2027학년도 한국외국어대학교 자연계 수리논술 기출 문제집 (2026~2022 5개년)

QUESTIO MATH ESSAY SERIES

2027학년도 대입 수리논술 대비
한국외국어대학교
자연계열 기출 수리논술 문제집

[ 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 5개년 41문항 완결 수록 ]

📌 수험생 필독 안내

• 본 교재는 고려대학교 자연계 수리논술 표준 템플릿(1문항 1페이지 완결형)으로 구성되었습니다.
• 모든 문항 상단에 과목/단원/출제개념/배점 및 권장 소요시간 버튼이 탑재되어 있습니다.
• 실전 시험과 동일하게 하단 모의 답안 작성란에 논리적 서술 연습을 진행하십시오.

QUESTIO 입시연구소 · QUESTIO PUBLISHING

📝 2027 한국외대 자연계열 수리논술 응시자 유의사항 및 출제 경향

1. 전형 특징 및 출제 범위
• 한국외국어대학교 자연계열 논술고사는 약술형이 아닌 정통 수리논술 형태로 출제됩니다.
• 출제 범위: 2015 개정 교육과정 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 전 범위
• 시험 시간: 80~90분 (총 7~10문항, 100점 만점)

2. 답안 작성 시 유의사항
• 답안은 반드시 검은색 필기도구(볼펜 또는 연필/샤프)를 사용하여 지정된 영역 내에 작성하십시오.
• 단순 결과값만 기술하는 경우 감점 처리되며, 공식 적용 근거와 논리적 계산 과정을 명시해야 합니다.
• 수학적 귀납법 증명, 도형의 성질, 샌드위치 정리, 사잇값 정리 등 핵심 정리를 명확히 제시하십시오.

3. 5개년(2026~2022) 기출 문항 구성표
• 2026학년도 기출 (7문항): 로그함수, 삼차함수 극값, 사인법칙 외접원, 거듭제곱근 개수, 사차함수 극한, 등차수열 합, 최댓값 정적분
• 2025학년도 기출 (7문항): 귀납법 자연수 격자점, 지수함수 점근선, 직사각형 넓이 분할, 삼차함수 부등식, 연속성 교점 개수, 삼각방정식, 절댓값 이차곡선 접선
• 2024학년도 기출 (7문항): 수열의 합, 조임정리 극한, 삼각방정식 해 개수, 삼차함수 넓이 최솟값, 로그 이진전개, 미분가능성 기호, 원과 포물선 접선 귀류법
• 2023학년도 기출 (10문항): 삼각부등식 판별식, 다항함수 결정, 사차함수 거리 극값, 적분함수 도함수, 지수방정식 자연수해, 상용로그 지표가수, 삼차함수 넓이, 등비수열 정적분, 연산 ⊙ 삼각방정식, 귀납법 배수 증명
• 2022학년도 기출 (10문항): 삼각함수 근과계수, 삼차함수 직선 넓이, 원과 직선 거리 극한, 귀납법 거듭제곱 나머지, 지수로그 산술기하, 로그함수 정삼각형, 사차함수 접선 교점, 수열의 합, 삼차함수 삼각형 넓이 최대, 백신 면역력 등비수열 모델링

수학Ⅰ

로그함수 · 지수·로그함수와 역함수의 교점 및 직선과의 교점

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 1 [10점]

함수 \(y = \log_2(x+a) + b\)와 그 역함수의 그래프가 만나는 두 점의 \(x\)좌표가 각각 \(-1, 1\)이다. 함수 \(y = \log_2(x+a) + b\)의 그래프가 직선 \(y = 3\)과 만나는 점의 \(x\)좌표를 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

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[ 문제 1 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅱ

도함수의 활용 · 삼차함수의 극값과 절댓값 함수의 미분가능성

⏱️ 11분 / 90분 (12점)

문제 2 [12점]

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f'(1) = 0, \; f'(3) = 0\)을 만족시킨다. 함수 \(g(x) = |f(x)|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 3이다. \(f(0)\)이 정수일 때, 모든 \(f(1)\)의 값의 합을 구하시오.

