2027학년도 대비 세종대학교 자연B 수리논술 문제집 (2026학년도 기출 실전 워크북)

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QUESTIO ESSAY STANDARD

2027학년도 대학별 수리논술 실전 대비

2027학년도 세종대학교 수리논술 기출 문제집 [자연 B형]

수험생 실전 연습용 · 답안 작성 워크스페이스 탑재

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5개년 기출 전수 수록 (2026 ~ 2022학년도 총 15문항)
1문항 1페이지 A4 완결형 규격 수록

QUESTIO 입시전략연구소 & 수리논술 평가원

2027 ADMISSION ESSAY SERIES

📝 [문제 1] 정적분으로 정의된 함수와 접선

배점: 230점

[문제 1] 실수 전체의 집합에서 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 정의하자.

\[ f(x) = \int_{\pi/2}^{2\pi} |x-t| \cos\dfrac{t}{2}\,dt \]

(1-1) \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)의 값을 구하시오. 또한 \(x < \dfrac{\pi}{2}\)일 때, \(f'(x)\)를 구하시오. (70점)

(1-2) 함수 \(f(x)\)가 \(x=\alpha\)에서 최댓값을 가질 때, \(\cos\dfrac{\alpha}{2}\)의 값을 구하시오. (80점)

(1-3) 곡선 \(y=f(x)-f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)와 직선 \(y=\sqrt{2}x+k\)가 만나는 점의 개수가 1이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값을 모두 구하시오. (80점)

【 답안 작성 및 실전 연습 공간 (Workspace) 】

📝 [문제 2] 구간별 정의 함수와 미분불가능점

배점: 230점

[문제 2] 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x & (x \le 0) \ f(x) & (x > 0) \end{cases} \] 이 다음을 만족시킨다.

(가) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{|g(x)|}{x^3} = 1\)

(나) \(g(x)\)가 극값을 갖는 \(x\)의 값은 \(\alpha\) 하나뿐이다. (단, \(\alpha\)는 실수이다.)

(다) \(\displaystyle \int_{-1}^1 g(x)\,dx = 0\)

(2-1) \(f(x)\)의 최고차항의 계수를 구하시오. (70점)

(2-2) 실수 \(\alpha\)의 값의 범위를 구하시오. (80점)

(2-3) 함수 \(h(x) = |g(x)-f'(0)x|\)에 대하여 \[ D = \{ k \mid h(x)\text{는 } x=k\text{에서 미분가능하지 않다.} \} \] 라 하자. \(D\)의 원소의 개수가 1이 되도록 하는 실수 \(\alpha\)의 값을 모두 구하시오. (80점)

【 답안 작성 및 실전 연습 공간 (Workspace) 】

📝 [문제 3] 베타적분형 수열과 조합의 곱

배점: 240점

[문제 3] \(n=1, 2, 3, \ldots, 100, 101\)에 대하여 \[ a_n = \int_0^1 (2x)^n (1-x)^{102-n} \,dx \] 라 하자.

(3-1) \(\dfrac{a_{98}}{2^{98}} + 3\dfrac{a_{99}}{2^{99}} + 3\dfrac{a_{100}}{2^{100}} + \dfrac{a_{101}}{2^{101}} = \dfrac{p}{q}\)일 때, \(p\)와 \(q\)를 각각 구하시오. (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수이다.) (80점)

(3-2) \(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} \ge 1\)을 만족시키는 \(n\)을 모두 구하시오. (80점)

(3-3) \(a_n\)이 \(n=m\)에서 최솟값을 가질 때, \(m\)을 구하시오. 또한 \(_{102}\text{C}_m \times a_m = \dfrac{p}{q}\)일 때, \(p\)와 \(q\)를 각각 구하시오. (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수이다.) (80점)

【 답안 작성 및 실전 연습 공간 (Workspace) 】

[문제 1] 사차함수의 절댓값 미분가능성과 접선의 기울기 최솟값 수학Ⅱ · 미분과 접선

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(-1) = 2\)

(나) 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=0\)과 \(x=1\)에서만 미분가능하지 않다.

