<제시문 1> 사건 \(A\)가 일어나는 경우의 수가 \(m\)이고 그 각각에 대하여 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수가 \(n\)일 때, 두 사건 \(A, B\)가 동시에 일어나는 경우의 수는 \(m \times n\)이다.

<제시문 2> 자연수의 거듭제곱의 합은 다음과 같다. \[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]

<제시문 3> 좌표평면 위에 직선 \(\ell\)이 놓여있다. 여기에 추가로 \(3\) 이상인 자연수 \(n\)에 대해 서로 다른 \(n\)개의 직선을 좌표평면 위에 그리자. 이 \(n+1\)개의 서로 다른 직선이 만나는 교점을 세 꼭짓점으로 하는 크고 작은 삼각형 여러 개를 만들 수 있다.
이때, 만들 수 있는 크고 작은 삼각형 중에서 한 변이 직선 \(\ell\) 위에 놓여 있는 정삼각형의 최대 개수를 \(a_n\), 그 다음으로 가능한 최대 개수를 \(b_n\)이라고 하자. 예를 들어, \(n=3\)일 때, \(a_3 = 2\)이고 \(b_3 = 1\)이다.

<제시문 1> 함수 \(F(x)\)는 다음과 같이 정의되고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(x+1) = F(x)\)를 만족한다. \[F(x) = \begin{cases} -2x^2 + x & \left(0 \le x \le \frac{1}{2}\right) \\ 2x^2 - 3x + 1 & \left(\frac{1}{2} \le x < 1\right) \end{cases}\]

<제시문 2> 좌표평면에서 두 점 \(A(0, -1)\)과 \(B(3, -5)\)에 대해, 제시문 <1>의 곡선 \(y=F(x)\) 위의 점 \(C(c, F(c))\)에서 그은 접선이 직선 \(AB\)와 만나는 점을 \(D\)라 한다.

<제시문 3> 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(x = n + u\) (\(n\)은 정수, \(0 \le u < 1\))라 하면, 제시문 <1>에서 다음을 얻는다. \[F'(x) = \begin{cases} -4u + 1 & \left(0 \le u \le \frac{1}{2}\right) \\ 4u - 3 & \left(\frac{1}{2} \le u < 1\right) \end{cases}\]

<제시문 4> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a)\)와 \(f(b)\)의 값이 서로 다른 부호를 가지면, 방정식 \(f(x)=0\)은 열린구간 \((a, b)\)에서 적어도 하나의 해를 가진다.

<제시문 1> 수직선에서 \(0\) 이상인 부분을 길이가 \(\frac{1}{3}\)인 구간들로 다음과 같이 나눈다. \[\left[0, \frac{1}{3}\right), \quad \left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right), \quad \left[\frac{2}{3}, 1\right), \quad \left[1, \frac{4}{3}\right), \quad \left[\frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right), \quad \left[\frac{5}{3}, 2\right), \quad \dots\] 처음 \(6\)개의 구간에 차례로 \(1\)번부터 \(6\)번까지 번호를 붙이고, 그 이후에도 같은 순서로 번호를 반복하여 붙인다. 즉, \(6\)번 다음 구간에는 다시 \(1\)번을 붙이고, 그 다음 구간에는 \(2\)번을 붙이는 식으로 계속한다.

<제시문 2> 자연수 \(k\)에 대하여 다음과 같이 수열을 정의하자. \[a_n = \sqrt{n^2 + kn} \quad (500 \le n \le 2027)\]

<제시문 1> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(h(x)\)의 한 부정적분을 \(H(x)\)라고 하면 \(\displaystyle \int_a^b h(x)\,dx = H(b) - H(a)\)이다.

<제시문 2> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 주어졌을 때, 닫힌구간 \([-2, 2]\) 위에서 정의되는 연속함수 \(g(x)\)는 다음과 같다.

<제시문 1> 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(1\), 공차가 \(a > 0\)인 등차수열이고, 등차수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 자연수 \(n\)에 대하여 한 변의 길이가 \(b_n\)인 정삼각형 \(T_n\)이 좌표평면에 오른쪽 그림과 같이 나란히 놓여져 있다. 삼각형 \(T_1\)의 한 꼭짓점은 제1사분면에 놓여져 있고 다른 두 꼭짓점의 좌표는 \((0,0)\)과 \((S_1, 0)\)이다. \(n \ge 2\)일 때 삼각형 \(T_n\)의 한 꼭짓점은 제1사분면에 놓여져 있고, 다른 두 꼭짓점의 좌표는 \((S_{n-1}, 0)\)과 \((S_n, 0)\)이다. 구간 \([0, \infty)\)를 정의역으로 하는 함수 \(f(x)\)를 아래와 같이 정의한다.
(1) \(0 \le x < S_1\)일 때 \(f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\left|x - \frac{1}{2}\right|\)이다.
(2) \(n\)이 2 이상의 자연수이고 \(S_{n-1} \le x < S_n\)일 때 \(f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}(S_n - S_{n-1}) - \sqrt{3}\left|x - \frac{S_n + S_{n-1}}{2}\right|\)이다.
이 경우 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 정삼각형 \(T_n\)의 윗 두 변들을 합친 도형과 일치한다. (여기서 윗 두 변은 변의 한 끝이 제1사분면 위에 있는 두 변을 의미한다.)

<제시문 2> 직선 \(\ell\)은 점 \((-1, 0)\)을 지나며 기울기가 \(m\)이다.

