📘 2027학년도 서강대학교 대비 수리논술 정본 수학문제집 | 2025학년도 자연계열 1·2차 기출 전 문항 원문 100% 일치 수록 (보고서 p.73~107) | JAR Engine v1.0

SOGANG UNIVERSITY MATH ESSAY MASTER WORKBOOK · JAR ENGINE VERIFIED

2027학년도 서강대학교 대비
수리논술 정본 수학문제집

2025학년도 자연계열 수리논술 1차(1·2번)·2차(1·2번) 기출 전 문항 원문 100% 정밀 수록
(『2025학년도 서강대학교 선행학습 영향평가 자체평가보고서』 문항카드 5~8, PDF p.73~107)

📌 2025학년도 서강대학교 자연계열 논술(일반)전형 기출 문항 전체 목차 (총 4대문항 16소문항)

문항 구분	모집단위 (학과)	출제 과목 및 핵심 개념 (보고서 원문)	예상 소요 시간
자연계열 1차 1번 (문항카드 5, p.73~80)	수학과, 기계공학과, 컴퓨터공학과, 시스템반도체공학과	[수학, 수학Ⅰ, 미적분, 기하] 쌍곡선의 방정식, 이차곡선의 접선, 사인법칙과 코사인법칙, 두 점 사이의 거리, 절대부등식	40분 / 100분 (【1-1】~【1-4】)
자연계열 1차 2번 (문항카드 6, p.81~89)	수학과, 기계공학과, 컴퓨터공학과, 시스템반도체공학과	[수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분] 문자와 식(이차함수 최대·최소), 삼각함수, 함수의 극한과 연속, 미분, 미분법	60분 / 100분 (【2-1】~【2-4】)
자연계열 2차 1번 (문항카드 7, p.90~97)	물리학과, 전자공학과, 화공생명공학과, 인공지능학과	[수학, 수학Ⅰ, 미적분, 기하] 타원의 방정식, 타원의 초점, 접선의 방정식, 삼각함수의 덧셈정리	40분 / 100분 (【1-1】~【1-4】)
자연계열 2차 2번 (문항카드 8, p.98~107)	물리학과, 전자공학과, 화공생명공학과, 인공지능학과	[수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분] 삼각함수, 미분계수, 도함수, 도함수의 활용, 정적분, 여러가지 함수의 미분·미분법·적분법	60분 / 100분 (【2-1】~【2-4】)

🔬 JAR Engine (REA × Argon × JEV) & "어울림" 스크린샷 배치 안내

• 기출 원문 100% 일치 보장: 『2025학년도 서강대학교 대입전형 선행학습 영향평가 자체평가보고서』(PDF p.73~107)의 문항카드 5~8에 수록된 모든 [제시문], [문제], 조건 박스, 소문항(【1-1】~【2-4】)을 조사와 기호 하나까지 원문 그대로 수록하였습니다.
• "어울림" 스크린샷 배치: 원문 조건 박스 스크린샷 및 각 문항의 기하 도형·함수 그래프를 고해상도 PNG 스크린샷으로 추출하여 본문 우측 어울림(Float-Right Text Wrapping) 레이아웃으로 배치하였습니다.

QUESTIO 수리논술연구소 | 상호: 퀘스티오(Questio) | 대표: 강원호 | 사업자등록번호: 551-09-03449 2027 서강대학교 수리논술 정본 수학문제집 (Cover)

📌 핵심개념 및 용어: 쌍곡선의 방정식 · 이차곡선의 접선 · 사인법칙과 코사인법칙 · 두 점 사이의 거리 · 절대부등식 (원문 PDF p.73~74, 5.1~5.2)

[제시문]

[가] 평면 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라고 하며, 두 점 $\mathrm{F}, \mathrm{F}'$을 쌍곡선의 초점이라고 한다.

[나] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 차가 $2a$인 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{단, } c \gt a \gt 0, \; b^2 = c^2 - a^2)$$

[다] 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$

[어울림 그림 1-1] 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$과 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선 및 $y$절편 $\mathrm{R}$

[원문 PDF p.74 조건 박스 스크린샷 (어울림)]

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(5, 0)$과 $\mathrm{B}(-5, 0)$에 대하여 같은 평면 위의 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$는 다음 조건을 동시에 만족시킨다.

