2027학년도 한양대학교 수리논술 문제집 (자연계열 오전 5개년: 건축·건설·도시·간호·식품·인터칼리지)

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QUESTIO MATH ESSAY

5개년 통합 기출 문제집 (자연계열 오전)

[건축 ∙ 건설환경 ∙ 도시 ∙ 간호 ∙ 식품영양 ∙ 인터칼리지]

한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 문제집

🎯 [오전 전형] 대상 모집단위 (전공·계열)

공과대학: 건축학부(5년제), 건축공학부, 건설환경공학과, 도시공학과, 자원환경공학과
간호대학: 간호학과 ∙ 생활과학대학: 식품영양학과
자율전공: 한양인터칼리지학부(자연)

QUESTIO 수리논술 입시연구소

2027학년도 수험생용

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 1]

2026학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)
삼각함수의 성질(사인법칙, 코사인법칙), 경우의 수의 곱의 법칙 및 수열의 합, 다항함수의 정적분 개념을 바탕으로 논리적으로 논증하시오.

1-1 \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{AC} = 3\)이고 넓이가 \(\sqrt{26}\)인 삼각형 \(ABC\)가 있다. \(\angle A\)가 예각일 때 삼각형 \(ABC\)의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오. (15점)

1-2 자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(X = \{a, b, c\}\)에서 집합 \(Y = \{y \mid y\text{는 } n\text{ 이하의 자연수}\}\)로의 함수 \(f\) 중에서 다음 조건을 만족시키는 것의 개수를 \(a_n\)이라 하자.

\(f(a)\)는 홀수 또는 \(f(b)\)는 짝수이다.

\(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)라 할 때 \(\frac{S_9 - S_1}{S_{12}}\)의 값을 구하시오. (15점)

1-3 \(\int_{1/2}^2 \left| (x+2)(x-1)^2 - 4\sin\frac{(2n-1)\pi}{6} \right| dx < 4\)를 만족시키고 \(2026\)보다 작은 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오. (20점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2]

2026학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
초월함수와 삼각함수의 대칭성 및 정적분으로 정의된 함수의 미분가능성, 원과 접선의 위치 관계 및 극한의 조임정리(샌드위치 정리), 속도·가속도와 합성함수의 이계도함수 성질을 종합적으로 활용하시오.

2-1 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(1) \(f(x) = \begin{cases} -(e^x - \cos x)^{2026}\sin x & (0 \le x \le 2\pi) \\ x - 2\pi & (x > 2\pi) \end{cases}\)
(2) \(x < 0\)일 때 \(f(x) = -f(-x)\)

함수 \(g(x) = \left| \int_a^x f(t) dt \right|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 \(a\)의 값을 모두 구하시오. (15점)

2-2 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1)\) (\(a > 1\))이 서로 다른 두 점 \(P, Q\)에서 만나고, 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(y = a(x-1) + k\) (\(k\)는 양의 실수)가 서로 다른 두 점 \(R, S\)에서 만난다. 두 선분 \(PQ, RS\)와 길이가 \(\pi\)보다 작은 두 호 \(PR, QS\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(k)\)라 하자. 극한값 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k}\)를 구하시오. (단, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표보다 크고, 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 점 \(S\)의 \(x\)좌표보다 크다.) (15점)

2-3 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(t)\)가 \(g(t) \ge 0\)이고 이계도함수를 갖는다. 좌표평면 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le 4\))에서의 위치를 \((t, g(t))\)라 하자. 점 \(P\), 함수 \(f(x)\)와 함수 \(h(t) = f(g(t))\) (\(0 \le t \le 4\))는 다음 조건을 만족시킨다.