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[ 문제 2 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 12점

수학Ⅰ

삼각함수의 활용, 수열의 합 · 외접원의 반지름과 사인법칙

⏱️ 12분 / 90분 (13점)

문제 3 [13점]

좌표평면 위의 점 \(\mathrm{B}(0, 1)\)과 자연수 \(n\)에 대하여 점 \(\mathrm{A}_n(n, n+1)\)이 있다. 세 점 \(\mathrm{O}(0, 0), \mathrm{A}_n, \mathrm{B}\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{OA}_n\mathrm{B}\)의 외접원의 넓이를 \(a_n\)이라 할 때, \(\sum_{n=1}^{10} a_n\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 3 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 13점

수학Ⅰ

지수와 로그 · 거듭제곱근의 정의와 개수 판별

⏱️ 13분 / 90분 (14점)

문제 4 [14점]

\(1\)보다 큰 실수 \(a\)에 대하여 자연수 \(n\)이 \(2 \le n \le 9\)일 때, \((\log_a n - 1)\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 하자. \(\sum_{n=2}^{9} n \cdot f(n) = 56\)일 때, \(a\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 4 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 14점

수학Ⅱ

함수의 극한과 연속 · 다항함수의 차수 결정과 정수 실근

⏱️ 14분 / 90분 (16점)

문제 5 [16점]

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} > 0, \quad \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} > 0\)

(나) \(\lim_{x \to \infty} \frac{|f(x)|}{x^4} = 1\)

방정식 \(f(x) = 0\)의 모든 실근이 정수이고 실근의 합이 4일 때, 모든 실근의 곱을 구하시오.

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[ 문제 5 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 16점

수학Ⅰ

수열의 합 · 등차수열의 합과 절댓값 수열의 부등식

⏱️ 15분 / 90분 (17점)

문제 6 [17점]

첫째항이 30이고 공차가 정수인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 수열 \(\{T_n\}\)을 \(T_n = |S_n|\)이라 할 때, \(T_{10} = T_{11}\)이다. \(T_n > T_{n+1}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 \(m\), 최댓값을 \(M\)이라 할 때, \(m + M\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 6 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 17점

수학Ⅱ

정적분의 활용 · 구간별 함수의 최댓값 함수와 정적분

⏱️ 15분 / 90분 (18점)

문제 7 [18점]

실수 \(t\)에 대하여 \(-1 \le x \le 1\)에서 함수 \(f(x) = x^2 - 2|x - t| + 1\)의 최댓값을 \(g(t)\)라 할 때, \(\int_{-3}^{2} g(t) dt\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 7 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 18점

수학Ⅰ

수학적 귀납법 · 원 위의 자연수 격자점 증명

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 1 [10점]

자연수 \(n\)에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(45^n\)인 원 위의 점 중 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 자연수인 점이 존재함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

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[ 문제 1 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅰ

지수함수 · 구간별 지수함수의 점근선과 정수 격자점 추론

⏱️ 11분 / 90분 (12점)

문제 2 [12점]

상수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 정의하자.

\(f(x) = \begin{cases} 2^x & (x < 3) \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+a} - \left(\frac{1}{5}\right)^{3+a} + 8 & (x \ge 3) \end{cases}\)

함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 중 \(y\)좌표가 정수인 점의 개수가 32일 때, 정수 \(a\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 2 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 12점

수학Ⅱ

정적분의 활용 · 직사각형과 삼차함수 곡선의 넓이 분할 비율

⏱️ 12분 / 90분 (13점)

문제 3 [13점]

상수 \(a\; (-1 < a < 0)\)에 대하여 함수 \(f(x) = (x+1)(x-a)(x-1)\)이라 하자. 네 점 \((-1, 2), (-1, -2), (1, -2), (1, 2)\)를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 내부가 곡선 \(y = f(x)\)에 의해 나누어지는 두 영역의 넓이를 각각 \(S_1, S_2\) (\(S_1 > S_2\))라 하자. \(S_1 : S_2 = 5 : 4\)일 때, \(a\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 3 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 13점

수학Ⅱ

도함수의 활용 · 삼차함수의 극값과 부등식 및 그래프 개형

⏱️ 13분 / 90분 (14점)

문제 4 [14점]

양수 \(a\)에 대하여 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(a) = 0\)

(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x - 2a)f(x) \ge 0\)이다.