<제시문 1> 삼각형 \(ABC\)의 세 각 \(\angle A, \angle B, \angle C\)의 크기를 각각 \(A, B, C\)로 나타내고 이들의 대변의 길이를 각각 \(a, b, c\)로 나타내기로 한다. 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이에는 다음과 같은 관계가 성립하는데 이를 코사인법칙이라고 한다: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A, \; b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B, \; c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\).

<제시문 2> 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1이고 점 \(A(1,0)\)을 한 꼭짓점으로 하는 정육각형 \(ABCDEF\)가 있다. 그리고 2 이상의 자연수 \(k\)에 대하여 한 변의 길이가 \(k\)이고 점 \(A'(k,0)\)을 한 꼭짓점으로 하는 정육각형 \(A'B'C'D'E'F'\)가 있다. 두 꼭짓점 \(A\)와 \(D\)는 원점 \(O\)에 대하여 대칭이고, 두 꼭짓점 \(A'\)와 \(D'\)도 원점 \(O\)에 대하여 대칭이다. 점 \(P\)는 꼭짓점 \(A\)를 출발하여 시계 반대 방향으로 정육각형 \(ABCDEF\)의 변을 따라 움직이며, 출발 후 \(t\)분 동안 이동한 거리는 \(s_P(t) = t^2 + 2t\)이다. 점 \(Q\)는 꼭짓점 \(A'\)를 출발하여 시계 반대 방향으로 정육각형 \(A'B'C'D'E'F'\)의 변을 따라 움직이며, 출발 후 \(t\)분 동안 이동한 거리는 \(s_Q(t) = 2t^2 + t\)이다.

<제시문 1> 좌표평면 위에서 점 \((a, b)\)를 지나고 기울기가 \(m\)인 직선의 방정식은 \(y = m(x-a) + b\)이다.

<제시문 2> 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)와 실수 \(t (0 \le t \le 1)\)에 대하여 좌표평면 위의 두 점을 \(P(0, t)\)와 \(Q(1, f(t))\)라고 하자. 예를 들어, \(f(x) = 1-x\)이고 \(t = \frac{1}{3}\)인 경우 점 \(P\)는 \((0, \frac{1}{3})\), 점 \(Q\)는 \((1, \frac{2}{3})\)이다.

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에서 \(x=a\) 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 (1) 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대이고 극댓값 \(f(a)\)를 갖는다. (2) 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극소이고 극솟값 \(f(a)\)를 갖는다.

<제시문 2> 함수 \(f(x)\)가 두 실수 \(a, b\)를 포함하는 구간에서 연속일 때, \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라고 하면 \(f(x)\)의 \(a\)에서 \(b\)까지의 정적분은 다음과 같다: \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\).

<제시문 3> 연속함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)는 \(g(x+4) = g(x)\)와 \[ g(x) = \begin{cases} f(x) & (-2 \le x \le 0) \\ f(-x) & (0 \lt x \lt 2) \end{cases} \] 를 만족한다. 그리고 함수 \(h(x) = g(x-1)|g(x) - g(x-1)|\)로 정의한다. 예를 들어, \(f(x) = -x - \frac{1}{2}\)일 때, \(g(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}\)과 \(g(-\frac{3}{4}) = \frac{1}{4}\)이므로 \(h(\frac{1}{4}) = \frac{1}{8}\)이다.

<제시문 1> 함수 \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 2 & (x \le 1) \\ x + 1 & \left(1 < x \le \frac{3}{2}\right) \\ -x + 4 & \left(\frac{3}{2} < x \le 2\right) \\ -x^2 + 3x & (x > 2) \end{cases} \] 에 대하여 집합 \(D_1\)과 \(D_2\)는 각각 다음과 같이 정의된다: \(D_1 = \{x \mid f(f(x)) \le f(x) + 1\}\)이고 \(D_2 = \{x \mid f(f(x)) \le f(x)\}\)이다.

<제시문 2> 좌표평면 위에 놓여있는 원 \(C\)는 원점이 중심이고 반지름이 1이다. 제시문 <1>의 함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 임의의 점 \(P\)와 점 \(N(0, 1)\)을 지나는 직선이 원 \(C\)와 만나는 점 중 \(N\)이 아닌 점을 \(R\)이라고 한다. 또한 점 \(P\)에서 원 \(C\)에 그은 두 접선과 원의 교점 \(Q\) 중에서 세 점 \(N, Q, R\)이 시계 방향으로 놓이도록 점 \(Q\)를 잡는다. 만약 직선 \(NP\)가 원에 접하는 경우에는 점 \(R\)과 점 \(Q\)를 모두 점 \(N\)으로 정의한다.

<제시문 3> 함수 \(h(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(h(a) \ne h(b)\)이면, \(h(a)\)와 \(h(b)\) 사이의 임의의 값 \(k\)에 대하여 \(h(c) = k\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.

<제시문 1> 실수 \(A, B, P, Q\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 다음과 같이 정의되어 있다: \[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + Ax + B & (x < 1) \\ x^2 + Px + Q & (x \ge 1) \end{cases} \] 함수 \(f(x)\)는 실수 전체 집합에서 미분가능하고, 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = m\)이 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 \(m\)의 집합은 \(\{-6, 2\}\)이다.

<제시문 2> 실수 \(a, b, c, p, q\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 다음과 같이 정의되어 있다: \[ g(x) = \begin{cases} -x^3 + ax^2 + bx + c & (x \le 0) \\ x^2 + px + q & (x > 0) \end{cases} \] 함수 \(g(x)\)는 아래의 조건을 모두 만족한다.
    (1) 함수 \(g(x)\)는 연속함수이다.
    (2) 함수 \(g(x)\)는 \(x = -2\)에서 극소가 된다.
    (3) 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = m\)이 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 모든 실수 \(m\)의 집합은 열린구간 \((1, \beta)\)이다.
    (4) \(p+c = a+b\)가 성립한다.
    (5) 함수 \(y = g(x)\)의 그래프는 점 \(\left(1, -\frac{19}{2}\right)\)를 지난다.

