QUESTIO ESSAY STANDARD
2027학년도 대학별 수리논술 실전 대비
2027학년도 세종대학교 수리논술 기출 문제집 [자연 A형]
수험생 실전 연습용 · 답안 작성 워크스페이스 탑재
🏛️ 세종대학교
5개년 기출 전수 수록 (2026 ~ 2022학년도 총 15문항)
1문항 1페이지 A4 완결형 규격 수록
QUESTIO 입시전략연구소 & 수리논술 평가원
2027 ADMISSION ESSAY SERIES
📝 [문제 1]
역함수와 정적분, 최댓값 도출
배점: 230점
[문제 1] 열린구간 \((0, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)는 역함수 \(f^{-1}(x)\)를 갖고 다음을 만족시킨다.
[제시문]
(가) \(f^{-1}(x)\)는 닫힌구간 \([0, \infty)\)에서 연속이고, \(x > 0\)에서 미분가능하다.
(나) \(x > 0\)일 때, \(\displaystyle \int_0^x f^{-1}(t)\,dt = x^2 e^x\)
(다) 열린구간 \((0, 4\ln 2)\)에서 정의된 함수 \(g(x) = f(x) - \dfrac{1}{4}x\)는 \(x = \alpha\)에서 최댓값을 갖는다.
(1-1) \(f^{-1}(\ln 2)\), \(f^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\), \(f'\left(f^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\)의 값을 각각 구하시오. (70점)
(1-2) \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{e}} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (80점)
(1-3) 최댓값 \(g(\alpha)\)를 \(\alpha\)를 이용하여 나타내시오. (80점)
【 답안 작성 및 실전 연습 공간 (Workspace) 】
📝 [문제 2]
정적분으로 정의된 함수와 미분계수
배점: 230점
[문제 2] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음을 만족시킨다.
\[ \int_0^x (2t-x)f(t)\,dt = (x-2)e^x + ax + b \quad \text{(단, \(a\)와 \(b\)는 상수)} \]
(2-1) 상수 \(a\), \(b\)의 값과 \(f(2)-f(1)\)의 값을 각각 구하시오. (70점)
(2-2) 함수 \(g(x) = \begin{cases} x^2+2x+3 & (x < 0) \ f(x) & (x \ge 0) \end{cases}\)에 대하여 \(r(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0+} \dfrac{g(x+h)-g(x-2h)}{h}\)라 하자. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(r(x)\)의 값이 존재할 때, \(f(x)\)와 \(r(x)\)를 각각 구하시오. (80점)
(2-3) (2-2)에서 구한 함수 \(r(x)\)에 대하여 곡선 \(y=e^{2x}+k\)와 함수 \(y=r(x)\)의 그래프가 만나는 점의 개수가 2가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값을 모두 구하시오. (80점)
【 답안 작성 및 실전 연습 공간 (Workspace) 】
📝 [문제 3]
정삼각형 내접원의 반지름과 대칭함수의 적분
배점: 240점
[그림 1] 문제 3 기하 도형
[문제 3] 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정삼각형 \(\text{ABC}\)의 밑변 \(\text{AB}\) 위의 한 점 \(\text{D}\)에 대하여, 삼각형 \(\text{ACD}\)에 내접하는 원을 \(S_1\), 삼각형 \(\text{BCD}\)에 내접하는 원을 \(S_2\)라 하자.
선분 \(\text{AD}\)의 길이가 \(x\)일 때, \(S_1\), \(S_2\)의 반지름의 길이를 각각 \(r_1(x)\), \(r_2(x)\)라 정의하자. 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)는 \(0 \lt x \lt 2\)일 때,
\[ f(x) = r_1(x) + r_2(x) \]
이다.