함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(-500\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 4 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 14점

수학Ⅱ

함수의 연속과 도함수 · 구간별 정의된 함수의 연속성과 교점 개수

⏱️ 14분 / 90분 (16점)

문제 5 [16점]

함수 \(f(x)\)가 다음과 같이 정의된다.

\(f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x + 8 & (x < 0) \\ 2x^2 - 8x + 8 & (x \ge 0) \end{cases}\)

정수 \(n\)과 상수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} 2f(x) & (x < a) \\ 6n - f(x) & (x \ge a) \end{cases}\)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a\)의 개수가 4일 때, 모든 정수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

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[ 문제 5 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 16점

수학Ⅰ

삼각함수 · 삼각방정식의 실근 개수와 계수의 곱

⏱️ 15분 / 90분 (17점)

문제 6 [17점]

자연수 \(a, b, c\)에 대하여 함수 \(f(x) = a\sin bx + c\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(0) \le 10\)

(나) \(0 < x < 2\pi\)일 때, 방정식 \(f(x) = a^2\)의 서로 다른 실근의 개수는 5이다.

\(a \times b \times c\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

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[ 문제 6 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 17점

수학Ⅱ

도함수의 활용 · 절댓값 이차곡선의 접선과 세 교점의 합

⏱️ 15분 / 90분 (18점)

문제 7 [18점]

점 \((-2, 0)\)을 지나고 기울기가 양수인 직선 \(l\)이 곡선 \(y = \frac{1}{4}|4x^2 + 3x - 1|\)과 서로 다른 세 점에서 만날 때, 이 세 교점의 \(x\)좌표의 합을 구하시오.

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[ 문제 7 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 18점

수학Ⅰ

수열 · 등차수열과 등비수열의 일반항 및 첫째항부터 제20항까지의 합

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 1 [10점]

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_1 = 1, a_2 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_{2n+1} = S_{2n} + 3n + 1, \quad S_{2n+2} = S_{2n+1} + 2^n\)일 때, \(S_{20}\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 1 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅱ

함수의 극한 · 샌드위치 정리와 분수식 극한을 통한 다항함수 결정

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 2 [10점]

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(|f(x) - x^2| \le 2\)이고, \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{3x^2 - x - 2} = \frac{2}{5}\)를 만족할 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 2 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅰ

삼각함수 · 삼각방정식의 일반해와 포물선 그래프 교점의 개수

⏱️ 12분 / 90분 (14점)

문제 3 [14점]

실수 \(t\; (-6 \le t \le 6)\)에 대하여 방정식 \(\sin^2(t^2 - 1) + \sin(t^2 - 1) - 1 = 0\)을 만족시키는 실수 \(t\)의 개수를 구하시오.

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[ 문제 3 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 14점

수학Ⅱ

정적분의 활용 · 삼차함수 곡선과 x축 사이의 넓이 최솟값

⏱️ 13분 / 90분 (14점)

문제 4 [14점]

최고차항의 계수가 12인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(0) = 0, \; f(2) = 0\)

(나) \(x < 0\)일 때 \(f(x) < 0\)이고, \(x > 2\)일 때 \(f(x) > 0\)이다.

곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값을 구하시오.

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[ 문제 4 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 14점

수학Ⅰ

로그와 수열 · 로그의 성질, 이진 거듭제곱 전개 및 시그마

⏱️ 14분 / 90분 (16점)

문제 5 [16점]

\(x > 1, y > 1\)인 실수 \(x, y\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(3(\log_x y - \log_y x^2)\)은 자연수이다.

(나) \(\log_x y = 2 + \sum_{n=1}^{100} \frac{a_n}{2^n}\) (단, \(a_n \in \{0, 1\}\))

(다) \(\log_y x = \sum_{n=1}^{100} \frac{b_n}{2^n}\) (단, \(b_n \in \{0, 1\}\))

이때 \(\sum_{n=1}^{100} (a_n + b_n)\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 5 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 16점

수학Ⅱ

함수의 극한과 연속, 미분 · 연속성과 미분가능성의 정의 판별

⏱️ 14분 / 90분 (16점)

문제 6 [16점]

실수 전체에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대하여 다음과 같이 정의하자.

