2027학년도 대비 한국항공대학교 이학계열 수리논술 문제집

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2026학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2026 이학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2026학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 복소수, 등비수열, 직선의 방정식, 합성함수, 이차방정식, 로그·로그함수]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 미분가능한 함수 \(y = f(x)\)의 도함수는 \[ \begin{aligned} &f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{aligned} \]

나) 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \ \beta\)라고 하면 \[ \begin{aligned} &\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a} \end{aligned} \]

다) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 첫째항이 \(a\), 공비가 \(r\)인 등비수열의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라고 하면
\(r \ne 1\)일 때, \(S_n = a\dfrac{(1 - r^n)}{1 - r}\) \(r = 1\)일 때, \(S_n = na\)

라) 함수 \(y = \sin x\)는 주기가 \(2\pi\)인 주기 함수이다.

[문제 1-1] 두 함수 \(f(x), \ g(x)\)가 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 제시문 가)를 이용하여 다음이 성립함을 보이시오.
\(\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)

(2) 함수 \(g(x) = (x^2 + 1)f(x)\)에 대하여 \(g'(1)\)의 값을 구하시오. (단, \(f(1) = 2, \ f'(1) = 1\))

[문제 1-2] 이차방정식 \(4x^2 - 2x + 1 = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \ \beta\)라 하자. \(a_n = \alpha^n + \beta^n\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{100} a_n\)의 값을 구하시오.

[문제 1-3] \(\dfrac{1}{32} \le x \le 1\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \sin\left(\pi\log_2 x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 \(x\)축의 모든 교점의 \(x\)좌표의 합을 구하시오.

[문제 1-4] 첫째항이 \(a\), 공비가 \(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)이 있다. \(a_3 = 100\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(1 \le a \le 100, \ r > 0\))

(1) \(-(\log a)^3 + (\log a_2)^2\)을 \(a\)에 대한 식으로 나타내시오.

(2) (1)에서 구한 식을 \(f(a)\)라 할 때, 함수 \(f(a)\)의 최댓값을 구하시오.

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2026학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2026 이학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2026학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 극댓값·극솟값, 절대부등식, 기울기, 극한, 정적분]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \((a, b)\)의 모든 \(x\)에 대하여
(1) \(f'(x) > 0\)이면 \(f(x)\)는 \([a, b]\)에서 증가한다. (2) \(f'(x) < 0\)이면 \(f(x)\)는 \([a, b]\)에서 감소한다.

나) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(x)\)의 부정적분 중의 하나를 \(F(x)\)라고 하면 \(f(x)\)의 \(a\)부터 \(b\)까지의 정적분은 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\)

다) 함수의 극한의 성질: \(\lim_{x \to a} f(x) = L, \ \lim_{x \to a} g(x) = M\) (\(L, M\)은 실수)일 때,
(1) \(\lim_{x \to a} cf(x) = cL\) (\(c\)는 상수) (2) \(\lim_{x \to a} \{f(x) + g(x)\} = L + M\) (3) \(\lim_{x \to a} \{f(x) - g(x)\} = L - M\)
(4) \(\lim_{x \to a} f(x)g(x) = LM\) (5) \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}\) (\(M \ne 0\)) ※ \(x \to a-, \ x \to a+, \ x \to \infty, \ x \to -\infty\)일 때도 성립한다.

[문제 2-1] 함수 \(f(x) = x|(x-1)(x+1)|\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 제시문 가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)의 증가와 감소를 조사하시오.

(2) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 만나는 점의 개수가 \(2\)일 때, 실수 \(k\)의 값을 모두 구하시오.

[문제 2-2] \(-3 \le x \le 1\)에서 정의된 함수 \(f(x) = ax^2 - 2(a^2+1)x + 2a^2 - a + 3\) (\(a\)는 실수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(s > 0, \ t > 0\)일 때, 부등식 \(\dfrac{s+t}{2} \ge \sqrt{st}\)가 성립함을 보이시오.

(2) (1)의 부등식을 이용하여 실수 \(a\)의 값에 관계없이 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 일정함을 보이시오.

[문제 2-3] 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(x) = -4x^3 + \left\{\dfrac{3}{2}x\displaystyle\int_0^1 tf'(t)\,dt\right\}^2 - 2x + \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\)가 성립할 때, 함수 \(f(x)\)를 모두 구하시오.

