한국기술교육대학교 2020-2026학년도 7개년 기출문제집

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2027

한국기술교육대학교

2020-2026학년도 7개년 기출문제집

수능최저 0% 면제 · 10문항 80분 완전정복 실전집

10문항 80분 시험

수학Ⅰ·수학Ⅱ 전범위

1문항 1페이지 실전 답안지

논술 100% 선발

문항 1 배점: 4점

\[ \frac{\left(3 \times 3^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}}{3^{\sqrt{3}-1}} \] 의 값을 구하시오.

문항 2 배점: 4점

$1$이 아닌 세 양수 $a,\ b,\ c$에 대하여 $a^2 = b^3 = c^4$일 때, $\log_a b + \log_b c + \log_c a$의 값을 구하시오.

문항 3 배점: 8점

$0 \le x \le 3\pi$에서 방정식 $\sin^2 x + 2\cos x + 2 + k = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 값의 합을 구하시오.

문항 4 배점: 8점

다항함수 $f(x)$가 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) + x^2}{x + 1} = 2, \quad \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - 1}{x - 3} = a \] 를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

문항 5 배점: 8점

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 $0$이 아닌 실수이다.)

(가) $\{x \mid f(x) = 0\} = \{-a,\ a,\ 2a\}$
(나) $f(0) > 0,\ f'(1) = -2$

문항 6 배점: 12점

함수 \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & (x \le a) \\[4pt] 2x - 6 & (x > a) \end{cases} \] 에 대하여 함수 $|f(x)|$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 합을 구하시오.

문항 7 배점: 12점

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 \[ g(x) = \begin{cases} f(x) - 2 & (x \le -1) \\[6pt] \dfrac{(x+1)^2}{f(x)+2} & (x > -1) \end{cases} \] 라 하자. $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1^-} g(x) + 2$를 만족시킬 때, 닫힌구간 $\left[-2,\ -\dfrac{3}{4}\right]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, $f(-1) \neq 0$)

문항 8 배점: 12점

다항함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x) + \displaystyle\int_0^x (x-t)f'(t)\,dt = g(x)$
(나) $g(x) = -g(-x)$

$f(1) + g(1)$의 값을 구하시오.

문항 9 (킬러) 배점: 16점

$1$보다 큰 자연수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 \[ f(x) = \left| (\log_a x)^2 - 5\log_a x + 5 \right| \] 라 하자. $2 \le x \le 4$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge 1$이 성립하도록 하는 모든 자연수 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 수열을 $\{a_n\}$이라 할 때, \[ \sum_{n=1}^5 a_n \] 의 값을 구하시오.

문항 10 (킬러) 배점: 16점

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 \[ g(x) = \int_0^x (|f(t)| - |t|)\,dt \] 라 하자. 두 함수 $f(x),\ g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 $x=2,\ x=6$에서 극값을 갖는다.
(나) $f(2) \lt 0,\ f(6) > 0$
(다) $f(0) = 0,\ f'(0) = 1$

(1) $f(x) = x Q(x)$라 할 때, $Q(2) + Q(6)$의 값을 구하시오. (단, $Q(x)$는 다항식) [8점]
(2) 함수 $f(x)$가 $x = \alpha$와 $x = \beta$에서 극값을 가질 때, $\alpha + \beta$의 값을 구하시오. (단, $\alpha \lt \beta$) [8점]

문항 1 배점: 4점

정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le 2\}$인 함수 \[ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 1 \] 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,\ m$이라 하자. 정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le 1\}$인 함수 \[ g(x) = -a^{x} + b \] 의 최댓값과 최솟값이 각각 $-m,\ -M$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.
(단, $a,\ b$는 상수이고, $a > 1$)

문항 2 배점: 4점

정의역이 $\{x \mid x > 0\}$인 함수 \[ f(x) = \log_{5}\left(10x^{2}+35\right) \] 에 대하여 $\left(f^{-1} \circ f^{-1}\right)(3)$의 값을 구하시오.

문항 3 배점: 8점

함수 $f(x)$가 모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 \[ f\left(\frac{x-3}{5}\right) \le \frac{1}{5}x^{2} \le f\left(\frac{x-1}{5}\right) \] 을 만족시킬 때, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{7x^{2}+4}$의 값을 구하시오.

문항 4 배점: 8점

다항함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2,\ f(2))$에서의 접선을 $l$, 함수 \[ g(x) = \frac{1}{8}x^{3}f(x) \] 에 대하여 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(2,\ g(2))$를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선을 $m$이라 하자. 직선 $l$의 방정식이 $y=-3x+9$일 때, 두 직선 $l,\ m$과 $x$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

문항 5 배점: 8점

정의역이 $\{x \mid x \ge 0\}$인 함수 \[ f(x) = x^{2} - 2(\sin\theta)x + \cos^{2}\theta - \sin\theta + 1 \] 의 최솟값이 $1$일 때, 이를 만족시키는 모든 실수 $\theta$의 값의 합을 구하시오. (단, $0 \le \theta \lt 2\pi$)

문항 6 배점: 12점

양수 $a$와 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 \[ g(x) = \begin{cases} 2f(|x|) & (|x| \le a) \\[4pt] -f(2a-|x|) & (|x| > a) \end{cases} \] 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 양수 $a$의 값을 구하시오.

(가) $f(a) = -\dfrac{81}{8}$
(나) 두 함수 $f(x-a)g(x)$와 $f(x)g(x-a)$가 모두 실수 전체의 집합에서 연속이다.

문항 7 배점: 12점

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1) = 0$
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $(x-3)f(x) \ge 0$이 성립한다.

실수 $k$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)-(x-1)f'(k)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.

문항 8 배점: 12점

두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 시각 $t=0$일 때 각각 점 $\mathrm{A}(3)$과 점 $\mathrm{B}(20)$에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$의 시각 $t\ (t \ge 0)$에서의 속도는 각각 \[ v_{1}(t) = 3t^{2}+4t-20, \quad v_{2}(t) = 2t+9 \] 이다. 출발한 시각부터 두 점 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ 사이의 거리가 처음으로 $12$가 될 때까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오.

