[제시문]
(가) 직각삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB} = x, \overline{BC} = \frac{1}{x}\) \(x > 0\) \()\)이고 \(\angle ABC = 90^\circ\)이다. 내접원 넓이를 \(f(x)\) , 외접원 넓이를 \(g(x)\)라 한다.
(나) 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)과 기울기가 \(\sqrt{m}\) \(0 \le m \le 2026\))인 접선 및 도형의 성질을 분석한다.
1-1 \(f(x) 와 g(x) 를 x 에 대한 식으로 구하고 \lim_{x \to \infty} f(x)g(x)\)를 구하시오. (15점)
1-2 타원의 접선 방정식 및 넓이 함수 \(S(m)\)을 구하고 몫의 미분법으로 최댓값을 구하시오. (15점)
1-3 공간벡터 도형의 성질을 파악하여 삼각형 넓이를 구하시오. (20점)
(가) 평균값 정리: \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) \(=\) \(f'(c)\)인 \(c \in a, b\)가 존재한다.
(나) 사잇값 정리: \(f(a)f(b)\) \(< 0\)이면 \(f(c)=0\)인 \(c \in a, b\)가 존재한다.
(다) 몫의 미분법: \(\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
1-1 \(f(x)=x^3-3x+1\)의 \([0, 2]\)에서 평균값 정리를 만족하는 \(c\)를 구하시오. (15점)
1-2 \(g(0)=0\)\(,\)\(g(1)=2\)일 때 \(g'(x)+2xg(x)=2x\)가 \(0, 1\)에서 실근을 가짐을 보이시오. (15점)
1-3 \(h(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}\)에서 \(h'(x)>0\) 임을 밝히고 \(|h(x_1)-h(x_2)|\) \(< |x_1 - x_2|\)를 증명하시오. (20점)
(가) 정적분 넓이: \(S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx\)
(나) 두 점 사이 거리: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
(다) 매개변수 곡선 길이: \(L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt\)
2-1 포물선 \(y=x^2-4x+3\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이를 구하시오. (15점)
)
2-2 점 \(A(1)\(, 2\)와 곡선 \(y=x^2\) 위의 점 \(P(t\)\(, t^2\) 사이의 최단거리를 구하시오. (15점)
2-3 곡선 \(x=\cos^3 t, y=\sin^3 t ( 0 \le t \le \frac{\pi}{2}\))의 길이를 구하시오. (20점)
[제시문]
그림과 같이 반지름의 길이가 \(R\)인 원 \(O\)에 내접하는 삼각형 \(ABC\)가 있다. 점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하고, \(\angle BAC = \theta, \overline{AB} = c, \overline{AC} = b, \overline{AH} = h\)라 하자.
삼각형 \(ABC\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, 사인정리와 삼각함수의 성질에 의하여 다음 관계식이 성립한다:
___MATH_DISPLAY_TOKEN_00002___
또한, \(h = c \sin B = b \sin C\)가 성립한다.
1-1 \(\overline{AB} = c, \overline{AC} = b\) 이고 \(\angle BAC = \theta\)일 때, 선분 \(AH\)의 길이를 \(b, c, \theta\) 및 원의 반지름 \(R\)을 이용하여 나타내시오. (15점)
1-2 \(R=1\) 이고 \(b+c=2\)로 일정할 때, 삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S\)의 최댓값을 구하고 그때의 \(\theta\)의 값을 구하시오. (15점)
1-3 \(R=1\) 이고 \(\theta = \frac{\pi}{3}\)일 때, \(h\)의 최댓값을 구하시오. (20점)
[제시문]
주머니 속에 \(1\) 부터 \(n\) 까지의 자연수가 하나씩 적힌 \(n\) 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 하나의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이와 같은 시행을 반복할 때, \(k\) 번째 꺼낸 공에 적힌 수를 \(X_k\)라 하자.
확률변수 \(Y_m\)을 \(Y_m =\) \(\max(X_1\)\(, X_2, \dots, X_m\) \(1 \le m \le n\))이라 정의한다.