<제시문 1> 한 원 위에 세 점 \(A, B, D_1\)이 시계 반대 방향으로 놓여져 있고, \(0 < \theta < \frac{\pi}{4}\)인 \(\theta\)에 대하여, \(\angle BAD_1 = 2\theta\)이다. 각 \(BAD_1\)의 이등분선이 원과 만나는 점 중에서 점 \(A\)가 아닌 점을 점 \(C_1\)이라고 하자.

<제시문 2> 제시문 <1>의 삼각형 \(ABD_1\)을 생각하자. 오른쪽 그림과 같이 2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(AB\)와 직선 \(C_{n-1}D_{n-1}\)이 서로 평행이 아닐 때, 두 점 \(C_n\)과 \(D_n\)을 다음과 같이 귀납적으로 정의하자:
“점 \(B\)를 지나고 직선 \(C_{n-1}D_{n-1}\)과 평행한 직선이 직선 \(AD_1\)과 만나는 점을 점 \(D_n\)이라 하고, 각 \(BAD_n\)의 이등분선이 삼각형 \(ABD_n\)의 외접원과 만나는 점 중에서 점 \(A\)가 아닌 점을 점 \(C_n\)으로 정의한다.”

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(a\)보다 크면서 \(a\)에 한없이 가까워질 때, \(f(x)\)의 값이 일정한 값 \(L\)에 한없이 가까워지는 것을 기호로 \(\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = L\)과 같이 나타내고, \(L\)을 우극한이라고 한다. 또한 \(x\)의 값이 \(a\)보다 작으면서 가까워질 때 일정한 값 \(M\)에 수렴하는 것을 \(\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = M\)과 같이 나타내고, 좌극한이라고 한다.

<제시문 2> 주어진 실수 \(x\)에 대하여 집합 \(\{1, 2, 3\}\)에서 서로 다른 세 수 \(a, b, c\)를 선택하여 \((x^2 - ax + b)(x - c)\)의 값이 최대가 되도록 하고 이 최댓값을 \(g(x)\)로 정의한다. 이 경우 함수 \(g(x)\)는 모든 실수 \(x\)에서 연속이 된다.
예를 들어, \(x=1\)이면 \((1-a+b)(1-c)\)의 값은 \((a,b,c)=(3,1,2)\)일 경우 최대이고 \(g(1)=1\)이다. \(x=0\)이면 \(b(-c)\)의 값은 \((a,b,c)=(3,1,2)\) 또는 \((3,2,1)\)일 경우 최대이고 \(g(0)=-2\)이다.

<제시문 3> 실수 \(r\)에 대하여 좌표평면 위의 정사각형 \(ABCD\)의 한 변의 길이는 12이고 네 꼭짓점은 \(A(-2, r), B(-2, r+12), C(-14, r+12), D(-14, r)\)이다.

<제시문 1> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)이다.

<제시문 2> 좌표평면 위의 두 직선 \(y = mx+n\), \(y = m'x+n'\)에 대하여 두 직선이 서로 수직일 필요충분조건은 \(mm' = -1\)이다.

<제시문 3> 오른쪽 그림과 같이 곡선 \(y = x^2\) 위의 한 점을 제1사분면 위에서 택하고 이를 \(Q\)라 한다. 곡선 \(y = x^2\) 위의 점 \(Q\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 직선 \(l\)이 \(x\)축과 만나는 점을 \(T\)라 한다. 점 \(Q\)를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(P\)라 하고, \(x\)축과 만나는 점을 \(S\)라 한다. 직선 \(l\)과 점 \(Q\)에서 접하고 동시에 \(x\)축과 접하는 원을 \(C\)라 한다. (단, 원 \(C\)와 \(x\)축의 접점의 \(x\)좌표는 양수이다.) 원 \(C\)의 중심을 \(R\)라고 하고 그 둘레의 길이를 \(L\)이라 한다. 좌표평면의 원점을 \(O\)라 한다.

<제시문 1> 함수 \(g(x)\)가 미분가능하고 \(g'(b) = 0\)일 때, \(x = b\)의 좌우에서 \(g'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(g(x)\)는 \(x = b\)에서 극대이고 극댓값 \(g(b)\)를 갖는다. 음에서 양으로 바뀌면 \(g(x)\)는 \(x = b\)에서 극소이고 극솟값 \(g(b)\)를 갖는다.

<제시문 2> 함수 \(f(t)\)와 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의한다.
  • \(f(t) = \begin{cases} t^2 + 2t & (t \ge 0) \\ -t & (t \le 0) \end{cases}\)
  • \(\displaystyle g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 12x + \int_{-10}^x (1-t)f(t)\,dt - \int_{-10}^x (4-t)f(t-3)\,dt\)

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)가 미분가능하고 \(f'(a) = 0\)일 때, \(x = a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대이고, 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소이다.

<제시문 2> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하고 \(x = a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a) = 0\)이다.

<제시문 3> 정수 \(a, b, c\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c\)가 다음 두 조건을 모두 만족한다.
  • 방정식 \(f(x) = 0\)은 서로 다른 세 실근 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)을 가진다. (단, \(\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3\))
  • 모든 정수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([n, n+1]\)은 세 실근 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 중 많아야 하나를 포함한다.