[그림] 영역 \(A_k\)와 \(B_k\)

[문제 2-4] 함수 \(f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ x^2 & (x < 0) \end{cases}\)과 함수 \(g(x) = -kx + 2k^2\) (\(k > 0\))이 있다.
두 함수 \(y = f(x), \ y = g(x)\)의 그래프가 만나는 두 교점의 \(x\)좌표는 각각 \(\alpha, \ \beta\) (\(\alpha < \beta\))이고 두 함수 \(y = f(x), \ y = g(x)\)의 그래프로 둘러싸인 영역은 \(y\)축에 의해 그림과 같이 \(A_k\)와 \(B_k\)의 두 부분으로 나뉜다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 도형 \(A_k\)의 넓이를 \(S(k)\), 도형 \(B_k\)의 넓이를 \(T(k)\)라 할 때, \(\lim_{k \to \infty} \dfrac{S(k)}{T(k)}\)의 값을 구하시오.

(2) \(k = 1\)일 때, 점 \((\alpha, f(\alpha))\)를 지나고 도형 \(B_1\)의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 구하시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2025학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2025 이학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2025학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 복소수, 집합과 명제, 수열, 미분, 평균값 정리]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 복소수 \(z = a + bi\) (\(a, b\)는 실수)에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 \(a - bi\)를 \(z\)의 켤레복소수라 하고, 기호로 \(\bar{z}\)와 같이 나타낸다. 이때 \(z\bar{z} = a^2 + b^2\)이다.

나) 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(x = a\)에서의 미분계수 \(f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}\)가 존재할 때, 함수 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 미분가능하다고 한다.

다) 첫째항이 \(a\), 공비가 \(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 일반항은 \(a_n = ar^{n-1}\) (\(n = 1, 2, 3, \cdots\))이다.

[문제 1-1] 집합 \(A = \{z \mid z\bar{z} = 2, \ z\text{는 복소수}\}\)이고 집합 \(B = \{z \mid z = k(2 + 2i), \ k\text{는 실수}\}\)일 때, 집합 \(A \cap B\)를 원소나열법으로 나타내시오.

[문제 1-2] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)는 \(x \ge 0\)일 때 \(f(x) = |(x + 2)(x - 3)(x - 4)|\)이고, 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)가 성립한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 제시문 나)를 이용하여 \(x = 4\)에서 \(f(x)\)가 미분가능하지 않음을 보이시오.

(2) \(x = a\)에서 \(f(x)\)가 미분가능하지 않을 때, \(a\)의 값을 모두 구하시오.

[문제 1-3] 수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항이 \(2\)이고 공비가 \(\dfrac{1}{3}\)인 등비수열이고, 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(9\)이고 공비가 \(\dfrac{1}{27}\)인 등비수열이다. 점 \(\mathrm{R}_n\)의 좌표를 \((a_n, b_n)\)이라 하고, 선분 \(\mathrm{R}_n\mathrm{R}_{n+1}\)을 지름으로 하는 원을 \(C_n\)이라 하자. 원 \(C_n\)의 중심을 \(\mathrm{O}_n\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 \(\mathrm{R}_1\), 점 \(\mathrm{R}_2\), 점 \(\mathrm{R}_3\)과 점 \(\mathrm{O}_1\), 점 \(\mathrm{O}_2\)의 좌표를 각각 구하시오.

(2) 점 \(\mathrm{O}_n\)의 좌표를 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.

(3) 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2\)의 그래프가 점 \(\mathrm{O}_1\)과 점 \(\mathrm{O}_2\)를 지날 때, 두 상수 \(a, b\)의 값을 구하시오.

(4) (3)에서 구한 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\) \(\left(\dfrac{1}{2} \le t \le 1\right)\)에 대하여 점 \(\mathrm{P}\)와 직선 \(\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\) 사이의 거리가 \(t = \alpha\)에서 최대일 때 \(\alpha^2\)의 값을 구하시오.

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2025학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2025 이학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2025학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식, 함수와 그래프, 수열, 함수의 극한과 연속, 미분, 적분]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 점 \((x_1, y_1)\)과 직선 \(ax + by + c = 0\) 사이의 거리는 \(\dfrac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)이다.

나) 사인함수 \(y = \sin x\)는 다음과 같은 성질을 갖는다.
(1) 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역은 \(\{y \mid -1 \le y \le 1\}\)이다.
(2) 주기가 \(2\pi\)인 주기함수이다. 즉, \(\sin(x + 2n\pi) = \sin x\) (단, \(n\)은 정수)

다) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하면 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\)

라) 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(a) = 0\)일 때, \(x = a\)의 좌우에서
(1) \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대이고, 극댓값 \(f(a)\)를 갖는다.
(2) \(f'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소이고, 극솟값 \(f(a)\)를 갖는다.