2-1 \(n = 5, m = 3\)일 때, 확률변수 \(Y_3\)의 기댓값 \(E(Y_3)\)을 구하시오. (15점)
2-2 임의의 자연수 \(n\)과 \(m\) \(1 \le m \le n\) \()\)에 대하여 확률변수 \(Y_m\)의 확률질량함수 \(P(Y_m\) \(= k\) \(m \le k \le n\))를 구하시오. (15점)
2-3 확률변수 \(Y_m\)의 기댓값 \(E(Y_m)\) 이 \(\frac{m(n+1)}{m+1}\)임을 증명하시오. (20점)
[제시문]
포물선 \(y^2 = 4px\) \(p > 0\) \()\) 위의 점 \(P(x_1\)\(, y_1\) 에서의 접선의 방정식은 \(y_1 y =\) \(2p(x+x_1)\)이다.
그림과 같이 포물선 \(y^2 = 4px\) 위의 점 \(P(x_0\)\(, y_0\) \(y_0 > 0\) \()\)에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(T\) , 초점을 \(F\)라 하자.
삼각형 \(PTF\)는 이등변삼각형이며, 선분 \(PF\)의 길이는 \(x_0 + p\)와 같다.
1-1 점 \(P(x_0\)\(, y_0\) 에서의 접선과 \(x\) 축의 교점 \(T\)의 좌표를 구하고, \(\overline{PT} = \overline{PF}\) 임을 증명하시오. (15점)
\)
1-2 \(p=1\)일 때, 점 \(P(4)\(, 4\) 에서의 접선과 포물선의 준선 및 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (15점)
1-3 초점 \(F(p\)\(, 0\)을 지나고 기울기가 \(m\)인 직선이 포물선과 만나는 두 점을 \(A, B\)라 할 때, \(\frac{1}{\overline{AF}} + \frac{1}{\overline{BF}} = \frac{1}{p}\) 임을 증명하시오. (20점)
[제시문]
이산확률변수 \(X\)가 가지는 값이 \(1, 2, \dots, n\) 이고 확률질량함수가 \(P(X=k)\) \(= c \cdot k\) \(k = 1, 2, \dots, n\) \()\)일 때, 확률의 총합은 \(1\)이다.
연속확률변수 \(Y\)의 확률밀도함수 \(f(y)\)가 구간 \([0, 2]\)에서 \(f(y)\) \(= k y 2 - y\)로 정의된다.
2-1 이산확률변수 \(X 의 확률상수 c 를 구하고, 기댓값 E(X) 를 n\)에 대한 식으로 나타내시오. (15점)
2-2 연속확률변수 \(Y 의 확률밀도함수 상수 k 를 구하고, 기댓값 E(Y) 와 분산 V(Y)\)를 구하시오. (15점)
2-3 확률변수 \(Z = 2X + 1\)에 대하여 \(V(Z)\) \(= 48\)일 때, 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. (20점)
[제시문]
타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 a > b > 0\)과 원 \(x^2 + y^2 = r^2 b < r < a\)이 있다.
타원 위의 제\(1\)사분면의 점 \(P(x_0\)\(, y_0\) 에서의 접선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(Q, R\) 이라 할 때, 삼각형 \(OQR\)의 넓이 \(S\)를 생각한다.
또한, 접선이 원 \(x^2 + y^2 = r^2\)에 접할 때 접점과 반지름 \(r\)의 성질이 적용된다.
1-1 점 \(P(x_0, y_0) 에서의 접선의 방정식과 점 Q, R 의 좌표를 구하고, 삼각형 OQR 의 넓이 S 를 x_0, y_0\)로 나타내시오. (15점)
1-2 \(a = 2, b = 1\)일 때, 삼각형 \(OQR\)의 넓이 \(S\)의 최솟값을 구하고 그때의 점 \(P\)의 좌표를 구하시오. (15점)
1-3 점 \(P(x_0\)\(, y_0\) 에서의 접선이 원 \(x^2 + y^2 = r^2\)에 접하기 위한 조건과 \(r\)의 범위를 구하시오. (20점)
[제시문]
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) \(= \int_0^x t - 1\)\(e^t\) \(dt\)에 대하여 생각하자.
정적분으로 정의된 함수의 미분 \(f'(x)\) \(= x - 1\)\(e^x\) 및 극값, 오목과 볼록, 급수의 극한 성질을 이용한다.
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n} = \alpha\]
2-1 함수 \(f(x) 의 극솟값과 그때의 x\)의 값을 구하시오. (15점)
2-2 곡선 \(y=f(x)\)의 변곡점의 좌표를 구하고, 구간 \([0, 2]\)에서 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (15점)
2-3 급수의 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n}\)의 값을 정적분으로 계산하시오. (20점)
\)