문항 9 (킬러) 배점: 16점

실수 $a,\ b$에 대하여 정의역이 $\left\{x \,\middle|\, 0 \le x \le \frac{\pi}{3}\right\}$인 함수 \[ f(x) = \cos^{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right) + a\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + b \] 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) $a=\frac{1}{2},\ b=1$일 때, $M$과 $m$의 값을 각각 구하시오. [8점]
(2) $M=5,\ m=-3$을 만족시키는 순서쌍 $(a,\ b)$를 모두 구하시오. [8점]

문항 10 (킬러) 배점: 16점

자연수 $n$과 $0\lt t\lt n$인 실수 $t$에 대하여 함수 \[ f(x) = x^{2}-2nx+n^{2} \] 의 그래프 위의 점 $\mathrm{P}(t,\ f(t))$에서의 접선을 $l_{n}$이라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 접선 $l_{n}$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $a_{n}$, 접선 $l_{n}$과 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $b_{n}$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) $a_{3}+b_{3}$의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 $t$의 개수를 구하시오. [8점]
(2) $a_{n}+b_{n}$의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 $t$의 개수를 $c_{n}$이라 할 때, $c_{5}+c_{6}+c_{7}$의 값을 구하시오. [8점]

오전 문항 1 배점: 4점

양수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a^2 = 5$, $b^4 = 7$, $c^9 = 13$일 때, $(abc)^n$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

오전 문항 2 배점: 4점

양수 $a$에 대하여 두 직선 $y = (\log_3 2)x$와 $y = (\log_4 a)x$가 서로 수직이 되도록 하는 $a$의 값을 구하시오.

오전 문항 3 배점: 8점

함수 \[ f(x) = \begin{cases} ax+b & (x \lt 2) \\[4pt] x^3 & (x \ge 2) \end{cases} \] 가 $x=2$에서 미분가능할 때, $a-b$의 값을 구하시오.

오전 문항 4 배점: 8점

함수 $f(x) = 4 + a\tan\left(\frac{3}{2}x\right)$가 닫힌구간 $\left[b, \ \frac{2\pi}{9}\right]$에서 최댓값 $7$, 최솟값 $1$을 가질 때, $a$와 $b$의 값을 각각 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수이고, $a>0$이다.)

오전 문항 5 배점: 8점

삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -12$
(나) 함수 $y=f'(x)$의 그래프는 점 $(2, 0)$에서 $x$축에 접한다.

$f(2)$의 값을 구하시오.

오전 문항 6 배점: 12점

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \[ \int_0^x (2t^4 + at^2 + bt)\,dt = \int_0^x (2t + f(t))\,dt + x^3 + a \] 를 만족시킨다. $f(1) = -2$일 때, $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

오전 문항 7 배점: 12점

삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 $\{-2, \ -1, \ 1\}$의 모든 원소 $a$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{xf(x)-a}{x-a}$의 값이 존재한다.
(나) $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-1} = 25$

$f(3)$의 값을 구하시오.

오전 문항 8 배점: 12점

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 \[ (f(x))^3 - 3(f(x))^2 - 4x^2 f(x) + 12x^2 = 0 \] 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$의 최댓값이 $3$이고 최솟값이 $0$일 때, \[ f(-1) + f(0) + f\left(\frac{11}{4}\right) \] 의 값을 구하시오.

오전 문항 9 (킬러) 배점: 16점

수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 \[ a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{5}{a_n} & (a_n\text{이 정수인 경우}) \\[8pt] 2a_n - 1 & (a_n\text{이 정수가 아닌 경우}) \end{cases} \] 를 만족시킨다. $a_6 = 2$일 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) $\displaystyle 2\sum_{k=6}^{27} a_k$의 값을 구하시오. [6점]
(2) $a_1 + a_2$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. [10점]

오전 문항 10 (킬러) 배점: 16점

실수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$를 \[ f(x) = \begin{cases} -x^2+6x+k & (x \lt 0) \\[4pt] x^2-4x+k & (x \ge 0) \end{cases} \] 이라 하자. 실수 $t$에 대하여 함수 $y=|f(x)|$의 그래프와 직선 $y=t$의 교점의 개수를 $g(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) $k=2$일 때, $g(1)$의 값을 구하시오. [6점]
(2) $0 \lt k \lt 2$일 때, 함수 $g(t)$가 $t=a$에서 불연속인 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오. [10점]

오후 문항 1 배점: 4점

함수 $y = 3^{x-2}+3$의 그래프 위의 점 $(a, b)$와 함수 $y = 3^{x-2}+3$의 그래프의 점근선 사이의 거리가 $3$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수이다.)

오후 문항 2 배점: 4점

두 양수 $a$, $b$에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $(0, \log_2 a)$, $(1, \log_2 b)$를 지나는 직선이 점 $(3, 2)$를 지날 때, $\dfrac{b^3}{a^2}$의 값을 구하시오.

오후 문항 3 배점: 8점

함수 $f(x) = |x^3 - 12x|$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 실수 $k$의 값을 구하시오.

오후 문항 4 배점: 8점

함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4) = f(x)$이고, $0 \le x \lt 4$일 때 \[ f(x) = \begin{cases} 2x+4 & (0 \le x \lt 2) \\[4pt] \dfrac{ax+b}{x+2} & (2 \le x \lt 4) \end{cases} \] 이다. 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(15)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수이다.)

오후 문항 5 배점: 8점

$0 \le x \lt \frac{5}{2}\pi$일 때, 방정식 $5\sin x = 2$를 만족하는 $x$의 값을 작은 것부터 차례로 $a$, $b$, $c$라 하자. 이때 $\cos\left(\frac{a+b}{2}+c\right)$의 값을 구하시오.

오후 문항 6 배점: 12점

다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-2x^3}{2x^2+1} = -1$
(나) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{(x-1)^k} = m$인 자연수 $k$와 상수 $m$이 존재한다. (단, $k \ge 2$)

$f(m)$의 값을 구하시오.

