2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 1회 [문제 1] 다항함수의 접선 및 극값 최적화 | 1/3 Page

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (30점)

[제시문 가] 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)이다.

[제시문 나] 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 삼차함수일 때, 도함수 \(f'(x)=0\)을 만족하는 서로 다른 두 실수 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))에 대하여, 구간 \((\alpha, \beta)\)에서 \(f'(x)\)의 부호에 따라 극댓값과 극솟값이 결정된다.

[제시문 다] 양수 \(a, b\)에 대하여 산술평균과 기하평균 사이에는 \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)의 관계가 성립하며, 등호는 \(a=b\)일 때 성립한다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3kx\) (\(k > 0\))에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1-1] 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(t, f(t))\) (\(t > 0\))에서의 접선의 기울기를 \(m_1\), 점 \(Q(-t, f(-t))\)에서의 접선의 기울기를 \(m_2\)라 할 때, \(m_1\)과 \(m_2\)의 값을 \(t\)와 \(k\)에 대한 식으로 각각 나타내고, \(m_1 = m_2\)임을 보이시오. [10점]

[1-2] 두 접선이 서로 수직(\(m_1 \cdot m_2 = -1\))이 되도록 하는 실수 \(t > 0\)가 오직 하나 존재하기 위한 양수 \(k\)의 값을 구하시오. [10점]

[1-3] \(k=1\)일 때, 점 \(P(t, f(t))\) (\(t > 1\))에서의 접선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하자. 원점 \(O\)와 두 점 \(A, B\)로 둘러싸인 삼각형 \(OAB\)의 넓이의 최솟값과 그때의 \(t\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이다.) [10점]

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 1회 [문제 2] 지수·삼각 초월함수의 증감과 변곡점 | 2/3 Page

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (35점)

[제시문 가] 두 함수 \(u(x), v(x)\)가 미분가능할 때, 곱의 미분법에 의해 \(\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)이다.

[제시문 나] 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f''(a)=0\)이고 \(x=a\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌면 점 \((a, f(a))\)는 곡선 \(y=f(x)\)의 변곡점이다.

[제시문 다] 모든 실수 \(\theta\)에 대하여 삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)가 성립한다.

정의역이 \(x \ge 0\)인 함수 \(f(x) = e^{-x}\sin(2x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 열린구간 \((0, \pi)\)에서 함수 \(f(x)\)가 극댓값과 극솟값을 갖는 \(x\)의 좌표를 각각 구하시오. [10점]

[2-2] 이계도함수 \(f''(x)\)를 구하고, 열린구간 \((0, \pi)\)에서 곡선 \(y=f(x)\)의 변곡점의 개수와 각 변곡점의 \(x\)좌표를 구하시오. [12점]

[2-3] 자연수 \(n\)에 대하여 구간 \([(n-1)\pi, n\pi]\)에서 곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} S_n\)의 값을 구하시오. [13점]

2027학년도 가톨릭대학교 자연·공학계열 수리논술 모의고사 1회 [문제 3] 부분적분 정적분 함수 및 실근 증명 | 3/3 Page

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (35점)

[제시문 가] 두 함수 \(u(x), v'(x)\)가 연속일 때, 부분적분법 공식은 \(\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx\)이다.

[제시문 나] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a) \ne f(b)\)일 때, \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값 \(k\)에 대하여 \(f(c)=k\)를 만족하는 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다. (사잇값 정리)

[제시문 다] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)를 만족하는 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x) = \int_0^x (t - 1)e^t dt\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[3-1] 부분적분법을 이용하여 함수 \(g(x)\)를 \(x\)에 대한 초월함수 식으로 나타내고, 함수 \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오. [10점]

[3-2] 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((2, g(2))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오. [12점]

[3-3] 방정식 \(g(x) = 1\)이 열린구간 \((-1, 3)\)에서 서로 다른 2개의 실근을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 논증하시오. [13점]