오른쪽 [그림 1]과 같이 항공기가 수평 순항 고도 \(H\)에서 지면의 활주로에 부드럽게 착륙하기 위한 하강 궤적 곡선 \(y = f(x)\) (\(0 \le x \le
L\))을 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)로 모델링하고자 한다. 항공기는 하강 시작점 \(x=0\)에서 고도 \(H\) 및 수평
비행(\(f'(0)=0\))을 유지하고, 착륙점 \(x=L\)에서 지면 고도 \(0\) 및 수평 접촉(\(f'(L)=0\))을 만족해야 한다.
(1) 주어진 경계조건을 이용하여 삼차함수 \(f(x)\)의 계수 \(a, b, c, d\)를 \(H, L\)에
관한 식으로 나타내시오. (10.0점)
(2) 하강 구간 \([0, L]\)에서 하강 각도(기울기의 절댓값 \(|f'(x)|\))가 최대가 되는 지점의
\(x\)좌표와 그때의 최대 하강 기울기를 구하시오. (10.0점)
(3) 하강 궤적 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 단면 영역의 넓이 \(S
= \int_0^L f(x)\,dx\)를 구하시오. (10.0점)
2027학년도 한국항공대학교 수리논술 모의고사
공학계열
[항공우주기계·전자정보·신소재·AI자율주행]
공학계열 1회배점 35점
【문제 2】 스마트 드론의 나선 선회 궤적과 매개변수 곡선의 길이 [35.0점][미적분 : 매개변수 미적분]
[그림 2] 드론의 선회 나선 궤적
스마트 드론이 관측탑 주변 상공을 회전하며 선회 탐색 비행을 수행할 때, 좌표평면 위에서 드론의 위치 \(P(t)\) (\(0 \le t \le 2\pi\))가 다음과 같은
매개변수 방정식으로 주어진다.
\[
x(t) = 2t \cos t, \quad y(t) = 2t \sin t
\]
(1) 시각 \(t\)에서의 드론의 속도벡터 \((x'(t), y'(t))\)를 구하고, 속력 \(v(t) =
\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\)을 \(t\)의 식으로 나타내시오. (10.0점)
(2) \(t = 0\)부터 \(t = 2\pi\)까지 드론이 이동한 비행 궤적의 총 호의 길이 \(L =
\int_0^{2\pi} v(t)\,dt\)를 구하시오. (단, \(\int \sqrt{1+t^2}\,dt =
\frac{1}{2}\left(t\sqrt{1+t^2} + \ln(t+\sqrt{1+t^2})\right) + C\)를 이용할 것.)(12.0점)
(3) 드론의 위치벡터 \(\vec{r}(t) = (x(t), y(t))\)와 속도벡터 \(\vec{v}(t) =
(x'(t), y'(t))\)가 이루는 각을 \(\theta(t)\)라 할 때, \(\lim_{t \to \infty} \cos\theta(t)\)를 구하시오. (13.0점)
2027학년도 한국항공대학교 수리논술 모의고사
공학계열
[항공우주기계·전자정보·신소재·AI자율주행]
공학계열 1회배점 35점
【문제 3】 레이더 포물면 안테나의 반사 성질과 회전체 부피 [35.0점][기하 : 포물선의 접선 및 회전체]
[그림 3] 레이더 포물선 전파 반사
항공기 탐지용 레이더 안테나는 포물선 \(y^2 = 4px\) (\(p > 0\))를 \(x\)축 둘레로 1회전시켜 제작된 포물면 반사경을 사용한다. 오른쪽 [그림 3]과 같이
초점 \(F(p, 0)\)에서 방출된 전파가 포물면 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 반사될 때 접선과의 기하학적 성질에 의해 반사 전파는 \(x\)축과 평행하게 진행한다.
(1) 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식을 구하고, 이 접선이 \(x\)축과 만나는 점을
\(T\)라 할 때 \(\triangle FPT\)가 이등변삼각형(\(\overline{FP} = \overline{FT}\))임을 증명하시오. (10.0점)
(2) 초점 \(F\)를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 \(A(x_1, y_1), B(x_2,
y_2)\)라 할 때, \(\frac{1}{\overline{FA}} + \frac{1}{\overline{FB}} = \frac{1}{p}\)가 항상 성립함을 증명하시오.
(12.0점)
(3) 포물선 \(y^2 = 4x\) (\(p=1\))와 직선 \(x = 4\)로 둘러싸인 도형을 \(x\)축의
둘레로 1회전하여 생기는 레이더 반사경 내부의 부피 \(V\)를 구하시오. (13.0점)