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = a, x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(\displaystyle S = \int_a^b |f(x)|\,dx\)이다.

<제시문 2> \(-3 \le t \le 0\)인 임의의 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = 3x^2 - 3\)과 \(x\)축 및 두 직선 \(x = t, x = t+1\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(g(t)\)라 한다.

<제시문 1> 두 대각선의 교점이 \(x\)축 위에 놓여있는 정사각형 \(ABCD\)가 다음 세 조건을 모두 만족한다.
  • \(\overline{AB} = 2\sqrt{2}\)이고 점 \(D\)의 \(y\)좌표는 0보다 크다.
  • 두 대각선의 교점이 \((a, 0)\)일 때, 대각선 \(AC\)의 기울기는 \(a\)이다.
  • 꼭짓점 \(A, B, C, D\)는 시곗바늘이 도는 반대 방향으로 주어진다.

<제시문 2> 임의의 실수 \(a\)에 대하여 제시문 <1>의 두 대각선의 교점이 \((a, 0)\)일 때 점 \(A\)의 \(y\)좌표와 점 \(D\)의 \(y\)좌표를 각각 함수 \(f(a)\)와 \(g(a)\)로 정의하자. 제시된 상황을 그림으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

<제시문 1> 함수 \(y = f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(a\)에서 \(a+\Delta x\)까지 변할 때의 평균변화율의 극한값 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\)가 존재하면 함수 \(y = f(x)\)는 \(x = a\)에서 미분가능하다고 하고, 이 극한값을 미분계수 \(f'(a)\)라 한다.

<제시문 2> 임의의 실수 \(a\)에 대하여, 곡선 \(y = -x^2\)과 직선 \(y = ax+a\)의 교점의 개수가 \(f(a)\)가 되도록 함수 \(f(x)\)를 정의하자.

<제시문 3> 최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(g(x)\)와 제시문 <2>의 함수 \(f(x)\)는 다음 세 조건을 모두 만족한다.
  • 사차방정식 \(g(x) = 0\)은 허근을 가지지 않는다.
  • 함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)는 모든 실수에서 연속이다.
  • 함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)는 열린구간 \((2, 10)\)에서 미분가능하다.

<제시문> 좌표평면 위의 세 점 \(B, C, D\)를 다음과 같이 정의하자.
  • 점 \(B\)와 \(C\)의 좌표는 각각 \((-4, 0)\)과 \((0, 0)\)이다.
  • 점 \(D\)의 \(y\)좌표는 양수이고 선분 \(CD\)의 길이는 3이다.
점 \(C\)에서 직선 \(BC\)와 접하고 점 \(D\)를 지나는 원을 생각하자. 직선 \(BD\)가 점 \(D\)를 제외하고 이 원과 다시 만나는 점을 점 \(A\)라 하자. \(\angle BCD = \theta\)라 할 때, 함수 \(f(\theta)\)를 선분 \(AD\)의 길이로 정의하자. (단, 원이 점 \(D\)에서 직선 \(BD\)와 접할 경우에는 점 \(A\)를 점 \(D\)로 정의하고 그때의 \(\theta\)의 값을 \(\alpha\)라고 하며 \(f(\alpha) = 0\)으로 정의한다.) \(0 < \theta < \alpha\)일 때 제시된 상황을 그림으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

<제시문> 아래 그림과 같이 곡선 \(y = 1-x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 도형이 직선 \(L: y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\)에 의해 두 부분으로 나누어진다. 이때 윗부분의 도형을 \(P\)라 하고 아랫부분의 도형을 \(Q\)라고 하자.

<제시문 1> 세제곱하여 실수 \(a\)가 되는 수, 즉 방정식 \(x^3 = a\)를 만족시키는 수 \(x\)를 \(a\)의 세제곱근이라 한다. 실수 \(a\)의 세제곱근 중에서 실수인 것은 하나뿐이고 이것을 \(\sqrt[3]{a}\)로 나타낸다.

<제시문 2> 실수 \(a, b\)에 대하여 곱셈 공식 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)이 성립한다.

<제시문 3> 주어진 실수 \(r\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)을 \(a_n = r \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)으로 정의하고, \(A_n = \sqrt[3]{\frac{n}{4} + (-1)^n a_n}\)에 가장 가까운 정수를 \(b_n\)이라 하자. 만약 \(A_n\)에 가장 가까운 정수가 두 개 존재하면 두 수 중에서 더 큰 수를 \(b_n\)이라 한다.

<제시문 1> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)이다.

<제시문 2> 좌표평면 위의 네 점 \(A, B, C, D\)가 다음 조건을 만족한다.
• 점 \(A\)는 곡선 \(y = \sqrt{x-1}\) 위의 점이다. (단, \(x \ge 1\))
• 점 \(B\)는 직선 \(y = x\) 위의 점이다.
• 점 \(C\)는 직선 \(y = 0\) (\(x\)축) 위의 점이다.
• 점 \(D\)는 곡선 \(y = 2x^2 - 30x + 113\) 위의 점이다.

<제시문 1> 기울기가 양수이고 서로 평행인 두 직선 \(L_1\)과 \(L_2\)의 \(y\)절편을 각각 \(p\)와 \(0\)이라 하자. (단, \(p > 0\)) 직선 \(L_1\)이 이차함수 \(y = x^2\)의 그래프와 만나는 두 점을 \(x\)좌표의 값이 작은 것부터 \(A, D\)라 하고, 직선 \(L_2\)가 이차함수 \(y = x^2\)의 그래프와 만나는 두 점을 \(x\)좌표의 값이 작은 것부터 \(B, C\)라 하자. 사각형 \(ABCD\)의 두 대각선의 교점을 \(P\), 선분 \(AD\)의 중점을 \(M_1\), 선분 \(BC\)의 중점을 \(M_2\)라 하자.

