고려대학교 2027 수리논술 D-1 파이널 치트시트

고사장 입실 30분 전 필독 • 오전/오후 5개년 기출 관통 핵심 증명 및 감점 방어 공식

[PAGE 1 / 2] 미적분·해석학 완결

고려대 채점관이 깎는 5대 서술 감점 함정

1. 평균값 정리 전제 누락: 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a,b)\)에서 미분가능함을 선언하지 않으면 -3점 감점.

2. 사잇값 정리 부호 조건: \(f(a)f(b) < 0\) 임을 수식으로 보이지 않고 "실근이 존재한다"고 비약 시 -2점 감점.

3. 치환적분 구간 미변경: \(t = g(x)\) 치환 후 적분 구간 \([g(a), g(b)]\)를 답안에 명시하지 않으면 -2점.

4. 수열의 극한 샌드위치 정리: 부등식 양변의 극한값이 동일함을 서술하지 않고 결론 도출 시 감점.

5. 소문항 연계 무시: (2)번을 풀 때 (1)번의 증명 결과를 인용하지 않고 독자적으로 풀다 시간 초과.

초월함수 극한 & 테일러 근사 검산 테크닉

1. 삼각함수·지수로그 기본 극한:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\), \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\) (정의식 명시 필수, 로피탈 단독 사용 지양)

2. 역함수 미분법 공식:
\(g(f(x)) = x \implies g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1 \implies g'(b) = \frac{1}{f'(a)}\) (단, \(f(a)=b\))

정적분과 급수 합 & 리만 합 변환 공식

\(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(a + \frac{b-a}{n}k\right) \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)\,dx\)
• 구분구적법 전개: 직사각형의 가로 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\), 세로 \(f(x_k)\) 명시

라이프니츠 미적분학 기본정리 미분:
\(\frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)\)

부분적분을 이용한 적분 점화식 \(I_n\)

\(I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx \implies I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}\)
\(I_n = \int_0^1 x^n e^{-x}\,dx \implies I_n = -e^{-1} + n I_{n-1}\)

• 귀납적 증명: \(n=1, 2\)일 때 확인 후 \(n=k\) 가정 ➔ \(n=k+1\) 성립 단계별 명시.

만점 획득 연결 구문

"소문항 (1)의 결과에 의해 \(f(x) \ge g(x)\) 이 성립하므로, 양변에 구간 \([a,b]\)의 정적분을 취하면..."

고려대학교 2027 기하·확통·실전 전략 치트시트

공간도형·이차곡선·조건부확률 • 고려대 100분 타임어택 완벽 배분 공식

[PAGE 2 / 2] 기하·확통·실전전략

[기하] 삼수선의 정리 & 정사영 넓이 공식

1. 삼수선의 정리 3가지 역관계:
\(PO \perp \alpha\), \(OH \perp l \implies PH \perp l\) (직각삼각형 \(POH\) 단면 추출 서술)

2. 이면각과 정사영의 넓이:
\(S' = S \cos \theta\) (\(\theta\)는 두 평면의 법선벡터가 이루는 각: \(\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}\))

3. 타원·쌍곡선 접선의 방정식:
\(\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \((x_1, y_1)\) 접선: \(\frac{x_1 x}{a^2} \pm \frac{y_1 y}{b^2} = 1\)

[기하] 위치벡터 중심 분할 테크닉

\(\vec{PA} \cdot \vec{PB} = (\vec{PO} + \vec{OA}) \cdot (\vec{PO} + \vec{OB}) = |\vec{PO}|^2 - r^2\)
(선분 \(AB\)의 중점 \(M\)을 잡으면 \(|\vec{PM}|^2 - |\vec{AM}|^2\)로 단순화)

[확통] 조건부확률 & 독립시행의 정리

1. 조건부확률 & 베이즈 정리:
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)}\)

2. 이항분포의 정규분포 근사:
\(X \sim B(n, p) \implies E(X) = np\), \(V(X) = npq\)
\(n\)이 충분히 클 때 \(Z = \frac{X - np}{\sqrt{npq}} \sim N(0, 1)\)

고려대 자연계 수리논술 100분 운영 수칙

• 0~10분 (전체 조망): 대문항 3~4개 제시문과 소문항 난이도 스캔, 풀이 순서 결정.

• 10~40분 (문항 1 완벽 공략): 30분 내에 문항 1 소문항 전수 만점 서술 (점수 베이스 확보).

• 40~75분 (문항 2 & 3 전개): 기하/미적분 킬러 소문항 증명 전개 (소문항 연계 인용).

• 75~95분 (최종 킬러 & 부분점수 방어): 마지막 소문항 풀이 및 전제/단서 빠짐없이 기재.

• 95~100분 (검산 5분): 계산 부호 실수 및 누락 기호 확인.