(3-1) 함수 \(f(x)\)를 구하시오. 또한 \(f\)의 치역을 구하시오. (80점)
(3-2) \(x\)좌표가 1인 점 \(\text{P}\)를 지나는 두 직선이 곡선 \(y=f(x)\)에 점 \(\text{Q}\)와 점 \(\text{R}\)에서 각각 접한다. \(\text{Q}\)의 \(x\)좌표가 \(\dfrac{1}{4}\)이고 \(\angle\text{QPR}=\theta\)일 때, \(\sin\theta\)의 값을 구하시오. (80점)
(3-3) \(f\)의 치역에 속하는 \(t\)에 대하여 \(\displaystyle g(t) = \int_0^2 |f(x)-t|\,dx\)라 하자. 함수 \(g(t)\)가 \(t=\alpha\)에서 최솟값을 가질 때, \(\alpha\)의 값을 구하시오. (80점)
【 답안 작성 및 실전 연습 공간 (Workspace) 】
[문제 1] 삼차함수의 대칭성과 정적분, 산술-기하 평균 부등식
미적분 · 정적분 활용
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f(0) = f(a) = 0\) (단, \(a > 0\))
(나) \(\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx = 0\)
(1-1)
\(f(x)\)의 극댓값을 \(a\)의 식으로 나타내시오. (70점)
(1-2)
\(g(x) = \displaystyle \int_0^x tf(x-t)\,dt\)에 대하여 \(g''(-a)\)를 \(a\)의 식으로 나타내시오. (80점)
(1-3)
\(h(x) = f(x) + x\), \(p(x) = e^{h(x)} + e^{h(a-x)}\)라 각각 정의할 때, \(p(x)\)의 최솟값을 \(a\)의 식으로 나타내시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2025 자연A [문제 1]
[문제 2] 유리함수와 영역의 넓이, 평균값 정리 및 급수
미적분 · 정적분과 급수
두 번 미분가능한 함수 \(f(t)\)는 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(0 < f(t) < f(t+1)\)를 만족시킨다. 곡선 \(y = \frac{1}{x}\) 위의 두 점 \(A\left(f(t),\, \frac{1}{f(t)}\right)\), \(B\left(f(t+1),\, \frac{1}{f(t+1)}\right)\)에 대하여, 선분 \(OA\), 선분 \(OB\) 및 곡선 \(y = \frac{1}{x}\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S(t)\)라 정의하자. (단, \(O\)는 원점이다.)
(2-1)
\(S(t)\)를 구하시오. 또한 \(f(t) = e^{t^3}\)일 때, \(S(2)\)의 값을 구하시오. (70점)
(2-2)
모든 실수 \(t\)에 대하여 \(S(t) = 2\)이고 \(f(0) = 2\)일 때, \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)}\)의 값을 구하시오. (80점)
(2-3)
함수 \(f(t)\)는 \(f(0)=2\), \(f'(0)=3\)이고 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(f''(t)f(t) \ge \{f'(t)\}^2\)을 만족시킨다고 하자. \(S(t)\)가 상수함수일 때, \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)의 값을 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2025 자연A [문제 2]
[문제 3] 삼각함수의 덧셈정리와 도형의 분할 넓이의 곱의 극값
미적분 · 삼각함수와 미분
그림과 같이 좌표평면에서 \(\overline{OA} = 2\sqrt{2}\), \(\overline{OB} = \overline{AB} = 2\)인 직각삼각형 \(OAB\)에 대하여 선분 \(OB\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각이 \(\theta\)이다. (단, \(0 \le \theta < \frac{\pi}{2}\)) 직선 \(l: y=1\)이 삼각형 \(OAB\)와 만나는 두 점을 왼쪽부터 각각 \(\text{C, D}\)라 하자. (단, \(\text{O}\)는 원점이다.)
(3-1)
\(\text{A}\)의 좌표와 \(\text{B}\)의 좌표를 각각 \(\theta\)의 식으로 나타내시오. 또한 \(\text{D}\)가 선분 \(\text{OB}\) 위에 있는 경우 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오. (80점)
(3-2)
\(t = \tan\theta\)일 때, 선분 \(\text{CD}\)의 길이를 \(f(t)\)라 하자. \(\text{D}\)가 선분 \(\text{OB}\) 위에 있는 경우 \(f(t)\)를 구하고 \(f(t)\)의 최솟값과 최댓값을 각각 구하시오. (80점)
(3-3)
직선 \(l\)이 나누는 삼각형의 두 영역 중 \(l\) 위의 영역의 넓이를 \(a\), \(l\) 아래의 영역의 넓이를 \(b\)라 하자. \(0 \le \theta < \frac{\pi}{2}\)일 때, \(a \times b\)의 최솟값과 최댓값을 각각 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2025 자연A [문제 3]
[문제 1] 구간별 적분함수의 극값 및 수열의 삼각함수 극한
수학Ⅱ · 미적분
실수 전체의 집합에서 다음과 같이 정의되는 함수 \(f(x)\)에 대하여 아래 물음에 각각 답하시오. (단, \(n\)은 자연수이다.)
