2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 2회 문제집

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 2회 [문제 1] 사차함수의 대칭성과 공통접선 | 1/3 Page

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (30점)

[제시문 가] 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 점 \(P(t, k)\)에서 공통접선을 갖는다는 것은 \(f(t) = g(t) = k\)이고 \(f'(t) = g'(t)\)가 성립함을 의미한다.

[제시문 나] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)를 만족하는 함수를 우함수(짝함수)라 하며, 그 그래프는 \(y\)축에 대하여 대칭이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 2ax^2 + b\) (\(a > 0\))와 이차함수 \(g(x) = -x^2 + c\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1-1] 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 함수 \(f(x)\)의 모든 극값의 좌표를 \(a, b\)를 이용하여 구하시오. [10점]

[1-2] 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 점 \((1, 0)\)에서 공통접선을 가질 때, 상수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오. [10점]

[1-3] \(a=2, b=1\)일 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(t, f(t))\) (\(t > 0\))에서의 접선과 점 \(Q(-t, f(-t))\)에서의 접선의 교점의 \(y\)좌표를 \(Y(t)\)라 하자. \(Y(t)\)의 최솟값을 구하시오. [10점]

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 2회 [문제 2] 분수 초월함수와 역함수의 미분 | 2/3 Page

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (35점)

[제시문 가] 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)가 존재하고 미분가능할 때, \(g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}\) (단, \(f'(x) \ne 0\))이다.

[제시문 나] 좌표평면 위를 움직이는 점 \(P(x(t), y(t))\)의 시각 \(t\)에서의 속도벡터는 \(\vec{v} = (x'(t), y'(t))\)이고, 속력은 \(|\vec{v}| = \sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2}\)이다.

정의역이 \(x > 0\)인 함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x^2}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] 도함수 \(f'(x)\)와 이계도함수 \(f''(x)\)를 구하고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 곡선 \(y=f(x)\)의 변곡점의 좌표를 각각 구하시오. [10점]

[2-2] 구간 \([\sqrt{e}, \infty)\)에서 함수 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, \(g'\left(\frac{\ln 2}{4}\right)\)의 값을 구하시오. [12점]

[2-3] 시각 \(t \ge 0\)에서 점 \(P\)의 위치가 \(x(t) = \ln(t+1)\), \(y(t) = \frac{t}{t+1}\)로 주어질 때, 시각 \(t=1\)에서의 속력과 가속도의 크기를 각각 구하시오. [13점]

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 2회 [문제 3] 치환적분 함수 및 사잇값 정리 논증 | 3/3 Page

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (35점)

[제시문 가] 미분가능한 함수 \(g(t)\)에 대하여 \(\int f(g(t))g'(t)dt = \int f(u)du\) (단, \(u=g(t)\))이다. (치환적분법)

[제시문 나] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(a)f(b) < 0\)이면 방정식 \(f(x)=0\)은 열린구간 \((a, b)\)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (사잇값 정리)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(H(x) = \int_0^x \frac{2t}{1+t^2} dt - \int_0^x \cos(\pi t) dt\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[3-1] 치환적분법을 이용하여 함수 \(H(x)\)를 \(x\)에 대한 초월함수 식으로 나타내고, \(H(0)\)과 \(H(1)\)의 값을 구하시오. [10점]

[3-2] 도함수 \(H'(x)\)를 구하고, 구간 \([0, 1]\)에서 함수 \(H(x)\)의 증감을 분석하여 극솟값을 구하시오. [12점]

[3-3] 방정식 \(H(x) = \frac{1}{2}\)이 열린구간 \((0, 2)\)에서 서로 다른 2개의 실근을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 논증하시오. (단, \(\ln 2 \approx 0.693, \ln 5 \approx 1.609\)이다.) [13점]