2027학년도 한양대학교 수리논술 문제집 (자연계열 오후1 5개년: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육)

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QUESTIO MATH ESSAY

5개년 통합 기출 문제집 (자연계열 오후1)

[기계 ∙ 신소재 ∙ 전기 ∙ 산업 ∙ 자연과학 ∙ 수학교육]

한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 문제집

🎯 [오후1 전형] 대상 모집단위 (전공·계열)

공과대학: 전기·생체공학부(전기공학), 신소재공학부, 기계공학부, 산업공학과, 원자력공학과, 바이오메디컬공학
자연과학대학: 수학과, 물리학과, 화학과, 생명과학과
사범대학: 수학교육과

QUESTIO 수리논술 입시연구소

2027학년도 수험생용

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1]

2026학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 곡선 \(y=2^x\) 위에 \(x\)좌표가 \(6\) 이상인 점 \(A_1\)이 있다. 자연수 \(n\)에 대하여
\(n\)이 홀수이면 점 \(A_{n+1}\)은 점 \(A_n\)에서 \(x\)축에 내린 수선과 곡선 \(y=2^{x-3}+35\)가 만나는 점이고,
\(n\)이 짝수이면 점 \(A_{n+1}\)은 점 \(A_n\)에서 \(y\)축에 내린 수선과 곡선 \(y=2^x\)이 만나는 점이다.
자연수 \(k\)에 대하여 점 \(A_{2k-1}\)의 \(y\)좌표를 \(y_k\)라 하자.
<나> \(a^2+b^2=1\)인 두 실수 \(a, b\)에 대하여 함수
\[ f(x) = \int_0^x (a\sin t + b|\sin(2t)|) dt \] 가 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 함수 \(f(x)\)가 구간 \((0, \pi)\)에서 증가하거나 구간 \((0, \pi)\)에서 감소한다.
(2) 함수 \(f(x)\)가 구간 \((\pi, 2\pi)\)에서 증가하거나 구간 \((\pi, 2\pi)\)에서 감소한다.

1-1 \(\overline{A_2A_3} = 1\)일 때 두 선분 \(A_1A_2, A_2A_3\)과 곡선 \(y=2^x\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (15점)

1-2 \(y_5 = \frac{10725}{256}\)일 때 \(y_1\)의 값을 구하시오. (15점)

1-3 정적분 \(\int_0^{2026\pi} |f'(x)| dx\)의 값이 최소가 되도록 하는 모든 순서쌍 \((a, b)\)와 그 최솟값을 구하시오. (20점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2]

2026학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
사면체 ABCD

<가> 오른쪽 그림과 같이 \(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=a\)이고 \(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DB}=6\)인 사면체 \(ABCD\)가 있다. 점 \(A\)에서 삼각형 \(BCD\)에 내린 수선의 발을 \(O\), 점 \(O\)를 지나고 직선 \(BC\)에 평행한 직선이 선분 \(CD\)와 만나는 점을 \(P\)라 하자. (단, \(a > 2\sqrt{3}\))

<나> 제시문 <가>에서 주어진 사면체 \(ABCD\)에 대하여 정육면체 \(EFGH-IJKL\)은 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 정사각형 \(IJKL\)은 면 \(BCD\)에 포함되고, 직선 \(IJ\)와 직선 \(BC\)는 서로 평행하다.
(2) 선분 \(EF\)는 면 \(ABC\)에 포함된다.
(3) 점 \(G\)는 면 \(ACD\)에, 점 \(H\)는 면 \(ABD\)에 포함된다.