<제시문 2> 이차함수 \(y = x^2\)과 반지름이 \(r\)인 원이 다음 세 조건을 만족시킨다.
• 원의 중심의 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 정수이다.
• 이차함수 \(y = x^2\)과 원이 서로 다른 네 점에서 만나고, 교점의 \(y\)좌표는 모두 정수이다.
• 네 교점을 꼭짓점으로 하는 사각형은 사다리꼴이다.

<제시문 3> 최고차항의 계수가 \(-1\)인 사차함수 \(y = g(x)\)가 \(g(x) = g(-x)\)를 만족하고, \(x\)축과 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)에서 만난다. 또한 사차함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 이차함수 \(y = x^2\)의 그래프가 서로 다른 네 점 \(Q, R, S, T\)에서 만난다고 가정하자. (단, \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4\)이고, \(x_k\) (\(k=1,2,3,4\))는 정수가 아니다.)

<제시문 1> 함수 \(h(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 곡선 \(y = h(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = a, x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[ S = \int_a^b |h(x)|dx \]

<제시문 2> 정수 계수를 갖는 두 이차함수 \[ f(x) = -Ax^2 + Bx + C, \quad g(x) = -px^2 + qx + r \] 이 다음 다섯 조건을 만족시킨다.
• \(A, B, C, p, q, r\)는 모두 양수이고, \(B > C\)이다.
• \(B^2 + 4AC = 100\)이고 \(q^2 + 4pr\)는 완전제곱수이다.
• 이차함수 \(y = g(x)\)의 그래프 위의 점 \(R(0, r)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 교점을 \(P(\alpha, 0)\)이라고 하자.
• 점 \(R(0, r)\)를 지나고 직선 \(PR\)에 수직인 직선이 \(x\)축과 만나는 교점을 \(Q(\beta, 0)\)이라고 하자.
• \(\alpha\)와 \(\beta\)는 이차방정식 \(f(x) = 0\)의 해이다.

<제시문 1> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a) = 0\)이다.

<제시문 2> 함수 \(A(x), B(x), C(x), D(x)\)가 다음과 같이 정의된다. \[ A(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 8, \quad B(x) = -x^4 + 8x^3 - 22x^2 + 25x + 13, \quad C(x) = x, \quad D(x) = -x^2 + 6x \] 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, \(0 < x < 3.5\)인 모든 \(x\)에 대해 다음 부등식을 만족한다. \[ A(x) \le f(x) \le B(x), \quad C(x) \le g(x) \le D(x) \]

<제시문 1> 자연수 \(n\)에 대하여, 수열 \(\{t_n\}\)을 다음과 같이 정의하자. \(n\)이 홀수일 때 \(t_n = 3\)이고, \(n\)이 짝수일 때 \(t_n = 4\)이다. 점 \(P_0(-1, 0)\)에서 그은 기울기가 \(\tan\left(\frac{t_1 \pi}{12}\right)\)인 직선이 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 다시 만나는 점을 \(P_1\)이라 하자. 자연수 \(n\)에 대하여, 점 \(P_n\)에서 그은 기울기가 \(\tan\left(\frac{t_{n+1}\pi}{12}\right)\)인 직선이 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 다시 만나는 점을 \(P_{n+1}\)이라 하자. 만약 이 직선이 원과 접할 경우, \(P_{n+1} = P_n\)이다.

<제시문 2> 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여, \(A(n)\)을 삼각형 \(P_n P_{n+1} P_{n+2}\)의 넓이라 하자. (단, 세 점 \(P_n, P_{n+1}, P_{n+2}\) 중에서 두 점이 서로 일치할 경우, \(A(n) = 0\)이다.)

<제시문 1> 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라고 하면 \(\displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}\)이다.

<제시문 2> 함수 \(f(x)\)가 미분가능하고 \(f'(a) = 0\)일 때, \(x = a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가
• 양에서 음으로 바뀌면, \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대이고, 극댓값 \(f(a)\)를 갖는다.
• 음에서 양으로 바뀌면, \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소이고, 극솟값 \(f(a)\)를 갖는다.

<제시문 3> 정수 계수를 가지는 다항함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 다음과 같이 정의된다. \[ f(x) = px^2 + qx + r, \quad g(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C \]

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고, \(F'(x) = f(x)\)일 때 다음이 성립한다. \[ \int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \]

<제시문 2> 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 정의된 연속확률변수 \(X\)의 확률밀도함수 \(f(x)\)는 다음 성질을 만족한다.
(가) 모든 \(x \in [\alpha, \beta]\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\)이다.
(나) \(\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)dx = 1\)
(다) \(\alpha \le a \le b \le \beta\)인 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\displaystyle P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx\)
(라) 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(E(X)\)는 \(\displaystyle E(X) = \int_\alpha^\beta x f(x)dx\)이다.

<제시문 1> 좌표평면 위의 두 점 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\overline{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)이다.

<제시문 2> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)이다.

<제시문 3> 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 곡선 \(y = x^3 - 3x\) 위의 점 \(A(t, t^3-3t)\) (\(t > 0\))에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 \(B\)라 하자. 선분 \(AB\)의 수직이등분선이 곡선과 만나는 점 중 \(x\)좌표가 가장 큰 점을 \(C\)라 하고, 점 \(C\)의 \(x\)좌표를 \(u(t)\)라 하자.