(i) $\overline{\mathrm{AC}} = 6$
(ii) 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AC}$ 위에 있다.
(iii) $\overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 8$

【1-1】 점 $\mathrm{P}$가 그리는 도형이 쌍곡선의 일부가 됨을 보이고, 이 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

【1-2】 문항 【1-1】에서 구한 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라고 하자. $\overline{\mathrm{QR}}$이 최소가 되는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overline{\mathrm{OQ}}^2$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{Q}$는 제$2$사분면 위에 있고 $\mathrm{O}$는 원점이다.)

【1-3】 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{P}$가 일치할 때, 선분 $\mathrm{BC}$가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라고 하자. $\angle\mathrm{COD} = \alpha$라고 할 때, $\cos\alpha$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } \mathrm{O}\text{는 원점이고 } 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\right)$

【1-4】 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle\mathrm{A} = \theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{BCP}$의 넓이를 $f(\theta)$라고 하자. $\cos\beta = \dfrac{4}{5}$를 만족시키는 $\beta$에 대하여 $f'(\beta)$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } 0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\text{이고, 점 }\mathrm{C}\text{는 선분 }\mathrm{AB}\text{ 위에 있지 않으며 점 }\mathrm{P}\text{와 일치하지 않는다.}\right)$

[2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 1번 답안 작성란] (【1-1】~【1-4】의 풀이 과정을 논리적으로 서술하시오.)

📌 핵심개념 및 용어: 문자와 식 · 삼각함수 · 함수의 극한과 연속 · 미분 · 미분법 (원문 PDF p.81~82, 6.1~6.2)

[제시문]

[가] $x$의 값의 범위가 $\alpha \le x \le \beta$일 때, 이차함수 $f(x) = a(x - p)^2 + q$의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.
⓵ 꼭짓점의 $x$좌표 $p$가 $x$의 값의 범위 $\alpha \le x \le \beta$에 속하면 $f(\alpha), f(\beta), f(p)$ 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
⓶ 꼭짓점의 $x$좌표 $p$가 $x$의 값의 범위에 속하지 않으면 $f(\alpha), f(\beta)$ 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

[나] 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값이 $L$이면 $x = a$에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 $L$과 같다. 또 그 역도 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a+} f(x) = \lim_{x \to a-} f(x) = L$$

[다] 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 정의되어 있고 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$가 존재하며 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 연속이라고 한다. 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 그 구간에서 연속이라고 한다.

[라] 함수 $f(x)$에서 극한값

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

가 존재하면 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 한다. 또한 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 미분가능하면 함수 $f(x)$는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

[어울림 그림 1-2] 양의 실수 $t$의 구간에 따른 최솟값 함수 $y = f(t)$의 그래프 및 $t = 1$에서의 접선 ($f'(1) = -3$)

[문제]
제시문 [가]~[라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
양의 실수 $t$에 대하여 함수 $g(\theta) = \sqrt{(4\cos\theta - 3t)^2 + 4t^2\sin^2\theta} \; (0 \le \theta \lt 2\pi)$의 최솟값을 $f(t)$라고 하자.

【2-1】 $f(1)$의 값을 구하시오.

【2-2】 $0 \lt t \lt 1$일 때, $f(t)$를 구하시오.

【2-3】 $t \gt 1$일 때, $f(t)$를 구하시오.

【2-4】 함수 $f(t)$의 $t = 1$에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오.

[2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 2번 답안 작성란] (【2-1】~【2-4】의 풀이 과정을 논리적으로 서술하시오.)

📌 핵심개념 및 용어: 타원의 방정식 · 타원의 초점 · 접선의 방정식 · 삼각함수의 덧셈정리 (원문 PDF p.90~91, 7.1~7.2)

[제시문]

[가] 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$인 타원의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{단, } a \gt c \gt 0, \; b^2 = a^2 - c^2)$$

[나] 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$

[다] $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, \quad \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

[어울림 그림 2-1] 타원 $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(\angle\mathrm{F'PF}=90^\circ)$와 점 $\mathrm{Q}(\angle\mathrm{F'FQ}=135^\circ)$에서의 접선 및 $\angle\mathrm{FQR}=\theta$

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

두 초점이 $\mathrm{F}(\sqrt{3}b, 0), \mathrm{F}'(-\sqrt{3}b, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$이 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ$를 만족시킨다. 문항 【1-1】과 【1-2】에 답하시오. (단, $b \gt 0$이고 $x_1 \gt 0, y_1 \gt 0$)

【1-1】 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1$이고 $\overline{\mathrm{FP}} = l_2$라고 할 때, $l_1$과 $l_2$의 곱 $l_1 l_2$를 구하시오. 또한 $l_1$과 $l_2$를 각각 구하시오.