\(\langle f(x) \rangle = \begin{cases} 1 & (f(x)\text{가 } x=0\text{에서 미분가능}) \\ 0 & (f(x)\text{가 } x=0\text{에서 연속이지만 미분불가}) \\ -1 & (f(x)\text{가 } x=0\text{에서 불연속}) \end{cases}\)

자연수 \(n\)에 대하여 \(f_n(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x^n(1+|x|)} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}\)일 때, \(\sum_{n=1}^{100} \langle f_n(x) \rangle\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 6 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 16점

수학Ⅱ

도함수의 활용 · 포물선과 원의 유일한 교점 및 귀류법 증명

⏱️ 17분 / 90분 (20점)

문제 7 [20점]

곡선 \(y = x^2 + 2\) 위의 점 \(\mathrm{P}(a, b)\)에 대하여, 중심이 직선 \(y = x\) 위에 있고 점 \(\mathrm{P}\)를 지나며 곡선 \(y = x^2 + 2\)와 오직 점 \(\mathrm{P}\)에서만 만나는 원을 \(C\)라 하자.
(1) \(a = -1/2\)일 때, 원 \(C\)가 존재하지 않음을 귀류법으로 증명하시오. [10점]
(2) \(a \neq -1/2\)일 때, 원 \(C\)가 존재함을 보이시오. [10점]

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[ 문제 7 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 20점

수학Ⅰ

삼각함수 · 이차부등식과 판별식 및 코사인 함수 범위

⏱️ 9분 / 90분 (9점)

문제 1 [9점]

모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(x^2 - (4\cos\theta)x + 1 \ge 0\)이 성립하도록 하는 \(\theta\)의 값의 범위가 \(\alpha \le \theta \le \beta\)일 때, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오. (단, \(0 \le \theta \le \pi\)이다.)

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[ 문제 1 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅱ

함수의 극한과 연속, 미분 · 다항함수의 결정과 미분계수 극한

⏱️ 9분 / 90분 (9점)

문제 2 [9점]

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^3 + 5x + 1} = 1\)

(나) \(\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x} = 2\)

이때 \(f'(2)\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 2 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅱ

미분 · 두 점 사이의 거리와 사차함수 최댓값·최솟값

⏱️ 9분 / 90분 (9점)

문제 3 [9점]

점 \(\mathrm{P}(0, 3)\)과 곡선 \(y = \frac{x^2}{4}\; (-1 \le x \le 3)\) 위의 점 \(\mathrm{Q}\)에 대하여, 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이의 최댓값을 \(a\), 최솟값을 \(b\)라고 할 때, \(a^2 \times b^2\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 3 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅱ

미분, 적분 · 정적분으로 정의된 함수와 도함수의 성질

⏱️ 9분 / 90분 (9점)

문제 4 [9점]

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)와 다항함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) \(f(0) = 8\)

(나) \(f(x) = 3 + \int_1^x (x - 2 + t) g(t) dt\)

이때 \(f(2)\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 4 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅰ

지수함수와 로그함수 · 지수방정식과 거듭제곱수의 자연수 조건

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 5 [10점]

자연수 \(n\)에 대하여 \(4^r - 2^{r + \frac{n}{10}} = -1\)을 만족시키는 실수 \(r\)이 존재한다. \(4^r + 4^{-r}\)이 자연수가 되도록 하는 모든 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

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[ 문제 5 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅰ

지수함수와 로그함수 · 상용로그 지표·가수와 유리함수 위의 점

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 6 [10점]

자연수 \(m, n\)과 \(0 < \alpha < 1, 0 < \beta < 1\)인 실수 \(\alpha, \beta\)에 대하여 \(\log a = m + \alpha, \; \log b = n + \beta\)이다.

(가) 점 \(\mathrm{P}(m, n)\)은 곡선 \(y = \frac{18}{x}\) 위의 점이다.

(나) 점 \(\mathrm{Q}(\alpha, \beta)\)는 직선 \(y = -x + 1\) 위의 점이다.