오후 문항 7 배점: 12점

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 \[ g(x) = \begin{cases} f(x)-f(x-1) & (x \lt 0) \\[4pt] f(x) & (x \ge 0) \end{cases} \] 이라 하자. 함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능할 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

오후 문항 8 배점: 12점

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \[ 4x^2 - 2f(x) = x + 1 + f(-x) \] 를 만족시킬 때, $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

오후 문항 9 (킬러) 배점: 16점

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \[ f(x) = \int_0^x t(t-2)(t-4)\,dt \] 에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오. [6점]
(2) 함수 $g(x)$를 $g(x) = f(x+2)-f(x)$라 할 때, 함수 $g(x)$의 극솟값을 구하시오. [10점]

오후 문항 10 (킬러) 배점: 16점

모든 항이 $0$이 아닌 정수이고 공차 $d$가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 수열 $\{S_n\}$의 각 항을 작은 수부터 다시 차례로 나열한 수열을 $\{M_n\}$이라 하면, 수열 $\{M_n\}$이 \[ M_2 - M_1 = M_3 - M_2 = 2 \] 를 만족시킨다. $S_n > 0$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값이 $13$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 수열 $\{S_n\}$의 모든 항은 서로 다르다.)
(1) 공차 $d$의 값을 구하시오. [8점]
(2) 첫째항 $a_1$의 값을 구하시오. [8점]

문항 1 배점: 4점

$1$이 아닌 두 양수 $a, b$에 대하여 이차방정식 $x^2-8x+4=0$의 두 근이 $\log_2 a, \log_2 b$일 때, $\log_a b + \log_b a$의 값을 구하시오.

문항 2 배점: 4점

다항함수 $f(x)$에 대하여 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{2x^2-x} = -\frac{1}{2}, \quad \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 10 \] 일 때, $f(1)$의 값을 구하시오.

문항 3 배점: 8점

함수 $f(x)=(2x^2+x+3)(3x-2)$이고 다항함수 $g(x)$는 \[ \lim_{x \to -1} \frac{g(x)+2}{x^2+3x+2} = 3 \] 을 만족시킬 때, 함수 $h(x)=f(x)g(x)$라 하자. $h'(-1)$의 값을 구하시오.

문항 4 배점: 8점

다음 조건을 만족시키는 실수 $\alpha, \beta$의 값을 구하시오. (단, $\alpha \lt \beta$)

(가) $0 \le x \le \pi$일 때, 부등식 $\sin(x-\pi) > k$를 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위가 \[ 0 \le x \lt \alpha \quad \text{또는} \quad \beta \lt x \le \pi \] 이다. (단, $-1 \lt k \lt 0$)
(나) $\tan(\beta-\alpha) = \sqrt{3}$

문항 5 배점: 8점

자연수 $n$에 대하여 두 직선 $x = -\frac{1}{2} \times 3^{\frac{1}{n}+\frac{1}{2}}$과 $x = \frac{1}{2} \times 3^{\frac{1}{n}+\frac{1}{2}}$ 및 원 $x^2+y^2=9^{\frac{1}{n}}$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\frac{S_2}{S_4}$의 값을 구하시오.

문항 6 배점: 12점

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$이다.
(나) $x \ge 0$일 때 \[ f(x) = \begin{cases} (x-1)^2+a & (0 \le x \le 1) \\[4pt] \dfrac{x^3-bx^2+cx-5}{x-1} & (x > 1) \end{cases} \] 이다. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

$f(3)$의 값을 구하시오.

문항 7 배점: 12점

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=x^3+ax^2-3$이 다음 조건을 만족시킨다.

열린구간 $(k, k+3)$에서 $k \lt x_1 \lt x_2 \lt k+3$인 임의의 두 실수 $x_1, x_2$에 대하여 $f(x_1) > f(x_2)$이다. (단, $k$는 실수이다.)

$f(1)$의 값이 최소가 되도록 하는 $a$의 값을 구하시오.

문항 8 배점: 12점

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 모든 이차함수 $f(x)$에 대하여 \[ \int_{-2}^{1} f(x)\,dx \] 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

(가) $f(2)-f(-2)=8$
(나) $-2 \le \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx \le 2$

문항 9 (킬러) 배점: 16점

첫째항이 $1$이고 공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$의 각 항을 원소로 갖는 집합을 $A$라 하고, 첫째항이 $2$이고 공차가 $4$인 등차수열 $\{b_n\}$의 각 항을 원소로 갖는 집합을 $B$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 집합 $A \cap B$에 속하는 모든 원소를 작은 것부터 크기순으로 나열한 것을 $c_1, c_2, c_3, \dots$라 할 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} c_k$의 값을 구하시오. (6점)
(2) 집합 $A - B$에 속하는 모든 원소를 작은 것부터 크기순으로 나열한 것을 $d_1, d_2, d_3, \dots$라 할 때, $d_{100}+d_{200}+d_{300}$의 값을 구하시오. (10점)

문항 10 (킬러) 배점: 16점

$f(0)=0$이고 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $y=f(x)$의 그래프가 직선 $y=\frac{1}{2}x$와 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{A}$에서 접한다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{B}$라 하면 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overline{\mathrm{OB}} = 2\sqrt{2}$
(나) 직선 $\mathrm{OB}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기는 $\frac{\pi}{4}$이다.
(다) 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이는 $2$이다.

다음 물음에 답하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $\mathrm{B}$는 제$1$사분면 위의 점이다.)

(1) $f(1)$의 값을 구하시오. (10점)
(2) $x$에 대한 방정식 $8f(x)-4x=k$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 범위가 $\alpha \lt k \lt \beta$일 때, $\alpha+\beta$의 값을 구하시오. (단, $\alpha, \beta$는 상수이다.) (6점)

문항 1 배점: 4점

두 실수 $x, y$가 $3^x = 6, \ y = \log_3 8$을 만족시킬 때, $6x - 2y$의 값을 구하시오.

문항 2 배점: 4점

함수 $f(x)=a^{2x+1}+b$가 닫힌구간 $[-2, 1]$에서 최댓값 $5$, 최솟값 $\frac{7}{2}$을 가질 때, $a^3 b$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 상수이고, $0 \lt a \lt 1$이다.)

문항 3 배점: 8점

삼차함수 $f(x)$가 \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -6, \quad \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 24 \] 를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{2x^2+3x+1}$의 값을 구하시오.

문항 4 배점: 8점

최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \[ f(x)f'(x)-f(x)+xf'(x) = 2x^3+13x^2+22x+9 \] 를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

문항 5 배점: 8점

한 변의 길이가 $9$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$에 대하여 다섯 꼭짓점 $\mathrm{A, B, C, D, E}$를 각각 중심으로 하는 다섯 부채꼴 $\mathrm{APQ, BQR, CRS, DST, ETU}$가 모두 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$의 내부에 있다. 다섯 호 $\mathrm{PQ, QR, RS, ST, TU}$의 길이의 합이 $\frac{41}{3}\pi$일 때, 부채꼴 $\mathrm{CRS}$의 넓이를 구하시오. (단, 여섯 점 $\mathrm{P, Q, R, S, T, U}$는 각각 선분 $\mathrm{FA, AB, BC, CD, DE, EF}$ 위에 있다.)

