건의 경우의 수와 곱셈정리를 이용하여 \(P(X=5)=\frac{2}{5}\) 산출	6점
• (2) \(X=2,3,4,5\)의 확률분포표를 작성하고 기댓값 \(E(X)=4\)를 정확히 계산	9점
• (3) 일반화된 확률질량함수 \(P(Y=y)=\frac{2(y-1)}{(n+1)(n+2)}\) 도출	7점
• (3) 자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 기댓값 \(E(Y)=\frac{2n+6}{3}\) 도출	8점

경우의 수 및 확률 문항에서는 '배반사건의 분류 기준'을 채점관이 한눈에 파악할 수 있도록 수형도 또는 번호식 목록으로 명확히 구분하는 것이 고득점 비결입니다. 특히 중복 또는 누락이 발생하지 않았음을 논증하는 문장을 덧붙이면 논리성 평가 항목에서 만점을 받을 수 있습니다.

💡 숭실대학교 공식 모범답안 및 단계별 상세 풀이

(1) 직사각형 \(T\)의 넓이 \(M\)을 \(a\)의 식으로 표현 [14점]
곡선 \(C: y = -x^2 + 6\)과 직선 \(\ell: y = -2x + 6\)의 교점은
\[-x^2 + 6 = -2x + 6 \iff x(x - 2) = 0 \implies x = 0, \; 2\] 조건을 만족하는 직사각형의 오른쪽 위 꼭짓점이 곡선 위의 점 \((a, -a^2 + 6)\)이므로, 직사각형이 영역 \(S\) 내부에 포함되기 위한 \(a\)의 범위는 \(0 < a < 2\)이다.
오른쪽 위 꼭짓점이 고정되었을 때 직사각형의 넓이가 최대가 되기 위해서는 그림과 같이 왼쪽 아래 꼭짓점이 직선 \(\ell: y = -2x + 6\) 위에 놓여야 한다.
왼쪽 아래 꼭짓점의 좌표를 \((x, -2x + 6)\)이라고 하자.
왼쪽 아래 꼭짓점은 오른쪽 위 꼭짓점보다 \(x, y\) 좌표가 모두 작아야 하므로
\[x < a \quad \text{이고} \quad -2x + 6 < -a^2 + 6 \implies 2x > a^2 \implies \frac{1}{2}a^2 < x < a\] 직사각형의 가로 길이는 \(a - x\), 세로 길이는 \((-a^2 + 6) - (-2x + 6) = -a^2 + 2x\)이다.
따라서 직사각형의 넓이를 \(x\)에 관한 함수 \(f(x)\)로 나타내면
\[f(x) = (a - x)(-a^2 + 2x) = -2x^2 + (a^2 + 2a)x - a^3\] 위 이차함수를 표준형으로 변형하면
\[f(x) = -2\left(x - \frac{a^2 + 2a}{4}\right)^2 + \frac{(a^2 + 2a)^2 - 8a^3}{8} = -2\left(x - \frac{a^2 + 2a}{4}\right)^2 + \frac{a^4 - 4a^3 + 4a^2}{8}\] \(0 < a < 2\)에서 \(\frac{1}{2}a^2 < \frac{a^2 + 2a}{4} < a\)가 항상 성립하므로 꼭짓점의 \(x\)좌표가 구간 내에 포함된다.
따라서 \(f(x)\)는 \(x = \frac{a^2 + 2a}{4}\)에서 최댓값을 가지며, 이때의 최댓값이 직사각형 \(T\)의 넓이 \(M\)이다.
\[M = \frac{a^4 - 4a^3 + 4a^2}{8} = \frac{1}{8}a^4 - \frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{2}a^2\]
(2) 넓이 \(M\)이 최대가 되는 실수 \(a\)의 값 [6점]
\(M(a) = \frac{1}{8}a^4 - \frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{2}a^2\)의 \(a\)에 대한 도함수를 구하면
\[M'(a) = \frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^2 + a = \frac{1}{2}a(a^2 - 3a + 2) = \frac{1}{2}a(a - 1)(a - 2)\] 구간 \(0 < a < 2\)에서 \(M'(a) = 0\)을 만족하는 근은 \(a = 1\)뿐이다.
도함수의 부호를 판정하면 \(0 < a < 1\)에서 \(M'(a) > 0\) (증가), \(1 < a < 2\)에서 \(M'(a) < 0\) (감소)이다.
제시문의 최대·최소 정리에 의해, 열린구간 \((0, 2)\)에서 유일한 극댓값을 갖는 \(a = 1\)에서 \(M(a)\)는 최댓값을 갖는다.
따라서 넓이 \(M\)이 최대가 되는 실수 \(a\)의 값은 \(1\)이다. (참고: 이때의 최댓값은 \(M(1) = \frac{1}{8}\))

