【문항 1】 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (30점)
실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) > 0\)이고,
\[ \ln f(x) + \int_0^x \frac{f'(t)}{f(t)}\,dt = 2x - f(0) \]
을 만족시킨다. 또한 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기는 \(2e^2\)이다.
(1-1) 함수 \(f(x)\)의 구체적인 식을 유도하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
(1-2) 곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축, \(y\)축 및 직선 \(x=1\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S\)를 구하시오. (10점)
(1-3) 양의 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y=t\)와 곡선 \(y=f(x)\)의 교점의 좌표를 \((g(t), t)\)라 할 때, \(g'(e^2)\)의 값을 구하시오. (10점)