\(ab\)의 최댓값과 최솟값의 곱을 \(10^k\)이라 할 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 6 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅱ

적분 · 삼차함수와 절댓값 일차함수로 둘러싸인 도형의 넓이

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 7 [10점]

두 함수 \(f(x) = -4x(x+3)(x-3)\), \(g(x) = -16|x| + 48\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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[ 문제 7 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅰ, 수학Ⅱ

수열, 적분 · 정적분의 구간 성질과 등비수열의 공비 추론

⏱️ 10분 / 90분 (10점)

문제 8 [10점]

연속함수 \(f(x)\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)을 \(a_n = \int_0^n f(x) dx\)라 하자. 수열 \(\{a_n\}\)이 등비수열이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\int_0^1 f(x) dx < 0\)

(나) \(\int_{2020}^{2024} f(x) dx = 130\)

(다) \(\int_{2022}^{2024} f(x) dx = 90\)

이때 수열 \(\{a_n\}\)의 공비를 구하시오.

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[ 문제 8 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅰ

삼각함수 · 새로운 연산 ⊙과 구간별 삼각방정식

⏱️ 11분 / 90분 (12점)

문제 9 [12점]

실수 \(a, b\)에 대하여 연산 \(\odot\)을 \(a \odot b = \begin{cases} a - b & (a \ge b) \\ 0 & (a < b) \end{cases}\)라 정의하자. \(\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}\)일 때, \((\sin\theta \odot \cos\theta) + (\cos\theta \odot (1 - \cos\theta)) = \sin\theta\)를 만족시키는 \(\theta\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 9 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 12점

수학Ⅰ

수열 · 점화식과 수학적 귀납법을 이용한 배수 증명

⏱️ 11분 / 90분 (12점)

문제 10 [12점]

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1, \quad a_{n+1} = a_n^3 + 3a_n\)을 만족시킬 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n^2 + 2\)가 \(3^n\)의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

QUESTIO ESSAY GRID

[ 문제 10 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 12점

수학Ⅰ

삼각함수 · 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 삼각함수 기본 공식

⏱️ 8분 / 80분 (9점)

문제 1 [9점]

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 3x + 1 = 0\)의 한 근이 \(\tan\theta\)일 때, \(\sin\theta \times \cos\theta\)의 값을 구하시오. (단, \(\theta\)는 \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)인 상수이다.)

QUESTIO ESSAY GRID

[ 문제 1 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅱ

정적분의 활용 · 삼차함수 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이

⏱️ 8분 / 80분 (9점)

문제 2 [9점]

곡선 \(y = x^3 - x\)와 직선 \(y = 3x\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

QUESTIO ESSAY GRID

[ 문제 2 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅱ

함수의 극한, 원의 성질 · 점과 직선 사이의 거리와 원 위의 점의 극한

⏱️ 8분 / 80분 (9점)

문제 3 [9점]

원 \(x^2 + y^2 = r^2\) 위의 점과 직선 \(y = -rx + 2r\) 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M(r)\)과 \(m(r)\)이라고 할 때, \(\lim_{r \to 0^+} \frac{M(r)}{m(r)}\)의 값을 구하시오. (단, \(0 < r < \sqrt{3}\)이다.)

QUESTIO ESSAY GRID

[ 문제 3 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅰ

수학적 귀납법 · 수학적 귀납법을 이용한 거듭제곱의 나머지 증명

⏱️ 8분 / 80분 (9점)

문제 4 [9점]

모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 명제가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

"\(9^{2n}\)을 \(2^{n+3}\)으로 나눈 나머지는 \(1\)이다."

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[ 문제 4 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 9점

수학Ⅰ

지수와 로그 · 거듭제곱근의 밑변환과 산술·기하 평균 부등식

⏱️ 9분 / 80분 (10점)

문제 5 [10점]

상수 \(a, b, c\)가 다음 조건을 모두 만족한다.