(1-1)

\(f'(0)\)의 값의 범위를 구하시오. (70점)

(1-2)

\(f'(0) = -3\)일 때, \(e^{|f(x)|}\)은 \(x=0\)에서 미분가능하지 않음을 보이시오. (80점)

(1-3)

직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 두 점 \(A(\alpha, f(\alpha))\), \(B(\beta, f(\beta))\)에서 곡선 \(y=f(x)\)에 접하는 경우, \(m\)이 최소일 때 \(f'(0)\)의 값을 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2025 자연B [문제 1]

[문제 2] 삼차함수의 점대칭성과 절댓값 방정식의 실근 및 정적분 수학Ⅱ · 도함수와 정적분

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) - f(0) = -\{f(x) - f(0)\}\)

(나) 방정식 \(f(x) = |x|\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\)이다.

(2-1)

\(f(0)=c\)일 때, 정적분 \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\,dx\)의 값을 \(c\)의 식으로 나타내시오. (70점)

(2-2)

\(f(0)=0\)일 때, 방정식 \(f(x)=|x|\)의 \(0\)이 아닌 실근을 \(k\)라 하자. \(k\)의 값의 범위를 구하시오. (80점)

(2-3)

\(f(0) \ne 0\)일 때, 방정식 \(f(x)=|x|\)의 두 실근 중 더 큰 것을 \(\beta\)라 하자. \(\displaystyle \int_{-\beta}^\beta \{f(x) - |x|\}\,dx = 0\)일 때, \(f(x)\)를 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2025 자연B [문제 2]

[문제 3] 우함수의 성질과 치환적분, 도함수를 통한 증가 조건 미적분 · 정적분과 도함수

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) > 0\)이고 \(f(x) = f(-x)\)

(나) \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\,dx = C\)

\(F(x) = \displaystyle \int_{-1}^x f(t)\,dt\)라 정의하고 상수 \(a > 0\)에 대하여 \(g(x) = f(ax)F(x)\)라 정의하자.

(3-1)

\(F(x) + F(-x)\)를 \(C\)의 식으로 나타내시오. (80점)

(3-2)

\(f(x) = e^{-x^2}\)일 때, 함수 \(g(x)\)가 구간 \((-1, 1)\)에서 증가함수이기 위한 양수 \(a\)의 최댓값을 \(C\)의 식으로 나타내시오. (80점)

(3-3)

\(F(a) = \frac{2}{3}C\)일 때, \(a \displaystyle \int_{-1}^1 g(x)\,dx\)의 값을 \(C\)의 식으로 나타내시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2025 자연B [문제 3]

[문제 1] 수열의 귀납적 정의와 항의 역추적 탐색 수학Ⅰ · 수열

모든 항이 자연수인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(a_n < 10\)이면 \(a_{n+1} = 2a_n\)

(나) \(a_n \ge 10\)이고 \(a_n\)이 짝수이면 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2} + n + 1\)

(다) \(a_n \ge 10\)이고 \(a_n\)이 홀수이면 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n+1}{2}\)

(1-1)

\(a_2\)가 홀수인 경우 \(a_2\)의 최솟값을 구하고, 이때 가능한 \(a_1\)의 값을 모두 구하시오. (70점)

(1-2)

\(a_2\)와 \(a_3\)이 모두 \(10\) 이하의 짝수인 경우 \(a_1\)의 최댓값을 구하시오. (80점)

(1-3)

\(a_6 = 12\)인 경우 \(a_4\)의 최솟값과 최댓값을 각각 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2024 자연B [문제 1]

[문제 2] 그래프의 개형, 구간별 정적분과 부분적분법 수학Ⅱ · 미적분

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = (1+|x|^3)^{-2}\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의한다. \[ g(x) = \int_x^{x+4} f(t)\,dt \]

(2-1)

\(f'(x) < 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오. 또한 \(f''(x) < 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값의 범위를 구하시오. (70점)

(2-2)

함수 \(y=f(x)\)의 그래프의 개형을 그리시오. 또한 함수 \(g(x)\)가 \(x=a\)에서 최댓값을 가질 때, \(a\)의 값을 구하시오. (80점)

(2-3)

(2-2)의 \(a\)에 대하여 \(\displaystyle\int_0^a t^3 f(t)\,dt = S\)라고 할 때, \(g(a) - 4S\)의 값을 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2024 자연B [문제 2]

[문제 3] 사인법칙과 호의 둘레 함수, 함수의 대칭성과 최솟값 수학Ⅰ · 미적분

그림과 같이 좌표평면에 중심이 \(O_1, O_2\)이고 반지름의 길이가 각각 \(r_1, r_2\)인 두 원 \(C_1, C_2\)가 있다. 두 점 \(O_1, O_2\) 사이의 거리는 \(1\)이다. (단, \(0 \lt r_1 \lt 1, 0 \lt r_2 \lt 1\))
\(C_1\)과 \(C_2\)의 교점 중 하나를 \(P\)라 할 때, 점 \(P\)에서 두 원의 접선이 이루는 예각이 \(\dfrac{\pi}{6}\)이다. \(\angle PO_1O_2 = \alpha\)라 하고, 굵은 선으로 표시된 모양의 도형의 길이를 \(f(\alpha)\)라 하자.