2-1 네 삼각형 \(DOP, AOD, AOP, APD\)의 넓이의 곱을 \(a\)에 관한 식으로 표현하시오. (15점)

2-2 평면 \(ACD\)가 평면 \(EFGH\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta_1\), 평면 \(ACD\)가 평면 \(FJKG\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta_2\), 평면 \(ACD\)가 평면 \(EIJF\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta_3\)이라 하자. \(\theta_1, \theta_2, \theta_3\) 중 가장 작은 것을 \(\theta\)라 할 때, \(\cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}\)이 되도록 하는 \(a\)의 값을 모두 구하시오. (15점)

2-3 \(a=4\)일 때 정사각형 \(EIJF\)의 평면 \(ACD\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (20점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1]

2025학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1-1 \(20 \le \int_1^2 (2x^3 + 3ax^2 + bx)dx \le 30\)을 만족시키는 \(5\) 이하의 두 자연수 \(a, b\)의 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수를 구하시오. (30점)

1-2 그림과 같이 정사각형이 가로로 \(n\)개, 세로로 \(n\)개씩 놓여 있는 정사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 지점 \(A\)에서 출발하여 지점 \(B\)까지 최단 거리로 갈 때, 지점 \(A\)와 지점 \(B\)를 제외하고 이동 방향이 바뀌는 지점의 개수가 \(4\)인 경우의 수를 \(f(n)\), 이동 방향이 바뀌는 지점의 개수가 \(7\)인 경우의 수를 \(g(n)\)이라 하자. \(f(6)\)과 \(\sqrt{2 \times g(32)}\)의 값을 구하시오. (30점)

1-3 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(g(x)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

<가> 서로 다른 세 실수 \(a_1, a_2, a_3\)에 대하여 \(f(a_1) = f(a_2) = f(a_3) = 0\)이다.

<나> \(x \le a_2\)일 때 \(f(x) = |g(x)|\)이다.

<다> 함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

조건을 만족시키는 함수 \(f(x)\) 중 실수 \(a_4, a_5\)에 대하여 \(f(a_4) = f(a_5) = 0\) \((a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4 \lt a_5)\)을 만족시키고, 닫힌구간 \([a_1, a_5]\)에서 극댓값을 갖지 않는 함수에 대하여 \(a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 3\)일 때 \(\int_{a_1}^{a_5} |f(x)|dx\)의 값을 구하시오. (40점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2]

2025학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)

2-1 자연수 \(n\)에 대하여, \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}\)일 때 두 곡선 \(y = \sin x\)와 \(y = \frac{n}{n+1}\tan x\)가 만나는 점을 \(P_n\)이라 하자. 점 \(P_n\)에서의 곡선 \(y = \sin x\)의 접선을 \(l_1\), 점 \(P_n\)에서의 곡선 \(y = \frac{n}{n+1}\tan x\)의 접선을 \(l_2\)라 하자. 두 직선 \(l_1, l_2\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\lim_{n \to \infty} n^2 S_n\)의 값을 구하시오. (30점)

2-2 점 \(F\)를 초점으로 하는 포물선 \(y^2 = 4px\) \((p>0)\) 위에 원점이 아닌 점 \(P(x_1, y_1)\)이 있다. 점 \(P\)에서 포물선에 접하는 직선이 직선 \(x = -p\)와 만나는 점을 \(Q\)라 하고, 점 \(Q\)와 \(y\)좌표가 같은 포물선 위의 점을 \(P'\)이라 하자. 각 \(PFP'\)의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\cos\theta = \frac{1}{5}\)이다. \(x_1\)을 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오. (30점)

2-3 한 변의 길이가 \(4\)인 정육면체 \(ABCD-EFGH\)가 있다. 선분 \(FH\) 위의 한 점 \(P\)와 선분 \(FG\) 위의 한 점 \(Q\)에 대하여 선분 \(CP\)와 선분 \(DQ\)가 한 점 \(R\)에서 만나고, \(\overline{DR} : \overline{RQ} = 4 : 3\)이다. 평면 \(APC\)와 평면 \(EFGH\)가 이루는 각의 크기가 \(\theta\)일 때, \(\cos\theta\)의 값을 구하시오. \(\left(\text{단, } 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\) (40점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1]

2024학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1-1 오른쪽 그림은 크기가 같은 정육면체 \(25\)개를 가로로 \(5\)개, 세로로 \(5\)개씩 쌓아 만든 직육면체이다. 정육면체의 모서리를 따라 꼭짓점 \(P\)에서 꼭짓점 \(Q\)까지 최단거리로 이동할 때, 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나지 않고 이동하는 경우의 수를 구하시오. (30점)