문항 6 배점: 12점

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(-1)=0$
(나) 함수 $g(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x-2} & (x \ne 2) \\[4pt] 5 & (x=2) \end{cases}$ 에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 $x=2$에서 연속이다.

$f(3)$의 값을 구하시오.

문항 7 배점: 12점

자연수 $n$에 대하여 닫힌구간 $[-2, n]$에서 정의된 함수 $f(x)=\frac{1}{2}x^3-ax+1$이 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (단, $a$는 상수이다.)

(가) 임의의 두 실수 $x_1, x_2$에 대하여 $-2 \lt x_1 \lt x_2 \lt n$이면 $f(x_1) > f(x_2)$이다.
(나) 닫힌구간 $[-2, n]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값은 $48$이다.

문항 8 배점: 12점

두 함수 $f(x)=x^3-4x^2+ax, \ g(x)=x^3+bx^2+2x$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)+f(-x)+g(x)+g(-x)=2x^2$이다.
(나) $\displaystyle\int_{-1}^{1} \{f'(x)+xg'(x)\}\,dx = \frac{38}{3}$

$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{xf(x)+g(x)\}\,dx$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

문항 9 (킬러) 배점: 16점

모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 \[ a_{n+1} = \begin{cases} a_n+7 & (a_n\text{이 홀수인 경우}) \\[4pt] \dfrac{a_n}{2}+5 & (a_n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases} \] 를 만족시킨다. $a_4=20$일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $a_{23}$의 값을 구하시오. (5점)
(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{3} a_k$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오. (11점)

문항 10 (킬러) 배점: 16점

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 그 도함수 $f'(x)$에 대하여 함수 \[ g(x) = \begin{cases} \dfrac{f'(x+1)-f'(x-3)}{x-3} & (x \lt 3) \\[4pt] xf(x)+6 & (x \ge 3) \end{cases} \] 가 $x=3$에서 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $f(1)$의 값을 구하시오. (10점)
(2) 함수 $h(x)=f(x)+2x$의 극댓값을 $\alpha$, 극솟값을 $\beta$라 할 때, $\alpha+\beta$의 값을 구하시오. (6점)

문항 1 배점: 4점

이차방정식 $x^2-4x+2=0$의 두 근 $\alpha, \beta$에 대하여 $A = \alpha^{\frac{1}{2}}, \ B = \beta^{\frac{1}{2}}$일 때, \[ \left(A - \frac{1}{A}\right)^2 + \left(B - \frac{1}{B}\right)^2 \] 의 값을 구하시오.

문항 2 배점: 4점

두 함수 \[ f(x) = \log_8 x - 1, \quad g(x) = \log_2 x + 1 \] 에 대하여 $\dfrac{g(2^m)}{f(2^m)} - 3$의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구하시오.

문항 3 배점: 8점

실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=(x+1)(x-a)$가 \[ \lim_{x \to 1} \frac{2(x^4-1)}{(x-1)f(x)} = 1 \] 을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$의 값을 구하시오.

문항 4 배점: 8점

모든 실수 $x$에 대하여 등식 \[ \sin x + \sin\left(x - \frac{n}{m}\pi\right) = 0 \] 이 항상 성립하도록 하는 순서쌍 $(m, n)$의 개수를 구하시오. (단, $m, n$은 $10$ 이하의 자연수이다.)

문항 5 배점: 8점

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=ax^3-4x^2+ax+6$이 실수 전체의 집합에서 일대일대응일 때, $a$의 최솟값을 구하시오.

문항 6 배점: 12점

다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^3+1} = 2$
(나) $f(2) = 0$
(다) $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{4x^2-3x-1} = \dfrac{4}{5}$

$f(4)$의 값을 구하시오.

문항 7 배점: 12점

모든 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 \[ xf(x) = x^2 + \int_0^x (t-1)f'(t)\,dt \] 를 만족시킬 때, $\displaystyle\int_{-1}^2 f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

문항 8 배점: 12점

수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, Q}$의 시각 $t$에서의 속도를 각각 $f(t), g(t)$라 하면 \[ f(t) = 6t-3, \quad g(t) = 3t^2-4t-4 \] 이다. 시각 $t=0$에서의 두 점 $\mathrm{P, Q}$의 위치는 각각 $0, 5$이고, $t > 0$일 때 두 점 $\mathrm{P, Q}$는 시각 $t=\alpha$에서 처음으로 만나고 $t=\beta$에서 두 번째로 다시 만난다. 시각 $t=\alpha$에서 $t=\beta$까지 두 점 $\mathrm{P, Q}$가 움직인 거리를 각각 $s_1, s_2$라 할 때, $s_2 - s_1$의 값을 구하시오.

문항 9 (킬러) 배점: 16점

실수 $t$에 대하여 함수 \[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 7x + t \] 가 있다. 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(3, 0), \mathrm{B}(0, 6)$을 이은 선분 $\mathrm{AB}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $t > a$인 모든 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{AB}$가 만나지 않을 때, 실수 $a$의 최솟값을 구하시오. (12점)
(2) $t=b$일 때, 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{AB}$가 한 점에서 만난다. 이때, $f(b)$의 값을 구하시오. (단, $b$는 실수이다.) (4점)

문항 10 (킬러) 배점: 16점

공차가 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$과 공차가 $4$인 등차수열 $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_1 \lt b_1$
(나) $2a_5 + b_6 = 2$
(다) $\displaystyle\sum_{n=1}^8 |b_n| = \sum_{n=1}^8 |a_n| + 14$

$a_k = 0$을 만족시키는 $9$보다 작은 자연수 $k$가 존재할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $a_1 + b_1$의 값을 구하시오. (8점)
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{10} (b_n - a_n)$의 값을 구하시오. (8점)

문항 1 배점: 4점

$\left(\sqrt{2\sqrt[4]{8}}\right)^n$의 값이 세 자리 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하시오.