[문제 2-1] 원 \((x - a)^2 + (y - a^2)^2 = b^2\)이 두 직선 \(y = -x + 4\)와 \(y = x + 2\)에 동시에 접하도록 하는 두 실수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)를 모두 구하시오.

[문제 2-2] 자연수 \(n\)과 \(0 \le a < 1\)인 실수 \(a\)에 대하여 \(n + a\)는 \(x\)에 대한 방정식 \(x^3 + 6x^2 + 12x - k + 8 = 0\)의 한 근이다. \(n^2 - 2na < 0\)이 성립할 때, 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문제 2-3] 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(y = \sin(20\pi x)\)의 그래프와 직선 \(y = \dfrac{n - 1}{10}\)의 교점 중 \(x\)좌표가 \((n + 1)^2\) 이상이고 \(2(n + 1)^2\) 이하인 점의 개수를 \(a_n\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{20} a_n\)의 값을 구하시오.

[문제 2-4] 두 함수 \(f(x) = x^2 - 2x + |x^2 - 2x|, \ g(x) = -x + 12\)가 있다. \(a > 2\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(h(a) = \displaystyle\int_{-a}^a \{f(x) - g(x)\}\,dx\)라 할 때, \(h(a)\)의 증가와 감소를 표로 나타내고, 이를 이용하여 \(h(a)\)의 극값을 구하시오.

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2024학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2024 이학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2024학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 복소수, 등비수열, 직선의 방정식, 합성함수, 이차방정식]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 복소수 \(a + bi\) (\(a, b\)는 실수)의 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 \(a - bi\)를 \(a + bi\)의 켤레복소수라 하고, 이것을 기호로 \(\overline{a + bi}\)로 나타낸다. 즉, \(\overline{a + bi} = a - bi\)이다. (단, \(i = \sqrt{-1}\))

나) 두 함수 \(f : X \to Y, \ g : Y \to Z\)의 합성함수는 \(g \circ f : X \to Z, \ (g \circ f)(x) = g(f(x))\)이다.

다) 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(p(n)\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
(i) \(n = 1\)일 때 명제 \(p(n)\)이 성립한다. (ii) \(n = k\)일 때 명제 \(p(n)\)이 성립한다고 가정하면, \(n = k + 1\)일 때도 명제 \(p(n)\)이 성립한다.

라) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 공비가 \(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)에서 제\(n\)항에 공비 \(r\)를 곱하면 제\((n + 1)\)항이 되므로 \(a_{n+1} = r a_n \ (n = 1, 2, 3, \cdots)\)이 성립한다.

[문제 1-1] 이차방정식 \(x^2 + px + q = 0\)의 한 근 \(z = a + bi\)가 \(z^2 = -\dfrac{\bar{z}}{2}, \ \dfrac{b}{a} = -\sqrt{3}\)을 만족할 때, 두 실수 \(p\)와 \(q\)를 구하시오. (단, \(a, b\)는 실수이고 \(a \ne 0\))

[문제 1-2] 두 함수 \(f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}, \ g(x) = -(x - k)^2 + 4\)에 대하여 정적분 \(\displaystyle\int_{-5}^4 (f \circ g)(x)\,dx\)의 값을 \(h(k)\)라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \(k\)는 실수)

(1) \(h(k)\)가 최대가 되도록 하는 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

(2) \(h(k)\)의 최댓값을 구하시오.

[문제 1-3] \(h > 0\)일 때, 자연수 \(n\)에 대하여 두 수열 \(\{a_n\}, \ \{b_n\}\)이 \(a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + h, \ b_1 = 1, \ b_{n+1} = b_n(1 + h)\)이다. 수학적 귀납법을 이용하여 \(n \ge 3\)일 때, \(a_n\)과 \(b_n\)의 대소관계를 비교하려고 한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) \(n = 3\)일 때 \(b_3 - a_3 > 0\)임을 보이시오.

(2) \(n = k \ (k \ge 3)\)일 때 \(b_k - a_k > 0\)이 성립한다고 가정하면, \(b_{k+1} - a_{k+1} > 0\)임을 보이시오.

(3) (1)과 (2)를 통하여 알 수 있는 결론을 쓰시오.