\[
f(x) = \begin{cases}
\displaystyle -\int_0^x \frac{(t+3)(t+1)}{(n+3)(n+1)}\,dt & (x < 0) \\[10pt]
\displaystyle \int_0^x \left\{ \frac{t^3}{n^3} - \frac{(t+3)(t+1)}{(n+3)(n+1)} \right\}\,dt & (x \ge 0)
\end{cases}
\]
(1-1)
\(x < 0\)일 때 \(f(x)\)의 극솟값을 구하시오. (70점)
(1-2)
함수 \(f(x)\)의 최솟값을 구하시오. (80점)
(1-3)
곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 중에서 접선의 기울기가 \(0\)인 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 내각 중에서 가장 큰 각의 크기를 \(\theta_n\)이라 할 때, \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \tan \theta_n\)을 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2024 자연A [문제 1]
[문제 2] 사차함수의 대칭성, 역함수 미분법 및 최단거리
수학Ⅱ · 미적분
최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 곡선 \(y=f(x)\)는 서로 다른 두 점 \(A(a, f(a))\), \(B(b, f(b))\)에서 직선 \(y=2x+1\)에 접한다. (단, \(a < b\))
(나) 두 점 \(A\)와 \(B\) 사이의 거리는 \(\sqrt{5}\)이다.
(다) \(f'(c)=2\)를 만족시키는 \(c\,(a \lt c \lt b)\)에 대하여, \(a+b+c = \dfrac{3}{2}\)이다.
(2-1)
\(c\)의 값을 구하시오. (70점)
(2-2)
\(a \lt x \lt c\)에서 \(f(x)\)의 역함수가 존재함을 보이고, \(f(a) \lt x \lt f(c)\)인 \(x\)에 대하여 \((f^{-1})'(x)\)의 최솟값을 구하시오. (80점)
(2-3)
곡선 \(y=f(x)\) 위의 두 변곡점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)를 지나는 직선의 방정식을 \(y=L(x)\)라 하고, \(y=f(x)\)와 \(y=L(x)\)의 교점의 \(x\)좌표의 최댓값을 \(k\)라 하자. 이때 점 \(P(k+2f(k), 0)\)과 곡선 \(y=\dfrac{1}{2}\{f(x)+L(x)+|f(x)-L(x)|\}\) 위의 점 \(Q\)에 대하여, 선분 \(PQ\)의 길이가 최소가 되도록 하는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표를 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2024 자연A [문제 2]
[문제 3] 적분으로 정의된 함수와 치환적분, 함수의 증감 및 극한
수학Ⅱ · 미적분
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \displaystyle\int_0^x te^{-(t-x)^2}\,dt\)에 대하여 \(\displaystyle\int_0^2 e^{-x^2}\,dx = A\)라 할 때, 다음 물음에 각각 답하시오.
(3-1)
\(f'(2)\)를 \(A\)의 식으로 나타내시오. (80점)
(3-2)
\(0 < x \le 2\)에서 함수 \(\dfrac{f(x)}{x}\)의 최댓값을 \(A\)의 식으로 나타내시오. (80점)
(3-3)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\{f(x)\}^5 f'(x)}{x^{11}}\)의 값을 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2024 자연A [문제 3]
[문제 1] 역함수 관계의 합성함수와 극한 및 정적분 계산
수학Ⅱ · 미적분
미분가능한 함수 \(f(x)\)와 \(g(x) = (x^2+2)e^{2x} + e^{4x}\)이 모든 실수 \(x > 0\)에 대하여 \((g \circ f)(x) = x\)를 만족시킨다.
(1-1)
방정식 \(g(x) = 3e^2+e^4\)의 해는 \(x=1\)뿐임을 보이시오. 또한 방정식 \(g(x)=3\)의 해는 \(x=0\)뿐임을 보이시오. (70점)
(1-2)
극한 \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} xf'(x)\)를 구하시오. (80점)
(1-3)
\(\displaystyle\int_3^{3e^2+e^4} f(x)\,dx\)를 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2023 자연A [문제 1]
[문제 2] 음함수의 미분법, 이계도함수와 극소 및 부등식 증명
수학Ⅱ · 미적분
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(y=f(x)\)라 할 때 \(y + \ln(x+y) = x\)가 성립한다.
