[제시문]
(가) 직각삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB} = x, \overline{BC} = \frac{1}{x}\) \(x > 0\) \()\)이고 \(\angle ABC = 90^\circ\)이다. 내접원 넓이를 \(f(x)\) , 외접원 넓이를 \(g(x)\)라 한다.
(나) 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)과 기울기가 \(\sqrt{m}\) \(0 \le m \le 2026\))인 접선 및 도형의 성질을 분석한다.
1-1 \(f(x) 와 g(x) 를 x 에 대한 식으로 구하고 \lim_{x \to \infty} f(x)g(x)\)를 구하시오. (15점)
1-2 타원의 접선 방정식 및 넓이 함수 \(S(m)\)을 구하고 몫의 미분법으로 최댓값을 구하시오. (15점)
1-3 공간벡터 도형의 성질을 파악하여 삼각형 넓이를 구하시오. (20점)
[제시문]
좌표공간에서 원점에 중심이 있고 반지름의 길이가 \(1\)인 구 \(S\)가 있다. 구 \(S\) 위에 세 점 \(A(1)\(, 0, 0\)\(,\)\(B(0\)\(, 1, 0\)\(,\)\(C(0\)\(, 0, 1\) 이 있다.\)
구 \(S\) 위의 한 점 \(P(x\)\(, y, z\)에 대하여 내적 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\) 및 정사영의 길이를 생각하자.
두 벡터 \(\vec{u}, \vec{v}\)의 내적은 \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\)로 정의된다.
1-1 구 \(S\) 위의 점 \(P(x\)\(, y, z\) \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) \()\)에 대하여 내적 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (15점)
1-2 점 \(P\)가 삼각형 \(ABC\)의 평면 \(x+y+z=1\) 상으로의 정사영의 내부에 위치할 때, \(\vec{PA} \cdot \vec{PB} + \vec{PB} \cdot \vec{PC} + \vec{PC} \cdot \vec{PA}\)의 범위를 구하시오. (15점)
1-3 점 \(P\)에서 세 평면 \(xy\) , \(yz\) , \(zx\) 평면에 내린 수선의 발을 각각 \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\)라 할 때, 사면체 \(O P_1 P_2 P_3\)의 부피의 최댓값을 구하시오. (20점)
[제시문]
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 다음을 만족시킨다:
___MATH_DISPLAY_TOKEN_00002___
또한 \(\lim_{x \to 0}\) \(\frac{f(x)}{x}\) \(= 1\) 이 성립한다.
미분가능한 함수의 도함수의 정의 \(f'(x)\) \(= \lim_{h \to 0}\) \(\frac{f(x+h)\) \(-\) \(f(x)}{h}\) 및 조임정리(샌드위치 정리)를 이용한다.
2-1 \(f(0) 의 값과 도함수 f'(x)\)를 구하시오. (15점)
2-2 함수 \(g(x)\) \(= \int_0^x\) \(f(t)\) \(dt\)라 할 때, \(g(x)\)의 극솟값과 그때의 \(x\)의 값을 구하시오. (15점)
2-3 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(h(x)\) \(= \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n\) \(f\left(\frac{kx}{n^2}\right)\) 이라 할 때, 함수 \(h(x)\)를 구하고 \(h(1)\)의 값을 구하시오. (20점)
[제시문]
수열 \(a_n\) 이 \(a_1 = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{2}a_n + 1\) \(n \ge 1\) \()\)을 만족시킨다.
자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \sum_{k = 1}^n a_k\)라 할 때, 수열의 극한 및 정적분과 급수의 관계를 적용한다.
\[\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = \alpha\]
1-1 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하고, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} a_n\)을 구하시오. (15점)
1-2 \(S_n = \sum_{k = 1}^n a_k\)의 값을 구하고, \(\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}\)의 값을 구하시오. (15점)
1-3 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \frac{1}{n}\) \(f\left(\frac{k}{n}\right)\) 관계를 이용하여 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \frac{k}{n^2 + k^2}\)의 값을 정적분으로 계산하시오. (20점)
[제시문]
연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)\) \(= \cos x + \int_0^{\pi/2}\) \(f(t)\) \(\sin t dt\)를 만족시킨다.
또한, 정적분으로 정의된 함수와 조임정리(샌드위치 정리)를 이용한 수열의 극한을 평가한다.
2-1 정적분 \(\int_0^{\pi/2}\) \(f(t)\) \(\sin t dt = K\) 상수\()\)라 두고, \(K\)의 값과 함수 \(f(x)\)를 구하시오. (15점)
2-2 곡선 \(y =\) \(f(x)\)와 \(x\) 축, \(y\) 축 및 \(x = \frac{\pi}{2}\)로 둘러싸인 도형을 \(x\) 축 둘레로 회전시켜 생기는 입체도형의 부피 \(V\)를 구하시오. (15점)
2-3 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\frac{n^2}{n^3 + k} \le x_k \le \frac{n^2}{n^3}\)일 때, \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n x_k\)의 값을 조임정리를 이용하여 구하시오. (20점)
[제시문]
구간 \([0,\)\(\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x)\) \(= \sin x - x \cos x\)에 대하여 생각하자.
도함수 \(f'(x)\) \(= x \sin x\)의 부호 변화를 조사하여 극값과 그래프의 개형을 파악한다.
또한, 곡선 \(y =\) \(f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 및 회전체 부피를 계산한다.
1-1 구간 \([0, \pi] 에서 함수 f(x)\)의 증가/감소를 조사하고 최댓값과 최솟값을 구하시오. (15점)
1-2 곡선 \(y =\) \(f(x)\)와 \(x\) 축 및 \(x = \pi\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오. (15점)
1-3 곡선 \(y =\) \(f(x)\)의 구간 \([0,\)\(\pi]\) 에서의 호의 길이 \(L = \int_0^{\pi} \sqrt{1 +\) \(\{f'(x)\}^2}\) \(dx\)의 값을 구하거나 범위를 평가하시오. (20점)
[제시문]
주머니 속에 \(1\) 부터 \(6\) 까지의 자연수가 적힌 \(6\) 개의 공이 들어 있다.
이 주머니에서 공을 하나 꺼내어 수를 확인하고 다시 넣는 독립시행을 \(n\) 번 반복한다.
\(3\)의 배수가 나오는 횟수를 확률변수 \(X\)라 할 때, \(X\)는 이항분포 \(B\left(n\)\(, \frac{1}{3}\right)\)를 따른다.
2-1 \(n=6\)일 때, 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(E(X)\)와 분산 \(V(X)\)를 구하고, \(X=2\)일 확률 \(P(X=2)\)를 구하시오. (15점)
2-2 확률변수 \(Y = 3X - 2\)에 대하여 기댓값 \(E(Y)\)와 분산 \(V(Y)\)를 구하시오. (15점)
2-3 드모아브르-라플라스 정리(이항분포의 정규분포 근사)를 이용하여 \(n=450\)일 때 \(P(140\) \(\le X \le 165\)의 확률을 표준정규분포표를 이용해 구하시오. (20점)