[그림] 정사각형 \(R_n\)과 내접원 \(O_n\)

[문제 1-4] 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 \(\mathrm{A}_1(0, 0), \ \mathrm{A}_2(4, 0), \ \mathrm{B}_1(4, 4), \ \mathrm{C}_1(0, 4)\)를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 \(R_1\)이라 하자. 정사각형 \(R_1\)의 네 변 \(\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2, \ \mathrm{A}_2\mathrm{B}_1, \ \mathrm{B}_1\mathrm{C}_1, \ \mathrm{C}_1\mathrm{A}_1\)의 중점을 각각 \(\mathrm{C}_2, \ \mathrm{D}_1, \ \mathrm{E}_1, \ \mathrm{F}_1\)이라 하고, 두 선분 \(\mathrm{C}_2\mathrm{E}_1\)와 \(\mathrm{D}_1\mathrm{F}_1\)의 교점을 \(\mathrm{G}_1\)이라 할 때, 정사각형 \(\mathrm{G}_1\mathrm{C}_2\mathrm{B}_1\mathrm{D}_1\)에 내접하는 원 \(O_1\)을 그린다. 선분 \(\mathrm{A}_2\mathrm{C}_2\)를 한 변으로 하는 정사각형 중 오른쪽 정사각형을 \(R_2\)라 하고, \(x\)축 위의 꼭짓점 중 오른쪽 점을 \(\mathrm{A}_3\)이라 하자. 정사각형 \(R_2\)의 네 변의 중점을 각각 \(\mathrm{C}_3, \ \mathrm{D}_2, \ \mathrm{E}_2, \ \mathrm{F}_2\)라 하고, 두 선분 \(\mathrm{C}_3\mathrm{E}_2\)와 \(\mathrm{D}_2\mathrm{F}_2\)의 교점을 \(\mathrm{G}_2\)라 할 때, 정사각형 \(\mathrm{G}_2\mathrm{C}_3\mathrm{B}_2\mathrm{D}_2\)에 내접하는 원 \(O_2\)를 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 그린 원을 \(O_n\)이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 원 \(O_n\)의 반지름의 길이를 \(r_n\)이라 할 때 \(r_n\)을 구하시오.

(2) 원 \(O_n\)의 중심의 \(x\)좌표를 \(x_n\)이라 할 때, (1)의 결과를 참고하여 \(x_n\)과 \(x_{n-1}\) 사이의 관계식을 구하시오. (\(n = 2, 3, 4, \cdots\))

(3) 두 원 \(O_9, \ O_{10}\)의 중심을 지나는 직선의 기울기를 구하시오.

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2024학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2024 이학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2024학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 이차방정식의 판별식, 근과 계수의 관계, 등차수열, 극댓값·극솟값, 기울기, 극한, 정적분]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 방정식 \(f(x) = g(x)\)의 실근은 두 함수 \(y = f(x), \ y = g(x)\)의 그래프의 교점의 \(x\)좌표와 같다. 따라서 방정식 \(f(x) = g(x)\)의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 \(y = f(x), \ y = g(x)\)의 그래프의 교점의 개수와 같다.

나) 계수가 실수인 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)\)에서 판별식 \(D = b^2 - 4ac\)일 때
(1) \(D > 0\)이면 서로 다른 두 실근을 가진다. (2) \(D = 0\)이면 서로 같은 두 실근(중근)을 가진다. (3) \(D < 0\)이면 서로 다른 두 허근을 가진다.

다) 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차라고 한다.

라) 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)\)의 두 근을 \(\alpha, \ \beta\)라고 하면, 다음 등식이 성립한다. \(\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)

마) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(x)\)의 부정적분 중의 하나를 \(F(x)\)라고 하면, \(f(x)\)의 \(a\)부터 \(b\)까지의 정적분은 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\)이다.

[문제 2-1] 삼차함수 \(f(x) = -x^3 + 6x\)가 \(x = a\)에서 극솟값을 가지고 \(x = b\)에서 극댓값을 가질 때, 두 점 \((a, f(a)), \ (b, f(b))\)를 지나는 직선의 기울기를 \(m\)이라고 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) \(m\)의 값을 구하시오.

(2) 직선 \(y = mx + k\)와 곡선 \(y = f(x)\)가 만나는 점의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문제 2-2] \(x\)에 대한 이차방정식 \(3x^2 - 5(a + 1)x + 3a^2 = 0\)이 서로 다른 양의 실근 \(\alpha, \ \beta \ (\alpha < \beta)\)를 가질 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a\)는 실수)

(1) \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

(2) \(-\sqrt{\beta}, \ -\sqrt{\alpha}, \ \sqrt{\alpha}, \ \sqrt{\beta}\)가 이 순서대로 등차수열이 되도록 하는 \(a\)의 값을 모두 구하시오.