<제시문 1> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(p(n)\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
(a) \(n = 1\)일 때 명제 \(p(n)\)이 성립한다.
(b) \(n = k\)일 때 명제 \(p(n)\)이 성립한다고 가정하면 \(n = k+1\)일 때에도 명제 \(p(n)\)이 성립한다.

<제시문 2> 삼각함수 사이에는 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \; \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이 성립한다.

<제시문 3> 삼각형 \(ABC\)는 \(\angle ACB = 90^\circ\)이고 \(\angle ABC = \theta\)인 직각삼각형이다. 오른쪽 그림과 같이 삼각형 \(ABC\)의 내부에 정사각형 \(R_1, R_2, R_3, \dots\)을 계속해서 만들어 나간다. 이때 정사각형 \(R_n\)의 넓이를 \(s_n\)이라고 하자. \(2\) 이상인 자연수 \(n\)에 대하여 이와 같이 정의된 정사각형 \(R_1, R_2, \dots, R_n\) 중에서, 모든 홀수 번째 정사각형의 넓이의 합을 \(P_n\)이라 하고 모든 짝수 번째 정사각형의 넓이의 합을 \(Q_n\)이라 하자. (단, 정사각형 \(R_1\)의 한 변의 길이는 \(1\)이다.)

<제시문 1> 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하며, 그 일정한 수를 공차라고 한다. 공차가 \(d\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 제\(n\)항에 공차 \(d\)를 더하면 제\((n+1)\)항이 되므로 \(a_{n+1} = a_n + d\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))이다.

<제시문 2> 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하며, 그 일정한 수를 공비라고 한다. 공비가 \(r\) (\(r \ne 0\))인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 제\(n\)항에 공비 \(r\)를 곱하면 제\((n+1)\)항이 되므로 \(a_{n+1} = r a_n\) (\(r \ne 0, n = 1, 2, 3, \dots\))이다.

<제시문 3> 세 개의 정수로 이루어진 순서쌍의 집합 \(M\)을 다음과 같이 정의하자. \[ M = \{(a, b, c) \mid a, b, c\text{는 정수이고 } 1 \le |a|, |b|, |c| \le 100\} \] 이때, 집합 \(M\)의 원소의 개수는 \(200^3\)이다.

<제시문 1> 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x, \quad \cos(x + \pi) = -\cos x, \quad \cos\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x \]

<제시문 2> 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \]

<제시문 1> 상수 \(a, b, c, d\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)가 있다. (단, \(a, d\)는 양수) 실수 \(t\)와 양수 \(h\)에 대해 원점 \(O\)와 두 점 \(P(t, f(t)), Q(t+h, f(t+h))\)를 각각 잇는 선분 \(OP, OQ\)가 있다. 오른쪽 그림과 같은 방식으로 \(y = f(x)\)의 그래프의 점 \(P\)에서 점 \(Q\)까지의 부분과 선분 \(OP, OQ\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(p(h)\)라 하고 \(\displaystyle A(t) = \lim_{h \to 0^+} \frac{p(h)}{h}\)라 하자.

<제시문 2> <제시문 1>에서 정의된 함수 \(A(t)\)가 다음 조건을 모두 만족한다.
(가) 방정식 \(A(t) = 0\)이 두 개의 실근 \(\alpha\)와 \(\beta\)만을 갖는다. (단, \(\alpha < \beta\))
(나) 함수 \(A(t)\)는 \(t = \beta\)에서 미분가능하지 않다.
(다) 함수 \(A(t)\)는 극댓값 \(16\)을 갖는다.
(라) \(\displaystyle \int_0^{2\beta} A(t)dt = 38\)이다.

<제시문 1> 첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 얻어진 수열을 등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라고 한다. 그리고, 첫째항에 차례로 일정한 수를 곱하여 얻어진 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.

<제시문 2> 자연수의 거듭제곱의 합은 다음의 등식으로 구할 수 있다.
(ⅰ) \(1+2+3+\cdots+n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\)
(ⅱ) \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

<제시문 3> 수열 \(\{a_n\}\)을 오른쪽과 같이 삼각형 모양으로, 가장 위 꼭짓점에서부터 출발하여 왼쪽에서 오른쪽으로, \(k\)번째 줄에는 \(k\)개씩 배열하자. 그리고 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여, 이 수열의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라고 한다. \[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_7 & a_8 & a_9 & a_{10} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ \vdots \end{matrix} \]

<제시문 1> (ⅰ) 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 정의하자. \[ f(x) = \begin{cases} -x^2 - x & (x \le 0) \\ x^2 - x & (x > 0) \end{cases} \] (ⅱ) 함수 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의하자. \(g(0)=0\)이며, 0이 아닌 실수 \(b\)에 대하여, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((b, f(b))\)에서의 접선이 접점을 제외한 곡선 \(y=f(x)\)와 다시 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(g(b)\)로 한다.
(ⅲ) 함수 \(h(x)\)를 함수 \(g(x)\)의 역함수로 정의하자.

<제시문 2> (ⅰ) \(x_0 = 1\)로 놓고, 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(x_{n+1} = h(x_n)\)으로 정의하자.
(ⅱ) 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(y_n = f(x_n)\)으로 정의하고, 점 \(P_n\)을 \((x_n, y_n)\)으로 놓자.
(ⅲ) 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여, 점 \(P_n\)과 점 \(P_{n+1}\)을 잇는 직선의 방정식을 \(y = L_n(x)\)로 놓자.
(ⅳ) 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여, 직선 \(y = L_n(x)\)와 곡선 \(y = f(x)\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(A_n\)이라고 하자.

