2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 3회 [문제 1] 수열의 귀납적 정의 및 급수의 합 | 1/3 Page

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (30점)

[제시문 가] 첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 관계식(점화식)으로 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라 한다.

[제시문 나] 두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)에 대하여 \(\frac{1}{a_n b_n} = \frac{1}{b_n - a_n}\left(\frac{1}{a_n} - \frac{1}{b_n}\right)\) (부분분수 분해)가 성립한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 2a_n}\) (\(n \ge 1\))로 정의될 때 다음 물음에 답하시오.

[1-1] \(b_n = \frac{1}{a_n}\)으로 치환하여 수열 \(\{b_n\}\)이 등차수열임을 보이고, 일반항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

[1-2] 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}\)의 값을 구하시오. [10점]

[1-3] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(\sum_{k=1}^n a_k^2 < 1\)이 성립함을 증명하시오. [10점]

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 3회 [문제 2] 삼각함수 합성 및 정적분 회전체 부피 | 2/3 Page

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (35점)

[제시문 가] 삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\) (단, \(\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\))이다.

[제시문 나] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 곡선 \(y=f(x)\)를 \(x\)축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 \(V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 dx\)이다.

두 함수 \(f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x\), \(g(x) = \cos(2x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] 함수 \(f(x)\)를 합성하여 \(R\sin(x+\alpha)\) 형태로 나타내고, 구간 \([0, \pi]\)에서 \(f(x)\)의 최댓값과 그때의 \(x\)의 값을 구하시오. [10점]

[2-2] 구간 \([0, \pi]\)에서 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표를 구하시오. [12점]

[2-3] 구간 \([0, \pi]\)에서 곡선 \(y=f(x)\)를 \(x\)축 둘레로 1회전시켜 생기는 회전체의 부피 \(V\)를 구하시오. [13점]

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 3회 [문제 3] 평균값 정리 및 초월함수 실근 증명 | 3/3 Page

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (35점)

[제시문 가] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)를 만족하는 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리)

[제시문 나] 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이면 \(f(x)\)는 그 구간에서 엄밀한 단조증가(Strictly Increasing) 함수이다.

함수 \(K(x) = e^x - \left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[3-1] 도함수 \(K'(x)\)와 이계도함수 \(K''(x)\)를 구하고, 모든 \(x > 0\)에 대하여 \(e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}\)가 성립함을 증명하시오. [10점]

[3-2] 함수 \(M(x) = \begin{cases} \frac{e^x - 1}{x} & (x \ne 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}\)에 대하여, \(M(x)\)가 \(x=0\)에서 연속임을 보이고 모든 \(x > 0\)에서 \(M'(x) > 0\)임을 증명하시오. [12점]

[3-3] 방정식 \(M(x) = 2\)의 실근이 열린구간 \((0, 2)\) 안에 오직 하나만 존재함을 사잇값 정리와 단조성을 이용하여 논증하시오. (단, \(e \approx 2.718\)이다.) [13점]