[문제 2-3] 함수 \(f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & (x \ge 0) \\ x^2 & (x < 0) \end{cases}\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 두 점 \(\mathrm{A}_k, \ \mathrm{B}_k\)에서 만날 때, 함수 \(h(k) = \cos(\angle\mathrm{A}_k\mathrm{OB}_k)\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점)

(1) 함수 \(h(k)\)를 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

(2) \(\lim_{k \to \infty} \sqrt{k}\,h(k)\)의 값을 구하시오.

[문제 2-4] 이차함수 \(f(x) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\)가 \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}\)을 만족할 때, 함수 \(S(\alpha) = \displaystyle\int_{-\alpha}^\alpha (2\alpha - 1)f(x)\,dx\)는 \(\alpha = \alpha_1\)에서 최솟값 \(m\)을 갖는다. 두 상수 \(\alpha_1\)과 \(m\)의 값을 각각 구하시오. \(\left(\text{단, } \alpha \ne \dfrac{1}{2}\right)\)

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2023학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학 I, 수학 II]

2023 이학계열 1번 배점 70점 (60분/90분)

【2023학년도 문제 1】 (70점) [출제개념 : 등차·등비중항, 극댓값·극솟값, 집합·교집합, 정적분]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 세 수 \(a, b, c\)가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(b\)를 \(a\)와 \(c\)의 등차중항이라 하고 \(2b = a + c\)를 만족시킨다. \(0\)이 아닌 세 수 \(a, b, c\)가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, \(b\)를 \(a\)와 \(c\)의 등비중항이라 하고 \(b^2 = ac\)를 만족시킨다.

나) 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(a) = 0\)이고, \(x = a\)의 좌우에서 (1) \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대이다. (2) \(f'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소이다.

다) 어떤 기준에 따라 대상을 분명하게 정할 수 있을 때, 그 대상들의 모임을 집합이라 한다. 이때 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라고 한다. 두 집합 \(A, B\)에 대하여 \(A\)에도 속하고 \(B\)에도 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 \(A\)와 \(B\)의 교집합이라 하고 이를 기호로 \(A \cap B\)와 같이 나타낸다.

라) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 할 때, \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\)이다.

[문제 1-1] 함수 \(f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = ax + b\)의 교점의 개수가 \(2\)이기 위한 두 실수 \(a\)와 \(b\)의 값의 범위를 각각 구하시오.

(2) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 곡선 \(y = (x + p)(x + 2p)\)의 교점의 개수가 \(3\)이기 위한 실수 \(p\)의 값의 범위를 구하시오.

[문제 1-2] 서로 다른 세 실수 \(a, b, c\)는 이 순서대로 등비수열을 이루고 \(abc = 8\)이다. 세 실수 \(a, b, c\)를 다른 순서로 적당히 나열하여 등차수열을 만들 수 있을 때, 세 실수 \(a, b, c\)의 순서쌍 \((a, b, c)\)를 모두 구하시오.

[문제 1-3] 함수 \(f(x) = 2x - x^2\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)가 \(x\)축과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{O}(0, 0), \ \mathrm{A}(2, 0)\)이라 하자. \(0 \lt b \lt 2\)인 실수 \(b\)에 대하여 점 \(\mathrm{B}(b, f(b))\)는 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점이고, 선분 \(\mathrm{OB}\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{C}(c, f(c)) \ (0 \lt c \lt b)\)는 삼각형 \(\mathrm{OBC}\)의 넓이가 최대가 되게 하는 점이다. 사각형 \(\mathrm{OABC}\)의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[문제 1-4] 전체집합 \(U = \{f(x) \mid f(x) = ax + b, \ a, b\text{는 실수}\}\)의 세 부분집합 \[ \begin{aligned} &A = \left\{f(x) \,\middle|\, \int_0^1 f(x)(3x - 1)\,dx = 0\right\} \\ &B = \left\{f(x) \,\middle|\, \int_0^1 \{f(x)\}^2\,dx = 1\right\} \\ &C = \left\{f(x) \,\middle|\, \int_0^1 \{f(x) - (3x - 1)\}^2\,dx = 1\right\} \end{aligned} \] 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(f(x) \in A\)일 때, 함수 \(y = f(x)\)의 그래프는 항상 점 \(\mathrm{P}\)를 지난다. 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 구하시오.

(2) \(f(x) \in A \cap B\)일 때, \(\displaystyle\int_0^1 \{f(x) - (3x - 1)\}^2\,dx\)의 값을 구하시오.