<제시문 1> \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(-1\)인 사차함수이다. 기울기가 양수이고 원점을 지나는 직선 \(L\)이 \(y=f(x)\)에 두 점 \((a, f(a))\)와 \((b, f(b))\)에 접한다. 그리고 \(L\)과 평행인 직선이 \(y=f(x)\)와 \((c, f(c))\)에 접한다. (단, \(a, b, c\)는 \(0 < a < c < b\)를 만족하는 실수이다.)

<제시문 2> <제시문 1>에서 주어진 함수 \(f(x)\)와 \(a, b, c\)에 대하여 \(c < x < b\)를 만족하며 \(f'(x)\)가 최대가 되게 하는 \(x\)의 값을 \(d\)라 하자.

<제시문 3> <제시문 1>에서 주어진 함수 \(f(x)\)와 \(a, b, c\)에 대하여 두 점 \((c, f(c))\)와 \((b, f(b))\)를 잇는 직선이 \(y=f(x)\)와 만나는 점을 \((e, f(e))\)라 하자. (단, \(e\)는 \(c < e < b\)를 만족하는 실수이다.)

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)에서 \(x=a\)를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x) \le f(a)\)일 때, 함수 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대라 하며, \(f(a)\)를 극댓값이라고 한다. 또한, \(x=a\)를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge f(a)\)일 때, 함수 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극소라 하며, \(f(a)\)를 극솟값이라고 한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.

<제시문 2> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 함수 \(F(x)\)가 \(f(x)\)의 한 부정적분일 때 다음이 성립한다. \[ \int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \]

<제시문 3> 임의의 실수 \(a, b, c\)에 대해, 함수 \(g(x)\)와 \(h(x)\)의 그래프는 \(y=|x|\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 각각 \(a\)와 \(b\)만큼 평행이동한 것이라 하고, 함수 \(u(x)\)의 그래프는 \(y=-|x|\)의 그래프를 \(y\)축의 방향으로 \(c\)만큼 평행이동한 것이라 하자.

<제시문 1> 초점이 \((0, p)\), 준선이 \(y = -p\)인 포물선의 방정식은 다음과 같다. \[ x^2 = 4py \quad (\text{단, } p \neq 0) \]

<제시문 2> 포물선 \(x^2 = 4py\) 위의 원점이 아닌 점 \(C\)를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(D\)라 한다. 또한, 점 \(C\)에서 \(y\)축에 내린 수선의 발을 \(E\)라 한다.

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여, 포물선 \(y = nx^2\) 위의 원점이 아닌 점 \(C_n\)을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(D_n\)이라 한다. 또한, 점 \(C_n\)에서 \(y\)축에 내린 수선의 발을 \(E_n\)이라 한다. 이때 선분 \(D_n E_n\)의 길이를 \(a_n\)이라 한다.

<제시문 4> 포물선 \(x^2 = 4py\) 위의 원점이 아닌 점 \((a, \frac{a^2}{4p})\) (단, \(a > 0\))을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선을 \(l_a\)라 한다. 직선 \(l_a\)가 포물선 \(x^2 = 4py\)와 만나는 두 점의 \(y\)좌표의 값을 각각 \(f(a), g(a)\)라 하고, \(l_a\)가 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표의 값을 \(h(a)\)라 한다.

<제시문 1> 유리함수 \(y = \frac{2x+1}{2x+2}\)의 그래프 위의 임의의 한 점 \(P(\alpha, \beta)\)로부터 원점까지 이르는 거리를 \(r\)이라 하자.

<제시문 2> 실수 \(a, b, c\)에 대하여 \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)가 성립한다.

<제시문 1> 중심의 좌표가 \((a, b)\)이고 반지름의 길이가 \(r\)인 원의 방정식은 다음과 같다. \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]

<제시문 2> 초점이 \((0, p)\)이고 준선이 \(y = -p\)인 포물선의 방정식은 다음과 같다. \[ x^2 = 4py \quad (\text{단, } p \neq 0) \]

<제시문 3> 원 \(C: (x-12)^2 + (y-\frac{15}{2})^2 = 36\) 위의 임의의 점을 \(A\), 포물선 \(P: y = x^2\) 위의 임의의 점을 \(B\)라고 하자.

<제시문 1> 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 두 곡선 \(y=f(x), y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[ S = \int_a^b |f(x)-g(x)|dx \]

<제시문 2> 실수 \(e\)를 \(e = \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}\)로 정의한다.

<제시문 3> 함수 \(f(x), g(x)\)에서 \(\lim_{x \to a} f(x) = L, \lim_{x \to a} g(x) = M\) (\(L, M\)은 실수)일 때, \(a\)에 가까운 모든 실수 \(x\)에서 함수 \(h(x)\)가 \(f(x) \le h(x) \le g(x)\)이고 \(L = M\)이면 \(\lim_{x \to a} h(x) = L\)이다.

<제시문 4> 곡선 \(y = \frac{1}{x}\) (단, \(x > 0\)), 직선 \(x = 1\), 직선 \(y = \frac{1}{a}\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(f(a)\)라 한다. 직선 \(x = 1\), 직선 \(x = a\), 직선 \(y = \frac{1}{a}\), 직선 \(y = 0\)으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(g(a)\)라 한다. 함수 \(h\)를 \(h(a) = f(a) - g(a)\)라 정의한다. (단, \(a > 1\))

<제시문 1> 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 두 곡선 \(y=f(x), y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[ S = \int_a^b |f(x)-g(x)|dx \]

<제시문 2> 곡선 \(E: y = -x^2+4\) (단, \(x \ge 0, y \ge 0\))가 \(x\)축과 만나는 점을 \(P\), \(y\)축과 만나는 점을 \(Q\)라고 하고, 곡선 \(E\) 및 \(x\)축과 \(y\)축으로 둘러싸인 도형을 \(D\)라고 하자. 또한 원점 \(O\)를 포함하는 선분 \(OP\) 위의 임의의 점을 \(A\), 선분 \(OQ\) 위의 임의의 점을 \(B\)라고 하자.