1-2 주머니 \(A\)에는 숫자 \(4\)가 적힌 공이 세 개, 숫자 \(6\)이 적힌 공이 두 개, 숫자 \(8\)이 적힌 공이 한 개 들어 있고, 주머니 \(B\)에는 숫자 \(0\)이 적힌 공이 여섯 개, 숫자 \(1\)이 적힌 공이 네 개 들어 있다. 주머니 \(A\)에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때 공에 적힌 수를 \(a\), 주머니 \(B\)에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때 공에 적힌 수를 \(b\)라 하자. 곡선 \(y=(x+7)\left(x^2 - abx + \frac{a-6}{2}\right)\)이 \(x\)축과 만나는 세 점 중에서 가장 가까운 두 점 사이의 거리를 확률변수 \(X\)라 할 때, \(X\)의 기댓값 \(E(X)\)를 구하시오. (40점)

1-3 \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \frac{1}{\sin^2 2x}\)에 대하여 두 함수 \(g(x)\)와 \(h(x)\)를 \[ g(x) = \int_{\pi/6}^x f(t)dt, \quad h(x) = \int_{\pi/6}^x g(t)dt \quad \left(0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}\right) \] 라 하자. 극한값 \[ \lim_{x \to 0+} \frac{h(x) + \{g(x)\}^2}{f(x)} \] 을 구하시오. (단, \(\lim_{t \to 0+} t^2 \ln t = 0\)이다.) (30점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2]

2024학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
반원과 내접반원

<가> 오른쪽 그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원의 호 위에 \(\overline{QB} < \overline{PB}\)이고 \(\overline{PQ} = 1\)인 두 점 \(P, Q\)가 있다. 이 반원 안에 선분 \(PQ\)를 지름으로 하고 선분 \(AB\)와 점 \(H\)에서 접하는 반원이 있다.
(1) 선분 \(AB\)의 중점을 \(O\)라 할 때, \(\angle BOQ = \theta\)라 하자. (단, \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\))
(2) 선분 \(PQ\) 위의 점 \(T\)에 대하여 점 \(T\)를 지나고 선분 \(AB\)와 수직인 직선이 호 \(AB\)와 만나는 점을 \(S\)라 하자.

<나> 오른쪽 그림과 같이 평면 \(\alpha\)와 평면 \(\beta\)는 직선 \(l\)에서 만난다. 평면 \(\alpha\) 위에 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하는 반구와 평면 \(\beta\)가 만나서 생기는 도형은 반지름의 길이가 \(\frac{1}{2}\)인 원 \(C\)이다. 원 \(C\)를 밑면으로 하는 반구는 평면 \(\alpha\)와 한 점 \(H\)에서만 만난다.

2-1 제시문 <가>에서 주어진 각의 크기 \(\theta\)에 대하여, \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)의 값을 구하시오. (40점)

2-2 제시문 <가>에서 주어진 두 점 \(S\)와 \(T\)에 대하여, 선분 \(ST\)의 길이의 최댓값을 구하시오. (30점)

2-3 제시문 <나>에서 주어진 원 \(C\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (30점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1]

2023학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 함수 \(f(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. \[ f(x) = \int_0^x (xt - t^2) e^{x-t} \, dt \] <나> 함수 \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(g(0) = 0\)
(2) \(e^{-x} \int_0^x g'(t) \, dt = \int_0^x e^{-t} g'(t) \, dt - x\sin(2\pi x)\)

1-1 제시문 <가>에서 주어진 곡선 \(y=f(x)\)의 오목과 볼록을 조사하고 변곡점의 좌표를 구하시오. (20점)

1-2 제시문 <가>에서 주어진 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((0, f(0))\)에서의 접선을 \(\ell_1\), 점 \((2, f(2))\)에서의 접선을 \(\ell_2\)라고 하자. 곡선 \(y=f(x)\)와 두 직선 \(\ell_1, \ell_2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (40점)

1-3 제시문 <나>에서 주어진 함수 \(g(x)\)에 대하여, \(\int_0^{2023} g(x) \, dx < 4046\pi e^{2023}\)이 성립함을 보이시오. (40점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2]

