다음 물음에 답하시오.

<그림> 사분원과 내접원 $\mathrm{C}(r)$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 점 $\mathrm{P}$는 반지름의 길이가 $2$이고 중심이 원점 $\mathrm{O}$인 원 위의 제1사분면의 점이다.
(나) 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$는 점 $\mathrm{P}$에서 각각 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발이며 $\angle\mathrm{ABP} = \theta$이다.
(다) 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 내접원의 중심은 $\mathrm{C}$이며 반지름의 길이는 $r$이다.

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 실수 $r$는 다음 방정식의 해이다. $$\log_2(1+r) + \log_2(3-r) - 4\log_4(1-r) = \log_2 15$$ (나) 이차함수 $f(x) = ax^2 + bx$에 대하여, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(r, 1)$에서의 접선의 기울기는 $0$이다.

다음 물음에 답하시오.

[그림] 곡선과 접선 $l$, 내접원

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 실수 $k$에 대하여 $\sin\alpha = \sin\beta = k$ 와 $4\sin(\alpha+2\beta) = 3\cos(2\alpha+\beta)$ 가 성립한다. (단, $0 < \alpha < \beta < \pi$)

(나) 오른쪽 그림과 같이, 기울기가 $-\frac{3}{4}$인 직선 $l$은 $x$축 위의 점 $A$와 $y$축 위의 점 $B$를 지나며 곡선 $y = \frac{3}{8}x^2 + 5k$와 점 $P$에서 접한다.

(다) 삼각형 $OAB$에 내접하고 반지름의 길이가 $r$인 원을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 도형은 $x$축과 직선 $l$에 동시에 접한다. (단, $0 < a < 5, b < 0$)

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

실수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

다음 물음에 답하시오.

[그림] 곡선과 원, 영역 $S_1, S_2$

1.4 곡선 $y = 1 - x^2$ ($x \ge 0$)에 중심이 원점인 원이 제 $1$사분면에서 접하고 있다. 곡선과 원, $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$, 곡선과 원, $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$라고 할 때, $S_1 + S_2$를 구하시오.  (10점)

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$가 $$f(x) = |x + 2n\pi| + |x - 2n\pi| + 1 - 4n\pi$$ 일 때, 두 함수 $y = f(x)$와 $y = \cos x$의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$이라고 하자.

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

두 함수 $f, g$에 대하여 $f(x) = ax^3$, $g(x) = 3x^2 + b$라고 하자. (단, $a, b$는 실수)

다음 물음에 답하시오.

[그림] 놓여 있는 8장의 카드

1.3 한쪽 면에는 자연수가 적혀 있고, 다른 쪽 면에는 해, 달, 별, 구름 중 하나의 모양이 그려진 카드 8장이 위의 그림과 같이 놓여 있다. 다음 두 명제가 참인지 확인하기 위해 반드시 뒤집어 볼 필요가 있는 카드를 모두 찾고, 그 이유를 설명하시오.  (10점)

• 짝수가 적힌 카드의 뒷면에는 해 또는 달이 그려져 있다.
• 별이 그려진 카드의 뒷면에는 7 이상의 자연수가 적혀 있다.

[그림] 곡선 $y=2\ln x$와 직선 $l_1, l_2$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 곡선 $y = 2\ln x$는 서로 다른 세 점 $A\left(\frac{1}{2}, -2\ln 2\right)$, $B(1, 0)$, $C(k, 2\ln k)$를 지나고 직선 $l_1$과는 두 점 $A$와 $C$에서 만난다. (단, $k$는 상수이고 $k > 1$이다.)

(나) $x$축 위의 점 $D$에 대하여 점 $A$는 선분 $DC$를 $1 : 3$으로 외분하는 점이다.

(다) 곡선 $y = 2\ln x$ 위의 점 $C$에서의 접선을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 직선을 $l_2$라고 하자.

(라) 정적분의 치환적분법: 미분가능한 함수 $t = g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고, $g(a) = \alpha$, $g(b) = \beta$에 대하여 함수 $f(t)$가 $\alpha$와 $\beta$를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$이다.

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

함수 $f(x) = \frac{\cos x}{x^2}$ ($x > 0$)에 대하여 곡선 $y = f(x)$와 $x$축이 만나는 점의 $x$좌표를 작은 것부터 차례로 $x_1, x_2, x_3, \dots$이라고 하자. 또, 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P_n(x_n, 0)$에서의 접선과 $y$축이 만나는 점을 $Q_n(0, y_n)$이라고 하자.

[그림] 정사각형 16개 점 격자

다음 물음에 답하시오.

[그림] 직사각형 $ABCD$와 점들

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

오른쪽 그림과 같이 가로와 세로의 길이가 각각 4, 5인 직사각형 $ABCD$가 있다. 두 점 $P, U$는 변 $AB$ 위에 있고 점 $Q$는 변 $CD$ 위에 있다. 두 점 $X, Y$는 각각 두 변 $AD, BC$ 위를 움직인다. $\overline{AP} = 1$이고 $\overline{CQ} = 2$이다.

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

다음 물음에 답하시오.

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

다음과 같이 정의된 두 함수가 있다.