【1-2】 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.

두 초점이 $\mathrm{F}(\sqrt{3}b, 0), \mathrm{F}'(-\sqrt{3}b, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$가 $\angle\mathrm{F}'\mathrm{FQ} = 135^\circ$를 만족시킨다. 문항 【1-3】과 【1-4】에 답하시오. (단, $b \gt 0$이고 $x_2 \gt 0, y_2 \gt 0$)

【1-3】 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{Q}} = l_3$이고 $\overline{\mathrm{FQ}} = l_4$라고 할 때, $l_3$과 $l_4$를 각각 구하시오.

【1-4】 타원 $\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}(x_2, y_2)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라고 하자. $\angle\mathrm{FQR} = \theta$라고 할 때, $\tan\theta$를 구하시오.

[2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 1번 답안 작성란] (【1-1】~【1-4】의 풀이 과정을 논리적으로 서술하시오.)

📌 핵심개념 및 용어: 삼각함수 · 미분계수 · 도함수 · 도함수의 활용 · 정적분 · 여러가지 함수의 미분 · 여러가지 미분법 · 여러가지 적분법 (원문 PDF p.98~99, 8.1~8.2)

[제시문]

[가] 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \lt x_2$일 때 $f(x_1) \lt f(x_2)$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 증가한다고 한다.
또 $x_1 \lt x_2$일 때 $f(x_1) \gt f(x_2)$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 감소한다고 한다.

[나] 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때
① 열린구간 $(a, b)$에서 $f'(x) \gt 0$이면 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가한다.
② 열린구간 $(a, b)$에서 $f'(x) \lt 0$이면 함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[a, b]$에서 감소한다.

[다] 함수 $y = f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $a + \Delta x$까지 변할 때, 평균변화율은

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

이다. 여기서 $\Delta x \to 0$일 때, 평균변화율의 극한값

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

가 존재하면 함수 $y = f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 한다. 또한 함수 $y = f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 $x$에서 미분가능하면 함수 $y = f(x)$는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

2025 서강대 자연 2차 2번 g(x)=x+|cos x|와 직선의 교점

[어울림 그림 2-2] $g(x) = x + |\cos x|$의 그래프와 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$를 지나는 직선 $y = k\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}$

[원문 PDF p.99 조건 박스 스크린샷 (어울림)]

[문제]
제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.
두 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(i) $f(x) \le g(x)$ (ii) $\{g(x) - f(x)\}^2 + \sin^2 f(x) = 1$

【2-1】 함수 $f(x)$가 $f(x) = 10x$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

【2-2】 함수 $f(x)$가 $f(x) = x$일 때, 함수 $g(x)$가 열린구간 $(0, \pi)$에서 미분가능한지 조사하시오. 또한 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 증가함을 보이시오.

【2-3】 함수 $f(x)$가 $f(x) = x$일 때, 방정식 $g(x) - kx + \dfrac{\pi}{2}(k - 1) = 0$이 $0 \le x \le \pi$에서 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 양의 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

【2-4】 함수 $g(x)$가 $g(x) = x$일 때, $f'(a) = \dfrac{2}{3}$를 만족시키는 실수 $a$의 값을 구하시오. $\left(\text{단, } \dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1\right)$

[2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 2번 답안 작성란] (【2-1】~【2-4】의 풀이 과정을 논리적으로 서술하시오.)

2027학년도 서강대학교 대비
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2025학년도 자연계열 수리논술 1차(1·2번)·2차(1·2번) 기출 전 문항 원문 100% 정밀 수록
(『2025학년도 서강대학교 선행학습 영향평가 자체평가보고서』 문항카드 5~8, PDF p.73~107)

📌 2025학년도 서강대학교 자연계열 논술(일반)전형 기출 문항 전체 목차 (총 4대문항 16소문항)

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5. 문항카드 5 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 1번

6. 문항카드 6 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 1차 2번

7. 문항카드 7 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 1번

8. 문항카드 8 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 2번

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8. 문항카드 8 – 2025학년도 서강대학교 자연계열 2차 2번

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