함수 \(f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 그래프 위의 점 \((a, b)\)와 직선 \(y = 1\) 사이의 거리가 \(2\)일 때, \(a+b\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(b\)의 값을 구하시오.
(2) \(a+b\)의 값을 구하시오.

다음 조건을 모두 만족시키는 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(가) \(\cos B = \cos C\)
(나) \(\sin A : \sin B = 4 : 3\)
(다) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 외접원 지름의 길이는 \(9\)이다.

(1) \(\cos B\)의 값을 구하시오.
(2) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 구하시오.

모든 항이 서로 다른 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 수열 \(\{b_n\}\)을 \(b_n = a_{2n+1}\)이라 하자. 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하고, 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(T_n\)이라 할 때, \(S_{10} = 6T_5\)를 만족시킨다. \(\frac{b_3}{a_3}\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\)이라 할 때, \(T_5\)의 값을 \(a\)와 \(r\)에 대한 식으로 나타내시오.
(2) \(\frac{b_3}{a_3}\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+ax+b}{x-1} & (x \ne 1) \\ 4 & (x = 1) \end{cases}\) 가 \(x=1\)에서 연속일 때, \(a-3b\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

(1) \(a\)의 값을 구하시오.
(2) \(a-3b\)의 값을 구하시오.

좌표평면 위의 두 점 \(A(a, 2a+1)\), \(B(a+1, 2a+2)\)에 대하여 선분 \(OA\)의 길이를 \(f(a)\), 선분 \(AB\)의 길이를 \(g(a)\)라 하자. \(\lim_{a \to -1} \frac{f(a)-g(a)}{a+1}\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

(1) \(f(a) \times g(a)\)를 구하시오.
(2) \(\lim_{a \to -1} \frac{f(a)-g(a)}{a+1}\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 함수 \(f(x)\)의 평균변화율은 \(5\)이다.
(나) \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x^2-1} = f(1)\)

\(f(3)-f'(3)\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(f(x)\)를 구하시오.
(2) \(f(3)-f'(3)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2\)에 대하여 점 \((0, -8)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그은 접선을 \(y = g(x)\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)의 두 교점을 모두 구하시오.
(2) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

곡선 \(y = 3^x - \frac{8}{3}\)이 \(x\)축과 만나는 점을 A, 곡선 \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\)과 만나는 점을 B라 할 때, 삼각형 AOB의 넓이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, O는 원점이다.)

(1) 점 B의 \(y\)좌표 값을 구하시오.
(2) 삼각형 AOB의 넓이를 구하시오.

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 곡선 \(y = \sin ax\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(\frac{\pi}{6}\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동 한 그래프를 나타내는 함수를 \(f(x)\)라 하자. 함수 \(f(x)\)의 주기가 \(3\pi\)이고 \(f\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \sqrt{3}\)일 때, \(f\left(-\frac{\pi}{12}\right)\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(a \times b\)의 값을 구하시오.
(2) \(f\left(-\frac{\pi}{12}\right)\)의 값을 구하시오.

등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_3 = 11\), \(a_5 + S_8 = 155\)일 때, \(S_n > 100\)을 만족하는 자연수 \(n\)을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(a_1\)의 값을 구하시오.
(2) \(S_n > 100\)을 만족하는 \(n\)의 최솟값을 구하시오.

삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(가) 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)+f(-x)}{x-a}\)의 값이 존재한다.
(나) \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)+2}{x-1} = 4\)

(1) \(f(x) = px^3 + qx^2 + kx + l\)이라고 할 때, \(\frac{q}{p}\)의 값을 구하시오. (단, \(p, q, k, l\)은 상수이고, \(p \ne 0\)이다.)
(2) \(f(3)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2+ax & (x < 2) \\ \frac{1}{2}x-a & (x \ge 2) \end{cases}\)가 모든 실수 \(x\)에서 연속이다. 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M+m\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

(1) \(a\)의 값을 구하시오.
(2) \(M+m\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{h} = -4x^3 + 2x^2 + 2\)를 만족한다. 함수 \(g(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+4h)-f(x-2h)}{2h}\)라 할 때, \(g(0)+g(1)\)의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(f'(x)\)를 구하시오.
(2) \(g(0)+g(1)\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{x-1}^{x+1} (f(t)+2t)dt = ax^2 + 4\)를 만족시킨다. \(\int_{0}^{3} f(t)dt = \int_{0}^{1} f(t)dt + 20\)일 때, 상수 \(a\)값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(a\)를 이용하여 \(\int_{x-1}^{x+1} f(t)dt\)를 \(x\)에 관한 식으로 나타내시오.
(2) \(a\)의 값을 구하시오.