(1) \(t = \frac{1}{4}\)일 때 점 \(P\)는 \(x\)축 위에 있고 가속도는 \((0, 1)\)이다.
(2) \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 속력이 최대가 되고, 이때 속력은 \(\sqrt{2}\)이다.
(3) 함수 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이고, \(x \ge 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이다.
(4) \(h\left(\frac{1}{4}\right) = 0\), \(h'(1) = \frac{9}{4}\), \(h''\left(\frac{1}{4}\right) = 4\), \(h''(1) = -2\)

\(f(3)\)의 값을 구하시오. (20점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 1]

2025학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
각 자릿수가 \(0\) 또는 \(1\)이고, 일의 자리를 제외한 각 자리에 나타나는 \(0\)의 개수의 합이 \(1\) 이하인 모든 자연수의 집합을 \(A\)라 하자. 또한 자연수 \(n\)에 대하여 집합

\[A_n = \{x \mid x \in A \text{ 이고 } n-1 \le \log_{10} x < n\}\]

이라 하자. 예를 들어, \(11101110\), \(11111110\)은 집합 \(A_8\)의 원소이고 \(11111001\)은 집합 \(A_8\)의 원소가 아니다.
\(60\)보다 큰 자연수 \(r\)에 대하여, 집합 \(A\)의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열하여 첫 번째부터 \(r\)번째까지의 숫자를 크기와 모양이 같은 카드에 한 개씩 적어 상자에 넣었다. 이 상자에서 임의로 한 장의 그 카드에 적힌 숫자가 \(10^5\)보다 크고 \(10^9\)보다 작은 수일 확률이 \(\frac{4}{7}\)이다. 이 상자에서 임의로 한 장의 카드를 뽑아 그 카드에 적힌 숫자에 나타나는 \(0\)의 개수를 확률변수 \(X\)라 하자.

1-1 \(r\)의 값을 구하시오. (30점)

1-2 \(V(X)\)의 값을 구하시오. (40점)

1-3 집합 \(A_n\)의 원소에 나타나는 숫자 \(1\)의 총 개수를 \(a_n\)이라 하자. 예를 들어, \(A_2 = \{10, 11\}\)이므로 \(a_2 = 3\)이다. 이때 \(\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 구하시오. (30점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2]

2025학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 함수 \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\)과 \(-\frac{1}{\sqrt{3}} \lt t \lt \frac{1}{\sqrt{3}}\)인 실수 \(t\)에 대하여 점 \(A(t, f(t))\)가 있다. 점 \(A\)가 아닌 곡선 \(y=f(x)\) 위의 서로 다른 두 점 \(B, C\)에 대하여 점 \(B\)에서의 접선과 점 \(C\)에서의 접선이 모두 점 \(A\)를 지날 때, 직선 \(AB\), 직선 \(AC\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(g(t)\)라 하자.
<나> 자연수 \(n\)에 대하여 원 \(x^2+y^2 = 40n^4\)과 직선 \(y = -3x + 10n\)이 만나는 서로 다른 두 점을 \(P_n, Q_n\)이라 하자. 선분 \(P_n Q_n\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 정수인 점의 개수를 \(T_n\)이라 하자.
<다> 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^n a_k = T_n + 1\)을 만족시킨다.

2-1 \(g(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (40점)

2-2 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오. (40점)

2-3 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g''\left(\frac{a_k+4}{16n}\right)\)의 값을 구하시오. (20점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 1]

2024학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴하고, \[ \sum_{n=1}^\infty a_{2n} = -4, \quad \sum_{n=1}^\infty |a_n| = 20 \] 이 성립한다.
<나> 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 방정식 \(f(x)=0\)은 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))를 갖고, \(\int_0^\alpha |f(x)|dx = \frac{50}{3}\)이다.
(2) 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=6\)에서 미분가능하고, 곡선 \(y=|f(x)|\) 위의 점 \((6, |f(6)|)\)에서의 접선의 \(y\)절편이 \(|f(0)|\)이다.
<다> \(x>0\)에서 정의된 함수 \(g(x) = e^{-x}|\cos x|\)에 대하여 수열 \(\{b_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다.
(1) \(b_1 < 1\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_{n+1} < b_n\)이다.
(2) \(b_1 \lt k \lt 1\)인 모든 실수 \(k\)에 대하여 곡선 \(y=g(x)\)와 직선 \(y=k\)가 만나는 점의 개수는 \(1\)이다.
(3) 모든 자연수 \(n\)과 \(b_{n+1} \lt k \lt b_n\)인 모든 실수 \(k\)에 대하여 곡선 \(y=g(x)\)와 직선 \(y=k\)가 만나는 점의 개수는 \(2n+1\)이다.