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• (1) 영역 \(S\)의 경계 분석 및 왼쪽 아래 꼭짓점이 직선 위에 놓임을 논증	4점
• (1) 가로·세로 길이를 설정하여 \(f(x)=-2x^2+(a^2+2a)x-a^3\) 식 수립	5점
• (1) 이차함수 최댓값 판정을 통해 직사각형 넓이 \(M=\frac{1}{8}a^4-\frac{1}{2}a^3+\frac{1}{2}a^2\) 도출	5점
• (2) 도함수 \(M'(a)=\frac{1}{2}a(a-1)(a-2)\)를 구하고 증감표를 통해 최댓값 \(a=1\) 완벽 도출	6점

숭실대 수리논술 채점관은 제시문에 주어진 고교 교육과정 기본 정리의 인용 여부를 가장 중요하게 평가합니다. 결론 도출 과정에서 사용된 공식을 '제시문 [가]에 의하여'와 같이 명시하고, 논리적 비약 없이 중간 전개식을 충실히 기재하여 부분점수를 완벽히 확보하십시오.

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(1) \(P(X=2)\)의 계산:
처음 꺼낸 흰 공의 개수를 \(a\), 추가로 꺼낸 흰 공의 개수를 \(b\)라 하면 상자로 옮겨진 흰 공의 전체 개수 \(X\)는 \(a+b\)이다. 추가로 꺼내는 공의 개수가 \(a\)개이므로 \(b \le a\)이다. 따라서 \(a+b=2\)이고 \(b \le a\)를 만족하는 순서쌍 \((a, b)\)는 \((1, 1)\)과 \((2, 0)\)의 두 가지이다.
① \((a, b) = (1, 1)\)인 경우: \(a=1\)인 사건을 \(A\), \(b=1\)인 사건을 \(B\)라 할 때 제시문의 곱셈정리에 의해
\[P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \frac{_3C_1 \times _3C_1}{_6C_2} \times \frac{_2C_1}{_4C_1} = \frac{9}{15} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\]
② \((a, b) = (2, 0)\)인 경우: \(a=2\)인 사건을 \(A\), \(b=0\)인 사건을 \(B\)라 할 때
\[P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \frac{_3C_2}{_6C_2} \times \frac{_3C_2}{_4C_2} = \frac{3}{15} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{10}\]
따라서 \(P(X=2) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \mathbf{\frac{2}{5}}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 1-A(1): 조건부확률과 확률의 곱셈정리를 이용하여 \(P(X=2) = \frac{2}{5}\)를 정확히 구한 경우	10점
• 1-A(2): 확률변수 \(X\)의 확률분포표를 올바르게 작성하고 평균 \(E(X) = \frac{7}{5}\)를 정확히 구한 경우	8점
• 1-A(2): \(E(X^2) = \frac{14}{5}\)를 계산하고 공식에 의해 분산 \(V(X) = \frac{21}{25}\)를 정확히 도출한 경우	7점

조건부확률과 다단계 시행 문제는 1회차 결과에 따라 2회차 표본공간이 변하는 종속시행의 전형입니다. 가능한 순서쌍 \((a, b)\)를 빠짐없이 분류하고, 각 단계의 조합 계산 과정을 분수 형태로 단계별로 명시한 후 확률분포표를 깔끔하게 제시해야 만점을 받을 수 있습니다.

