1-1 좌표평면 위에 있는 \(5\)개의 점 \(P_1(-6, -3), P_2(-6, 3), P_3(-3, 6), P_4(6, 3), P_5(6, -3)\) 중에서 서로 다른 \(3\)개를 선택하여 그 점들을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 그 삼각형의 무게중심과 직선 \(y = -2x + 30\) 사이의 거리가 \(6\sqrt{5}\) 이하가 되는 경우의 수를 구하시오. (10점)

1-2 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\)인 정사각형 \(A_1B_1C_1D_1\)에 대하여 선분 \(B_1C_1\)의 중점을 \(F_1\), 선분 \(C_1D_1\)의 중점을 \(G_1\)이라 하자. 정사각형 \(A_1B_1C_1D_1\)에 내접하는 원 위의 점 \(E_1\)에 대하여 \(\theta = \angle E_1G_1F_1\)이라 할 때, \(\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}\)를 만족시킨다.
세 점 \(B_2, C_2, D_2\)는 각각 선분 \(E_1F_1, F_1G_1, E_1G_1\) 위의 점이며, 두 직선 \(B_1C_1\)과 \(B_2C_2\)가 서로 평행하고 두 직선 \(C_1D_1\)과 \(C_2D_2\)가 서로 평행하며, 사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)는 정사각형이다. 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)에도 같은 방법을 적용하여, 선분 \(B_2C_2\)의 중점을 \(F_2\), 선분 \(C_2D_2\)의 중점을 \(G_2\)라 하자. 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)에 내접하는 원 위의 점 \(E_2\)는 \(\angle E_1G_1F_1 = \angle E_2G_2F_2\)를 만족시킨다. 이와 같은 과정을 반복하여 정사각형 \(A_nB_nC_nD_n\)과 세 점 \(E_n, F_n, G_n\) (\(n \ge 3\))을 얻을 수 있다.
모든 자연수 \(n\)에 대하여 정사각형 \(A_nB_nC_nD_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하자. \(\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}\)일 때 급수 \(\sum_{n=1}^\infty S_n\)의 합을 구하시오. (20점)

1-3 \(\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{DE} = \overline{EF} = 3\), \(\angle ABC = \angle DEF = \frac{\pi}{2}\), \(\overline{AD} = 6\)인 삼각기둥 \(ABC-DEF\)가 있다. 점 \(P\)는 선분 \(AC\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이고, 점 \(M\)은 선분 \(DF\)의 중점이다. 선분 \(DE\) 위의 점 \(Q\)는 \(\overline{EQ} = t\) (\(0 \lt t \lt 3\)), 선분 \(EF\) 위의 점 \(R\)은 \(\overline{ER} = 3-t\)를 만족시킨다.
직선 \(BM\)이 평면 \(PQR\)과 만나는 점을 \(S\)라 할 때, \(\overline{BS}:\overline{SM} = 2:1\)이다. 점 \(N\)은 직선 \(PS\)와 직선 \(QR\)의 교점이다. 직선 \(MN\)과 직선 \(QR\)이 서로 수직일 때, 평면 \(PQR\)이 평면 \(DEF\)와 이루는 예각의 크기 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)의 값을 구하시오. (20점)

1-1 곡선 \(y = x^3 + 3x^2 - x - 6\)을 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 곡선을 \(y = g(x)\)라 하자. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = -g(x)\)가 성립할 때, \(m\)과 \(n\)의 값을 구하고, 이 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (30점)

1-2 세 변 \(AB, BC, CA\)의 길이가 각각 \(3, 4, 5\)인 삼각형 \(ABC\)가 있다. 삼각형 \(PQR\)은 다음 조건을 만족시킨다. \(\overline{BP} = x\) \((0 \le x \le 3)\)이라 할 때, 삼각형 \(PQR\)의 넓이를 \(x\)에 대한 식으로 나타내고, 삼각형 \(PQR\)의 넓이가 최소가 되게 하는 \(x\)의 값을 구하시오. (30점)

1-3 정삼각형 \(A_1B_1C_1\)과 \(0 \lt t \lt \frac{1}{2}\)인 상수 \(t\)에 대하여 점 \(A_1', B_1', C_1'\)은 각각 변 \(A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1\) 위에 있고, \(\overline{A_1A_1'} = t\overline{A_1B_1}\), \(\overline{B_1B_1'} = t\overline{B_1C_1}\), \(\overline{C_1C_1'} = t\overline{C_1A_1}\)를 만족시킨다. 선분 \(A_1B_1'\)과 \(C_1A_1'\)이 만나는 점을 \(A_2\), 선분 \(B_1C_1'\)과 \(A_1B_1'\)이 만나는 점을 \(B_2\), 선분 \(C_1A_1'\)과 \(B_1C_1'\)이 만나는 점을 \(C_2\)라 하면 삼각형 \(A_2B_2C_2\)는 정삼각형이다. 이와 같은 과정을 반복하여 정삼각형 \(A_nB_nC_n\)의 넓이를 \(s_n\)이라 하자. \(s_2 = rs_1\)을 만족시키는 \(r\)을 \(t\)에 대한 식으로 나타내고, \(\sum_{n=1}^\infty s_n = 3s_1\)을 만족시키는 \(t\)의 값을 구하시오. (40점)