(가) \(a > 0, b > 0, c > 0\)

(나) \(\sqrt{a} = \sqrt[3]{b} = \sqrt[5]{c}\)

(다) \(\log_3 \frac{bc}{a} = 3\)

\(1\)보다 큰 두 실수 \(m\)과 \(n\)이 \(\log_3 a \times \log_m b \times \log_n c = 1\)을 만족할 때, \(\log_3 mn\)의 최솟값과 그 때의 \(\log_3 m\)과 \(\log_3 n\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 5 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅰ

지수함수와 로그함수 · 로그함수 그래프와 정삼각형의 기하학적 성질

⏱️ 9분 / 80분 (10점)

문제 6 [10점]

좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{A, B, C}\)가 다음을 모두 만족한다.

(가) 점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)는 곡선 \(y = \log_3 9x\) 위에 있다.

(나) 점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표는 점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표보다 크다.

(다) 점 \(\mathrm{C}\)는 곡선 \(y = \log_3 x\) 위에 있다.

(라) 선분 \(\mathrm{AC}\)는 \(y\)축에 평행하다.

(마) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)는 정삼각형이다.

점 \(\mathrm{C}\)의 좌표를 \((\alpha, \beta)\)라고 할 때, \(\alpha \times 3^\beta\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 6 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅱ

도함수의 활용 · 사차함수의 접선과 두 교점의 근과 계수의 관계

⏱️ 9분 / 80분 (10점)

문제 7 [10점]

곡선 \(y = x^4 + 3x^3\) 위의 점 \(\mathrm{P}(-1, -2)\)에서의 접선은 점 \(\mathrm{P}\)가 아닌 두 점 \(\mathrm{Q}\)와 \(\mathrm{R}\)에서 이 곡선과 만난다. 두 점 \(\mathrm{Q}\)와 \(\mathrm{R}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(\alpha\)와 \(\beta\)라고 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하시오.

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[ 문제 7 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅰ

수열의 합 · 수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 합 성질

⏱️ 9분 / 80분 (10점)

문제 8 [10점]

수열 \(\{a_n\}\)이 다음을 모두 만족한다.

(가) \(\sum_{k=1}^n a_k = pn^2 + 20n\) (단, \(p\)는 상수이다.)

(나) \(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 24\)

이 때, \(a_2 + a_4 + a_6 + a_8\)의 값을 구하시오.

QUESTIO ESSAY GRID

[ 문제 8 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 10점

수학Ⅱ

도함수의 활용 · 점과 직선 사이의 거리와 도함수를 통한 삼각형 넓이의 최댓값

⏱️ 10분 / 80분 (12점)

문제 9 [12점]

함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x\)의 그래프 위의 세 점 \(\mathrm{O}(0, 0), \mathrm{A}(3, -12), \mathrm{B}(t, f(t))\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이의 최댓값을 구하시오. (단, \(0 < t < 3\)이다.)

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[ 문제 9 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 12점

수학Ⅰ

등차수열과 등비수열, 지수함수 · 등비수열의 합과 지수 감소 모델링

⏱️ 10분 / 80분 (12점)

문제 10 [12점]

다음은 신종 바이러스에 대처하기 위해 개발된 백신에 대한 설명이다.

(가) 최초 백신 접종 전 이 신종 바이러스에 대한 면역력은 0이다.

(나) 최초 백신 접종 후 1년마다 1회씩 주기적으로 접종한다.

(다) 새롭게 백신을 접종하는 즉시 면역력은 \(A\)만큼 증가한다. (단, \(A > 0\)이다.)

(라) 새롭게 접종한 백신에 의한 면역력은 접종 후 \(t\)년이 경과한 시점에 \(A \times (1/2)^t\)이 된다. (단, \(t > 0\)이다.)

(마) 백신을 여러 차례 접종한 경우, 총 면역력은 그간 접종한 각 백신에 의한 면역력을 모두 더한 값이다.

수열 \(\{a_n\}\)과 \(\{b_n\}\)은 각각 \(n\)차 접종 직전의 총 면역력과 접종 직후의 총 면역력이다. 이 백신을 몇 회 접종한 이후부터 총 면역력이 \(A \times 0.8\) 이상으로 계속 유지되는지 밝히시오. (12점)

QUESTIO ESSAY GRID

[ 문제 10 논술 답안 작성 공간 - 풀이 과정과 정답을 명확히 서술하시오 ]

배점: 12점