(3-1)

\(\angle PO_2O_1\)의 크기를 \(\alpha\)의 식으로 나타내고 \(\alpha\)의 범위를 구하시오. 또한 \(f(\alpha)\)를 구하시오. (80점)

(3-2)

위의 그림에서 \(C_2\) 중 굵은 선으로 표시된 모양의 호의 길이를 \(g(\alpha)\)라 할 때, \(a < g'(\alpha) < b\)이다. \(a\)의 최댓값과 \(b\)의 최솟값을 각각 구하시오. (80점)

(3-3)

\(f(\alpha)\)가 최소가 되도록 하는 \(\alpha\)의 값을 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2024 자연B [문제 3]

[문제 1] 대칭·주기함수와 역함수의 미분법 및 할선의 기울기 수학 · 미적분

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)는 다음을 만족시킨다.

(가) \(0 \le x \le 2\)일 때 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)이다.

(나) 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)이다.

(다) 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(x+4)\)이다.

열린구간 \((2, 4)\)에서 정의된 함수 \(h(x)\)는 열린구간 \((2, 4)\)에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(h(x) = f(x)\)이다. \(h(x)\)의 역함수를 \(h^{-1}(x)\)라 하자.

(1-1)

\(h^{-1}(2)\)를 구하시오. (70점)

(1-2)

\((h^{-1})'(2)\)를 구하시오. (80점)

(1-3)

실수 \(t > 0\)에 대하여 두 점 \((0, f(0))\)과 \((t, f(t))\)를 지나는 직선의 기울기를 \(g(t)\)라 하자. \((h^{-1})'(x) = |g(t)|\)를 만족시키는 실수 \(x\)가 존재하도록 하는 \(t\)의 최댓값을 \(t_0\)이라 할 때, \(n \lt t_0 \lt n+1\)을 만족시키는 자연수 \(n\)을 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2023 자연B [문제 1]

[문제 2] 삼각함수와 로그함수의 치환적분법 및 부분적분법 미적분 · 여러 가지 적분법

\(e^{-\pi/2} \lt x \lt e^{\pi/2}\)에 대하여 \(f(x) = \displaystyle\int_e^x \tan(\ln t)\,dt\)라 하자.

(2-1)

\(f(x)\)가 최소가 되는 \(x\)의 값을 구하시오. (70점)

(2-2)

\(f(1) = a\)라 할 때, \(\displaystyle\int_0^1 e^x \tan^2 x\,dx\)를 \(a\)의 식으로 나타내시오. (80점)

(2-3)

\(\displaystyle\int_{1/e}^e \dfrac{f'(x)}{x^2}\,dx - f\left(\dfrac{1}{e}\right)\)을 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2023 자연B [문제 2]

[문제 3] 직사각형 둘레 거리함수의 볼록성 및 접선이 이루는 각 미적분 · 도함수 활용

그림과 같이 가로의 길이가 \(a > 1\)이고 세로의 길이가 \(1\)인 직사각형이 있다. 꼭짓점 \(A\)에서 출발하여 직사각형의 네 변을 따라서 시계 방향으로 이동한 거리가 \(s\)인 위치의 점 \(P(s)\)와 점 \(A\) 사이의 거리를 \(f(s)\)라 하자. (단, \(0 \le s \le 2a+2\))
또한 곡선 \(y=f(s)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선을 \(\ell_t\)라 하자. (단, \(1 \lt t \lt a+1\) 또는 \(a+1 \lt t \lt a+2\))

(3-1)

\(0 \le s \le 2a+2\)에서 \(f(s)\)를 구하시오. 또한 곡선 \(y=f(s)\) 위의 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(\ell_2\)의 방정식을 구하시오. (80점)

(3-2)

\(1 < \alpha < a+1\)일 때 \(\ell_\alpha\)와 곡선 \(y=f(s)\)의 교점의 개수를 \(\alpha\)의 값의 범위에 따라 구하시오. 또한 \(a+1 < \beta < a+2\)일 때 \(\ell_\beta\)와 곡선 \(y=f(s)\)의 교점의 개수를 구하시오. (80점)