[그림] 원 위의 점 $P$와 삼각형 $PAB$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

아래 그림과 같이 중심이 점 $B\left(\frac{4}{3}, 0\right)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 위에 있는 제1사분면의 한 점을 $P$라고 하자. $0 < t < \frac{4}{3}$에 대하여 $x$축 위의 한 점을 $A\left(\frac{4}{3}-t, 0\right)$라 하고, $\theta = \angle ABP$라고 하자. (단, $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)

다음 물음에 답하시오.

[그림] 곡선 $y=\sqrt{x}$와 세 점 $A, B, P$

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 곡선 $y = \sqrt{x}$ 위에 서로 다른 두 점 $A(t, \sqrt{t})$, $B(9t, 3\sqrt{t})$가 있다.
(나) $x$축 위의 점 $P$는 삼각형 $APB$의 둘레의 길이를 최소로 하는 위치에 있다.

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 중심이 원점 $O(0,0)$이고 반지름의 길이가 $3, 9, 27, \dots, 3^n, \dots$인 원이 좌표평면 위에 있다. (단, $n$은 자연수)
(나) 좌표평면 위를 시각 $t=0$에서 $t=\pi$까지 점 $P$가 움직인다. 이 점 $P$의 위치 $(x, y)$는 $x = e^{2t}\cos t, y = e^{2t}\sin t$이다.
(다) 점 $P$가 움직이는 동안 만난 원의 개수를 $N$이라 하자.
(라) 필요할 경우, $1.09 < \ln 3 < 1.10$을 이용한다.

다음 물음에 답하시오.

<그림 1> $n^2$ 등분 격자

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) <그림 1>은 넓이가 $1$인 정사각형을 작은 정사각형 $n^2$개로 등분한 것이다. (단, $n$은 자연수)
(나) <그림 1>에 있는 선분만으로 이루어진 서로 다른 사각형을 찾으려고 한다. <그림 2>와 같이 $n=2$인 경우 모두 $9$개의 서로 다른 사각형을 찾을 수 있다.

<그림 2> $n=2$일 때 만들어지는 9개의 서로 다른 사각형 예시

(다) $n=k$일 때 찾을 수 있는 가장 작은 사각형의 넓이를 $a_k$라 하자.

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

자연수 $n$에 대하여, 곡선 $y = 2e^x\sin x$와 $x$축 및 두 직선 $x = 2n\pi, x = (2n+2)\pi$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A_n$이라 하자.

[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.1] 두 집합 $X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $Y=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f: X \to Y$의 개수를 구하시오.

<그림> 부채꼴 $\mathrm{P_nOQ_n}$

[1.2] 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심각이 $\frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $\mathrm{P_1OQ_1}$이 있다. 점 $\mathrm{Q_1}$에서 선분 $\mathrm{OP_1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P_2}$라 하고, 선분 $\mathrm{OQ_1}$ 위에 $\overline{\mathrm{OP_2}} = \overline{\mathrm{OQ_2}}$인 점 $\mathrm{Q_2}$를 택하여 중심각이 $\frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $\mathrm{P_2OQ_2}$를 부채꼴 $\mathrm{P_1OQ_1}$의 내부에 그린다. 점 $\mathrm{Q_2}$에서 선분 $\mathrm{OP_2}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P_3}$, 선분 $\mathrm{OQ_2}$ 위에 $\overline{\mathrm{OP_3}} = \overline{\mathrm{OQ_3}}$인 점 $\mathrm{Q_3}$을 택하여 중심각이 $\frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $\mathrm{P_3OQ_3}$을 부채꼴 $\mathrm{P_2OQ_2}$의 내부에 그린다. 이와 같은 방법으로 부채꼴을 한없이 그려나간다. 삼각형 $\mathrm{Q_nP_nP_{n+1}}$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 합을 구하시오.

[1.3] 높이가 $a^2$인 입체도형이 있다. 이 입체도형의 밑면으로부터 높이가 $x$인 지점에서 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면이, 반지름의 길이가 $\sqrt{a^2-x}$인 원일 때, 이 입체도형의 부피를 $V_1$이라 하자. 또 다른 입체도형은, 높이가 $a$이며, 밑면으로부터 높이가 $x$인 지점에서 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면이, 반지름의 길이가 $(a-x)^2$인 원일 때, 이 입체도형의 부피를 $V_2$라 하자. $V_1 = V_2$일 때, 양수 $a$를 구하시오.

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[2.1] 양수 $c$에 대하여 직선 $y=c$와 곡선 $y=f(x)$의 교점의 개수가 $2$개일 때, $c$를 $a$에 관한 식으로 나타내시오.

[2.2] 문항 [2.1]에서 구한 $c$에 대하여, 직선 $y=c$와 곡선 $y=f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 $a$에 관한 식으로 나타내시오.

[2.3] 문항 [2.2]에서 구한 $S$에 대하여, $3 \le a \le 5$인 범위에서 $\frac{4S}{27(a-2)^2(6-a)}$의 최솟값을 구하시오.

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[3.1] $n=1, 2, 3, \dots$에 대하여 $x_n$을 구하시오.

[3.2] $n=1, 2, 3, \dots$에 대하여 $y_n$을 구하시오.

[3.3] $n=1, 2, 3, \dots$에 대하여 삼각형 $\mathrm{P_nP_{n+1}Q_n}$의 넓이를 $A_n$이라고 할 때, $\sum_{n=1}^{10} A_nA_{n+1}$의 값을 구하시오.

[3.4] 문항 [3.3]에서 구한 $A_n$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}$의 합을 구하시오.