1-1 급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_{4n-1}\)의 합이 될 수 있는 값을 모두 구하시오. (30점)

1-2 \(f(10)\)의 값을 구하시오. (40점)

1-3 급수 \(\sum_{n=1}^\infty b_n\)의 합을 구하시오. (30점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2]

2024학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 파란 상자에는 숫자 \(1, 2, 3, 4\)가 하나씩 적혀 있는 \(4\)개의 공이 들어 있고, 빨간 상자에는 숫자 \(5\)가 적혀 있는 공이 \(4\)개, 숫자 \(6\)이 적혀 있는 공이 \(3\)개 들어 있다. 파란 상자에서 임의로 \(1\)개의 공을 꺼낼 때 공에 적힌 수를 \(k\), 빨간 상자에서 임의로 \(4\)개의 공을 동시에 꺼낼 때 숫자 \(5\)가 적힌 공의 개수를 \(l\)이라 하자.
<나> 평균이 \(10\), 표준편차가 \(4\)인 확률변수 \(X\)에 대하여, 확률변수 \(Y = -0.5X + 5\)의 평균을 \(m\), 표준편차를 \(\sigma\)라 하자. 정규분포 \(N(m, \sigma^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출하여 추정한 모평균 \(m\)에 대한 신뢰도 \(98.76\%\)의 신뢰구간은 \(a \le m \le b\)이고 신뢰도 \(86.64\%\)의 신뢰구간은 \(c \le m \le d\)이다. (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413, P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772, P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)로 계산한다.)

2-1 제시문 <가>에서 주어진 \(k, l\)에 대하여 \(\frac{k}{l}\)의 값을 확률변수 \(W\)라 할 때, \(W\)의 기댓값 \(E(W)\)를 구하시오. (30점)

2-2 제시문 <가>에서 주어진 \(k, l\)에 대하여 가로의 길이가 \(k\)이고 세로의 길이가 \(l\)인 직사각형을 한 변의 길이가 \(1\)인 \(k \times l\)개의 정사각형으로 나눈 도형이 있다. 이 도형의 왼쪽 아래 꼭짓점을 \(A\), 오른쪽 위 꼭짓점을 \(B\)라 하자. (오른쪽 그림은 \(k=3, l=4\)인 경우이다.) 한 변의 길이가 \(1\)인 정사각형의 변을 따라 점 \(A\)에서 점 \(B\)까지 최단거리로 이동하는 경우의 수를 확률변수 \(U\)라 할 때, \(P(U \le 10)\)을 구하시오. (40점)

2-3 제시문 <나>를 읽고 두 부등식 \(1 < b - a\)와 \(d - c < \frac{6}{5}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (30점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 1]

2023학년도 기출

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
오른쪽 그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 점 \(O\)는 선분 \(AB\)의 중점이다. 호 \(AB\) 위의 한 점 \(R\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하고, 점 \(H\)에서 선분 \(AR\)에 내린 수선의 발을 \(P\)라 하자.

