[제시문]
(가) 직각삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB} = x, \overline{BC} = \frac{1}{x}\) \(x > 0\) \()\)이고 \(\angle ABC = 90^\circ\)이다. 내접원 넓이를 \(f(x)\) , 외접원 넓이를 \(g(x)\)라 한다.
(나) 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)과 기울기가 \(\sqrt{m}\) \(0 \le m \le 2026\))인 접선 및 도형의 성질을 분석한다.
1-1 \(f(x) 와 g(x) 를 x 에 대한 식으로 구하고 \lim_{x \to \infty} f(x)g(x)\)를 구하시오. (15점)
1-2 타원의 접선 방정식 및 넓이 함수 \(S(m)\)을 구하고 몫의 미분법으로 최댓값을 구하시오. (15점)
1-3 공간벡터 도형의 성질을 파악하여 삼각형 넓이를 구하시오. (20점)
[제시문]
포물선 \(y^2 = 4px\) \(p > 0\) \()\) 위의 점 \(P(x_1\)\(, y_1\) 에서의 접선의 방정식은 \(y_1 y =\) \(2p(x\) \(+ x_1\)이다.
또한 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 a > b > 0\) 위의 점 \(Q(x_2\)\(, y_2\) 에서의 접선의 방정식은 \(\frac{x_2 x}{a^2} + \frac{y_2 y}{b^2} = 1\)이다.
그림과 같이 포물선과 타원이 제\(1\)사분면의 점 \(R\)에서 직교(두 곡선의 접선이 서로 수직)할 때, 두 곡선의 초점과 접선의 성질이 적용된다.
1-1 포물선 \(y^2 = 4px\)와 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 이 교점 \(R(x_0\)\(, y_0\) \(x_0 > 0, y_0 > 0\) \()\)에서 직교하기 위한 필요충분조건이 \(a^2 - b^2 = 2p x_0\) 임을 증명하시오. (15점)
1-2 \(p = 1, a = 2, b = 1\)일 때, 교점 \(R\)의 좌표 \(x_0, y_0\)를 구하시오. (15점)
1-3 포물선 \(y^2 = 4x\)와 타원 \(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\)의 교점 \(R\) 에서의 두 접선과 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (20점)
[제시문]
자연수 \(n\)에 대하여 구간 \([0, 1]\)을 \(n\) 등분한 분할점을 \(0 = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = 1\) 이라 하자. \(x_k = \frac{k}{n}\) \()
함수 \(f(x)\)가 구간 \([0, 1]\)에서 연속일 때, 정적분과 급수의 관계는 다음과 같다:
___MATH_DISPLAY_TOKEN_00002___
또한, 수열 \(A_n = \sum_{k = 1}^n \frac{n}{n^2 + k^2}\)의 극한값은 정적분을 이용하여 계산할 수 있다.\)
2-1 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k^2}\)의 값을 구하시오. (15점)
2-2 수열 \(a_n = \sum_{k = 1}^n \frac{k}{n^2 + k^2}\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} a_n\)의 값을 구하시오. (15점)
2-3 수열 \(b_n = \sum_{k = 1}^n\) \(\frac{n^2}{(n^2\) \(+ k^2\)\(\sqrt{n^2\) \(+ k^2}}\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} b_n\)의 값을 구하시오. (20점)
[제시문]
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\) \(= \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\)에 대하여 생각하자.
함수 \(f(x)\)의 극값, 변곡점, 그리고 점근선은 그래프의 개형을 결정하는 중요한 요소이다.
곡선 \(y=f(x)\) 위에서의 접선의 방정식과 두 변곡점을 지나는 직선의 성질을 분석한다.
1-1 함수 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\)의 극값과 변곡점의 좌표를 모두 구하시오. (15점)
1-2 곡선 \(y=f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식을 구하고, 두 변곡점에서의 접선이 이루는 예각의 크기 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta\)의 값을 구하시오. (15점)
1-3 실수 \(k\)에 대하여 방정식 \(f(x)\) \(= k\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(k\)의 범위에 따라 조사하시오. (20점)
[제시문]
좌표공간에서 두 벡터 \(\vec{a} =\) \(1, 2, 2\)\(, \vec{b} =\) \(2, 1, - 2\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자.
평면 \(\alpha : x + 2y + 2z = 9\) 위에 원점에 중심이 있고 반지름이 \(3\)인 원 \(C\)가 있다.
구 \(S : x^2 + y^2 + z^2 = 9\)와 평면 \(\alpha\)의 교선이 이루는 공간 도형의 정사영을 생각한다.
2-1 두 벡터 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 내적 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)를 구하고, 두 벡터가 이루는 각의 크기 \(\theta\)를 구하시오. (15점)
2-2 원점에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H\)의 좌표를 구하고, 원점과 평면 \(\alpha\) 사이의 거리를 구하시오. (15점)
2-3 구 \(S\) 위의 점 \(P\)에 대하여 점 \(P\)에서 \(xy\) 평면에 내린 정사영 \(P'\)의 자취가 이루는 영역의 넓이를 구하시오. (20점)
[제시문]
방정식 \(x^3 + y^3 - 3a x y = 0\) \(a > 0\) \()\)으로 정의되는 곡선을 생각하자 데카르트의 엽선\()\)\(.\)
음함수의 미분법을 이용하여 곡선 위의 점 \(x_0, y_0\) 에서의 접선의 기울기를 구한다.
제\(1\)사분면에서 \(x+y=c\) 형태의 직선과의 교점 및 루프 내부의 넓이를 분석한다.
1-1 음함수 미분법으로 \(\frac{dy}{dx}\)를 구하고, 곡선 위 점 \(x_0, y_0\) \(x_0 y_0 \ne a\))에서의 접선의 방정식을 구하시오. (15점)
1-2 \(a=1\)일 때, 기울기가 \(-1\)인 접선의 방정식과 접점의 좌표를 구하시오. (15점)
1-3 곡선 \(x^3 + y^3 - 3xy = 0\)의 제1사분면 루프 내부 영역의 넓이를 구하시오. (20점)
[제시문]
좌표공간에서 중심이 \(O(0\)\(, 0, 0\) 이고 반지름이 \(2\)인 구 \(S : x^2 + y^2 + z^2 = 4\)가 있다.
평면 \(\alpha : x + y + z = 2\)가 구 \(S\)와 만나서 생기는 교선을 \(C\)라 하자.
원점 \(O\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H\)와 교선 \(C\)가 이루는 정사영 단면을 평가한다.
2-1 원점에서 평면 \(\alpha\) 까지의 거리 \(d\)와 수선의 발 \(H\)의 좌표를 구하시오. (15점)
2-2 구 \(S\)와 평면 \(\alpha\)의 교선 \(C\)인 원의 반지름 \(r\)과 원 \(C\)의 넓이를 구하시오. (15점)
2-3 교선 \(C\)를 \(xy\)평면 위로 정사영시킨 도형의 넓이를 구하고, 정사영 도형의 장축과 단축의 길이를 구하시오. (20점)