2-1 \(f(0)\)의 값을 구하시오. (30점)

2-2 제시문 <나>의 조건 중 (ㄱ), (ㄴ)만을 이용하여 \(\int_0^3 p(x)dx\)의 값을 구하시오. (30점)

2-3 \(p(1)\)의 값을 구하시오. (40점)

1-1 그림과 같이 넓이가 \(1\)인 정사각형 \(11\)개로 이루어진 도형이 있다. 넓이가 \(1\)인 각각의 정사각형 내부를 빨간색, 파란색, 노란색의 세 가지 색 중 한 가지 색으로 칠한다. 각각의 가로 행에 빨간색으로 칠해진 정사각형의 개수가 파란색으로 칠해진 정사각형의 개수보다 크고, 각각의 가로 행에 노란색으로 칠해진 정사각형이 \(2\)개 이하가 되는 경우의 수를 구하시오. (30점)

1-2 그림과 같이 자연수 \(n\)에 대하여 가로의 길이가 \(n\)이고 세로의 길이가 \(10\)인 직사각형을 한 변의 길이가 \(1\)인 \(10 \times n\)개의 정사각형으로 나눈 도형이 있다. 한 변의 길이가 \(1\)인 각각의 정사각형 내부를 빨간색, 파란색, 노란색의 세 가지 색 중 한 가지 색으로 칠한다. 이 도형의 각 세로 열마다 세 가지 색이 적어도 한 번씩 나타나게 칠할 때, 넓이가 \(10n\)인 직사각형에서 빨간색, 파란색, 노란색으로 칠해진 부분의 넓이를 각각 \(p, q, r\)이라 하자. \(p, q, r\)의 모든 순서쌍 \((p, q, r)\)의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(f(5) + f(7)\)의 값을 구하시오. (30점)

1-3 주머니에 숫자 \(1\)이 적힌 공이 한 개, 숫자 \(2\)가 적힌 공이 두 개, 숫자 \(3\)이 적힌 공이 세 개 들어 있다. 이 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때 공에 적힌 수를 \(c\)라 하자. 다음 조건을 만족시키는 삼차함수 \(f(x)\)의 \(-1\)에서 \(c\)까지의 정적분의 값을 확률변수 \(Y\)라 할 때, \(Y\)의 기댓값 \(E(Y)\)를 구하시오.
<가> \(f(-1)=0, f(3)=0, f'(0)=18\)
<나> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \le f'\left(\frac{2}{3}\right)\)이다. (40점)

1-1 정수 \(n\)과 \(k\)가 \(1 \le k \le n\)을 만족시킬 때, 제시문 <나>를 이용하여 \[ {}_{3n+3}C_{3k} = {}_{3n}C_{3k-3} + 3 \times {}_{3n}C_{3k-2} + 3 \times {}_{3n}C_{3k-1} + {}_{3n}C_{3k} \] 가 성립함을 보이시오. (20점)

1-2 자연수 \(n\)에 대해 \(a_{n+1} = 2 + \sum_{k=1}^n {}_{3n+3}C_{3k}\)를 이용하여 \(a_n + a_{n+1} = 3 \times 2^{3n}\)이 성립함을 보이시오. (40점)

1-3 \(\sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-1}\)의 값을 구하시오. (40점)

1-1 한 개의 동전을 같은 면이 연속으로 두 번 나올 때까지 반복하여 던지되, 최대 \(3000\)번까지만 던질 수 있다. 이때 동전을 던진 횟수가 \(2022\) 이하일 확률을 구하시오. (단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 \(\frac{1}{2}\)로 동일하다.) (20점)

1-2 그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(AB\) 위의 두 점 \(P, Q\)에 대하여 현 \(PQ\)의 길이가 \(x\) (\(0 \lt x \lt 2\))일 때, 호 \(PQ\)와 현 \(PQ\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(f(x)\)라고 하자. 함수 \(f(x)\)의 \(x=1\)에서의 미분계수를 구하시오. (40점)

1-3 함수 \(f(x) = \ln(\ln(x+e))\)와 양의 실수 \(a, b\)에 대하여 부등식 \[ f(a+b) < f(a) + f(b) \] 가 항상 성립함을 보이시오. (40점)