(3) \(f(x) \in B \cap C\)인 함수 \(f(x)\)를 모두 구하시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2022학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학 II]

2022 이학계열 1번 배점 70점 (60분/90분)

【2022학년도 문제 1】 (70점) [출제개념 : 최댓값, 최솟값, 실근, 도함수, 극한, 극댓값, 극솟값, 극값]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 함수 \(f(x)\)가 \(a\)를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x) \le f(a)\)를 만족하면 \(f(a)\)를 ‘극댓값’이라 하고, 반대로 \(a\)를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge f(a)\)를 만족하면 \(f(a)\)를 ‘극솟값’이라 한다.

나) 함수 \(f(x)\)가 미분가능하고 \(f'(a) = 0\)일 때, \(x = a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(a)\)는 극댓값이고, \(x = a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(a)\)는 극솟값이다.

다) 두 양수 \(a, \ b\)에 대하여 항상 \(\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\)가 성립하고 등호는 \(a = b\)일 때 성립한다.

라) 두 함수 \(f(x), \ g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속일 때, 두 곡선 \(y = f(x), \ y = g(x)\) 및 두 직선 \(x = a, \ x = b\)로 둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는 \(S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\)이다.

[문제 1-1] \(a > 0\)인 실수 \(a\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 9a^2x + 6a - 5\)의 극솟값을 \(g(a)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(g(a)\)의 최댓값을 구하시오.

(2) \(g(a)\)가 최대일 때, 방정식 \(f(x) = 0\)의 실근의 개수를 구하시오.

[그림 1] 도형 \(E\)

[문제 1-2] 좌표평면 위의 네 점 \(\mathrm{A}(3a, 0), \ \mathrm{B}(3a, 2b), \ \mathrm{C}(-2b, 3a), \ \mathrm{D}(-2b, 0)\)에 대하여 도형 \(E\)는 [그림 1]과 같이 삼각형 \(\mathrm{OAB}\), 삼각형 \(\mathrm{OCD}\), 중심각의 크기가 \(90^\circ\)인 부채꼴 \(\mathrm{OBC}\)로 이루어진 도형이다.
\(9a^2 + 4b^2 = 36a^2b^2\)일 때, 도형 \(E\)의 넓이의 최솟값을 구하시오. (단, \(a > 0, \ b > 0, \ \mathrm{O}\)는 원점)

[문제 1-3] 곡선 \(y = x^2\) 위의 서로 다른 두 점 \(\mathrm{A}(\alpha, \alpha^2), \ \mathrm{B}(\beta, \beta^2)\)에 대하여, 점 \(\mathrm{A}\)에서의 접선을 \(l\), 점 \(\mathrm{B}\)에서의 접선을 \(m\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(\alpha > 0\))

(1) 접선 \(l\)과 \(x\)축과의 교점을 \(\mathrm{P}\), 점 \(\mathrm{A}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{Q}\)라 하자. 곡선 \(y = x^2\), \(x\)축 및 직선 \(l\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S\), 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)의 넓이를 \(T\)라 할 때, \(\dfrac{T}{S}\)의 값을 구하시오.

(2) 두 접선 \(l\)과 \(m\)이 서로 수직일 때, 두 접선 \(l, \ m\)의 교점을 \(\mathrm{C}(p, q)\)라 하자. \(q\)의 값을 구하시오.

(3) 위의 (2)에서 구한 점 \(\mathrm{C}(p, q)\)와 한 점 \(\mathrm{D}(\alpha, q)\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ACD}\)의 넓이를 \(S(\alpha)\)라 하자. \(\displaystyle\lim_{\alpha \to \infty} \frac{S(\alpha)}{\alpha^3}\)의 값을 구하시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2021학년도 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [수학, 수학 II, 확률과 통계]

2021 이학계열 1번 배점 70점 (50분/90분)

【2021학년도 문제 1】 (70점) [출제개념 : 연속함수, 사잇값 정리, 도함수, 미분가능, 롤의 정리, 극댓값·극솟값, 정적분, 독립·종속]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 닫힌구간에서 연속인 함수에 대하여 다음과 같은 사잇값 정리가 성립한다.
[사잇값 정리] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(a) \neq f(b)\)이면 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값 \(k\)에 대하여 \(f(c) = k\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.

나) 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능한 함수에 대하여 다음과 같은 롤의 정리가 성립한다.
[롤의 정리] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \(f(a) = f(b)\)이면 \(f'(c) = 0\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.

다) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(x) \ge 0\)일 때, 정적분 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)는 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = a, \ x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

라) 두 사건 \(A, \ B\)가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)\) (단, \(\mathrm{P}(A) > 0, \ \mathrm{P}(B) > 0\))

마) 어떤 시행에서 표본공간 \(S\)의 부분집합인 사건 \(A\)에 대하여 \(A\)가 일어나지 않는 사건을 \(A\)의 여사건이라 하고 기호 \(A^C\)으로 나타낸다. 사건 \(A\)와 그 여사건의 확률은 \(\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)\)를 만족시킨다.

[문제 1-1] 집합 \(S = \{x \mid x^3 + 2x^2 + x + 1 = 0, \ x\text{는 실수}\}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(n(S)\)의 값을 구하시오.

(2) 집합 \(S\)의 원소 \(x\)에 대하여 \(|x - N_x|\)의 값이 최소가 되도록 하는 정수 \(N_x\)의 값을 구하시오.

[문제 1-2] 직선 도로를 달리는 두 대의 버스가 정류장 \(\mathrm{A}\)를 동시에 출발하여 정류장 \(\mathrm{B}\)에 동시에 도착하였다. 출발 후 시각 \(t\)에서의 두 버스의 위치를 각각 \(f(t), \ g(t)\)라 하자. 이동하는 중 두 버스의 속도가 같아지는 시각 \(t_0\)가 적어도 하나 존재함을 제시문 나)를 이용하여 설명하시오. (단, 두 버스의 위치와 속도는 연속적으로 변한다.)

[문제 1-3] 원 \(O_t\)와 점 \(\mathrm{R}\)

[문제 1-3] 그림과 같이 \(x\)축 위의 점 \(\mathrm{P}(t, 0)\)과 함수 \(f(x) = 2x^3 - 6x + 4\)의 그래프 위의 점 \(\mathrm{Q}(t, f(t))\)에 대하여 선분 \(\mathrm{PQ}\)를 지름으로 하는 원 \(O_t\)의 중심을 점 \(\mathrm{C}_t\)라 하자. 점 \(\mathrm{C}_t\)를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 원 \(O_t\)와 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 큰 점을 점 \(\mathrm{R}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 \(\mathrm{R}\)의 \(x\)좌표를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (단, \(t \ge -2\))

(2) \(-2 \le t \le 1\)일 때, 점 \(\mathrm{R}\)의 \(x\)좌표가 최대가 되는 \(t\)의 값을 구하시오.

(3) \(\displaystyle\int_{-2}^{1} \{f(x) - a\}\,dx = 0\)을 만족시키는 실수 \(a\)의 값을 구하시오.

[문제 1-4] 엔진 \(\mathrm{A}\)가 \(10\)년 안에 비정상 작동할 확률이 \(p\)이고, 엔진 \(\mathrm{B}\)가 \(10\)년 안에 비정상 작동할 확률은 \(2p\)이다. 엔진이 \(n\)개인 비행기 \(\mathrm{K}_n\)을 다음 조건에 따라 제작하려고 한다. (단, \(0 \lt p \lt \dfrac{1}{2}\))
• 비행기 \(\mathrm{K}_2\)의 엔진 \(2\)개는 모두 엔진 \(\mathrm{A}\)이다. • 비행기 \(\mathrm{K}_3\)의 엔진 \(3\)개 중 엔진 \(\mathrm{A}\)는 \(1\)개, 엔진 \(\mathrm{B}\)는 \(2\)개이다.
• 비행기 \(\mathrm{K}_4\)의 엔진 \(4\)개는 모두 엔진 \(\mathrm{A}\)이다. • 각 엔진이 정상 작동하는 사건은 서로 독립이다. 비행기 \(\mathrm{K}_n\)에 설치된 엔진 중 절반 이상이 \(10\)년 동안 정상 작동하는 사건을 \(E_n\)이라 할 때, 제시문 라)와 마)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\mathrm{P}(E_2) > \mathrm{P}(E_4)\)를 만족시키는 \(p\)의 범위를 구하시오.

(2) \(\mathrm{P}(E_3) > \mathrm{P}(E_2)\)를 만족시키는 \(p\)가 존재하는지 확인하고, 그 이유를 설명하시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2020학년도 수시 논술우수자전형 | 이학계열(수학) [확률과 통계, 미적분 I, 수학 I]

2020 이학계열 1번 배점 70점 (50분/90분)

【2020학년도 문제 1】 (70점) [출제개념 : 다항함수의 미분·적분, 속도와 거리, 이차함수와 직선의 위치관계, 연속확률변수, 조건부확률]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리 / 제시문과 문제에서 단위는 생략하고 값만 표시하였다.)

