고려대학교 2027 수리논술 Before & After 서술 감점 클리닉 10대 공식

CLINIC CASE 01 • 미적분 도함수의 활용

평균값 정리의 연속·미분가능 전제 조건 누락

부분 감점: -3점 누수 (10점 중 7점만 인정)

[Before] 수험생 감점 답안 (7/10점)

평균값 정리에 의해 \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\) 인 \(c\)가 \((a, b)\)에 존재한다.
이때 \(f'(c) > 0\) 이므로 \(f(b) > f(a)\) 이다.

[After] 만점 모범 답안 (10/10점)

함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하므로,
평균값 정리에 의해 \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\) 를 만족하는 실수 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.
모든 \(x \in (a, b)\)에서 \(f'(x) > 0\) 이므로 \(f'(c) > 0\) 이고, \(b > a\) 이므로 \(f(b) - f(a) > 0\), 즉 \(f(b) > f(a)\) 이다.

고려대 채점관 루브릭 주해: 정리(Theorem)의 전제 조건인 '닫힌구간 연속'과 '열린구간 미분가능'을 선언하지 않으면 수학적 정당성이 결여된 논리적 비약으로 판정되어 30% 감점 처리됩니다.

CLINIC CASE 02 • 함수의 연속과 실근의 존재

사잇값 정리 적용 시 양 끝점의 함숫값 부호 계산 미기재

부분 감점: -3점 누수

[Before] 수험생 감점 답안 (5/8점)

\(g(x) = f(x) - x\) 로 두면 사잇값 정리에 의해 \(g(c) = 0\) 인 \(c\)가 \((0, 1)\)에 존재하므로 방정식 \(f(x) = x\)는 실근을 갖는다.

[After] 만점 모범 답안 (8/8점)

\(g(x) = f(x) - x\) 라 하자. \(f(x)\)와 \(x\)가 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속이므로 \(g(x)\)도 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속이다.
이때 \(g(0) = f(0) - 0 = \frac{1}{2} > 0\) 이고, \(g(1) = f(1) - 1 = -\frac{1}{3} < 0\) 이므로 \(g(0)g(1) < 0\) 이다.
따라서 사잇값 정리에 의해 \(g(c) = 0\), 즉 \(f(c) = c\) 인 실수 \(c\)가 열린구간 \((0, 1)\)에 적어도 하나 존재한다.

고려대 채점관 루브릭 주해: \(g(0) > 0\), \(g(1) < 0\) 이라는 구체적인 함숫값 부호 판정이 생략되면 사잇값 정리 적용의 근거가 없으므로 엄격 감점 대상입니다.

CLINIC CASE 03 • 기하 공간도형과 정사영

삼수선의 정리 선언 시 수직 조건 명시 누락

부분 감점: -4점 누수 (12점 중 8점만 인정)

[Before] 수험생 감점 답안 (8/12점)

점 \(P\)에서 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면 삼수선의 정리에 의해 직각삼각형이 되므로 \(PH = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) 이다.

[After] 만점 모범 답안 (12/12점)

점 \(P\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(O\)라 하면 \(PO \perp \alpha\) 이다.
점 \(O\)에서 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면 \(OH \perp l\) 이다.
따라서 삼수선의 정리에 의해 \(PH \perp l\) 이 성립한다.
삼각형 \(POH\)는 \(\angle POH = 90^\circ\)인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해
\(PH = \sqrt{PO^2 + OH^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) 이다.

고려대 채점관 루브릭 주해: 삼수선의 정리는 전제인 두 수직 관계(\(PO \perp \alpha\), \(OH \perp l\))를 명시해야만 결론인 \(PH \perp l\)이 성립합니다. 이를 생략하고 계산만 적으면 4점 몰수됩니다.

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