문항 2 배점: 4점

모든 실수 $x$에 대하여 함수 \[ f(x) = \log_{|a-2|} (x^2+2ax+5a+36) \] 이 정의되도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 합을 구하시오.

문항 3 배점: 8점

두 다항함수 $f(x), g(x)$가 \[ \lim_{x \to 3} \frac{f(x)g(x)-5}{x-3} = 10 \] 을 만족시킬 때, $\dfrac{f'(3)}{f(3)} + \dfrac{g'(3)}{g(3)}$의 값을 구하시오.

문항 4 배점: 8점

$\overline{\mathrm{AB}} = 2$이고 $\angle\mathrm{BAC} = 120^\circ$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. $\angle\mathrm{BAC}$의 이등분선이 선분 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하고 $\overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AC}}^2$일 때, 선분 $\mathrm{AC}$의 길이를 구하시오.

문항 5 배점: 8점

모든 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 \[ xf(x) = 4x^3 + 3x^2 + \int_{-2}^x f(t)\,dt \] 를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

문항 6 배점: 12점

실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 이차방정식 $x^2+2x+t=0$의 서로 다른 실근의 개수를 $f(t)$라 하자. 함수 $(t+a)f(t)$가 모든 실수 $t$에서 연속일 때, 실수 $a$의 값을 구하시오.

문항 7 배점: 12점

최고차항의 계수가 $1$이고 $f(2)=0$인 삼차함수 $f(x)$가 \[ \lim_{x \to 5} \frac{f(x)}{(x-5)\{f'(x)\}^2} = \frac{1}{9} \] 를 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

문항 8 배점: 12점

함수 $f(x)$가 \[ f(x) = \int_0^2 3(t+x)(t+x^2)\,dt \] 이다. 닫힌구간 $[0, 2]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오.

문항 9 (킬러) 배점: 16점

두 양수 $a, k$에 대하여 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{A, B, C, D}$는 다음을 만족시킨다.

(가) 점 $\mathrm{A}$는 직선 $y=-x+k$와 $y$축이 만나는 점이다.
(나) 점 $\mathrm{B}$는 직선 $y=-x+k$와 곡선 $y=\log_2 x+6$이 만나는 점이다.
(다) 점 $\mathrm{C}$는 직선 $y=-x+k$와 곡선 $y=a\log_9 x$가 만나는 점이다.
(라) 점 $\mathrm{D}$는 직선 $y=-x+k$와 $x$축이 만나는 점이다.

$\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}$이고 $\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}$가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $k$의 값을 구하시오. (8점)
(2) $a$의 값을 구하시오. (8점)

문항 10 (킬러) 배점: 16점

$0 \lt k \lt 4$인 실수 $k$에 대하여 곡선 $y=x(x-k)(x-4)$에 접하고 원점을 지나는 두 접선을 $l_1, l_2$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 접선 $l_1$의 기울기는 접선 $l_2$의 기울기보다 크다.)

(1) 두 접선 $l_1, l_2$의 기울기를 $k$에 관한 식으로 나타내시오. (10점)
(2) 위 (1)에서 구한 두 접선 $l_1, l_2$의 기울기의 곱을 $g(k)$라 할 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^3 g(k)$의 값을 구하시오. (6점)

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종합 기출 1 배점: 16점

함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a$에 대하여 부등식 $f(x) \ge 0$이 닫힌구간 $[0, 4]$에서 항상 성립하도록 하는 실수 $a$의 최솟값을 구하시오.

종합 기출 2 배점: 16점

모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_2 a_4 = 16$, $a_3 + a_5 = 20$일 때, 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$6$항까지의 합 $S_6$을 구하시오.

오전 문항 1 배점: 20점 ((1) 8점, (2) 12점)

자연수 $n$에 대하여 함수 $f(n)$은

\[f(n) = \int_{-2}^2 |2t - n\cos(n\pi)|\,dt\]

이다. 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $f(1)+f(2)+f(3)$의 값을 구하시오. (8점)

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{20} f(n)$의 값을 구하시오. (12점)

오전 문항 2 배점: 20점 ((1) 8점, (2) 12점)

함수 $f(x)$는

\[f(x) = \begin{cases} x+2 & (x \le 1) \\ -2x & (x \gt 1) \end{cases}\]

이다. 양의 실수 $t$에 대하여 $x$의 값이 $0$에서 $t$까지 변할 때의 함수 $y=f(x)$의 평균변화율을 $g(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $g\left(\frac{1}{2}\right)$과 $g(2)$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) 두 실수 $a, b$에 대하여 함수 $h(t) = \frac{t^2+at+b}{2+g(t)}$가 $t=1$에서 미분가능할 때, $a$와 $b$의 값을 각각 구하시오. (12점)

오전 문항 3 배점: 20점 ((1) 12점, (2) 8점)

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{P, A, B, C}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $\mathrm{P}$는 시각 $t=0$일 때, 원점 $\mathrm{O}$에서 출발한다.
(나) 점 $\mathrm{P}$는 $x$축 위를 양의 방향으로 움직이며 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도는 $v(t) = 3\sqrt{3}t$이다.
(다) 점 $\mathrm{A}$는 선분 $\mathrm{OP}$를 $1:2$로 내분하는 점이다.
(라) 점 $\mathrm{B}$는 선분 $\mathrm{OP}$를 $2:1$로 내분하는 점이다.
(마) 점 $\mathrm{C}$는 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}$를 지나는 최고차항의 계수가 $-1$인 이차함수 $y=f(x)$의 그래프의 꼭짓점이다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$가 정삼각형이 되는 시각을 $t=t_0(t_0 \gt 0)$라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $t_0$의 값을 구하시오. (12점)

(2) 시각 $t(t\gt 0)$에서의 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S(t)$라고 할 때, $S'(t_0)$의 값을 구하시오. (8점)

오전 문항 4 배점: 20점 ((1) 8점, (2) 12점)