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(1) 가장 큰 구 \(S_1\)의 반지름의 길이 \(r_1\):
세 점 \(P, Q, R\)를 지나는 평면을 \(\alpha\)라 하면 방정식은 \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \iff 6x + 3y + 2z - 6 = 0\)이다. 입체도형 \(T\)의 네 면은 각각 \(xy\)평면, \(yz\)평면, \(zx\)평면 및 평면 \(\alpha\)에 포함된다. 따라서 가장 큰 구 \(S_1\)은 네 평면에 모두 접하는 내접구이다.
구 \(S_1\)의 반지름을 \(r_1\)이라 하면 세 좌표평면에 접하고 사면체 내부에 있으므로 중심은 \((r_1, r_1, r_1)\)이다.
중심에서 평면 \(\alpha\)까지의 거리는 반지름 \(r_1\)과 같으므로,
\[r_1 = \frac{|6r_1 + 3r_1 + 2r_1 - 6|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}} = \frac{|11r_1 - 6|}{7} \iff 7r_1 = |11r_1 - 6|\]
따라서 \(7r_1 = -(11r_1 - 6) \implies r_1 = \frac{1}{3}\) 또는 \(7r_1 = 11r_1 - 6 \implies r_1 = \frac{3}{2}\)이다.
평면 \(\alpha\)와 직선 \(x=y=z\)의 교점은 \(\left(\frac{6}{11}, \frac{6}{11}, \frac{6}{11}\right)\)이므로 중심이 사면체 내부에 있으려면 \(r_1 \lt \frac{6}{11}\)이어야 한다. 그러므로 \(\mathbf{r_1 = \frac{1}{3}}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 1-B(1): 평면 \(\alpha\)의 방정식을 구하고 네 평면에 접하는 조건으로부터 \(r_1 = \frac{1}{3}\)을 정확히 구한 경우	10점
• 1-B(2): 점 \(A\)를 지나는 중심 좌표 매개변수식 \(C(t)\)와 반지름 \(r_2 = 7t\)를 올바르게 수립한 경우	7점
• 1-B(2): 세 좌표평면과의 접촉 조건을 분석하여 최소 \(t = \frac{1}{30}\)로부터 \(r_2 = \frac{7}{30}\)을 정확히 도출한 경우	8점

공간도형과 구의 방정식 문항에서는 입체도형의 대칭성과 좌표평면 접촉 조건을 정확히 설정하는 것이 핵심입니다. 구의 중심 좌표를 미지수 1개(매개변수 t)로 표현하고, 사면체 내부를 벗어나지 않기 위해 좌표평면들과의 거리 중 최소값을 선택하는 이유를 논리적으로 명시해야 감점을 피할 수 있습니다.

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(1) 부분적분법을 이용한 \(A(\alpha)\) 도출:
제시문 [가]에 의하여 \(f'(x) = e^{-x^2}\)이다. 제시문 [나]의 부분적분법을 적용하면 다음과 같다.
\[A(\alpha) = \int_0^\alpha 1 \cdot f(x) dx = [x f(x)]_0^\alpha - \int_0^\alpha x f'(x) dx = \alpha f(\alpha) - \int_0^\alpha x e^{-x^2} dx\]
치환적분법을 위해 \(t = x^2\)으로 놓으면 \(\frac{dt}{dx} = 2x\)이므로,
\[\int_0^\alpha x e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^{\alpha^2} e^{-t} dt = \frac{1}{2}\left[-e^{-t}\right]_0^{\alpha^2} = \frac{1}{2}(1 - e^{-\alpha^2})\]
따라서 구하는 정적분은 \(\mathbf{A(\alpha) = \alpha f(\alpha) - \frac{1}{2}(1 - e^{-\alpha^2})}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 2-A(1): 부분적분법과 치환적분을 이용하여 \(A(\alpha) = \alpha f(\alpha) - \frac{1}{2}(1-e^{-\alpha^2})\)를 정확히 도출한 경우	10점
• 2-A(2): 원래 함수와 역함수의 정적분 관계식을 적용하여 \(B(\alpha) = \frac{1}{2}(1-e^{-\alpha^2})\)를 정확히 유도한 경우	5점
• 2-A(3): 미분계수의 정의 및 지수함수 극한 공식을 적용하여 최종 극한값 \(1\)을 정확히 도출한 경우	10점

