삼차함수 \(f(x)\)와 함수 \(g(x) = \sin\frac{\pi}{2}x\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 아래 물음에 답하시오. [40점]

두 다항식 \(P(x) = a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \dots + a_1 x + a_0\)와 \(Q(x) = (x-b_1)(x-b_2)\cdots(x-b_n)\)이 다음 조건을 만족시킨다. 다음 등식 \[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{c_1}{x-b_1} + \frac{c_2}{x-b_2} + \dots + \frac{c_n}{x-b_n} \quad (c_1, c_2, \dots, c_n\text{은 상수}) \] 가 성립할 때, 아래의 물음에 답하시오. [30점]

닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(H(x)\)를 \[ H(x) = \int_0^x f(t)\,dt - \int_x^1 f(t)\,dt \quad (-1 \le x \le 2) \] 라 할 때, 아래 물음에 답하시오. [30점]

함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속인 이계도함수 \(f''(x)\)를 갖고 다음 조건을 만족시킨다. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = \int_0^{4n+2} f(x)\cos\frac{\pi x}{4}\,dx\)라 할 때, 아래 물음에 답하시오.

양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 함수 \(f(x) = \left(\frac{x}{x+6}\right)^x\)에 대하여 아래 물음에 답하시오. [30점]

\[ A = \left\{ (x, y) \;\middle|\; \frac{|x|}{a} + \frac{|y|}{b} = 1 \right\}, \quad B = \left\{ (x, y) \;\middle|\; |x^k y| = 3 \right\} \]

모든 실수 \(x\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x)\)가 연속이다. 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 아래 물음에 답하시오. [35점]

구간 \([0, \infty)\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족할 때, 아래 물음에 답하시오. [35점]

모든 실수 \(x\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x)\)가 연속이다. 함수 \(f(x)\)가 다음 식을 만족시킬 때, 아래 물음에 답하시오. [30점]

양의 실수 \(a\)에 대하여 아래 물음에 답하시오. [35점]

구간 \([0, \infty)\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 아래 물음에 답하시오. [35점]

모든 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\)을 다음과 같이 정의할 때, 아래 물음에 답하시오. [30점]

실수 \(a\)가 \(-1 \lt a \lt 1\)일 때 다음 물음에 답하시오. [40점]

함수 \(f(x) = x^2 e^x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. [30점]

좌표평면의 원 \(x^2 + y^2 = 16\) 위의 두 점 \(A(\sqrt{6}+\sqrt{2}, \sqrt{6}-\sqrt{2})\), \(B(\sqrt{6}-\sqrt{2}, \sqrt{6}+\sqrt{2})\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. [30점]

실수 \(a\)가 \(-1 \lt a \lt 1\)일 때 다음 물음에 답하시오. [40점]

함수 \(f(x) = x^2 e^x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. [30점]

좌표평면의 원 \(x^2 + y^2 = 16\) 위의 두 점 \(A(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\), \(B(\sqrt{6}-\sqrt{2}, \sqrt{6}+\sqrt{2})\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. [30점]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(2n \le x < 2n+2\)일 때, \(f(x) = 1 - |x - 2n - 1|\)이다. (단, \(n = 0, 1, 2, 3, \dots\)이다.)
(나) \(x < 0\)일 때, \(f(x) = 0\)이다.
닫힌구간 \([2n, 2n+2]\)에서 직선 \(y = ax\) (\(0 \lt a \lt 1\))와 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 두 점에서 만날 때 직선과 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_n\)이라 한다. 아래 물음에 답하시오. [40점]

실수 \(m, b\)에 대하여 직선 \(y = mx + b\)가 함수 \(y = |x(x-2)|\)의 그래프와 서로 다른 세 점에서 만날 때 아래 물음에 답하시오. [30점]

좌표평면 위에서 원 \(x^2 + y^2 = 1\)의 내부를 색칠하여 얻게 되는 그림을 \(P_0\)이라 하자. \(P_0\)에 원 \((x-1)^2 + y^2 = 1\)과 원 \((x+1)^2 + y^2 = 1\)의 내부를 색칠한 부분을 더하여 얻게 되는 그림을 \(P_1\)이라 하고, \(P_1\)에 원 \((x-2)^2 + y^2 = 1\)과 원 \((x+2)^2 + y^2 = 1\)의 내부를 색칠한 부분을 더하여 얻게 되는 그림을 \(P_2\)라 한다. 이 과정을 계속하여 \(P_n\)에 원 \((x-n-1)^2 + y^2 = 1\)과 원 \((x+n+1)^2 + y^2 = 1\)의 내부를 색칠한 부분을 더하여 얻게 되는 그림을 \(P_{n+1}\)이라 한다. \(P_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 하자. (단, \(n = 0, 1, 2, 3, \dots\)이다.)
한 변의 길이가 \(1\)인 정삼각형의 넓이를 \(\alpha\)라 하고, 반지름의 길이가 \(1\)이고 중심각의 크기가 \(\frac{\pi}{3}\)인 부채꼴에서 호의 양 끝 점과 중심을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 제외한 도형의 넓이를 \(\beta\)라 할 때 아래 물음에 답하시오. [30점]

상수 \(p\) (\(1 \lt p \lt 2\))에 대하여 함수 \(f(x) = x^3 - px^2 + px\)가 있다. 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[ a_{n+1} = f(a_n) \] 을 만족시킨다. \(0 \lt a_1 \lt 1\)일 때, 아래 물음에 답하시오. [40점]

좌표평면에서 타원 \(x^2 + 3y^2 = 3\)과 직선 \(y = x + k\)가 서로 다른 두 점 \(Q, R\)에서 만난다. 타원 위의 점과 직선 사이의 기하학적 성질 및 도함수를 활용하여 삼각형의 넓이를 분석하고 최댓값을 구하시오. [30점]

좌표평면에서 실수 \(s\)에 대하여 원 \((x - s)^2 + (y - r)^2 = r^2\)과 함수 \(y = \frac{4}{3}|x| + 8\)의 그래프가 한 점에서 만날 때 원의 반지름의 길이를 \(f(s)\)라 하자. [30점]