그림과 같이 좌표평면에서 한 변의 길이가 자연수 $n$인 정사각형 $\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n\mathrm{S}_n$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 선분 $\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n, \mathrm{S}_n\mathrm{R}_n$은 $x$축과 평행이다.
(나) 두 선분 $\mathrm{P}_n\mathrm{S}_n, \mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n$은 $y$축과 평행이다.
(다) 점 $\mathrm{R}_n$은 곡선 $y=\frac{1}{2}x^2(x \ge 0)$ 위에 있고, 점 $\mathrm{S}_n$은 직선 $y=-x$ 위에 있다.
(라) 두 점 $\mathrm{Q}_n, \mathrm{R}_n$은 제1사분면에 있고, 두 점 $\mathrm{P}_n, \mathrm{S}_n$은 제2사분면에 있다.
(마) 점 $\mathrm{P}_n$의 $y$좌표는 점 $\mathrm{S}_n$의 $y$좌표보다 크다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 점 $\mathrm{R}_n$의 좌표를 $(a_n, b_n)$이라 할 때, $a_1^2 + b_1^2 + a_4^2 + b_4^2$의 값을 구하시오. (8점)

(2) 정사각형 $\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{R}_n\mathrm{S}_n$의 둘레와 그 내부에 있는 점들 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $A_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{20} A_n$의 값을 구하시오. (12점)

오전 문항 5 배점: 20점 ((1) 8점, (2) 12점)

양의 실수 $a$에 대하여 두 집합 $A, B$가

\[A = \left\{x \,\middle|\, 3^x + \frac{7}{3^x} \le a\right\}, \quad B = \left\{x \,\middle|\, 3^x + \frac{8}{3^x} \le a+1\right\}\]

일 때, 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $n(A)=1$일 때, $a$의 값을 $p$라 하고 $A$의 원소를 $q$라 하자. $p+3^q$의 값을 구하시오. (8점)

(2) $A \subset B$를 만족시키는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오. (단, $a \ge 6$) (12점)

오후 문항 1 배점: 20점 ((1) 8점, (2) 12점)

자연수 $n$에 대하여 함수 $f(n)$은

\[f(n) = \int_{-2}^2 \{(n+1)x^n + (n+2)x^{n+1}\}\,dx\]

이다. 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $f(1)+f(8)$의 값을 구하시오. (8점)

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{20} \log_2\{f(n)\}$의 값을 구하시오. (12점)

오후 문항 2 배점: 20점 ((1) 10점, (2) 10점)

$0$이 아닌 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x) = x^3 - ax^2 - a^2x + 1$
(나) 함수 $f(x)$의 모든 극값의 합은 $-\frac{22}{3}a + 2$이다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 실수 $a$의 값을 모두 구하시오. (10점)

(2) $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) + a^2 \gt 0$을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오. (10점)

오후 문항 3 배점: 20점 ((1) 12점, (2) 8점)

양의 실수 $a$와 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)+x^2-1}{x^2-a^2} & (|x| \ne a) \\ 3 & (x = a) \\ -1 & (x = -a) \end{cases}$
(나) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = 1$
(다) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $f(3)$의 값을 구하시오. (12점)

(2) $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{g(x)}{f(x)}$의 값을 구하시오. (8점)

오후 문항 4 배점: 20점 ((1) 8점, (2) 12점)

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 2, \overline{\mathrm{BC}} = 1$인 이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있을 때, 원 $C_1$ 위의 두 점 $\mathrm{D, E}$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{BC}$를 $2:1$로 외분하는 점이다.
(나) 원 $C_1$은 직선 $\mathrm{BC}$와 점 $\mathrm{D}$에서 접한다.
(다) 원 $C_1$은 직선 $\mathrm{AC}$와 점 $\mathrm{E}$에서 접한다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 선분 $\mathrm{ED}$의 길이를 구하시오. (8점)

(2) 원 $C_1$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PED}$의 넓이의 최댓값을 구하시오. (12점)

오후 문항 5 배점: 20점 ((1) 8점, (2) 12점)

자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 $A_n$이라 하자.

(가) $a$는 $n$ 이하의 자연수이다.
(나) $b$는 자연수이다.
(다) $-a+n+1 - \frac{1}{n+2} \lt b \le n+2 + \frac{1}{a-n-1}$

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $A_1$과 $A_2$의 값을 각각 구하시오. (8점)

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{20} A_n$의 값을 구하시오. (12점)

오전 문항 1 배점: 20점 ((1) 6점, (2) 6점, (3) 8점)

$0 \le x \le 3\pi$일 때, $N(n)$은 방정식 $\sin\left(x - \frac{n\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}$을 만족시키는 모든 $x$의 개수이다. (단, $n$은 음이 아닌 정수이다.)

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 방정식 $\sin x = \frac{1}{2}$을 만족시키는 모든 $x$의 값의 합을 구하시오. (단, $0 \le x \le 3\pi$이다.) (6점)

(2) $N(0) + N(1)$의 값을 구하시오. (6점)

(3) $\displaystyle\sum_{n=0}^{10} N(n)$의 값을 구하시오. (8점)

오전 문항 2 배점: 20점 ((1) 6점, (2) 7점, (3) 7점)

그림은 함수 $y=\log_3 x$와 함수 $y=\log_3 \frac{9}{x}$의 그래프이다. 두 그래프의 교점을 $\mathrm{A}$라고 하자. $y=\log_3 x$의 그래프 위의 한 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 함수 $y=\log_3 \frac{9}{x}$의 그래프와 만나는 점을 $\mathrm{C}$라고 하고, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y=\log_3 \frac{9}{x}$의 그래프와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라고 하자. (단, $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\mathrm{A}$의 $x$좌표보다 크다.)

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 구하시오. (6점)

(2) 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표를 $a$라고 하자. $100 \lt \overline{\mathrm{BC}} \lt 1000$을 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하시오. (7점)

(3) 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표를 $a$라고 하자. $\overline{\mathrm{BD}} = 8$을 만족시키는 자연수 $a$의 값을 구하시오. (7점)

오전 문항 3 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 5점, (3) 5점, (4) 5점)

삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $(x^2+2x+3)f(x)$는 $x=0$에서 극값 $18$을 갖는다.
(나) $y=f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선이 점 $(0, 2)$를 지난다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $b+c$의 값을 구하시오. (5점)

(2) $a$의 값을 구하시오. (5점)

(3) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하시오. (5점)

(4) 닫힌구간 $[-3, 3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (5점)

오전 문항 4 배점: 20점 ((1) 6점, (2) 7점, (3) 7점)

삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{P}(1, f(1))$, $\mathrm{Q}(2, f(2))$, $\mathrm{R}(t, f(t))$가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a, b, c, t$는 상수이다.)