2023학년도 기출

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(1\)인 정육면체의 모서리 \(AD\) 위에 \(\overline{AP} \le \overline{PD}\)를 만족시키는 점 \(P\)가 있다. 삼각형 \(PBH\)의 넓이가 \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

2-1 삼각형 \(PBH\)의 평면 \(EFGH\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (30점)

2-2 \(3\)개의 바구니 \(X, Y, Z\) 각각에 \(1\)부터 \(n\)까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 공 \(n\)개가 들어 있다. 각 바구니에서 공을 하나씩 꺼냈을 때, \(X, Y, Z\)에서 나온 공에 적힌 세 수를 각각 \(x, y, z\)라 하자. \(x, y, z\)가 삼각형의 세 변의 길이가 되는 모든 순서쌍 \((x, y, z)\)의 개수를 \(A_n\)이라 할 때, \(A_{n+1} - A_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오. (30점)

2-3 함수 \(f(x) = x^{-2/3}(x+1)\)은 \(x>1\)인 범위에서 \(1.9\)보다 작은 최솟값을 갖는다. 이를 이용하여 \(3\)의 배수인 자연수 \(n\)에 대해 \[ \sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k < 1.9^n \] 이 성립함을 보이시오. (40점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1]

2022학년도 기출

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\)인 원 위의 두 점 \(P, Q\)를 잇는 한 호 \(PQ\)의 길이를 \(t\)라고 할 때, 현 \(PQ\)의 길이를 \(f(t)\), 현 \(PQ\)와 길이가 \(t\)인 호 \(PQ\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(g(t)\)라고 하자.
<나> 반지름의 길이가 \(1\)인 원 위에 서로 다른 \(n\)개의 점 \(P_0, P_1, \dots, P_{n-1}\)이 순서대로 놓여 있고, \(\overline{P_0 P_1} = \overline{P_1 P_2} = \dots = \overline{P_{n-2} P_{n-1}} = \overline{P_{n-1} P_0}\)을 만족시킨다. 예를 들어, 오른쪽 그림은 \(n=6\)인 경우이다.

1-1 제시문 <가>에서 주어진 식 \(f(t), g(t)\)에 대하여 극한값 \(\lim_{t \to 0^+} \frac{g(t)}{f(t)}\)를 구하시오. (30점)

1-2 제시문 <나>에서 주어진 \(n\)개의 점 \(P_0, P_1, \dots, P_{n-1}\)에 대하여 극한값 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\overline{P_0 P_1} + \overline{P_0 P_2} + \dots + \overline{P_0 P_{n-1}}}{n} \] 을 구하시오. (30점)

1-3 제시문 <나>에서 주어진 \(n\)개의 점 \(P_0, P_1, \dots, P_{n-1}\)에 대하여 호 \(P_0 P_1\)과 현 \(P_0 P_1\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\), 호 \(P_0 P_2\)와 현 \(P_0 P_2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\), \(\dots\), 호 \(P_0 P_{n-1}\)과 현 \(P_0 P_{n-1}\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_{n-1}\)이라 하자. 극한값 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{S_1^2 + S_2^2 + \dots + S_{n-1}^2}{n} \] 을 구하시오. (단, \(S_1 \lt S_2 \lt \dots < S_{n-1}\)이 되도록 호를 선택한다.) (40점)

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2]

2022학년도 기출

오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)

2-1 두 팀 A와 B가 배구 시합을 반복하여 어느 한 팀이 \(3\)승을 거두면 우승팀으로 결정된다. 각 시합은 팀 A가 승리할 확률이 \(p\)인 독립시행이고 무승부는 없다고 가정할 때, 우승팀이 결정될 때까지 실시한 시합 횟수의 기댓값을 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오. (30점)

2-2 장축의 길이가 \(6\), 단축의 길이가 \(4\)인 타원이 있다. 네 변이 각각 이 타원에 접하는 직사각형의 한 변의 길이가 \(2\sqrt{5}\)일 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오. (30점)

2-3 실수 전체의 범위에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 임의의 양수 \(a\)에 대하여 \[ \int_{-a}^a (a-|x|)f'(x) \, dx = 0 \] 을 만족시킨다. 이때 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(-x)\)가 성립함을 보이시오. (40점)