<제시문 1> (ⅰ) 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의하자. \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2+4x+3 & (x \le 0) \\ \frac{1}{x}+2 & (x > 0) \end{cases}, \quad g(x) = x+3 \] (ⅱ) 두 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)의 그래프를 좌표평면에 그렸을 때 나타나는 세 교점을 왼쪽부터 차례대로 \(Q_1, Q_2, Q_3\)이라고 하자.
(ⅲ) 함수 \(h(x)\)를 \(h(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x) < g(x)) \\ g(x) & (f(x) \ge g(x)) \end{cases}\)로 정의하자. 이때, \(0 < t < 1\)인 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y=t(x+3)\)과 곡선 \(y=h(x)\)의 교점의 개수를 \(t\)에 대한 함수 \(k(t)\)라 하자.

<제시문 2> (ⅰ) 양의 정수 \(n\)에 대하여, 점 \((n, 0)\)에서 곡선 \(y=h(x)\)에 그은 접선 위의 접점 중 제2사분면에 있는 점을 \(P_n(\alpha_n, \beta_n)\)이라고 하고 이때의 접선을 \(l_n\)이라 하자.
(ⅱ) 직선 \(l_n\)이 \(y\)축과 만나는 점을 \(T_n\)이라고 하고, 직선 \(l_n\)이 접점 \(P_n\)을 제외한 곡선 \(y=h(x)\)와 다시 만나는 점을 \(R_n\)이라고 하자.
(ⅲ) 직선 \(l_n\), \(y\)축, 곡선 \(y=h(x)\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_n\)이라고 하자.

<제시문 1> 표본공간 \(S\)에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 \(A\)가 일어날 수학적 확률은 다음과 같다. \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

<제시문 2> 사건 \(A\)가 일어났을 때의 사건 \(B\)의 조건부확률은 \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)이다. (단, \(P(A) > 0\))

<제시문 3> 오른쪽 그림과 같이 각 면에 양의 정수 1, 2, 3, 4가 쓰여진 정사면체 모양의 주사위를 던져서 밑에 깔린 숫자를 선택하자. 이때 각 숫자가 선택될 확률은 동일하다. 주사위를 10번 던져 숫자 \(n\)이 선택된 횟수를 \(a_n\)이라고 할 때, 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 정의한다. \[ f(x) = a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4 \] (단, \(a_1+a_2+a_3+a_4 = 10\), 각 \(a_n\)은 0 이상의 정수)

<제시문 1> 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하면 함수 \(y=f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

<제시문 2> 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a, b]\)에서 연속이고 함수 \(F(x)\)가 \(f(x)\)의 한 부정적분일 때 다음이 성립한다. \[ \int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \]

<제시문 3> 양의 정수 \(n\)에 대하여, 닫힌구간 \([n\pi, (n+1)\pi]\)에서 함수 \(y=g(x)\)는 다음을 만족한다. \[ g(x) = 2^n a_n \cos(x-n\pi) + (b_n + (-1)^n)\sin(x-n\pi) \quad (\text{단, } a_n\text{과 } b_n\text{은 실수}) \] 함수 \(y=g(x)\)는 구간 \((\pi, \infty)\)에서 미분가능하며, \(\displaystyle \int_\pi^{2\pi} g(x)dx = -6\)과 \(\displaystyle \int_\pi^{3\pi} g(x)dx = -12\)를 만족한다.

<제시문 1> 쌍곡선 \(x^2 - 2y^2 = -1\)의 윗부분을 \(C_1\)으로 하고, 아랫부분을 \(C_2\)라고 하자. 쌍곡선 밖의 한 점 \(P\)에서 곡선 \(C_1\)에 그은 접선의 접점을 \(Q\), 점 \(P\)에서 곡선 \(C_2\)에 그은 접선의 접점을 \(R\)로 표기하자.

<제시문 2> \(n\)은 양의 정수라고 하자. <제시문 1>에서 정의된 두 곡선 \(C_1, C_2\)에 대하여, 점 \(P_n(3n, n)\)에서 곡선 \(C_1\)에 그은 접선 위의 접점을 \(Q_n(a, \sqrt{\frac{a^2+1}{2}})\), 곡선 \(C_2\)에 그은 접선 위의 접점을 \(R_n(b, -\sqrt{\frac{b^2+1}{2}})\)이라 하자. (단, \(a, b\)는 실수)

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 정의하자. \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & (x \ge 0) \\ -\sqrt{-x} & (x < 0) \end{cases} \]

<제시문 2> 양의 정수 \(n\)과 <제시문 1>에 정의된 함수 \(f(x)\)에 대하여, 두 곡선 \(y=f(nx), y=f(nx-1)\)과 두 직선 \(x=0, x=1\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(a_n\)이라 하자.

<제시문 3> 양의 정수 \(n\)과 <제시문 1>에 정의된 함수 \(f(x)\)에 대하여, 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = f(x-2n) - f(x-n) + f(n)\)으로 정의하자. 이때 곡선 \(y=g(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(b_n\)이라 하자.