• 필수 1줄 템플릿: "함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a,b)\)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)인 \(c \in (a,b)\)가 적어도 하나 존재한다."
• 전제 조건(폐구간 연속·개구간 미분가능) 누락 시 즉시 2점 감점 방어
• \(g(x) = \int_a^x (x-t)f(t)\,dt = x\int_a^x f(t)\,dt - \int_a^x tf(t)\,dt\)로 반드시 분리 후 미분!
• 1차 도함수: \(g'(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) (초기조건 \(g(a)=0, g'(a)=0\) 2개 동시 확보) | 2차 도함수: \(g''(x) = f(x)\)
• \(f(a) = t\)인 실근 \(x=a\)에서 \(|f(x)-t|\)가 미분가능할 필요충분조건은 \(f'(a) = 0\) (중근 또는 삼중근)이다.
• 부호가 바뀌는 단순 실근(\(f(a)=t, f'(a)\neq 0\))에서는 좌미분계수 \(-|f'(a)|\)와 우미분계수 \(+|f'(a)|\)가 달라 첨점이 발생한다.
• \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)을 구한 후 반드시 "\(n=1\)일 때 \(a_1 = S_1\)과 일치하는지 검증"하는 문장을 별도 줄로 작성!
• 선형 점화식 \(a_{n+1} = pa_n + q\cdot r^n\)은 양변을 \(r^{n+1}\) 또는 \(p^{n+1}\)로 나누어 계차·등비수열로 치환한다.
• 사인법칙: \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\) | 코사인법칙: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)
• 삼각형 넓이와 내접원 반지름 \(r\): \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)\)
• \(A \gt 0, B \gt 0\)일 때 \(A + B \ge 2\sqrt{AB}\) (단, 등호는 \(A = B\)일 때 성립)
• 최솟값·부등식 논증 시 ① 양수 조건 확인, ② 부등식 적용, ③ 등호 성립 \(x\)값 존재성 확인의 3단계를 모두 적어야 만점!
• 포물선 \(y^2 = 4px\) 기울기 \(m\) 접선: \(y = mx + \dfrac{p}{m}\) | 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 위 점 \((x_1,y_1)\) 접선: \(\dfrac{x_1 x}{a^2}+\dfrac{y_1 y}{b^2}=1\)
• 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec{n}=(a,b,c)\)인 평면: \(a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\), 점과 평면 거리 \(d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
• 조건부확률: \(\mathrm{P}(A_i | B) = \dfrac{\mathrm{P}(A_i)\mathrm{P}(B|A_i)}{\sum_k \mathrm{P}(A_k)\mathrm{P}(B|A_k)}\)
• 표본비율 \(\hat{p}\)에 대한 모비율 \(p\)의 95% 신뢰구간: \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)