<그림 1-1>

가) <그림 1-1>은 직선 운동 중인 네 대의 항공기를 보여주고 있다. 항공기 \(\mathrm{A}\)는 시각 \(t = 0\)일 때 \(x = -6100\)을 지나며 \(x\)축을 따라 양의 방향으로 움직인다. 항공기 \(\mathrm{B}\)는 \(t = 0\)일 때 \(y = y_0\)를 지나며 \(y\)축을 따라 양의 방향으로 움직인다(단, \(y_0 < 0\)). 항공기 \(\mathrm{C}\)는 \(t = t_0\)일 때 \(y = y_0\)를 지나며 일정한 속도로 \(y\)축을 따라 양의 방향으로 움직인다(단, \(t_0 > 0\)). 항공기 \(\mathrm{D}\)는 원점을 향해 직선으로 움직인다.
나) 시각 \(t\)에서 항공기 \(\mathrm{A}\)의 속도 \(v_{\mathrm{A}}(t)\)는 아래와 같으며, 항공기 \(\mathrm{A}\)가 원점을 통과하는 시각은 \(t_{\mathrm{A}}\)이다. \[ v_{\mathrm{A}}(t) = \begin{cases} -\dfrac{1}{10}t^2 + 6t + 110 & (0 \le t \le 30) \\ 200 & (t \ge 30) \end{cases} \] 다) 시각 \(t\)에서 항공기 \(\mathrm{B}\)의 위치는 \(y_{\mathrm{B}}(t) = t^2 + 2at + a^2 + 10a - 2700 \ (t \ge 0)\)이다(단, \(a \ge 0\)). 항공기 \(\mathrm{B}\)가 원점을 통과하는 시각은 \(t_{\mathrm{B}}\)이다.
라) 시각 \(t\)에서 항공기 \(\mathrm{C}\)의 속도는 \(v_{\mathrm{C}}(t) = 100 \ (t \ge 0)\)이다. 항공기 \(\mathrm{C}\)가 원점을 통과하는 시각은 \(t_{\mathrm{C}}\)이다.

마) 항공기 \(\mathrm{D}\)가 원점을 통과하는 시각을 연속확률변수 \(X\)라고 할 때, \(X\)의 확률밀도함수 \(f(x)\)는 다음과 같다. (단, \(0 < k \le 35\)) \[ f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le 35 - k) \\ \dfrac{1}{k^2}(x - 35 + k) & (35 - k \le x \le 35) \\ -\dfrac{1}{k^2}(x - 35 - k) & (35 \le x \le 35 + k) \\ 0 & (35 + k \le x) \end{cases} \]

바) 항공기 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}, \ \mathrm{C}, \ \mathrm{D}\) 중 어떤 두 항공기가 원점을 통과하는 시각 간의 차이가 \(2\)보다 작거나 같으면 위험경보가 울린다.

[문제 1-1] 항공기 \(\mathrm{A}\)의 위치 \(x_{\mathrm{A}}(t)\)를 시각 \(t\)에 관한 식으로 구하여라.

[문제 1-2] \(t = 5\)일 때, 항공기 \(\mathrm{A}\)의 가속도를 구하여라.

[문제 1-3] \(t_{\mathrm{B}} \ge 30\)을 만족하기 위한 \(a\)의 최댓값을 구하여라.

[문제 1-4] \(a = 30\)일 때, 항공기 \(\mathrm{B}\)의 속도가 \(100\)이 되는 시각을 구하고 그때의 항공기 \(\mathrm{B}\)의 위치를 구하여라.

[문제 1-5] \(a = 30\)일 때, 항공기 \(\mathrm{B}\)가 항공기 \(\mathrm{C}\)를 항상 앞서게 되는 \(t_0\)의 범위를 구하여라.

[문제 1-6] \(y_0 = -2000\)이고 \(k = 10\)일 때, \(X \le t_{\mathrm{C}}\)일 확률을 \(t_0\)에 관한 식으로 구하여라.

[문제 1-7] \(30 \le X \le 35\)일 확률이 \(\dfrac{3}{8}\)보다 크거나 같기 위한 \(k\)값의 범위를 구하여라.

[문제 1-8] \(t_{\mathrm{A}} = 35, \ t_{\mathrm{B}} = 30, \ t_{\mathrm{C}} = 40\)이다. 위험경보가 울렸고 \(X \ge 30\)일 때, \(X \ge 40\)일 확률을 구하여라. 단, \(k = 10\)이다.