1-1 \(\angle ROB = \frac{\pi}{3}\)일 때, \(\overline{OP}^2 + \overline{BP}^2\)의 값을 구하시오. (30점)

1-2 점 \(R\)가 \(A\)에서 \(B\)까지 호 \(AB\) 위를 움직일 때, 선분 \(OP\)의 길이의 최솟값을 구하시오. (40점)

1-3 점 \(R\)가 \(A\)에서 \(B\)까지 호 \(AB\) 위를 움직일 때, 점 \(P\)가 이루는 곡선과 선분 \(AB\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 선분 \(AB\)에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. (30점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2]

2023학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)

2-1 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ \frac{a_n}{n+1} = \int_0^\beta \sin^n x \cos x \, dx \] 를 만족시킨다. \(\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{1}{6}\)일 때, \(\tan\beta\)의 값을 구하시오. \(\left(\text{단, } 0 < \beta < \frac{\pi}{2}\right)\) (40점)

2-2 평균이 \(m\), 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 \(\bar{X}\)라 하자. 이 모집단의 확률변수를 \(X\)라 할 때, 두 확률변수 \(X, \bar{X}\)가 다음 세 조건을 만족시킨다. 이때, \(m + \sigma + n\)의 값을 구하시오. (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772, P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938\)로 계산한다.) (30점)
(가) \(P(X \ge 8) + P(\bar{X} \ge 8) = 1\)
(나) \(P(X \ge 12) + P(\bar{X} \ge 7.5) = 1\)
(다) 표본평균의 값이 \(\bar{x}\)일 때, \(m\)에 대한 신뢰도 \(95.44\%\)의 신뢰구간이 \(\bar{x}-1 \le m \le \bar{x}+1\)이다.

2-3 평평한 면과 둥근 면이 나올 확률이 각각 \(p, 1-p\)인 윷짝 한 개를 \(2023\)번 던졌을 때, 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오. (단, \(0\)은 짝수이다.) (30점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 1]

2022학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
공간에서 두 평면 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 교선을 \(\ell\)이라 하고, 두 평면이 이루는 각의 크기를 \(\theta\) \(\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\)라고 하자.

1-1 평면 \(\alpha\) 위에 삼각형 \(ABC\)가 있다. \(\overline{AB} = \overline{AC} = 1\)이고 각 \(A\)는 직각이며 선분 \(BC\)는 직선 \(\ell\)과 평행할 때, 선분 \(AB\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 길이를 구하시오. (30점)

1-2 평면 \(\alpha\) 위에 점 \(P\)와 \(Q\)가 있다. \(\overline{PQ} = 1\)이고 직선 \(PQ\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각의 크기를 \(t\)라고 할 때, 선분 \(PQ\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 길이를 구하시오. (30점)

1-3 평면 \(\alpha\) 위에 한 변의 길이가 \(1\)인 정삼각형 \(RST\)가 있고 이 삼각형의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 삼각형 \(R'S'T'\)이라고 하자. \(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)일 때, \[ \overline{R'S'}^2 + \overline{S'T'}^2 + \overline{T'R'}^2 \] 의 값을 구하시오. (40점)

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2]

2022학년도 기출

오전 전형 건축학부 ∙ 건축공학 ∙ 건설환경 ∙ 도시공학 ∙ 간호학과 ∙ 식품영양 ∙ 한양인터칼리지(자연)

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)

2-1 주머니에 숫자 \(1, 2, 3\)이 각각 적힌 카드 \(3\)장이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 주머니에 넣는 시행을 \(54\)회 반복할 때, 꺼낸 카드에 적힌 수의 평균을 \(\bar{X}\)라 하자. 이때 표본평균 \(\bar{X}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다. \(-2\bar{X}\)의 평균과 분산을 구하고, \(P\left(-2\bar{X} \ge -\frac{11}{3}\right)\)의 값을 구하시오.
(단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 0.5) = 0.1915, P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413, P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772\)로 계산한다.) (30점)

2-2 함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)를 이용하여 \(a^b = b^a\)을 만족시키는 서로 다른 양의 정수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)를 모두 구하시오. (40점)

2-3 \(n \ge 3\)인 자연수 \(n\)에 대하여 둘레의 길이가 \(1\)인 정 \(n\)각형의 넓이를 \(f(n)\)이라 하자. \(f(12)\)의 값을 구하고, \(\lim_{n \to \infty} f(n)\)의 값을 구하시오. (30점)