정적분으로 정의된 함수와 역함수의 정적분 문제는 직사각형 넓이와 원래 함수의 정적분의 차(\(\int g(x)\,dx = \alpha f(\alpha) - \int f(x)\,dx\))라는 기하학적 항등식을 첫 줄에 인용하는 것이 핵심입니다. 극한 계산 시 미분계수의 정의식 형태(f(α)/α → f'(0)=1)를 명확히 유도하여 감점을 원천 차단하십시오.

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(1) \(g(x) \ge 0\)이 성립하는 \(\alpha\)의 값의 범위:
제시문의 합성함수 미분법에 의하여 \(x > 0\)일 때 \(g'(x) = 2\alpha f(x)f'(x) = \frac{d}{dx}[\alpha \{f(x)\}^2]\)이므로 \(g(x) = \alpha \{f(x)\}^2 + C\)이다.
미분가능한 함수 \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 연속이므로 조건 (ii)에 의해
\[5 - \alpha^3 = g(0) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = \alpha \{f(0)\}^2 + C = C \implies C = 5 - \alpha^3 \quad (\because f(0)=0)\]
따라서 \(x > 0\)일 때 \(g(x) = \alpha \{f(x)\}^2 + (5 - \alpha^3)\)이다.
\(\alpha \ge 0\)이고 \(f(x)\)가 증가함수이므로 구간 \([0, 1]\)에서 \(g(x)\)는 증가함수이다. 또한 구간 \([-1, 0]\)에서 \(f(-x)\)는 감소함수이므로 \(\{f(-x)\}^2\)은 감소함수이고, \(-\{f(-x)\}^2\)은 증가함수이다. 따라서 구간 \([-1, 1]\) 전체에서 \(g(x)\)는 증가함수이므로 최솟값은 \(x=-1\)에서 달성된다.
\[g(x) \ge g(-1) = -\{f(1)\}^2 + 5 - \alpha^3 = -2^2 + 5 - \alpha^3 = 1 - \alpha^3\]
부등식 \(g(x) \ge 0\)이 성립하기 위한 필요충분조건은 \(1 - \alpha^3 \ge 0 \iff \alpha^3 \le 1\)이다. \(\alpha \ge 0\)이므로 \(\mathbf{0 \le \alpha \le 1}\)이다.

하위 문항 및 세부 평가 요소	배점
• 2-B(1): 합성함수 미분법과 연속성을 이용하여 \(g(x)\)를 찾고 증가함수 성질로부터 \(0 \le \alpha \le 1\)을 도출한 경우	15점
• 2-B(2): 넓이 식 \(S(\alpha) = 7 + 3\alpha - 2\alpha^3\)을 유도하고 도함수의 부호 변화로부터 \(\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\)를 도출한 경우	10점

미분가능한 함수는 연속이라는 성질을 이용하여 경계점 x=0에서 좌극한과 우극한이 일치함을 밝혀 적분상수 C를 구하는 과정이 1단계를 좌우합니다. 또한 음함수/합성함수 미분법의 역연산으로 \(g(x)\)의 식을 온전히 복원하고, 증가함수 성질로부터 최솟값이 x=-1에서 발생함을 명쾌히 밝혀야 15점 만점을 확보합니다.