함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. 함수 \(g(x)=\{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\}\)가 \(x=0\)에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(\lim_{x\to 0^-} g(x)\)의 값을 구하시오.
(2) \(\lim_{x\to 0^+} g(x)\)의 값을 구하시오.
(3) \(\lim_{x\to 0^-} g(x) = \lim_{x\to 0^+} g(x) = g(0)\)을 이용하여 실수 \(a\)의 값을 구하시오.

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n + 5\)를 만족시킨다. \(\sum_{n=1}^{15} a_n = 600\)일 때, \(a_{20}\)의 값을 구하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)을 구하시오.
(2) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
(3) \(a_{20}\)의 값을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t (t \ge 0)\)에서의 위치를 각각 \(x_p, x_q\)라 하면 \(x_p(t) = t^3 - 2t^2\), \(x_q(t) = t - 2\)이다. 특정 순간의 점 \(P\)의 가속도를 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) 두 점 \(P, Q\)가 만나는 순간의 시각 \(t\)의 값을 구하시오.
(2) 두 점 \(P, Q\)가 만나는 순간 서로 반대 방향으로 움직이고 있는 시각 \(t\)의 값을 구하시오.
(3) (2)에서 구한 시각 \(t\)에서의 점 \(P\)의 가속도를 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = x^2 + x\int_0^3 f(t)dt + \int_{-1}^1 f(t)dt\)를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(\int_{-1}^1 f(t)dt\) 값을 구하시오.
(2) \(\int_0^3 f(t)dt\) 값을 구하시오.
(3) \(f(1)\)의 값을 구하시오.

공비가 \(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(\frac{S_{10}-S_8}{S_7-S_5} = 3\), \((S_2-S_1)^3 = 192\)일 때, \(a_2 \times a_6\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a_1 \ne 0, r \ne 0, r^2 \ne 1\)이다.)

(1) \(r^3\)의 값을 구하시오.
(2) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항 \(a_1\)을 구하시오.
(3) \(a_2 \times a_6\)의 값을 구하시오.

\(\sin(\pi-\theta)\cos(\pi+\theta) = -\frac{1}{2}\)이고, \(\cos(\frac{\pi}{2}+\theta) < 0\)일 때, \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(\sin\theta + \cos\theta\)의 값을 구하시오.
(2) \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 4^{x-3} + a\)의 역함수가 \(g(x) = \log_4(x-5) + b\)일 때, \(f(3) + g(9)\)를 계산하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

(1) \(a+b\)의 값을 구하시오.
(2) \(f(3) + g(9)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-a}{x-3} & (x \ne 3) \\ b & (x = 3) \end{cases}\) 가 \(x=3\)에서 연속일 때, \(f(b)\)의 값을 계산하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

(1) \(a\)의 값을 구하시오.
(2) \(b\)의 값을 구하시오.
(3) \(f(b)\)의 값을 구하시오.

공차가 \(0\)이 아닌 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_1 = 27, |a_7| = |a_{13}|\) 일 때, \(a_{20}\)의 값을 구하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\)를 구하시오.
(2) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
(3) \(a_{20}\)의 값을 구하시오.

곡선 \(y = x^4 - 2x^3 + x + 1\) 위의 점 \(A(1, 1)\)에서의 접선 \(l\)과 곡선 \(y = x^2 - 7x + 11\)이 점 \(B\)에서 접할 때, \(\overline{AB} = k\)이다. \(k\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) 접선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
(2) 점 \(B\)의 좌표를 구하시오.
(3) \(k\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(2f(x) - xf(x) = x^3 - \frac{15}{2}x^2 + 18x - \int_1^x f(t)dt\)를 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(f'(x)\)를 구하시오.
(2) 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
(3) \(f(2)\)의 값을 구하시오.

\(a_3 = 20\)인 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(b_n = S_n + 5\)라 할 때, 수열 \(\{b_n\}\)은 공비가 \(2\)인 등비수열이다. \(S_5\)의 값을 구하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 첫째항 \(a_1\)의 값을 구하시오.
(2) 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
(3) \(S_5\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = -\sin^2 x - 4\cos x + 1\)에 대하여 \(f(x) = k\)가 실근을 갖도록 하는 \(k\)값의 범위를 \(\alpha \le k \le \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오.

(1) \(\cos x = t\)라 할 때, \(f(x)\)를 \(t\)에 관한 식으로 나타내시오.
(2) \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.

두 점 \(A(0, a) (a > 0), B(8, 0)\)에 대하여 선분 \(AB\)가 함수 \(y = \log_3 (x+1)\)의 그래프와 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{AC} : \overline{CB} = 1 : 3\)일 때, 점 \(C\)의 좌표의 값을 계산하는 과정을 아래의 단계에 따라 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

(1) 점 \(C\)의 \(y\)좌표를 \(ka\)라 할 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
(2) 점 \(C\)의 좌표를 구하시오.