(가) $\mathrm{P}$에서 접선의 기울기와 $\mathrm{Q}$에서 접선의 기울기의 합은 $1$이다.
(나) $\mathrm{P}$에서 접선의 기울기와 $\mathrm{Q}$에서 접선의 기울기의 곱은 $-2$이다.
(다) $b \lt 10$이고, $c \gt 0$이다.
(라) $\mathrm{R}$은 두 점 $\mathrm{P, Q}$를 지나는 직선 위에 있다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $a+b$의 값을 구하시오. (6점)

(2) $t$의 값을 구하시오. (7점)

(3) 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=t, x=1$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $1$일 때, $c$의 값을 구하시오. (7점)

오전 문항 5 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 8점, (3) 7점)

$10 \le a \le 20$인 실수 $a$에 대하여 열차의 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차(단위: 분)를 확률변수 $X$라고 할 때, $X$의 확률밀도함수는 다음과 같다.

\[f(x) = \begin{cases} \frac{kx}{a} & (0 \le x \le a) \\ \frac{k}{a-40}(x-a) + k & (a \le x \le 40) \end{cases}\]

다음 물음에 답하시오. (단, $k$는 상수이다.) (20점)

(1) $k$의 값을 구하시오. (5점)

(2) 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 $30$분 이상일 확률을 $a$에 관한 식으로 나타내시오. (8점)

(3) 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 $30$분 이상일 확률이 가장 작은 $a$의 값과, 그때의 확률을 구하시오. (7점)

오후 문항 1 배점: 20점 ((1) 6점, (2) 7점, (3) 7점)

그림과 같이 반지름이 $\sqrt{5}$인 원에 내접하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\angle\mathrm{BAC} = 60^\circ$
(나) $\overline{\mathrm{AC}} - \overline{\mathrm{AB}} = 2$

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $\overline{\mathrm{BC}}$의 값을 구하시오. (6점)

(2) $\overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{AB}}$의 값을 구하시오. (7점)

(3) $(\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{AC}} - \sqrt{15})^2$의 값을 구하시오. (7점)

오후 문항 2 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 6점, (3) 9점)

유해물질 $100\,\mathrm{g}$이 포함된 혼합물을 여과기에 여러 번 통과시켜 정화하려 한다. 처음으로 여과기를 통과할 때에는 유해물질의 $80\%$가 제거되고, 두 번째 통과할 때에는 $60\%$가 제거된다. 세 번째 이후부터는 $20\%$씩 일정한 비율로 유해물질이 제거된다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $2$회 통과했을 때, 혼합물에 포함된 유해물질의 양을 구하시오. (5점)

(2) $4$회 통과했을 때, 혼합물에 포함된 유해물질의 양을 구하시오. (6점)

(3) 유해물질 $100\,\mathrm{g}$을 $0.1\,\mathrm{g}$ 이하로 줄이기 위한 최소 통과 횟수를 구하시오. (단, $\log 2 = 0.3010$으로 계산한다.) (9점)

오후 문항 3 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 7점, (3) 8점)

사차함수 $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a, b, c, d$는 상수이다.)

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$이다.
(나) 방정식 $|f(x)| = 3$은 여섯 개의 서로 다른 실근을 갖는다.
(다) $f(0) = 6$이다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $a+c+d$의 값을 구하시오. (5점)

(2) $b$의 값을 구하시오. (7점)

(3) 닫힌구간 $[1, 2]$에서 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (8점)

오후 문항 4 배점: 20점 ((1) 4점, (2) 6점, (3) 6점, (4) 4점)

삼차함수 $f(x) = x^3 - ax^2 - x + a$일 때, $g(a) = \displaystyle\int_{-1}^1 |f(x)|\,dx$이다. (단, $a$는 실수이다.)

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $g(0)$의 값을 구하시오. (4점)

(2) $0 \le a \le 1$일 때, $g(a)$를 구하시오. (6점)

(3) $a \ge 1$일 때, $g(a)$를 구하시오. (6점)

(4) 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $g(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (4점)

오후 문항 5 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 5점, (3) 5점, (4) 5점)

모집단 $\mathrm{A}$의 확률변수 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 아래와 같고, 다음 조건을 만족시킨다.

$X$	1	2	3	합계
$P(X)$	$p_1$	$p_2$	$p_3$	1

(단, $p_1, p_2, p_3$은 상수이다.)

(가) 모집단 $\mathrm{A}$에서 크기가 $3$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline{X}$라고 한다.
(나) $P(\overline{X} = 1) = \frac{1}{27}$이다.
(다) $E(\overline{X}) = \frac{13}{6}$이다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $E(2X+5)$의 값을 구하시오. (5점)

(2) $P(X=2)$의 값을 구하시오. (5점)

(3) $V(X)$의 값을 구하시오. (5점)

(4) $V(2\overline{X}+5)$의 값을 구하시오. (5점)

오전 문항 1 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 10점, (3) 5점)

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 네 꼭짓점과 두 점 $\mathrm{P, Q}$를 인터넷 케이블로 연결하려고 한다.

선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위에 있는 두 점 $\mathrm{P, Q}$는 $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{DQ}}$를 만족하고, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$에 대하여 $\overline{\mathrm{MP}} = a \,(0 \le a \le 1)$라고 하자. 케이블을 연결하는 방법과 비용이 [보기]와 같을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 두 점 $\mathrm{P, Q}$는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 내부 또는 경계 위에 있고, 임의의 두 점을 케이블로 연결할 때 최단거리가 되도록 한다. 또한 케이블의 두께는 고려하지 않는다.)

[보 기]
① 두 점 $\mathrm{A, B}$는 점 $\mathrm{P}$와 연결하며, 연결 비용은 $(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}) \times \sqrt{1+a^2}$이다.
② 두 점 $\mathrm{C, D}$는 점 $\mathrm{Q}$와 연결하며, 연결 비용은 $(\overline{\mathrm{CQ}} + \overline{\mathrm{DQ}}) \times \sqrt{1+a^2}$이다.
③ 두 점 $\mathrm{P, Q}$는 서로 연결하며, 연결 비용은 $\overline{\mathrm{PQ}} \times (1-a)^2$이다.