(2-1)
곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(\left(\dfrac{e+1}{2}, \dfrac{e-1}{2}\right)\)에서의 접선의 기울기를 구하시오. (70점)
(2-2)
함수 \(f(x)\)의 최솟값을 구하시오. (80점)
(2-3)
\(f(0) = f(\alpha) = \beta\)일 때, \(\beta\)를 \(\alpha\)의 식으로 표현하고 \(\alpha < 2\)임을 보이시오. (단, \(\alpha \ne 0\)) (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2023 자연A [문제 2]
[문제 3] 구간 최댓값 함수의 미분가능성과 삼차함수의 결정
수학Ⅱ · 도함수 활용
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 닫힌구간 \([t, t+1]\)에서 \(f(x)\)의 최댓값을 \(g(t)\)로 정의할 때 함수 \(g(t)\)는 다음을 만족시킨다.
(가) \(g(t)\)는 \(t=3\)에서 미분가능하지 않다.
(나) 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\)에 속하는 모든 \(t\)에 대하여 \(g(t) = 7\)이다.
(3-1)
\(f(3) - f(4)\)의 값을 구하시오. (80점)
(3-2)
\(f(x)\)는 \(x=\alpha\)에서 극댓값을 갖는다. \(\alpha\)의 최솟값과 최댓값을 각각 구하시오. (80점)
(3-3)
\(g(4) = 7\)일 때 \(f(3)\)을 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2023 자연A [문제 3]
[문제 1] 지수함수의 곡선 위 최단거리 점과 변곡점 및 직교 조건
미적분
실수 \(t\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = te^{-x^2}\) \((x>0)\)이라 정의하자.
곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 중 원점 \(\mathrm{O}\)와 가장 가까운 점을 \(\mathrm{P}\), 변곡점을 \(\mathrm{Q}\)라 할 때 다음 물음에 각각 답하시오. (단, \(t > \dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
(1-1)
점 \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표를 구하시오. (70점)
(1-2)
원점 \(\mathrm{O}\)와 점 \(\mathrm{P}\) 사이의 거리를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (80점)
(1-3)
\(\angle\mathrm{OPS} = \dfrac{\pi}{2}\)를 만족하는 \(x\)축 위의 점 \(\mathrm{S}(r, 0)\)에 대하여 \(r\)가 최소일 때, 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표를 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2022 자연A [문제 1]
[문제 2] 부등식을 만족하는 도함수와 극한 대소관계 및 항등식
수학Ⅱ · 미적분
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.
모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \(f(x) - f(y) \le (x-y)g(x)\)이다.
(2-1)
모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \((x-y)g(y) \le f(x) - f(y)\)가 성립함을 보이시오. (70점)
(2-2)
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) = g(x)\)임을 보이시오. (80점)
(2-3)
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(8f(x) + f(-2x) = 18\)일 때, \(f(x)\)를 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2022 자연A [문제 2]
[문제 3] 정적분 부등식과 삼차함수 그래프 및 접선의 교점 개수
수학Ⅱ · 미적분
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(g(x) = f(x)e^x\)이라 정의할 때, 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_1^x g(t)\,dt \ge 0\)이다.
(나) 함수 \(g(x)\)는 \(x=3\)에서 극솟값을 갖는다.
(3-1)
\(f(1)=0\)임을 보이시오. (70점)
(3-2)
함수 \(g(x)\)를 구하고 곡선 \(y=g(x)\)의 개형을 그리시오. (80점)
(3-3)
구간 \([2, 3]\)에 속하는 실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(\dfrac{g(x+1) - g(t)}{x-t} = g'(t)\) \((x \ne t)\)를 만족시키는 서로 다른 실수 \(x\)의 개수를 \(h(t)\)라 할 때, \(h(t) = 2\)를 만족시키는 실수 \(t\)의 개수를 구하시오. (80점)
QUESTIO WORKSPACE · 2022 자연A [문제 3]