(3-3)

\(1 < \alpha < a+1\)이고 \(a+1 < \beta < a+2\)인 \(\alpha, \beta\)에 대하여 두 직선 \(\ell_\alpha\)와 \(\ell_\beta\)가 이루는 예각을 \(\theta(\alpha, \beta)\)라 하자. 실수 \(a > 1\)에 대하여 집합 \(I_a = \{ \theta(\alpha, \beta) \mid 1 < \alpha < a+1, a+1 < \beta < a+2 \}\)가 열린구간 \((L(a), R(a))\)일 때, \(\displaystyle\lim_{a \to \infty} L(a)\)와 \(\displaystyle\lim_{a \to \infty} R(a)\)를 각각 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2023 자연B [문제 3]

[문제 1] 동적 삼각형의 삼각비와 변의 길이 극한 및 외심 사각형 넓이 변화율 수학Ⅱ · 미적분

아래 그림에 있는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)는 시각 \(t \ge 0\)에 따라 크기가 변하며, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 시각 \(t=0\)에서 \(\overline{\mathrm{BC}} = 1\)이다.

(나) 임의의 시각 \(t \ge 0\)에서 \(\angle\mathrm{B} = \dfrac{\pi}{4}\)이고 \(\overline{\mathrm{BC}} : \overline{\mathrm{AB}} = 1 : 2\sqrt{2}\)이다.

(다) 임의의 시각 \(t > 0\)에서 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 순간변화율은 \(\dfrac{4t+6}{3}\)이다.

(1-1)

\(\sin\mathrm{C}\)를 구하시오. (70점)

(1-2)

시각 \(t\)에서 선분 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 \(\ell(t)\)라 할 때, \(\displaystyle\lim_{t \to \infty} \dfrac{\ell(t)}{t}\)의 값을 구하시오. (80점)

(1-3)

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외심을 \(\mathrm{Z}\)라 하자. 선분 \(\mathrm{BC}\)의 길이가 5일 때, 사각형 \(\mathrm{ZBCA}\)의 넓이의 순간변화율을 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2022 자연B [문제 1]

[문제 2] 배각 함수 방정식과 치환적분법 및 삼차함수 계수 결정 수학Ⅱ · 미적분

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(2x) = 4f(x)\)이다.

(나) \(\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx = 6\)

(다) 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 \(1 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = g(x)\)이다.

(2-1)

\(\displaystyle\int_1^3 2^x f(2^x)\,dx\)를 구하시오. (70점)

(2-2)

\(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\)를 구하시오. (80점)

(2-3)

함수 \(g(x)\)를 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2022 자연B [문제 2]

[문제 3] 코사인 합성함수와 부분적분법 및 대칭 곡선과 역함수 미분법 수학Ⅱ · 미적분

닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 연속이고 열린구간 \((-1, 1)\)에서 이계도함수가 존재하는 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(0 \lt x \lt \pi\)일 때 \(f'(\cos x) = e^x\)이다.

(나) \(f(1) = 0\)

\(0 \le x \le 2\pi\)일 때 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = f(\cos x)\)라 정의하자. 다음 물음에 각각 답하시오.

(3-1)

\(0 \le x \le \pi\)일 때 \(g(x)\)를 구하시오. (80점)

(3-2)

\(\pi \le x \le 2\pi\)일 때 함수 \(g(x)\)를 구하고, \(0 \le x \le 2\pi\)일 때 곡선 \(y=g(x)\)의 그래프의 개형을 그리시오. 또한 이 곡선이 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표와 변곡점의 \(x\)좌표를 모두 구하고 함수 \(g(x)\)의 최솟값을 \(m\), 최댓값을 \(M\)이라 할 때 상수 \(m\)과 \(M\)을 각각 구하시오. (80점)

(3-3)

(3-2)에서 구한 상수 \(m\)과 \(M\)에 대하여 열린구간 \((m, M)\)을 \(I\)라 하자. 실수 \(t \in I\)에 대하여 직선 \(y=t\)가 곡선 \(y=g(x)\)와 만나서 생기는 두 점 사이의 거리를 \(h(t)\)라 정의하자. 미분가능한 함수 \(h(t)\)에 대하여 \(h(k) = \pi\)일 때 상수 \(k\)와 \(h'(k)\)의 값을 각각 구하시오. (80점)

QUESTIO WORKSPACE · 2022 자연B [문제 3]