(1) $a = \frac{1}{2}$일 때, 케이블의 총 연결 비용을 구하여라. (5점)

(2) 케이블의 총 연결 비용을 다항함수 $f(a)$라고 할 때, $f(a)$의 극값을 구하여라. (단, $0 \le a \le 1$) (10점)

(3) 문제 (2)에서의 다항함수 $f(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하여라. (단, $0 \le a \le 1$) (5점)

오전 문항 2 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 5점, (3) 10점)

두 점 $(0, 1), (-4, 3)$을 지나는 무리함수 $y=f(x)$의 그래프가 다음 그림과 같다. 무리함수 $f(x) = \sqrt{ax+b} + c$일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

(1) 상수 $a, b, c$의 값을 구하여라. (5점)

(2) 무리함수 $y=f(x)$의 역함수 $y=f^{-1}(x)$를 구하고, 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 정의역을 구하여라. (5점)

(3) 무리함수 $y=f(x)$와 $y$축 및 직선 $y=3$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라고 하자. 문제 (2)에서의 역함수 $y=f^{-1}(x)$를 이용하면 도형의 넓이 $S$는 아래 [보기]와 같이 정적분의 형태로 나타낼 수 있다.

[보 기]
$S = \displaystyle\int_\alpha^\beta |f^{-1}(x)|\,dx$ (단, $\alpha$와 $\beta$는 상수이다.)

이를 활용하여 $\alpha$와 $\beta$의 값을 찾고, 넓이 $S$를 구하여라. (단, 역함수 $y=f^{-1}(x)$를 이용하지 않으면 점수를 부여하지 않는다.) (10점)

오전 문항 3 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 5점, (3) 10점)

어느 해의 프로야구 상위 $4$팀에 대한 기록이 아래 표와 같다고 가정하자. 상위 $4$팀을 포함하여 모든 팀은 $3$경기씩 남겨 두고 있으며, $\mathrm{A}$팀은 남은 $3$경기를 모두 $\mathrm{D}$팀과 진행하고, $\mathrm{B}$팀은 남은 $3$경기를 모두 $\mathrm{C}$팀과 진행한다. 모든 경기 결과는 서로 독립이며, 각 경기에서 승리할 확률은 모든 팀이 동일하다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 모든 경기에서 비기는 경우는 없으며, 공동 우승도 우승으로 간주한다.)

팀	승	패
$\mathrm{A}$ 팀	53	44
$\mathrm{B}$ 팀	52	45
$\mathrm{C}$ 팀	52	45
$\mathrm{D}$ 팀	49	48

(1) $\mathrm{A}$팀이 남은 $3$경기 중 $2$경기를 승리해서 우승할 확률을 구하여라. (5점)

(2) $\mathrm{A}$팀이 남은 $3$경기 중 $1$경기를 승리해서 우승할 확률을 구하여라. (5점)

(3) $\mathrm{A}$팀이 최종 우승할 확률을 구하여라. (10점)

오후 문항 1 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 10점, (3) 5점)

그림과 같이 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}_1(x_1, y_1), \mathrm{P}_2(x_2, y_2)$가 있다. 실수 $x_1, x_2$에 대하여 직선 $y=a^2x+a$가 직선 $x=x_1$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}_1$이라 하고, 직선 $x=x_2$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}_2$라 하자. 다항함수 $f(a) = \overline{\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1}^2 + \overline{\mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2}^2$에 대하여, 다음 물음에 답하시오. (단, $-2 \le a \le 2$)

(1) $\mathrm{P}_1(-1, -1), \mathrm{P}_2(1, 1)$일 때, 함숫값 $f(1)$을 구하여라. (5점)

(2) $\mathrm{P}_1(-1, -1), \mathrm{P}_2(1, 1)$일 때, 다항함수 $f(a)$의 극값을 구하여라. (단, $-2 \le a \le 2$) (10점)

(3) 문제 (2)에서의 다항함수 $f(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하여라. (단, $-2 \le a \le 2$) (5점)

오후 문항 2 배점: 20점 ((1) 5점, (2) 5점, (3) 10점)

그림과 같이 점 $\mathrm{A}(2, 0)$을 지나는 직선 $l$은 곡선 $y=\frac{1}{4}x^2-1$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 수직이다. 또 다른 곡선 $y=-x^2+a$가 직선 $l$에 접할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 상수이다.)

(1) 직선 $l$의 방정식을 구하여라. (5점)

(2) 상수 $a$의 값을 구하여라. (5점)

(3) 문제 (2)에서 구한 $a$에 대하여 곡선 $y=-x^2+a$와 $y$축 및 직선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. (10점)

오후 문항 3 배점: 20점 ((1) 7점, (2) 7점, (3) 6점)

$1$부터 $6$까지 자연수 중 한 개를 선택한 후, 주사위 $3$개를 던져서 선택된 숫자가 나온 주사위의 개수에 따라 구슬을 획득하는 게임이 있다. 게임의 방식은 다음과 같을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 모든 주사위는 $1$부터 $6$까지 나올 확률이 $\frac{1}{6}$로 동일하다.)

① 게임에 참여하기 위해서는 구슬 $a \,(a \gt 0)$개를 내야 한다.
② 선택한 숫자와 일치하는 주사위의 개수가 $1$개일 때는 낸 구슬 개수의 $2$배, $2$개일 때는 $3$배, $3$개일 때는 $5$배를 되돌려 받는다.
③ 만약 선택한 숫자와 일치하는 주사위가 없다면 되돌려 받는 구슬은 없다.

(1) 게임 참여자가 선택한 숫자와 일치하는 주사위의 개수를 확률변수 $X$라 할 때, 확률변수 $X$의 확률분포를 표로 나타내어라. (7점)

(2) 구슬 $a$개를 내고 게임에 참여했다면 되돌려 받을 구슬 개수의 기댓값을 구하여라. (7점)

(3) 되돌려 받는 구슬 개수의 기댓값이 $500$개가 되기 위해서 게임 참여자가 내야 하는 구슬의 개수를 구하여라. (6점)

\(X\)	1	2	3	합계
\(P(X)\)	\(p_1\)	\(p_2\)	\(p_3\)	1

팀	승	패
\(\mathrm{A}\) 팀	53	44
\(\mathrm{B}\) 팀	52	45
\(\mathrm{C}\) 팀	52	45
\(\mathrm{D}\) 팀	49	48